文档内容
专题32 一次函数与将军饮马结合
1．如图，在平面直角坐标系中，点 在y轴正半轴上，点 在x轴正半轴上，
且 ． ．
(1)求AB；
(2)在y轴上是否存在一点P，使得 最小？若存在，请求出 的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐
标．
2．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．
（1）画出 ABC关于y轴的对称的 ABC ．
1 1 1
（2） ABC的面积为 ；
1 1
（3）y轴上存在一点P使得 ABP的周长最小，点P的坐标为 ，周长最小值为
．
3．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，
若不存在请说明理由．
4．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点 和直线 ，我们称点 是直线 的
反关联点，直线 是点 的反关联直线．特别地，当 时，直线 的反关联点为
．已知点 ， ， ．
(1)点B的反关联直线的解析式为______，直线AC的反关联点的坐标为______；
(2)设直线AC的反关联点为点D；
①若点P在直线AC上，求 的最小值；
②若点E在点B的反关联直线上，且 ，求点E的坐标．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4）．以AB为直角边
在AB左侧作等腰直角 ABC，∠CAB＝90°．
△(1)当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时
①求AB解析式；
②求C点坐标；
(2)当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．
6．如图，直线 与坐标轴交于A、B两点，与过点 的直线 交于点D，且
．
(1)求点D的坐标及直线 的解析式；
(2)求 的面积：
(3)在y轴上是否存在一点P，使 最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出 的
最大值；若不存在，请说明理由．
7．如图，一次函数 y＝-x+6的图像与正比例函数 y＝2x 的图像交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）已知点 B 在直线 y＝-x+6上，且横坐标为5，在 x 轴上确定点 P，使 PA＋PB 的值最小，
求出此时 P 点坐标，并直接写出 PA+PB 的最小值．8．如图1，一次函数 的图象与坐标轴交于点 ， ， 平分 交 轴与点 ，
，垂足为 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）求 所在直线的解析式；
（3）如图2，点 是线段 上的一点，点 是线段 上的一点，求 的最小值．
9．在 中， ，点P为 边上的动点，速度为 ．
(1)如图1，点D为 边上一点， ，动点P从点D出发，在 的边上沿D→B→C的
路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设 的面积为 （cm2）， 的面积为 （），点P运动的时间为t（ ）． ， 与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列
问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求 和 的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在 的边上沿A→B→C的路径
匀速运动，点Q运动的速度为 ，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为
何值时， 最大？最大值为多少？
10．如图1，直线 和直线 相交于点A，直线 与x轴交于点C，点P在
线段 上， 轴于点D，交直线 于点Q．已知A点的横坐标为4．
(1)点C的坐标为______；
(2)当 时，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下， 平分线交x轴于点M；
①求出M点的坐标；
②在线段 上找一点N，使 的周长最小，直接写出周长最小值______．
11．【阅读】已知平面直角坐标系中有两点 ， ，根据勾股定理，可知两点间的
距离 ．特别地，如果点 ， 所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，那么这两点间的距离公式可简化为 或 ．
例如：已知点 ， ，则这两点间的距离 ．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知 ， ，则A，B两点间的距离为________．
(2)已知点M，N在同一条平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N
两点问的距离为________．
(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，试探究在x轴上是否存在一点P，使得
的值最小？若存在，请求出此时点P的坐标及 的最小值；若不存在，请说明理由．
12．如图1所示，直线 ： 与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 ： 与x
轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．
(1)求点E的坐标；(2)如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求 的最大值；
(3)如图1，将 绕平面内某点旋转90°，O的对应点 落在直线 上，D的对应点 落在直线
上，请直接写出旋转后C的对应点 的坐标．
13．如图，直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，在 上取一点 ，以线段
为直角边向右作等腰直角三角形 ， 沿直线 的方向以每秒1个单位长度的速度
向右匀速运动，设运动时间为 秒（ ）．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）在 运动的过程中， 为何值时，顶点 落在直线 上？请说明理由；
（3）在 运动的过程中，是否存在实数 ，使得 有最小值？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．
14．在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍
交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．
同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了
问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点 ，连结 ，
∵点B， 关于直线l对称，点C， 在l上，
∴ _________， _________，∴ _________．
在 中，∵ ，∴ ，即 最小．
(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）
(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是
否存在一点P，使 的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定
点P的位置，再证明你的结论是正确的．
(3)如图，平面直角坐标系中， ，P是坐标轴上的点，则 的
最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）
