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专题34 一次函数与全等三角形结合
【例题讲解】
直线AB：y＝x＋b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(－3，0)，过点B的直线交x轴正
半轴于点C，且OB∶OC＝3∶1．
（1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；
（2）在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，
并求出点D的坐标．
解：（1）∵直线AB：y=x+b过点A（-3，0），∴0=-3+b，∴b=3．当x=0时，y=x+b=b=3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB=3．∵OB：OC=3：1，∴OC=1．
∵点C在x轴正半轴，∴点C的坐标为（1，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0），将B（0，3）、C（1，0）代入y=kx+c，得：
，解得： ，∴直线BC的函数表达式为y=-3x+3．
（2）分在x轴上方： BAD≌△ABC和 ABD≌△ABC（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情
况考虑： △ △
如图①：①当 BAD≌△ABC时，∵OA=OB=3，
∴∠BAC=45°．△∵△BAD≌△ABC，
∴∠ABD=∠BAC=45°，BD=AC=4，
∴BD∥AC，∴点D的坐标为（-4，3）；
②当 ABD≌△ABC时，∠BAD=∠BAC=45°，AD=AC=4，
∴∠DAC=90°，∴点D的坐标为△（-3，4）．
如图②当 ABD≌△BCA时，BD=AC=4∴OD=1
∴点D的△坐标为（0，-1）．
综上所述，点D的坐标为（-4，3）或（-3，4）或（0，-1）．【综合解答】
1．如图，直线y＝－ x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与
y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接
PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．
2．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），
过点B的直线交x轴负半轴于点C，且 ，在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为
顶点的三角形与 ABC全等，则点D的坐标为_____．
△
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B．
（1）k的值为__________________；
（2）y轴上有点M（0， ），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与
OMP全等，则符合条件的点P的坐标为__________________．4．直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与直线 交于点 ．
（1） 点的坐标为________；
（2）若点 是 轴上的动点，点 是直线 上的动点，若以 ， ， 为顶点的三角形
与 全等，则点 的坐标是________．
5．如图，一次函数y= x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段 的中点为 ．将
沿直线 折叠，使点A与点B重合，直线 与x轴交于点C．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标；（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与 全等，请直
接写出点P的坐标．
6．直线 ： 分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 ，过点B的直线交x轴
正半轴于点C，且 ．
(1)求点B的坐标及直线 的函数表达式；
(2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 ；
(3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与 全等（重合除外），请
求出点D的坐标．
7．如图，直线y= x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（﹣3，0），P（x，y）
是直线y= x+2的一个动点（点P不与点A重合）．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为 ，求出此时点P的坐标；
（3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E、F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，点 的坐标为 连结 过点作 于点 点 为线段 上一个动点．
(1)求 的长；
(2)在线段 上是否存在一点 使得 与 全等？若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)当点 关于 的对称点恰好落在 的边上，请直接写出点 的坐标．
9．如图，一次函数的图象与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，点 在 轴上．如果
将直线 沿直线 翻折，使得点 的对应点 落在 轴上，那么直线 称为直线 的“伴随
直线”．已知点 的坐标为 ， ．
(1)若点 在 轴负半轴上，求直线 的“伴随直线” 的函数表达式；
(2)已知在（1）的条件下，存在第二象限内的点 ，使得 与以 、 、 为顶点的三角形全
等，试求出点 的坐标；
(3)直线 的“伴随直线” 上是否存在点 （异于点 ），使得 ？若存在，直接
写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，直线 交x、y轴分别为 、 两点，点 与点 关于y轴对称．动点 、
分别在线段 、 上（点 不与点 、 重合），满足 ．(1)点 坐标是_______， ______．
(2)当点 在什么位置时， ，说明理由．
(3)当 为等腰三角形时，求点 的坐标．
11．如图，直线 交y轴于点A，交x轴负半轴于点B，且 ，P是直线AB上的一
个动点，点C的坐标为 ，直线 交y轴点于D，O是原点．
(1)求k的值；
(2)直线 上是否存在一点P，使得 与 是全等的？若存在，请求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)当点P在射线 上运动时，连接 ，是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在，请
直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9
于点C．
（1）点C的坐标是 ．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MN x轴，且
MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出
点P的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA、OB、AB的长分别为a、b、c，且满足
，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P
运动时间为t秒．
（1）A的坐标为_________，B的坐标为_________．
（2）如图2，连结BP，当t为何值时，BP平分∠ABO．
（3）过P作PD⊥AB交直线AB于D，交y轴于Q，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，
使 POQ与 AOB全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
