文档内容
第 07 讲 实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解
法（6 个知识点+6 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表
示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，
比例问题等中的有关公式．
知识点2．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量
和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表
示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分
割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格
提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找
等量关系．
知识点4．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论
怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
知识点5．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都
是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次
方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，
求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
知识点6．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数
就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解
析式奠定基础．（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
知识复习
一．由实际问题抽象出二元一次方程（共6小题）
1．（2023春•靖江市期末）《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人
共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最
终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二
元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是 ，则符合题意的另一个
方程是
A． B． C． D．
2．（2023春•荣成市期中）现有一段长为180米河道整治任务，由 ， 两个工程队先后
接力完成， 工程队每天整治12米， 工程队每天整治8米，共用时20天．小红将这个
实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数 ， ，已知列出一个方程为 ，
则另一个方程是 ．
3．（2023春•宿迁期末）若 的2倍与 的差是10，那么可用二元一次方程表示为 ．
4．（2023春•福清市期中）某人带了100元去市场买水果，他买了1千克的哈密瓜，2千
克的青提葡萄，还剩 30 元．设哈密瓜每千克 元，青提葡萄每千克 元，得方程
．则下列说法中，正确的是
A．1千克青提葡萄的价格可以是36元
B．若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元
C．若 是方程 的解，则 ， 都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价
D．若 ， 分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则 ， 一定是方程 的解
5．（2023春•通榆县期末）某体育用品商店在“6.18”期间进行优惠促销活动，促销规则
是由顾客抽奖决定折扣．小明同学在该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银 员 的 对 话 所 提 供 的 信 息 ， 求 两 种 商 品 的 原 价 分 别 为 多 少 元 ？
6．（2023春•威海期中）列方程组解应用题：
甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时
相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少
千米？
二．二元一次方程的应用（共6小题）
7．（2023春•集贤县期末）王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，
笔记本每本1.2元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，
钱恰好花完）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2023春•南岗区校级月考）把一根长 的钢管截成 长和 长两种规格均有的短
钢管，且没有余料，设某种截法中 长的钢管有 根，则 的值有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．（2023春•济南期中）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲
活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突
出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 个．
10．（2023•九龙坡区校级开学）春节期间，某超市热销甲、乙、丙三种坚果，其中每千克
甲、乙、丙坚果的成本价之比为 ．近段时间，超市打算将三种坚果组合后以礼盒的
方式进行销售，每个礼盒的成本分别为礼盒中甲、乙、丙三种坚果的成本之和，礼盒盒子
成本忽略不计．其中“玉兔迎福”礼盒装有甲坚果1.5千克、乙坚果1千克、丙坚果1千克；“大展鸿兔”礼盒装有甲坚果1千克、乙坚果1.5千克、丙坚果1.5千克；“前兔似锦”礼
盒装有甲坚果2千克、乙坚果1千克、丙坚果2千克．销售时，每个“前兔似锦”礼盒在
成本价基础上提高 后销售，“玉兔迎福”、“大展鸿兔”礼盒的利润率都为 ．某天，
该超市售出这三种礼盒后获利 ，已知售出“玉兔迎福”、“前兔似锦”礼盒共22个，
且“玉兔迎福”礼盒为正偶数个，则该超市当天售出“大展鸿兔”礼盒 个．
11．（2023春•德化县期中）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为
克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为 15克，当右盘放有2个相同的砝
码时，天平处于平衡状态．
（1）若 ，求天平处于平衡状态时 的值．
（2）若一个二元一次方程的解， ， 都是正整数，我们把 ， 称为该方程的正整
数解，如：方程 的正整数解为 ，求天平处于平衡状态下的 ， 的正整
数值．
（3）期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本
和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求购买4
本笔记本和5支圆珠笔的费用．
12．（2023春•德化县期中）问题情境：在数学活动课上，老师给出了两个二元一次方程：
和 ．
问题解决：（1）试用含 的代数式分别表示 ， ；当 时，求 的值．
问题探究：（2）若有理数 ， 满足等式 ，求 ， 的值．
问题拓展：（3）在（2）的条件下，如图，小明家 到学校 有两段公路 ， ，其中 处有一图书馆，公路 长2400米，公路 长1800米，小明骑自行车从 出发以
米 分的速度匀速滑公路 ， 向 处行驶，小康跑步从 处出发以
米 分的速度匀速沿公路 ， 向 处行进．若小明从 处出发5分钟后，小康从 处
出发．那么小明出发多少分钟后两人在行进路线上相距120米？
三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共6小题）
13．（2024•大东区模拟）某品牌汽车经销商在7月份售出手动型和自动型汽车共900台，
8月份售出这两种型号的汽车共1145台，其中手动型和自动型汽车8月份的销售量分别比
7月份增长 和 ，问7月份销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？若设 7月份
销售的手动型和自动型汽车分别 台， 台，则可列方程组为
A．
B．
C．
D．
14．（2024•广平县模拟）甲乙二人分别从相距 的 ， 两地出发，相向而行．如图
是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是 ，乙的速度是 ，
根据题意所列的方程组正确的是A． B．
C． D．
15．（2023春•临邑县期末）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，
《九章算术》中记载：“今有上禾三秉．益实六斗，当下禾十秉，下禾五秉，益实一斗，
当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？“其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷
子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子．有下等稻子五捆．若打出来的谷子再
加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等．下等稻子每捆能打多少斗谷子？
设上等稻子每捆能打 斗谷子，下等稻子每捆能打 斗谷子．根据题意可列方程组为 ．
16．（2023春•铜山区期中）足球表面由黑色五边形和白色六边形共32块拼成，且白皮块
数是黑皮块数的 倍．设黑皮块数是 ，白皮块数是 ，列出关于 、 的二元一次方程组
．
17．（2023春•馆陶县期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天
后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化 8亩，乙工程队每天绿
化12亩，一共用20天完成．
（1）设甲工程队绿化 天，乙工程队绿化 天，依题意可列方程组： ．
（2）设甲工程队绿化荒地 亩，乙工程队绿化荒地 亩，请列方程组求甲、乙两工程队分
别绿化荒地的亩数．
18．（2023春•澄迈县期末）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长为 350米的河边道路
整治任务由 、 两个工程队先后接力完成， 工程队每天整治15米， 工程队每天整
治10米，共用时30天．
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲： ；
乙： ；
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数 ， 表示的意义，然后在方框
中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲： 表示 ， 表示 ；
乙： 表示 ， 表示 ；
（2）求 、 两工程队分别整治河道多少米？
四．二元一次方程组的应用（共6小题）
19．（2023春•湘潭县期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成
一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼
成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为 的小正方形，则
每个小长方形的面积为
A． B． C． D．
20．（2023春•鼎城区期末）某中学举行象棋比赛活动，通过抽签，甲、乙两名同学进行
对弈，已知甲在6盘结束后，以净胜乙2分的成绩取胜，比赛的积分规则是：每盘比赛胜
者得2分，负者得0分，和棋各得1分，则甲同学的总积分为 ．
21．（2023春•岱岳区校级月考）在长方形 中，放入5个形状大小相同的小长方形
（空白部分），其中 ， ，则阴影部分图形的总面积为 ．A．27 B．29 C．34 D．36
22．（2024•宁波模拟）某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄
件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实
际收费如表：
收费标准
目的地 起步价（元 超过1千克的部分（元 千克）
上海
北京
实际收费
目的地 质量（千克）
费用（元
上海 2 10
北京 3 23
则 ， ．
23．（2024•海南一模）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决
定采购 ． 两种型号的新型垃圾桶．若购买3个 型垃圾桶和4个 型垃圾桶共需要
580元，购买6个 型垃圾桶和5个 型垃圾桶共需要860元，求两种型号垃圾桶的单价．
24．（2024•鞍山模拟）某商场用相同的价格分两次购进2匹和3两种型号的立地式空调，
两次购进情况如下表．
次
2匹（台 3匹（台 总通价（元
第一次 20 30 260000
第二次 10 20 160000
（1）求该商场购进2匹和3匹立地式空调的单价各为多少元？
（2）已知商场2匹立地式空调的标价为每台5400元，3匹立地式空调的标价为每台8400
元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的2匹立地式空调打九折，3匹立地式
空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？五．解三元一次方程组（共6小题）
25．（2023春•泉州期末）若方程组 的解满足 ，则 ．
26．（2023春•乌鲁木齐期中）已知 ，当 时， ；当 时，
；当 时， ，求 、 、 的值．
27．（2023春•南召县期末）解三元一次方程组 ，如果消掉未知数 ，
则应对方程组变形为
A．① ③，① ② B．① ③，③ ② C．② ①，②
③ D．① ②，① ③
28．（2023春•叙州区月考）方程组 的解是 ．
29．（2023春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是
A． B．
C． D．
30．（2023春•德宏州期末）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系
列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于 ， 的二元一次方程组 可以写成矩阵
的形式．例如： 可以写成矩阵 的形式．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请求出矩阵 对应的方程组的解；
（2）若矩阵 所对应的方程组的解为 ，求 的值．
六．三元一次方程组的应用（共6小题）
31．（2023春•赣榆区期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，
某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共
有
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
32．（2023春•涟源市月考）如图，边长为 的两个正方形靠边各放置两个边长为 ， 的
长方形，然后分别以 ， 构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得 的值是
A． B． C． D．
33．（2023春•邓州市期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为 ；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放
置，图示距离为 ，则桌子的高度等于 ．
34．（2023春•浉河区期末）请阅读下面对话，并解答问题：
一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销 、 两种商品． 、 两种
商品的进货单价之和为5元； 商品零售价比进货单价多1元， 商品零售价比进货单
价的2倍少1元，按零售价购买 商品3件和 商品2件，共19元．你知道 、 两
种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板
出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了 4件甲商品，7件乙商品，
1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件
乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱
恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这
我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！
问题：
（1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程．
（2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程．
35．（2022秋•江北区校级期末）某生鲜店推出了 、 、 三类蔬菜包以方便居家生活
的市民购买， 、 、 三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬
菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋 蔬菜包有5公斤萝卜、4
公斤白菜、6公斤洋葱；每袋 蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋
的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为 ，每袋 的成本是其售价的 ，每袋
的利润是每袋 利润的 ．若该生鲜店1月2日当天销售 、 、 三种蔬菜包袋数之
比为 ，则当天该生鲜店销售 、 、 三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ．
36．（2023春•阳泉期末）综合与实践课 设计裁切方案
题
素 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅
材 背与椅座的尺寸示意图．
1
素 因学校需要，某工厂配合制作该数学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已
材 有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该数学生
2 椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为
，宽为 （裁切时不计损耗）．
我 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请
是 你设计出一块该型号板材
板 的所有裁切方法．
材
方法一：裁切椅背15个
裁 和椅座0个；
切
方法二：裁切椅背8个和
师
椅座 个；
方法三：裁切椅背
个和椅座8个．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型
号板材，最多能制作成多
少把学生椅．
任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生
椅，该工厂仓库现有260
个椅座和80个椅背，还
需要购买该型号板材多少
块（恰好全部用完）？并
给出一种裁切方案．
强化训练
一、单选题1．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）两位同学在解方程组 时，甲同学正
确地解出 ，乙同学因把c抄错了解得 ，则a、b、c正确的值应为（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于 的二元一次方程组 的解为
整数，且关于 的方程 的解为非负数，求满足条件的所有整数 的和为（ ）
A．2 B．4 C．9 D．11
3．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票
的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张?（ ）
A．110，215 B．216，109 C．108，217 D．214，111
4．（22-23七年级下·河北唐山·期中）春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李
凯同学一家( 个成人和 个学生)去了该景区，门票共花费 元，王玲同学一家( 个成人
和 个学生)去了该景区，门票共花费 元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需
要花费( )
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
5．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同
学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲
种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
6．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
7．（22-23七年级下·全国·课时练习）三角形ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应
点P 的坐标为（b，2a－1），已知A（3，2）在经过此次平移后对应点A 的坐标为（5，
1 1
－1），则点P的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（2，－1）
C．（4，6） D．（7，2）
8．（22-23七年级下·全国·课时练习）在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于长
方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则花圃的面积
和为（ ）
A．16m2 B．8m2 C．32m2 D．24m2
9．（22-23七年级下·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印
刷机先后接力完成，A印刷机印制160份 ， 印刷机印制210份 ．两台印刷机完成该
任务共需 ，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（ ）
乙
甲
解：设A印刷机印制了 份， 印刷机印制
解：设A印刷机印制了 ， 印刷机印制
了 份．
了 ．
由题意，得 由题意，得
A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确
C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确
10．（22-23七年级下·全国·课时练习）作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午8时
30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息 后沿原路返回，
正好下午3时到家．若他平路每小时走 ，登山每小时走 ，下山每小时走 ，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损： 则答案
中另一个方程应为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（22-23七年级下·陕西西安·期末）有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为
9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大 ．设原两位数的个
位数字为x，十位数字为y，根据题意得方程组： ．
12．（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）把10个相同的长方形拼接成一个大长方形（尺寸如
图所示），这个小长方形的宽为 ．
13．（22-23七年级下·重庆江津·期中）关于 ， 的二元一次方程组 的解
满足 ，则满足条件的 值为 ．
14．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶5次，
中靶情况如图所示，规定投中同一圆环得分相同，若小明得分21分，小亮得分17分，则
小颖得分为 ．
15．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中 、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
，且 ， ．则 ．
16．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）甲、乙、丙三人到超市购零食，甲买薯片3包、饼
干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元，那么丙
买薯片4包，花费 元．
17．（22-23七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我
像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的
年龄是 岁．
18．（22-23七年级下·吉林松原·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一
个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，乙说得甲九
只，两家之数相当，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．
如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
问：甲乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，可列方程组为
．
三、解答题
19．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）用方程组解决问题：
某校初一（1）班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表：
捐款/元 2 5 10 15
人数 5 10
问：捐5元和10元的人数各是多少？
20．（22-23七年级下·海南海口·阶段练习）已知 ，当 时， ；当 时，
，求 和 的值．21．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）阅读以下内容：已知x，y满足 ，且
，求m的值．
三位同学分别提出了自己的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组 ，再求m的值；
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学：先解方程组 ，再求m的值．
(1)你最欣赏______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路；
(2)根据你所选的思路解答此题．
22．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）甲和乙两人同解方程组 ，甲因抄错了
a，解得 ，乙因抄错了b，解得 ，求 的值．23．（22-23七年级下·四川遂宁·阶段练习）关于x的代数式 ，当 时，其值
为 ；当 时，其值为3；当 时，其值为35；
(1)求a，b，c的值
(2)当 时，求代数式 的值．
24．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）印江河是印江的母亲河，为了确保河道畅通，
现需要对一段长为180米的河道进行清淤处理，清淤任务由A、B两个工程队先后接力完成，
A工程队每天完成12米，B工程队每天完成8米，共用时20天．
根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲： 乙：
(1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义．
x表示______，y表示______；请你补全乙同学所列的方程组______
(2)求A、B两工程队分别完成河道清淤多少米？（写出完整的解答过程）25．（22-23七年级下·贵州黔南·期中）在平面直角坐标系中，定义：对于一点A（a，
b），实数k，若点B的坐标为（ka，b+k），则点B称为点A的“k—平移点”．
(1)点 的“ —平移点”是_______．
(2)若点 的“3—平移点”恰好在x轴上，求点Q的坐标．
(3)若点 的“k—平移点”为点 ， ，在y轴上存在点C，使得
三角形 的面积等于5，请直接写出点C的坐标________．26．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）规定：对于平面直角坐标系 中任意一点 ，
若 ，即此点的纵坐标是横坐标的两倍，此时我们称点 为“雅赞点”．例如：
对于点 ，它的纵坐标2是横坐标1的2倍，所以点 是“雅赞点”．
(1)以下各点：① ② ③ 中“雅赞点”是________（填序号即可）；
(2)若点 是“雅赞点”，且A点向右平移3个单位后得到B点，B点到坐标轴的
距离相等，求此时“雅赞点”A点的坐标；
(3)已知“雅赞点” ， ，关于x，y的方程组 与
有相同的解．
①用含 的式子表示 和 ；
②若对于任意k，等式 恒成立，求此时 的值．
