文档内容
第 07 讲 解直角三角形及其应用 （5 个知识点+7 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
知识点2．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边
的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得
到实际问题的答案．
知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：i＝h/l＝tan ．
（3）在解决坡度的有关问题α中，一般通过作高构成直角α三角形，坡角即是一锐角，α坡度实际就是一锐角
的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，
把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定
在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
题型强化
题型一、解直角三角形的相关计算
1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在 中， ， 是斜边 上的中线，过点A
作 ，分别与 ， 相交于点E，F，如果 ，那么 的值是（ ）A． B． C． D．
2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知 中， ， ，求
时， 的长度为 ．
3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一次函数 与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次
函数 图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线
(1)求该二次函数表达式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由；题型二、解非直角三角形
4．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川资阳·中考真题）在 中， ， ．若 是锐角三角形，则边 长的
取值范围是 ．
6．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 ABC中， ， ，求BC长．
题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
7．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在 中， 是斜边 上的高，将得到的两个 和
按图 、图 、图 三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为 ， ， ，若 ，
则 与 之间的关系是（ ）A． B． C． D．
8．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，则 的长为
， 的面积为 ．
9．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如
图所示，把一张长方形卡片 放在每格宽度为 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知
，求长方形卡片的周长．”作 于点 ， 于点 ．请你帮小强解答这道题．（结果精确
到 ）
题型四、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
10．（23-24九年级下·全国·期中）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端
D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离 ，则此大桥主架顶端离水面的高 为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，甲、乙两楼的楼间距 为 ，某人在甲楼楼底 处测得
乙楼的楼顶 的仰角为 ，在乙楼的楼底 处测得甲楼的楼顶 的仰角为 ，则甲楼比乙楼矮
m（结果精确到 ）．
12．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在一次数学课外实践活动中，小刚想测量教学楼顶端上
避雷针 的长度，在 处测得点 的仰角为 ，点 的仰角为 ， 到楼底 处的距离 ，
求避雷针 的长度（结果精确到 ）．（参考数据： ， ， ，
， ， ）题型五、方位角问题(解直角三角形的应用)
13．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大
工程．如图是某港口的平面示意图，码头 在观测站 的正东方向，码头 的北偏西 方向上有一小岛
，小岛 在观测站 的北偏西 方向上，码头 到小岛 的距离 为 海里．观测站 到 的
距离 是（ ）
A． B．1 C．2 D．
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向
80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B
处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数
据： ， ， ）15．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域 处巡逻， 岛上的海军发现点 在点 的正西方
向， 岛上的海军发现点 在点 的南偏东 的方向上，已知点 在点 的北偏西 方向上，且 、
两地相距120海里，如图所示．
(1)求此时点 到 岛的距离；
(2) 上的 处有一只渔船发出求救信号，希望 处的巡航船沿 方向在 个小时赶到 处进行救援，
若巡航船以每小时 海里／小时的速度能提前到达吗？已知在 岛测得点 在 的南偏东 的方向上．
（不计水流速度，结果保留根号）
题型六、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
16．（2024·吉林长春·模拟预测）小明沿着坡度为 的山坡向上走了 ，则他竖直上升了（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动
扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为 ，坡角 为 ，改造后的斜坡
式自动扶梯的坡角 ，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到
，参考数据： ， ， ）
18．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡
下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 处的距离 是 ，山坡的坡角 ，由于受大气压的
影响，此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过 ，否则无法抽取水池中的水，试问水泵站能否建在处？（吸水扬程是指抽水泵将水从低处送到高处的垂直高度，参考数据： ）
题型七、其他问题（解直角三角形的应用）
19．（22-23九年级下·四川凉山·阶段练习）如图是某超市里电梯的截面图，已知 米， ，
则高 （ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
20．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，要将一段坡角为 的路面削为坡角为 的斜坡，已知原来
的坡长为 ，则自坡顶挖下的铅直高度x约为 m．（参考数据： ， ，
结果精确到 ）
21．（2023·江西吉安·三模）学科综合我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图 ），我们把 称为折射率
（其中 代表入射角， 代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图 所示的实验，即通过细管 可以看见水底的物块 ，但不在细管
所在直线上，图 是实验的示意图，四边形 为矩形，点 ， ， 在同一直线上，测得
， ．
(1)求入射角 的度数．
(2)若 ，求光线从空气射入水中的折射率 ．（参考数据： ， ，
）
分层练习
一、单选题
1．如图，正五边形 的半径为 ，则这个正五边形的边长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度 ，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那
么该物体所经过的路程是（ ）A．10米 B．24米 C．25米 D．26米
3．如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为切点，若 ， ，则 的长为（
）
A． B． C． D．
4．在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为 ． 如图，若在坡比为 的山坡上
种树，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A． B．4 C．8 D．4
5．已知：△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=4，D、F分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC
于F，DG⊥BC于G，那么FG的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．6．如图，线段 和 分别表示甲、乙两幢楼的高， 于点 ， 于点 ，从甲楼 处测
得乙楼顶部 的仰角 ，测得乙楼底部点 的俯角 ，且 米，则 为（ ）米．
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE：EC＝3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则
tan∠CFB等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动，
动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿BC方向运动至C点停止，同时P点也停止运动若点P，Q同时出发
运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
9．某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡
度 ．在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为
1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米（ ）
A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
10．如图，在矩形 中， ， ，P是 上一个动点，过点P作 ，垂足为
G，连接 ，取 中点E，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= ，AB=2❑√6，则∠B= .
12． 中， 都是锐角，且 ，则 是 三角形．
13．如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 ，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
14．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2 ，∠BCD=30°，则⊙O的半
径为 ．
15．△ABC之中, ∠BAC=90°，点D在直线AB上,连接DC，若tanB= ,AB=3，AD=2，则△DBC的面积为
.
16．如图，在菱形 中， ，E为 的中点，P为 上一点且 的周长最小，
则 的周长最小值为 ．
17．如图，为响应人民政府“形象重于生命”的号召，规划部门在甲建筑物的顶部 点测得条幅顶端 的
仰角为 ，测得条幅底端的俯角为 ，已知条幅长 ，则底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的
水平距离 的长为 ．（答案可带根号）
18．如图， 为菱形 对角线的交点，点 和点 分别在边 和边 上，且满足，连接 ，若菱形 的边长为10， ，则 长度的最小值为 ．
三、解答题
19．2022年北京冬季奥运会，国家跳台滑雪中心的赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲
线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台 、中部的
大跳台腾空起点 、赛道 、底部的看台区组成． 赛道可近似视作坡度为 的一段坡面，通过北
斗高程测量仪测得 点、 点的海拔高度差（即 ）是160米，从顶峰平台 点俯视 处， 俯角约为
，由 处释放的遥控无人机竖直上升到与平台 水平位置 后，遥感测得 之间距离为152米，若
图中各点均在同一平面，求赛道 的长度．（参考数据： ， ， ）
20．“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深海的利器，如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科
研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为 ；当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察
点A测得点C的俯角为 ，求点C到海面的深度．（结果精确到0.1千米，参考 ，
）21．如图， 为⊙ 的直径， 为⊙O上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求：边 及 的长．
22．点O为塔楼底面中心，测角仪高度 ，在B，D处分别测得塔楼顶端的仰角为27°，
45°， ，点B，D，O在同一条直线上，求塔楼的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：
）23．某校数学兴趣小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度．如图2是其测
量示意图，点 ， ， ， ， 在同一竖直平面内， 垂直平分 ，垂足为 ， 垂直平分 ，
与 交于点 ．经测量，可知 ， ， ， ，则文化长廊的最
高点离地面的高度 约为多少米?（结果保留一位小数，参考数据： ， ，
， ）
24．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某
数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为
124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地
面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）
25．如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个 圆，即弧 ，已知
和遮阳棚杆子 在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈
角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知 长为 ．
(1)求遮阳棚半径 的长度．
(2)如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈 角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点
正下方E点 的F点处有一株高为 的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．
(3)如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮
阳棚上最高点仍为A点，且外檐点 到 的距离为 、到 的距离为 ．现需过遮阳棚上一点P
为其搭设架子，架子由线段 、线段 两部分组成，其中 与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．
26．为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地
面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，
电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）
(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
(2)求路段AB的长；（ ≈1.7，结果保留整数）
(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个
测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？
