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第 08 讲 正多边形和圆
课程标准 学习目标
1. 掌握正多边形及其相关概念并能够熟练的判断各部分。
①正多边形及有关概念
2. 掌握与正多边形的有关计算，并能够把相关的计算公式在题目中熟
②正多边形的有关计算
练的应用。
③正多边形的画法
3. 掌握正多边形的画法，能够熟练的画出正多边形。
知识点01 正多边形及相关概念
1. 正多边形的概念：
各条边 ，各个角也 的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形：
把一个圆 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 所得的多边形是这个圆
的 ，这个圆叫做这个正多边形的 。
3. 圆的内接正多边形的相关概念：
（1）中心：正多边形的 的圆心叫做正多边形的中心。
即O既是圆心也是正多边形的中心。
（2）正多边形的半径： 的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角。如∠BOC为正多边形的中心角。正多边形的中心角度数为 。
（4）边心距： 到正多边形的 的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的
垂线即为边心距。
知识点02 正多边形的有关计算
1. 正多边形的内角计算：
正n边形的每个内角计算公式为 。
2. 正多边形的中心角：
正n边形的中心角度数为 。
3. 正多边形的外角：
正n边形的外角度数为 。
4. 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：
正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为 。
5. 正多边形的周长和面积：
边长为a的正n边形的周长为 ；面积为 。
【即学即练1】
1．如图，正五边形 ABCDE内接于 O，点 P是劣弧 上一点（点 P不与点 C重合），则∠CPD＝
（ ）
⊙
A．45° B．36° C．35° D．30°
【即学即练2】
2．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
⊙
【即学即练3】
3．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（ ）A．16． B．12 C．8 D．6
【即学即练4】
4．如图，A、B、C、D为一个正多边形相邻的4个顶点，∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为 ．
【即学即练5】
5．已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r 、面积S ．
6 6
知识点03 正多边形的画法
6. 正多边形的画法：
利用等分圆的方法画正多边形。算出正多边形的中心角，用量角器等分圆周，然后依次连接圆上的等
分点即可。
【即学即练1】
6．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
题型01 利用正多边形与圆求角【典例1】如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 O，则∠BED（ ）
⊙
A．45° B．30° C．20° D．15°
【变式1】如图，已知正五边形ABCDE内接于 O，连结BD，则∠CDB的度数是（ ）
⊙
A．72° B．54° C．36° D．30°
【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点M在 上，则∠CME的度数为（ ）
⊙
A．36° B．45° C．60° D．75°
【变式3】如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点
P，则∠APN的度数为（ ）
A．60° B．120° C．72° D．108°
【变式4】如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是（ ）A．45° B．54° C．60° D．72°
题型02 根据直线与圆的位置关系求值
【典例1】如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若 O的周长等于6 ，则正六边形的边长为（ ）
⊙ ⊙ π
A． B． C．3 D．2
【变式1】正六边形的边长为6，则它的边心距为（ ）
A．3 B．3 C．4 D．2
【变式2】若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于
M、N两点．若多边形AMONF的面积为 ，则正六边形ABCDEF的边长是 ．
【变式3】如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 O，则AD：AB＝（ ）
⊙
A．2 ： B． ： C． ： D． ：2
【变式4】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘
米，则线段GH的长为（ ）A． 厘米 B．5 厘米 C．3 厘米 D．10 厘米
题型03 周长与面积的计算
【典例1】一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是 ．
【变式1】已知 O的内接正六边形的边心距为 ，则 O的周长为 ．
【变式2】如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（ ）
⊙ ⊙
【变式2】 【典例1】
A． B． C．24 D．
【典例1】如图， O的周长等于4 cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． ⊙ B． π C． D．
【变式1】如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则 ＝ ．
【变式2】以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的
面积是（ ）
A． B． C． D．21．若一个正多边形的一个内角的度数为144°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（
）
A．（2，2 ） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2 ） D．（﹣1， ）
3．如图，正五边形ABCDE内接于 O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）
⊙
A．30° B．36° C．38° D．45°
4．如图，正五边形ABCDE内接于 O，P为 上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（
）
⊙
A．72° B．60° C．36° D．30°
5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则
∠FDC的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
6．若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a ，a ，则a ：a 等于（ ）
3 6 3 6A．1： B．1：3 C．3：1 D． ：1
7．如图， O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的
大小为（ ）
⊙
A．108° B．118° C．144° D．120°
8．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸
片的半径是（ ）
A． B．2cm C．2 cm D．4cm
9．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若 O的半径为6，则△ADE的周长是（ ）
⊙ ⊙
A．9+3 B．12+6 C．18+3 D．18+6
10．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形
ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（ ）
A．12° B．16° C．20° D．24°
11．正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于 度．
12．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形
的边数是 ．第12题 第13题 第14题
13．如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠AOD的度
数为 ．
14．如图，正六边形内接于 O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．
15．如图，正六边形A A A A A A 内部有一个正五边形B B B B B ，且A A ∥B B ，直线l经过B 、B ，
1 2 3⊙4 5 6 1 2 3 4 5 3 4 3 4 2 3
则直线l与A A 的夹角 ＝ °．
1 2
α
16．如图， O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB
的长．
⊙
17．如图，M，N分别是正五边形ABCD的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．18．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿
AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
19．如图，A，P，B，C是 O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
⊙
（2）若 O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
⊙20．如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆
圆心O处．
（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接写出答案）；
（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）若能，写
出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
