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专题 6.3 解题技巧专题：与实数有关的问题之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 对无理数的概念理解不透彻致错】................................................................................................1
【考点二 对实数的分类不清楚致错】............................................................................................................3
【考点三 易混淆a与 的平方根】.............................................................................................................6
【考点四 利用平方根、立方根解方程开平方、开立方致错】....................................................................8
【考点五 无理数整数部分的有关计算问题】..............................................................................................11
【考点六 与实数运算相关的规律题】..........................................................................................................14
【典型例题】
【考点一 对无理数的概念理解不透彻致错】
例题：（2024上·四川成都·八年级校考期末）在数 ， ， ， ， ， 中，无理数的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解： ，
所以无理数有： ， 共2个．
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃酒泉·八年级校考期末）下列实数 ， ， ， ， ， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键．
根据无理数的定义、算术平方根、立方根这个判断即可．
【详解】解： 是无理数； 是有理数； 是有理数； 是有理数； 是有理数；
是无理数；总共有2个无理数．
故选B．
2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校联考期末）有下列各数：
(相邻两个 之间 的个数逐次增加 )，其中无理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】根据无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵ ，是无理数，3个
故选A．
3．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）实数 ，0， ， ， ， ， （相邻两
个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
掌握根据无理数的三种形式（①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个
数）是解题的关键．
先根据无理数的概念逐个判定,然后再统计无理数的各数即可个数即可．
【详解】解： 是无理数，0是有理数， 是无理数， 是无理数， 是有理数， 是有理数，
（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，无理数共有4个．
故选C．
4．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）在 ， ， ， ， ， ， …（每两个之间依次多一个 ）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
由题意直接根据无理数的定义，进行分析即可得出答案．
【详解】解：实数 ， ， ， ， ， ， …（每两个 之间依次多一个 ）中，
无理数有 、 、 …（每两个 之间依次多一个 ），共计 个，
故选：C．
【考点二 对实数的分类不清楚致错】
例题：（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）把下列各数分别填入所属的集合中：
① ；② ；③ ；④0；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨
有理数：{_____________________________}；
无理数：{_____________________________}；
正实数：{_____________________________}；
负实数：{_____________________________}．
【答案】答案见解析
【分析】本题考查实数的分类，求解算术平方根，立方根，化简绝对值，掌握实数的分类是解本题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
有理数：{ ； ；0； ； ； ； }；
无理数：{ ； ； ， }；
正实数：{ ； ； ； ， }；
负实数：{ ； ； }．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）把下列各数的序号写入相应的集合中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ （相邻两个 之间 的个数逐次加 ）．
(1)负数集合{ …}；
(2)有理数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}．
【答案】(1)①④⑥
(2)①③④⑤
(3)②⑥
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、负实数的概念是解此题的关键．
（1）根据负实数的概念即可得到答案；
（2）根据有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即可得到答案；
（3）根据无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，即可得到答案．
【详解】（1）解：负数集合{ ① ④ ⑥ …}；
（2）有理数集合{ ① ③ ④ ⑤ …}；
（3）无理数集合{ ② ⑥ …}．
2．（2023上·浙江湖州·七年级校联考期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里.
①0，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ （每两个“2”之间依次多一个
“0” ）.
(1)正整数：（ ）
(2)负分数：（ ）
(3)无理数：（ ）
【答案】(1)⑦
(2)③，⑤
(3)②，④，⑧
【分析】本题主要考查实数的分类，掌握无理数，负分数和整数的概念是解题的关键．
（1）根据正整数概念即可求解；
（2）根据负分数概念即可求解；
（3）根据无理数的概念即可求解．【详解】（1）解： ，
正整数：（⑦）；
（2）负分数：（ ③，⑤）；
（3）无理数：（②，④，⑧）．
3．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）把下列各数写入相应的集合中： ， ， ， ， ，
， ， ．
正分数集合{ …}；
整数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【答案】 ， ； ， ， ； ，
【分析】此题考查了实数的分类，求个一数的立方根，算术平方根；根据实数的分类，按要求填空，即可
求解．
【详解】解： ； ；
正分数集合{ ， ，…}；
整数集合{ ， ， ，…}；
无理数集合{ ， ，…}．
故答案为： ， ； ， ， ； ， ．
4．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）从下列各数中，选择合适的数填空．
．
(1)无理数有_________．
(2)如图，被阴影覆盖的数有_________．(3)平方根等于本身的数有_________．
(4)将一个长，宽，高分别为3米，2米，2米的长方体铁块熔化，制成两个一样的正方体铁块，则该正方体
铁块的棱长为_________米．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3)0；
(4) ．
【分析】本题考查了实数的分类，实数与数轴，立方根的意义．
（1）根据实数的分类解答即可；
（2）根据无理数的估算解答即可；
（3）根据立方根的意义解答即可．
【详解】（1） 是有理数；
是无理数．
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∴被阴影覆盖的数有 ， ．
故答案为： ， ；
（3）∵ ，
∴平方根等于本身的数有0．
故答案为：0；
（4） ．故答案为： ．
【考点三 易混淆a与 的平方根】
例题：（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习） 的算术平方根是 ；36的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据平方根与算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解： ，其算术平方根是 ，
36的平方根是±6
故答案为： ；±6．
【点睛】本题考查了平方根及算术平方根的知识，注意第一个要先算 ，避免误以为是求25的算术平方
根．
【变式训练】
1．（2023上·广东揭阳·八年级校考阶段练习） 的平方根是 ； 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】根据求一个数的平方根，算术平方根的计算即可求解．
【详解】解： 的平方根是 ，
∵ ，
∴ 的算术平方根是 ，
故答案是： ， ．
【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根的计算，掌握求一个数的平方根，算术平方根的方法是解题的
关键．
2．（2023上·浙江金华·七年级校考期中）16的平方根是 ； 的平方根是 ．【答案】 ±4 ±2
【分析】根据平方根的定义进行解答即可．
【详解】∵ ，
∴16的平方根是±4，
∵ =4， ，
∴ 的平方根是±2，
故答案为：±4，±2．
【点睛】题考查求一个数的算术平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．注意 =4，求 的平方
根实际上就是求4的平方根．
3．（2022上·河南驻马店·八年级校考期中）25的算术平方根是 ， 的平方根是 ， 的平方根是
．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义以及平方根的定义进行计算即可．
【详解】解： ，
的算术平方根为： ；
，
的平方根是 ；
,
的平方根是 ．
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义与平方根的定义，理解定义是解题的关键．4．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）144平方根是 ， 的算术平方根是 ，
的平方根是 ， .
【答案】 7 /
【分析】根据平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质求解即可．
【详解】解：144平方根是 ，
的算术平方根是7，
的平方根是 ，
，
故答案为： ， ， ．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的定义及绝
对值的性质是解题的关键．
【考点四 利用平方根、立方根解方程开平方、开立方致错】
例题：（2024上·陕西汉中·八年级统考期末）解方程： ．
【答案】 或 ．
【分析】本题考查了平方根解方程，利用平方根的性质得到 ，即可求解．
【详解】解：
，
，
或 ．
【变式训练】
1．（2023上·上海徐汇·八年级校考期中）解方程： ．
【答案】【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为 ，再根据平方根的定义将两边
开方，即可解答．
【详解】解： ，
或 ，
解得： ．
2．（2023上·江苏连云港·八年级统考阶段练习）求出下列各式中x的值
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根与立方根的应用；
（1）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（2）根据立方根的定义解方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴
解得：
（2）解：
∴ ，
∴
解得：3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）解方程
(1)
(2)
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】本题考查利用平方根，立方根概念解方程，解题的关键是掌握平方根，立方根的概念．
（1）将方程变形，再用平方根概念即可解得x的值；
（2）将方程变形，再用立方根概念即可解得x的值．
【详解】（1）解：： ，
两边同除以9得： ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
4．（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）求下列各式中的x．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2) ，【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；
（2）根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
移项得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．
【考点五 无理数整数部分的有关计算问题】
例题：（2023上·江苏·八年级专题练习）若 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先估算出 的取值，进而可得出 、 的值，代入 进行
计算即可．
【详解】解： ，
，
，
的整数部分是5，小数部分是 ，
∴ ,
．故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，则
的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查无理数估算、代数式求值、无理数的运算等知识点，掌握无理数的估算方法是解题
的关键．
先根据无理数的估算确定a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
2．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）已知 的整数部分为m， 的小数
部分为n，求 的值
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算出 的大小，从而可确定出m的值，然后可表示出n的
值，代入计算可得结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴故答案为： ．
3．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）已知 的立方根是2，b是 的整数部分， 是9的平方根，则
的算术平方根是 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了无理数的估算，平方根和立方根，分类讨论的思想，根据立方根的定义求出a，估算
无理数的大小得到b的值，根据平方根的定义得到c的值，代入代数式求值再求算术平方根即可．掌握一
个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
【详解】解：∵a的立方根是2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵c是9的平方根，
∴ ，
当 时， ，算术平方根为3；
当 时， ，算术平方根为 ；
综上分析可知， 的算术平方根为3或 ．
故答案为：3或 ．
4．（2024上·河北秦皇岛·八年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理
数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小
数部分，因为 的整数部分是1，于是用 来表示 的小数部分．
又例如： ，即 ， 的整数部分是2，小数部分为 ．(1) 的整数部分是_________，小数部分是_________；
(2)若m，n分别是 的整数部分和小数部分，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确计算的前提，
（1）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可；
（2）估算无理数 的大小，确定 、 的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解： ，即 ，
的整数部分为4，小数部分为 ，
故答案为：4， ；
（2）∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 的整数部分为3，小数部分为 ，即 ，
∴ ．
5．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如： ，即 ，
的整数部分为2，小数部分为 ．
请解答：
(1) 的整数部分是_________；小数部分是_________．(2)已知： 的整数部分是m， 的小数部分是n．
①求m、n的值；
②若 ，请求出满足条件的x的值．
【答案】(1)3；
(2)① ； ；② 或
【分析】本题考查与无理数有关的整数部分的计算．
（1）根据题干给定的方法，进行求解即可；
（2）①根据题干给定方法求出 的范围，进而求出 的整数部分和小数部分，即可；②利用平方
根解方程即可．
掌握“夹逼法”，确定无理数的范围，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3，小数部分是 ；
故答案为：3， ；
（2）① ，
，
的整数部分为4，的小数部分 ；
②
，
解得： 或 ．
【考点六 与实数运算相关的规律题】
例题：（2023上·江苏·八年级专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不
为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果 ，其中a、b
为有理数，x为无理数，那么 且 ．运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果 ，其中a、b为有理数，那么 ， ；
(2)如果 ，其中a、b为有理数，求 的平方根．
【答案】(1)2，6
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是
解题的关键．
（1）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程即可得出结论；
（2）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程求得a，b的值，再利用平方根的意义解答即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2；6；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．∵16的平方根为 ，
∴ 的平方根为 ．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算： ；
(2)试比较 与 的大小．
【答案】(1)2022
(2)
【详解】解：（1）原式
．
（2） ，
，
．
又 ,，
，
．
2．（2023上·山东济南·七年级校联考阶段练习）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) ．
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ．
(3)利用上述规律计算： （仿照上式写出过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导规律计算求解是解题的关键．
（1）根据 ，计算求解即可；
（2）由题意知， ；（3）根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
故答案为： ；
（2）解：由题意知， ，
故答案为： ；
（3）解：由题意知， ．
3．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）观察下列各式：
第一个式子： ；
第二个式子： ；
第三个式子： ；
…
(1)求第四个式子为： ；
(2)求第n个式子为： （用n表示）；
(3)求 ＋…＋ 的值．
【答案】(1)(2) （n为正整数）
(3)
【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是：
（1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．
（2）利用（1）中的发现即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论即可解决问题．
【详解】（1）解：观察题中所给式子可知，
第四个式子为： ．
故答案为： ．
（2）由（1）中的发现可知，
第 个式子为： ．
故答案为： 为正整数）．
（3）原式
．
