文档内容
第 09 讲 一元一次不等式（5 个知识点+5 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不
同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未
知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点2．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移
项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他
都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号
与等号合写形式．知识点3．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到
下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数
形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低
于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
知识点5．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以
得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现
问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识复习
一．一元一次不等式的定义（共6小题）
1．（2023春•涪城区期末）下列不等式中，① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中一元一次不等式有 2 个．
【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且
未知数的最高次数是1”，进行解答即可．
【解答】解：①存在二次项，不符合题意；
②没有未知数，不符合题意；
③有两个未知数，所以都不是一元一次不等式，不符合题意；
④⑤是一元一次不等式．
所以一元一次不等式有④⑤共2个．故答案为：2．
【点评】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：①不等
式的两边都是整式；②只含1个未知数；③未知数的最高次数为1次．
2．（2023春•清原县期末）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是
A． B． C． D．
【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为 的即为所求．
【解答】解： 、 ，解得 ，不符合题意；
、 ，解得 ，不符合题意；
、 ，解得 ，符合题意；
、 ，解得 ，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作
方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并
同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可
能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
3．（2023春•万秀区校级期中）若不等式 是一元一次不等式，则 的值为
A． B．1 C． D．0
【分析】根据一元一次不等式的定义，可知所给不等式中 的指数是1，且系数不为零，
据此列出关于 的不等式 和方程 ，通过解不等式和方程确定 的值．【解答】解：由题意可知 且 ．
解 得， ；
解 得， ，
故 的值为1．
故选： ．
【点评】本题考查一元一次不等式，正确掌握一元一次不等式的定义是解题关键．
4．（2023春•江门期末）以下是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
【解答】解： ．不等式是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
．不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意；
．不等式是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
．不等式的左边是分式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关
键，满足下列三个条件的不等式是一元一次不等式：①只含有一个未知数，②所含未知数
的项的最高次数是1，③不等号的两边都是整式．
5．（2023春•荔城区校级月考）已知 是关于 的一元一次不等式，则
4 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义， ， ，分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意 ， 解得 ，
所以
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为 1次，本题还要注意未
知数的系数不能是0．
6．下列各式中，哪些是一元一次不等式？
（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ．
【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可．含有一个未知数，未知数的次数是 1的不
等式，叫做一元一次不等式．
【解答】解：一元一次不等式有：（2） ；（4） ；（8） ；
（9） ．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式定义，关键是灵活运用一元一次不等式的定义．
二．解一元一次不等式（共9小题）
7．（2023•三江县校级一模）把不等式 的解集在数轴上表示出来，则正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可．
【解答】解： ，
移项得 ，合并同类项得 ，
把未知数系数化为1得 ，
表示在数轴上如下：
故选： ．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
8．（2023春•仁寿县校级期中）不等式 的解为
A． B． C． D．
【分析】直接移项即可得出答案．
【解答】解： ，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都
有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
9．（2023春•仁寿县校级期中）若方程 的解是非负数，则 的取值范围是
．
【分析】先按照解一元一次方程的步骤求出 ，再根据解是非负数即可求出答案．
【解答】解： 移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
方程 的解是非负数，
，
，故答案为： ．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，正确求出 是解题
的关键．
10．（2023春•惠阳区校级期中）如果 的值是非负数，则 的取值范围是
．
【分析】先根据题意列出关于 的不等式．求出 的取值范围即可．
【解答】解： 的值是非负数，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
11．（2023春•曲靖期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出 的符号，再求出 的取值
范围即可．
【解答】解： 关于 的不等式 的解集为 ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于 的不等式是解题关键．
12．（2023春•荔城区校级月考）已知关于 的方程 的解是负数．
（1）求 的取值范围；（2）当 取最小整数时，解关于 的不等式：
【分析】（1）首先要解这个关于 的方程，然后根据解是负数，就可以得到一个关于 的
不等式，最后求出 的范围．
（2）根据题意得出 ，代入后解不等式即可求得 的解集．
【解答】解：（1）
解得 ，
根据题意得， ，
，
（2） 是最小整数
，
当 时，则
解得： ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程的能力，（1）是一个方程与不等
式的综合题目．解关于 的不等式是本题的一个难点．（2）需注意，在不等式两边都除以
一个负数时，应改变不等号的方向．
13．（2023春•彭山区校级期中）已知关于 、 的方程组 ，满足 ，
则下列结论：① ；② 时， ；③当 时，关于 、 的方程组
的解也是方程 的解；④若 ，则 ，其中正确的有 ①②③
．（填序号）
【分析】将 当成已知数，求得 ， ，对选项逐个判断即可．
【解答】解： ，
① ②可得： ，解得 ，① ②可得： ，解得 ，
由 可得： ，解得 ，①正确．
当 时， ， ，
，②正确，
当 时， ， 满足 ， 关于 、 的方程组 的解也是
方程 的解；③正确，
由 可得 ，解得 ，④错误．
正确的为①②③，
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了二元一次方程租的求解，一元一次不等式的求解，解题的关键是正确
求得二元一次方程组的解．
14．（2023春•偃师市校级期中）（1）解不等式： ；
（2）解方程： ．
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，将 的系数化为1，求出解集即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，求
解即可．
【解答】解： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．（2）解 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点评】此题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上运
算法则和步骤．
15．（2023春•阳泉期末）下面是小林同学解一元一次不等式 的过程，请
认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得 ． 第一步
去括号，得 ． 第二步
移项，得 ． 第三步
合并同类项，得 ． 第四步
系数化为1，得 ． 第五步
任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是 不等式的基本性质 ；
②第 步开始出现错误，这一步具体的错误是 ；
任务二：请你直接写出正确的结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习方法和经验，就解不等式的过程写出一
条注意事项．
【分析】任务一：①根据不等式的基本性质，进行作答；②从第三步开始出错；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤求解即可；
任务三：注意不等式左右两边乘同一个负数时，不等号方向要改变．
【解答】解：任务一：①第一步的依据是：不等式的基本性质；
故答案为：不等式的基本性质；
②第三步移项出错， 移项没有改变符号；
故答案为：三， 移项没有改变符号；
任务二：解：去分母，得 ，
去括号，得 ，移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
任务三：除纠正上述错误外，就解不等式的过程还应注意不等式左右两边乘同一个负数时
不等号方向要改变．
【点评】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
三．一元一次不等式的整数解（共8小题）
16．（2023春•南岳区校级期中）下列说法中，正确的是
A．不等式 的解集是
B． 是不等式 的一个解
C．不等式 的整数解有无数个
D．不等式 的正整数解有4个
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【解答】解： 、该不等式的解集为 ，故错误，不符合题意；
、 ，故错误，不符合题意；
、正确，符合题意；
、因为该不等式的解集为 ，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断
解的情况．
17．（2023春•丰泽区校级期中）关于 的不等式 的最小整数解是
．
【分析】先求出 的解集，即可作答．
【解答】解： ，
，
，
，，
即满足要求的最小整数解为： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式的整数解；解题的关键是熟练掌握解一元一次不等
式的方法．
18．（2023春•市中区期中）定义新运算：对于任意实数 ， 都有 ⊕ ，如：
2 ，那么不等式4 的正整数解的个数是
⊕ ⊕
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据新定义列出关于 的一元一次不等式，解不等式可得．
【解答】解：根据题意，原不等式转化为： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
正整数解有3个，为1，2，3．
故选： ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关
键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19．（2023春•南关区校级期中）不等式 的正整数解的和为 3 ．
【分析】不等式移项合并，把 系数化为1，进而求解即可．
【解答】解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得， ．正整数解有：1，2
．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．（2023春•市中区期中）解不等式 ，并写出它的所有正整数解．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，即可求得不等式的解集，然
后确定解集中的正整数解即可．
【解答】解：原式去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
则不等式的正整数解为：1，2，3，4，5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的正数解，要注意不等式两边乘
或除以同一个负数时，不等号的方向改变．
21 ． （ 2023 春 • 佳 木 斯 期 末 ） 我 们 定 义 一 种 新 运 算 ： ， 如
，则关于 的不等式 的最大整数解为 ．
【分析】根据题中新定义化简已知不等式，再解不等式，即可求出最大整数解．
【解答】解： ，
，
即 ，
解得 ，
关于 的不等式 的最大整数解为 ．
故答案为： ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于 的不等式是解此题的关键．
22．（2023春•洛江区期中）已知关于 的方程 的解是非负数．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取最大整数时，求关于 的不等式： 的最小整数解．
【分析】（1）首先要解这个关于 的方程，然后根据解是负数，就可以得到一个关于 的
不等式，最后求出 的范围．
（2）本题是关于 的不等式，应先只把 看成未知数，根据 的取值范围求得 的解集．
【解答】解：（1）方程 的解是： ．
由题意，得： ，
所以 ．
（2）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
因为 的最大整数是2，
所以 ，
所以 ．
所以关于 的不等式： 的最小整数解是1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程的能力，掌握运算法则是解题的
关键．
23．（2023春•琼海校级期末）计算：
（1） ；
（2）解不等式 ，并写出其非负整数解．
【分析】（1）根据含有乘方的有理数的运算法则，求一个数的立方根的运算，二次根运算法则即可求解；
（2）根据不等式的性质求解，并找出其非负整数解即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
非负整数解为：0，1，2．
【点评】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，二次根式的运算，三次根式的运
算，解一元一次不等式的综合，掌握以上知识是解题的关键．
四．由实际问题抽象出一元一次不等式（共8小题）
24．（2023春•息县期末）如图所示的交通标志为一条公路某路段上汽车的最高时速不得
超过 ，若某汽车的时速为 ，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．【分析】由该汽车没有超速，即可列出关于 的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列
出一元一次不等式是解题的关键．
25．（2023春•九台区校级期中）用不等式表示“ 的2倍与3的差大于0”
．
【分析】 的2倍可用 表示，与3的差表示作差，大于0可用 表示，由此可列出不
等式为 ．
【解答】解：根据题意得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列
出一元一次不等式是解题的关键．
26．（2023春•兴文县期中）小丽今年的身高 超过了 ，则用不等式表示小丽今年
的身高是
A． B． C． D．
【分析】根据超过 ，说明 大于1.6，即可得出答案．
【解答】解：用不等式表示小丽今年的身高是 ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解决本题的关键是理解超过
用数学符号表示应为“ ”．
27．（2023春•卢龙县期末）“ 的2倍与3的差不大于6”，用不等式表示是
．
【分析】直接利用 的2倍，即 ，再利用减3的差小于等于6得出答案．
【解答】解：由题意可得： ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解“不大于”的意义是解题关键．
28．（2023春•余干县月考）今年植树节，小青和小贤栽种了一棵树，此树的树围（树干
的周长）为 ．已知此树树围平均每年增长 ，若生长 年后此树树围超过 ，
则可列关于 的不等式为 ．
【分析】根据生长 年后此树树围超过 ，即可得出关于 的一元一次不等式，此题
得解．
【解答】解：依题意得 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确
列出一元一次不等式是解题的关键．
29．（2023•浑江区一模）如图1，一个容量为 的杯子中装有 的水，将四颗
相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为 ，根据
题意可列不等式为
A． B． C． D．
【分析】水的体积 个玻璃球的体积 ．
【解答】解：水的体积为 ，四颗相同的玻璃球的体积为 ，
根据题意得到： ．
故选： ．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．
30．（2023春•铁西区期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，每小时走 ，出发1小
时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎
样的速度，才能在20分钟内追上小明？
【分析】先设小明爸爸的速度为 ，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的
路程，由此不等关系列出不等式求解．
【解答】解：设小明爸爸的速度为 ，依题意有：
，
解得 ．
故小明的爸爸至少以 的速度，才能在20分钟内追上小明．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键在于弄清题意，找出不等关系
小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程．
31．（2023春•信都区期末）已知“ 的 与 的2倍的差大于 与10的和”．
（1）试用不等式表示上述不等关系；
（2）解（1）中的不等式，并在数轴表示此不等式的解集．
【分析】（1）根据不等关系列式即可；
（2）先移项合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：（1） 的 与 的 2 倍的差大于 与 10 的和用不等式表示为：
．
（2） ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示：【点评】本题主要考查了列不等式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元
一次不等式的一般步骤，准确计算．
五．一元一次不等式的应用（共8小题）
32．（2023春•田东县期末）如图，天平右盘中的每个砝码的质量为 ，则物体 的质
量 的取值范围在数轴上可表示为
A． B．
C． D．
【分析】本题主要通过看图得出具体的信息，从而得出物体 的质量 的取值范围．
【解答】解： 由左图可知 ，由右图可知 ，
的取值范围是： ．故选 ．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用及不等式组的解集在数轴上的表示方法，
解题的关键是利用杠杆知识解决问题．
33．（2023春•东营区校级期中）某大学举办“学习强国”知识竞赛，规定答对一题得 20
分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100分即可进入下一轮，冉冉进入了
下一轮，则冉冉答错题数最多为 2 道 ．
【分析】设冉冉答错了 道题，则答对了 道题，利用得分 答对题目数 答
错题目数，结合得分不低于100分，可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大
值，即可得出结论．
【解答】解：设冉冉答错了 道题，则答对了 道题，根据题意得： ，
解得： ，
的最大值为2，
冉冉答错题数最多为2道．
故答案为：2道．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式是解题的关键．
34．（2023春•滕州市校级期中）某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本或以上可
享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，
若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少购买笔记本是
A．7本 B．8本 C．9本 D．10本
【分析】设购买 本笔记本，根据两种优惠方案结合第1种比第2种更优惠，即可得出关
于 的一元一次不等式，解之取其内的最小正整数即可．
【解答】解：设购买 本笔记本，
根据题意得： ，
解得 ，
为正整数，
最少购买10本笔记本．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不
等式是解题的关键．
35．（2023春•海安市校级期中）商店为了对某种商品促销，将定价为5元的商品，以下
列方式优惠销售：若购买不超过五件，按原价付款；若一次性购买五件以上超过部分打八
折，现有48元，最多可以购买该商品的件数为 1 3 件．
【分析】由购买该商品的总费用不能超过48元，列出不等式，即可求解．
【解答】解： ，
最多购买该商品的件数大于5，
设购买 件，由题意可得： ，
解得： ，
为正整数，
最多可以购买该商品的件数为10件，
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系列出不等式是解题的关
键．
36．（2023春•霍州市期中）为了有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度
重视学生体育锻炼，并不定期举行体育比赛已知在一次足球比赛中计分规则是：胜一场积
3分，平一场积1分，负1场积0分，若甲队比赛了5场，其中负1场，积分超过7分，则
甲队至少胜了 2 场．
【分析】设该队获胜 场，则平 场，利用总得分 获胜场次数 平的场次数，
即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该队获胜 场，则平 场，
依题意得： ，
解得： ，
最小取2，
甲队至少胜了2场．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是
解题的关键．
37．（2023春•抚顺期末）某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价 300元，领带每
条的定价为50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案：
方案一：购买一套服装赠送一条领带；
方案二：服装和领带均按定价的九折出售．
某商店老板现要到服装厂采购服装30套，领带 条，请根据 的不同情况，帮助商店老板选择最省钱的方案．
【分析】由于题目结论中没有明确规定客户只能按厂方提供的两种方案中的某一种一次性
购买，故在选择时可以不局限于上述两种方案，还可以采用分批购买的方案，即存在着
“第三种”隐含方案，用方案（3）表示：先按方案（1）购买20套西装，再按方案（2）
购买多于 30 条的那部分领带，设需付款 元，则 即
显 然 当 时 ， ． 令 ， 则 ，
． 令 ， 则 ， ． 令 ， 则
， ．因为已知条件中 ，故应选择方案（3），即先按
方案（1）购买20套西装，再按方案（2）购买多于30条的那部分领带的这种方案省．
【解答】解：按优惠方案（1）购买，应付款： （元 ，
按优惠方案（2）购买，应付款： （元 ，
设 （元 ，
当 时，即 且为整数） 时．选方案（1）比方案（2）更省钱，
当 时，即 时．选两个方案一样省钱，
当 时，即 且为整数） 时．选方案（2）比方案（1）更省钱，
如果同时选择方案（1）和方案（2），那么为了获得厂方赠送领带的数量最多．同时享有
9折优惠，
可考虑设计别的方案（3），就是：
先按（1）方案购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的 条领带按优惠方案
（2）购买，
应付款： （元 ．方案（3）与方案（2）比较，显
然方案（3）更省钱，方案（3）与方案（1）比较，当 时．解得 ，即当 时．方
案（3）比方案（1）更省钱．
综上所述，当 时，按方案（3）最省钱．
【点评】本题的关键是要避免直接比较两种方案就得出哪种方案更省钱，而忽略了隐藏的
第三种方案．
38．（2023春•安次区期末）甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出
不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过80元后，超出80元部分按 收费；在乙商场
累计购物超过60元后，超出60元部分按 收费，顾客到哪家商场购物花费少？
【分析】设累计购物 ，分 、 和 三种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）当累计购物不超过60元时，
在甲、乙两商场购物都不享受优惠且两商场以同样价格出售同样的商品，
因此到两商场购物花费一样．
（2）当累计购物超过60元而不超过80元时，
享受乙商场的购物优惠不享受甲商场的购物优惠，
因此到乙商场购物花费少．
（3）当累计购物超过80元时，设累计购物 元．
①若到甲商场购物花费少，则 ．
解得 ．
累计购物超过140元时，到甲商场购物花费少．
②若到乙商场购物花费少，则 ．
解得 ．
累计购物超过80元而不到140元时，到乙商场购物花费少．
③若 ．
解得 ．
累计购物为140元时，到甲、乙两商场购物花费一样．
综上所述：
当累计购物不超过60元或购物为140元时，到甲、乙两商场购物花费一样；当累计购物超过60元而不到140元时，到乙商场购物花费少；
累计购物超过140元时，到甲商场购物花费少．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，列出不等式，再根据实际
情况分段进行讨论．
39．（2023春•梁园区期末）为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买
10台污水处理设备，现有 ， 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
型 型
价格（万元 台）
处理污水量（吨 月） 220 180
经调查：购买一台 型设备比购买一台 型设备多3万元，购买2台 型设备比购买3台
型设备少3万元．
（1）求 ， 的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过 100万元，你认为该公司有哪几
种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你
为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【分析】（1）购买 型的价格是 万元，购买 型的设备 万元，根据购买一台 型号设
备比购买一台 型号设备多3万元，购买2台 型设备比购买3台 型号设备少3万元，
可列方程组求解．
（2）设购买 型号设备 台，则 型为 台，根据使治污公司购买污水处理设备的
资金不超过100万元，进而得出不等式；
（3）利用每月要求处理污水量不低于1880吨，可列不等式求解．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
解得： ；
（2）设购买污水处理设备 型设备 台， 型设备 台，根据题意得，，
，
取非负整数，
，1，2，3
，9，8，7
有四种购买方案：
① 型设备0台， 型设备10台；
② 型设备1台， 型设备9台；
③ 型设备2台， 型设备8台．
④ 型设备3台， 型设备7台；
（3）由题意： ，
，
又 ，
为2，3．
当 时，购买资金为 （万元），
当 时，购买资金为 （万元），
为了节约资金，应选购 型设备2台， 型设备8台．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据购买一台 型号设备比购买一台 型号
设备多3万元，购买2台 型设备比购买3台 型号设备少3万元和根据使治污公司购买
污水处理设备的资金不超过100万元，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1880吨，等
量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式求解．
强化训练
一、单选题
1．（23-24·全国·课后作业）下列各项中，蕴含不等关系的是（ ）
A．老师的年龄是你的年龄的2倍
B．小军和小红一样高
C．小明比爸爸小26岁D． 是负数
【答案】D
【分析】此题比较简单，考查的是不等式的定义，即用不等号表示不相等关系的式子叫做
不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号： 、 、 、 、 ．
根据不等式的定义对四个选项进行逐一解答即可．
【详解】解：A、错误，根据题意可列出等量关系；
B、错误，是等量关系；
C、错误，小明的岁数加上26与他爸爸的岁数相同，是等量关系；
D、正确，由 是负数可知 ，含不等关系．
故选：D．
2．（23-24·全国·课后作业）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．x是负数，可以表示为
B．x－2是正数，可以表示为
C． 大于1，可以表示为
D．x不等于 ，可以表示为
【答案】B
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，不等式表示不等关系时，要
抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至
少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内
涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
直接根据题意分别得出不等式，进而判断得出答案．
【详解】A.x是负数，可以表示为 ，不符合题意；
B. 是正数，可以表示为 ，符合题意；
C. 大于1，可以表示为 或 ，不符合题意；
D.x不等于 ，可以表示为 ，不符合题意．
故选B．
3．（23-24·贵州毕节·阶段练习）不等式 的最大整数解为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，按照去分母，移项，合并同类
项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∴不等式 的最大整数解为 ，
故选：B．
4．（21-22七年级下·广东汕头·期末）已知 是不等式 的一个解，则整
数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵ 是不等式 的一个解，
∴ ，
解得 ，
∴整数k的最小值是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一
元一次不等式的步骤是解题的关键．
5．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知关于 的方程为 的解为正数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题主要考查解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握相关知识是
解题关键．首先解该方程可得 ，结合方程的解为正数，可得关于 的不等式，求
解即可．
【详解】解：解方程 ，可得 ，
∵关于 的方程为 的解为正数，
∴ ，解得 ．
故选：B．
6．（23-24七年级下·北京·期中）若关于 的不等式 的解集如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据不等式的解集求参数，用数轴表示不等式的解集，先解不等式，根
据数轴确定解集，进一步求出参数的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由数轴可知： ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
7．（23-24七年级下·全国·假期作业）若 是关于 的一元一次不等式，则
该不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
8．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上表示不等式 的解集，正确的
是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的解集即可求解，掌握不等
式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．
【详解】解：在数轴上表示不等式 的解集为： ，
故选： ．
9．(七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在数轴上，已知点 ， 分别表示数1，
，那么数轴上表示数 的点应落在( )
A．点 的左边 B．线段 上 C．点 的右边 D．数轴的任意位置
【答案】B
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可
得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x+3＞1，
解得x＜1；
-x＞-1．
-x+2＞-1+2，
解得-x+2＞1．
所以数轴上表示数-x+2的点在A点的右边；
作差，得：-2x+3-（-x+2）=-x+1，
由x＜1，得：-x＞-1，
-x+1＞0，
-2x+3-（-x+2）＞0，
∴-2x+3＞-x+2，
所以数轴上表示数-x+2的点在B点的左边,点A的右边．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比
左边的大得出不等式．
10．（23-24七年级下·福建福州·期中）为加强拔尖创新人才的培养，某校面向对口小学招
募对数学有兴趣的拔尖学生开展贯通式培养，入选同学要在该校组织的数学测试中得分不低于80分，测试共有25道题，每道题选对得4分，不选或选错扣2分，则入选同学至少
要选对（ ）
A．23道 B．22道 C．21道 D．20道
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设选对 道题，则不选或错选 道题，
根据题意即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论，根据各数量
之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设选对 道题，则不选或错选 道题，依题意得：
，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴至少应选对 道题，
故选：B．
二、填空题
11．（20-21七年级下·浙江·期中）能够使不等式 成立的x的取值范围
．
【答案】x＜-1
【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两
个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围．
【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0，
于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0；
当x＜0时，|x|-x=-2x＞0，
x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1，
所以x的取值范围是x＜-1．
故答案为：x＜-1．
【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度．
12．（23-24七年级下·全国·课后作业）当 时，不等式是关于x的一元一次不等式．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是
整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据未知数的次
数等于1且系数不鞥与0列式求解即可．
【详解】解：∵不等式 是关于x的一元一次不等式
∴ 且 ，
∴ ．
故答案为： ．
13．（20-21七年级下·河北邢台·期末）对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常
数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3
（1）a+b＝ ．
（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ．
【答案】
【分析】（1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解集，即可求解；
（2）根据已知新运算得出不等式，再求出答案即可．
【详解】解：（1）∵2△3=4，5△（-3）=3，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ， ，2△(-m)≥0，
∴2△(-m) ，解得： ，
则m的最大值是 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式等知识点，能根据新运算得出代
数式是解此题的关键．
14．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）不等式 的正整数解的和是
．
【答案】6
【分析】本题考查了求不等式的正整数解，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移
项、合并同类项、系数化为1可得解集，再确定其正整数解，即可求得正整数解之和．正
确求解不等式是关键．
【详解】解：∵ ，
，
，
，
∴ ，
∴正整数解是1，2，3．
则不等式 的正整数解的和为
故答案为：6．
15．（23-24七年级下·福建福州·期中）若不等式 的解集为 ，则
的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质 求解即可，解题的关键
是掌握不等式的基本性质．
【详解】解：关于 的不等式 的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（20-21·山东菏泽·阶段练习）不等式2x﹣a＜1的解集如图所示，则a的值是 ．【答案】1
【分析】先解不等式2x﹣a＜1可得x＜ ，再根据数轴可得x＜1，进而得到 ＝1，
最后解方程即可．
【详解】解：∵2x﹣a＜1，
∴x＜ ，
∵x＜1，
∴ ＝1，
解得：a＝1，
故填1．
【点睛】本题主要考查了解不等式和在数轴上表示不等式的解集，正确解出不等式的解集
成为解答本题的关键．
17．（2024·全国·专题练习）有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩
的收入是0.5万元，辣椒每亩的收入是0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能
安排 名菜农种茄子．
【答案】4
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出一元一次不等式是解题
的关键．设安排x人种茄子，则安排 人种辣椒，利用总收入=每亩地的收入×种植亩
数，总收不低于15.6万元，得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：设安排x名菜农种茄子，则 名菜农种辣椒，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴最多安排4名菜农种茄子，
故答案为：4
18．（22-23·江西景德镇·期中）在通过桥洞时，往往会看到如图所示的标志：这是限制车高的标志，表示车辆高度不能超过 ，通过桥洞的车高 应满足的不等式为
．
【答案】 /
【分析】根据不等式的定义列不等式即可．
【详解】解：∵车辆高度不能超过 ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查列不等式，掌握不等式的定义是解答本题的关键．
三、解答题
19．（21-22七年级下·河南信阳·期末）已知 、 满足 和 ，求
的最小值．
【答案】3
【分析】解方程组得出 ，再根据 知 ，解之即可．
【详解】解方程组 ，得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ 的最小值为3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题
的关键．
20．（23-24七年级下·全国·课后作业）若满足 的每一个解都能使不等式 成立．
(1)在数轴上表示m满足的不等式的解集；
(2)化简： ．【答案】(1) ，在数轴上的表示见解析
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式及绝对值化简，熟知解一元一次不等式的基本步骤
是解答此题的关键．
（1）根据满足 的每一个数不等式成立可得出关于m的不等式，求出m的解集然后再
数轴表示即可．
（2）根据 确定 ， 的符号，再根据绝对值的性质求解即可．
【详解】（1） 因为满足 的每一个解都能使不等式 成立，
m≤－3，
在数轴上的表示如图所示；
（2） ，
， ，
．
21．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）解方程组：
（1） ；
（2）
解下列不等式：
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式：
（1）先整理原方程，然后利用代入消元法解方程组即可得到答案；
（2）利用加减消元法解方程组即可得到答案；（3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案．
【详解】解：（1）
整理得 ，
把①代入②得： ，解得 ，
把 代入①得： ，
∴方程组的解为 0；
（2） ，
得： ，解得 ，
把 代入①得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ；
（3）
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
22．（22-23七年级下·四川巴中·期末）定义：对任意一个两位数 ，如果 满足个位数字
比十位数字大 ，那么称这个两位数为“慧泉数” 将一个“慧泉数”的个位数字与十位数
字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与 的商记为 ．例如：，对调个位数字与十位数字后得到新的两位数为 ，新两位数与原两位数的和为
，其和与 的商为： ，所以 ．
根据以上定义，回答下列问题：
(1) ______；
(2)若 ，求 ；
(3)如果一个“慧泉数” 的十位数字是 ，另一个“慧泉数” 的个位数字是 ，且满足
，求 、 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据定义列得方程
及不等式求解是解题的关键．
（1）根据定义列式计算即可；
（2）设 的个位数字为 ，则其十位数字为 ，根据定义列得方程，解方程求得 值
后代入 中计算，从而得出答案；
（3）结合已知条件，根据定义求得 ， 后列得不等式，再结合 且 为整
数确定 的值，分别代入 ， 中计算后即可求得答案．
【详解】（1）解：由题意可得 ，
故答案为： ；
（2）解：设 的个位数字为 ，则其十位数字为 ，
，，解得： ，则 ，
；
（3）解： 一个“慧泉数” 的十位数字是 ，另一个“慧泉数” 的个位数字是 ，
数 的个位数字是 ，数 的十位数字是 ，
， ，
，
，解得： ，
且 为整数，
且 为整数，
，则 ， ，即 ， ．
23．（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程： ．
解：分情况讨论：①当 时，原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解为 或 ．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用： ；
(2)拓展应用：不等式 的解集为______．
【答案】(1)① ；② 或
(2) 或
【分析】（1）分为两种情况：①当 时，②当 时，去掉绝对值符号后求出
即可；
（2）分为两种情况：①当 时，②当 时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：①当 时，
原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，
原方程可化为： ，
解得： ，
所以原方程的解为 或 ；
（2）解：分情况讨论：
①当 时，
解得： ；
②当 时，
解得： ，
所以不等式解集为 或 ．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去
掉绝对值符号，用了分类讨论思想．
24．（22-23七年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，有点 ， ，点
在第一象限，若a，b满足 ．
(1)求点A，B的坐标；
(2)若点P在直线 上方，且 ，求m的取值范围；
(3)点C在直线 上，且 ，求点C的坐标．
【答案】(1) ，
(2)(3) 或
【分析】（1）由已知可以得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可以得到A、B的坐
标；
（2）连接 ，即可用m表示出三角形 和三角形 的面积，根据
可以用m表示出三角形 的面积，再由已知条件得到关于m
的不等式即可；
（3）分点C在线段 上和点C在射线 上两种情况讨论．
【详解】（1）∵ ，
∴
解得， ，
∴ ， ，
（2）如图1，连接 ，则 ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ；（3）连接 ，设
如图2，当点C在线段 上时，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得， ；
又 ，
∴ ，解得， ；
∴
如图3，当点C在射线 上时，
同理可求得，综上所述， 或
【点睛】本题考查由直线围成的图形面积的应用，熟练掌握非负数的应用、二元一次方程
组的求解、由直线围成的图形面积的求解及不等式的求解是解题关键．
25．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期末）学校策划了“多读书、读好书、善读书”的主题活
动．根据同学们的需求，张老师要为学校图书馆补充一种科普书．某书店的优惠方案如下：
已知该科普书定价30元
(1)当购买数量不超过5本时，张老师应选择哪种优惠方案？说明理由．
(2)当购买数量超过5本时，张老师如何选择优惠方案？
【答案】(1)方案二，理由见解析
(2)当5＜x＜15时，按方案二购买更优惠；当x＝15时，方案一和方案二花费一样多；当x
＞15时，按方案一更优惠
【分析】（1）当购买数量不超过5本时，肯定是有折扣的优惠；
（2）设购买数量为x本，把两种方案的费用都用x表示出来，然后比较费用的多少即可得
解．
【详解】（1）张老师应选择方案二，理由：当购买数量不超过5本时，方案一不优惠，方案二按八折优惠，
∴张老师应选择方案二；
（2）设购买数量为x本，
则方案一费用为：30×5＋（x－5）×30×0.7＝21x＋45；
方案二费用为：30×0.8x＝24x，
当21x＋45＞24x时，解得：x＜15；
当21x＋45＝24x时，解得：x＝15：
当21x＋45＜24x时，
解得：x＞15．
∴当5＜x＜15时，按方案二购买更优惠；
当x＝15时，方案一和方案二花费一样多；
当x＞15时，按方案一更优惠．
【点睛】本题考查整式的应用，熟练掌握用字母表示数的方法、一元一次方程和一元一次
不等式的解法是解题关键．
26．（22-23七年级下·福建泉州·期中）用列方程（组）或不等式解决下列问题：
受“新冠病毒”的影响，医院的呼吸机严重紧缺．为了战胜“疫情”，某公司抓紧制造 、
两种机械设备生产呼吸机，每台 种设备的成本比每台 种设备的成本多2万元，公司
若投入50万元可生产 、 两种设备各5台．请解答下列问题：
(1) 、 两种设备每台的成本分别是多少万元？
(2)若 、 两种设备每台的售价分别是6万元、9万元，公司决定生产两种设备共50台，
计划销售后获利不低于103万元
①求最多可生产 种设备多少台；
②由于受到资金等因素影响，公司生产 种设备的产量不低于34台．销售前，公司决定从
这批设备中拿出一部分，赠送给非洲某贫困国家，剩余设备全部售出，公司仍获利30万元，
赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台 种设
备，航空运输每次运2台 种设备（运输过程中产生的费用由该国承担）．请求出水路运
输的次数．
【答案】(1) 设备每台成本 万元，B设备每台成本 万元
(2)①最多可生产 设备 台 ②水路运输 次
【分析】（1）设 设备成本为 万元,根据“每台 种设备的成本比每台 种设备的成本多2万元，公司若投入50万元可生产 、 两种设备各5台”列出方程解题即可；
（2）①设生产 设备 台,根据“生产两种设备共50台，计划销售后获利不低于103万
元”列不等式解题即可；
②分情况，列出方程解题即可．
【详解】（1）设 设备成本为 万元, 则 设备成本为 万元．
依据题意可得: ，
解得 ，
∴ 设备每台成本为 万元， 设备每台成本为 万元．
（2）①设生产 设备 台, 则生产 设备 台．
依据题意可得: ,
化简得: ,
∴最多可生产 设备 台．
②假设水路运输 次，航空运输 次．则表示公司捐赠 台 设备， 台 设备．
设生产 设备 台 , 则生产 设备 台．
利润为: ,
化简得 , 不符合 的取值范围, 舍去．
假设水路运输 次，航空运输 次．则表示公司捐赠 台 设备， 台 设备．
设生产 设备 台 , 则生产 设备 台．
利润为: ,
化简得 , 不符合 的取值范围, 舍去．
假设水路运输 次，航空运输 次．则表示公司捐赠 台 设备， 台 设备．
设生产 设备 台 , 则生产 设备 台．
利润为: ,
化简得 , 不符合 的取值范围, 舍去．假设水路运输 次，航空运输 次．则表示公司捐赠 台 设备， 台 设备．
设生产 设备 台 , 则生产 设备 台．
利润为: ,
化简得 , 符合 的取值范围,
假设水路运输 次，航空运输 次．则表示公司捐赠 台 设备， 台 设备．
设生产 设备 台 , 则生产 设备 台．
利润为: ,
化简得 , 不符合 范围, 舍去．
综合分析可得，仅有水路运输 次，航空运输 次时，可满足题意要求．
【点睛】本题主要考查列方程及不等式的求解．在进行问题 的求解时，要注意：不等号
是否改变方向：学会分析问题中可能存在的各种情况(水路和航空的运输次数)，注意 设
备的取值范围才可以正确解题．
