文档内容
专题 8.3 实数及其简单运算【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 实数的概念理解】......................................................................................................................................1
【题型2 实数的运算】..............................................................................................................................................2
【题型3 估算无理数的大小】..................................................................................................................................2
【题型4 估算无理数的整数部分或小数部分】.....................................................................................................3
【题型5 实数与数轴】..............................................................................................................................................4
【题型6 实数的大小比较】......................................................................................................................................5
【题型7 程序设计中的实数运算】..........................................................................................................................5
【题型8 新定义中的实数运算】..............................................................................................................................6
【题型9 实数运算的实际应用】..............................................................................................................................7
【题型10 实数运算中的规律探究】..........................................................................................................................8
知识点1：实数
无限不循环小数叫做无理数.
常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
②含有π的绝大部分数，如2π．
【题型1 实数的概念理解】
【例1】（23-24七年级·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（ ）
π
A．0.101001 B．−2 C． D．❑√9
2
11
【变式1-1】（23-24七年级·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①− ，②√32，
12
1
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学科网（北京）股份有限公司π
③1−❑√4，④0，⑤−❑√0.4，⑥√3−125，⑦− ，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个
4
0），⑨0.23，⑩3.14
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【变式1-2】（23-24七年级·湖南衡阳·期中）−❑√13的绝对值是 ，5−❑√26的相反数是 ．
【变式1-3】（23-24七年级·山东日照·期中）已知a，b都是有理数，且 ，求
(❑√3−1)a+2b=❑√3+3 a+b
的值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 实数的运算】
1 1
【例2】（23-24七年级·四川泸州·期中）计算：−12−(−2) 3× −√327×|− |+2÷❑√4．
8 3
【变式2-1】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算：
(1) ；
❑√9+(−1) 2−√327+❑√36
(2) ．
|1−❑√2)−❑√2
【变式2-2】（23-24七年级·云南昭通·期中）计算：−12024+√3125−4×❑
√1
+|1−❑√3)−(❑√2) 2 ．
4
【变式2-3】（23-24七年级·甘肃平凉·期中）计算：
(1) ；
√364−❑√36+❑√(−2) 2
√ 1 √25
(2)3− −(−1) 2023−❑ +√38．
27 9
知识点2：估算法
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大
小．例如： ，则 ； ，则 ．
常见实数的估算值： ， ， ．
【题型3 估算无理数的大小】
【例3】（23-24七年级·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形
2
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学科网（北京）股份有限公司的边长最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·期中）估算❑√9+❑√11的运算结果应在哪两个整数之间( )
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
【变式3-2】（23-24七年级·四川成都·期末）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游
戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡上写的是❑√6−1，小颖抽到的卡上写的是2，那么赢家是
．
【变式3-3】（23-24七年级·江苏盐城·期中）下面是小明探索❑√2的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是❑√2，易知❑√2>1．因此可设❑√2=1+x，画出如下示意图．
由图中面积计算，
S =x2+2×1⋅x+1
正方形
另一方面由题意知S =2
正方形
所以x2+2×1⋅x+1=2
略去x2，得方程2x+1=2．
解得x=0.5．即❑√2≈1.5．
(1)仿照上述方法，探究❑√5的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若a<❑√m表示实数x的小数部分，如
【❑√1】=1，【❑√2】=1，<❑√2>=❑√2−1，则<3−❑√3>+【❑√7】的值是（ ）
A．4−❑√3 B．1−❑√13 C．6−❑√3 D．❑√13−1
【变式4-3】（23-24七年级·河南新乡·期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算
大家知道❑√3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√3的小数部分我们不可能全部写出来，于是我
用❑√3−1来表示❑√3的小数部分，你同意我的表示方法吗？
事实上，我的表示方法是有道理的，因为❑√3的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数
部分．
例如：
∵❑√4<❑√7<❑√9，即2<❑√7<3，
∴❑√7的整数部分为2，小数部分为❑√7−2．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
(1)任务一：❑√19的小数部分为______．
(2)任务二：a为❑√5的小数部分，b为❑√15的整数部分，请计算a+b−❑√5的值．
(3)任务三：x+ y=10+❑√3，其中x是整数，且04，所以❑√21−3 3，所以 （填“>”或“<”）
4 4
❑√21−3 3 ❑√21−6 ❑√21−3 3
小英的方法： − = ，因为21<62=36，所以❑√21−6 0，所以 （填“>”或
4 4 4 4 4
“<”）
(1)将上述材料补充完成；
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学科网（北京）股份有限公司❑√17−1 1
(2)请从小明和小英的方法中选择一种比较 与 的大小．
2 2
【题型7 程序设计中的实数运算】
【例7】（23-24七年级·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，
求y的值，并写出详细过程．
【变式7-1】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为−❑√2，
则输出y的值为（ ）
A．−❑√2−5 B．1 C．−1 D．3
【变式7-2】（23-24七年级·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入x为36时，输出的值是
．
【变式7-3】（23-24七年级·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器 ，其工作原理如图所示．
(|x)<10)
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学科网（北京）股份有限公司(1)当输入的x值为−2时，求输出的y值；
(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y值是❑√3，直接写出x的负整数值．
【题型8 新定义中的实数运算】
【例8】（23-24七年级·山东济宁·期中）任何实数a，可用[a)表示不超过a的最大整数，如[4)=4，
，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所
[❑√3)=1
有正整数中，最大的是 ．
【变式8-1】（23-24七年级·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有
a@b=❑√b+1，如8@9=❑√9+1，则m@(m@9)的结果是 ．
【变式8-2】（23-24七年级·福建福州·期中）若实数a，b满足a+b=6，我们就说a与b是关于6的“如意
数”，则与3−❑√2是关于6的“如意数”是（ ）
A．3+❑√2 B．3−❑√2 C．9−❑√2 D．9+❑√2
【变式8-3】（23-24七年级·山西吕梁·期中）用“ ”表示一种新运算：对于任意正实数 • ，例
• a b =❑√a2+b
如10•21=❑√102+21=11，那么❑√13•（❑√7•2）的运算结果为（ ）
A．13 B．7 C．4 D．5
【题型9 实数运算的实际应用】
【例9】（23-24七年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：
一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差
小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
【变式9-1】（23-24七年级·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发
生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16
❑√df，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在
一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【变式9-2】（23-24·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和
小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订
单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包
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学科网（北京）股份有限公司对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的
优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以
给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老
师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费
用（包含配送费）最低可为 元．
【变式9-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．
（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼
的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【题型10 实数运算中的规律探究】
【例10】（23-24·湖北黄冈·模拟预测）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)=3a+1：若a为偶
a 10
数，则f(a)= ，例如f(15)=3×15+1=46，f(10)= =5，若a =8，a =f(a )，a =f(a )，
2 2 1 2 1 3 2
a =f(a )，…，依此规律进行下去，得到一列数a ，a ，a ，a ，…，a ，…，(n为正整数），
4 3 1 2 3 4 n
a +a +a +…+a = ．
1 2 3 2022
❑√7 ❑√11 ❑√15
【变式10-1】（23-24七年级·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数❑√3， ， ， ，其第8
2 3 4
个数为（ ）
3❑√3 ❑√29 ❑√31 ❑√35
A． B． C． D．
8 8 8 8
【变式10-2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）已知整数a ，a ，a ，a ，……满足下列条件：a =0，
1 2 3 4 1
， ， ，……依此类推，则 的值为（ ）
a =−|a +1) a =−|a +2) a =−|a +3) a
2 1 3 2 4 3 2024
A．−1013 B．−2023 C．−2024 D．−1012
【变式10-3】（23-24七年级·河北承德·开学考试）将1、❑√2、❑√3、❑√6按如图所示方式排列，若规定
(m,n)表示第m排从左往右第n个数．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当m=4，n=3时，(m,n)为 ；
（2）则(7,6)表示的数是 ．
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