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专题 8.2 立方根【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 立方根概念理解】......................................................................................................................................1
【题型2 求一个数的立方根】................................................................................................................................3
【题型3 求代数式的立方根】..................................................................................................................................5
【题型4 由立方根的概念解方程】..........................................................................................................................6
【题型5 由立方根求式子的值】..............................................................................................................................8
【题型6 立方根与数轴的综合】..............................................................................................................................9
【题型7 估算立方根的取值范围】........................................................................................................................11
【题型8 立方根、平方根综合运算求值】...........................................................................................................13
【题型9 立方根的实际应用】................................................................................................................................16
【题型10 立方根的规律探究】................................................................................................................................18
知识点：立方根
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫
做a的立方根，记作 。即 。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 立方根概念理解】
【例1】（23-24七年级·安徽阜阳·期中）（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是
．
（2）当2x+5=√32x+5时，2x−5的值是 ．
【答案】 −1,1 −11,−10,−9
【分析】本题考查立方根定义与性质，涉及解一元一次方程及代数式求值等知识，熟练掌握立方根定义与
性质是解决问题的关键．
（1）根据题意，结合立方根的性质求解即可得到答案；
5
（2）由（1）中所得结论，列方程求解得到x=−3，x=− ，x=−2，代入代数式求解即可得到答案．
2
1
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）设这个非零实数为m，
∵一个非零实数的立方根等于这个数本身，
∴m3=m，则m=−1或m=1，
故答案为：−1,1；
（2）由（1）中结论可知，当2x+5=√32x+5时，2x+5=−1或2x+5=0或2x+5=1，解得x=−3，
5
x=− ，x=−2，
2
∴2x−5=−11或−10或−9，
故答案为：−11,−10,−9．
【变式1-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）若√3 x−2有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】全体实数
【分析】根据使立方根有意义的条件解答即可．
【详解】解：立方根的被开方数可以取一切实数，所以x可以取一切实数．
故答案为：一切实数．
【点睛】本题考查使立方根有意义的条件，理解掌握该知识点是解题关键．
【变式1-2】（23-24七年级·全国·单元测试）有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方
根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反
数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．
其中正确的是 （填序号）．
【答案】③④⑥
【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的意义求解即可．
【详解】解：①负数有立方根，原说法错误；
②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，原说法错误；
③任何一个数有且只有一个立方根，说法正确；
④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，说法正确；
⑤一个数有立方根，不一定有算术平方根，原说法错误；
⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的，这个数是0，说法正确；
综上，正确的是③④⑥．
故答案为：③④⑥．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确解答的前提．
【变式1-3】（23-24七年级·福建泉州·期末）已知√31−2x与√33x−7互为相反数，则x= ．
2
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学科网（北京）股份有限公司【答案】6
【分析】直接利用相反数的定义得出x的值，进而代入计算得出答案．
【详解】解：由题意可知：1−2x+3x−7=0，
解得：x=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了立方根的性质，正确得出x的值是解题关键．
【题型2 求一个数的立方根】
【例2】（23-24七年级·上海虹口·期中）如果ay=−64 ，那么a= ．
【答案】−4
【分析】本题考查了立方根，把原式变为ay=−64=−43，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ay=−64，
∴y为奇数，
∴ay=−64=−43，
∴a=−4，
故答案为：−4．
【变式2-1】（23-24七年级·吉林延边·期中）|−8)的立方根是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了绝对值，立方根．熟练掌握立方根是解题的关键．根据|−8)的立方根为√3|−8)，计算
求解即可．
【详解】解：由题意知，|−8)的立方根为√3|−8)=√38=2，
故答案为：2．
【变式2-2】（23-24七年级·陕西榆林·期末）计算：√3−27+2= ．
【答案】−1
【分析】先求出立方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：√3−27+2=−3+2=−1，
故答案为：−1．
【变式2-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1
，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果的算术平方根的
立方根是（ ）
3
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学科网（北京）股份有限公司A．❑√2 B．4 C．2 D．√32
【答案】D
【分析】根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化规律，进
而求得第2020次输出的结果，再计算算术平方根的立方根即可．
【详解】解：由题意可得，
当x=1时，
第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，
第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，第六次输出的结果是1，
第七次输出的结果是4，第八次输出的结果是2，
……，
∵2020÷3=673…1，
则第2020次输出的结果是4，
4的算术平方根是2，2的立方根是√32，
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化类，程序图，算术平方根和立方根，解答本题的关键是明确题意，发现题目
中数字的变化特点，求出相应的数字．
【题型3 求代数式的立方根】
【例3】（23-24七年级·河南商丘·期中）2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，则√32a+2b+1
的值为（ ）
A．−3 B．3 C．±3 D．不确定
【答案】B
【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，
∴2a−1=(±3) 2=9，3a−b+1=23，
解得：a=5，b=8，
∴√32a+2b+1=√32×5+2×8+1=√327=3，
4
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学科网（北京）股份有限公司故选B；
【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解．
【变式3-1】（23-24七年级·安徽淮北·阶段练习）若某自然数的立方根为a，则它前面与其相邻的自然数的
立方根是（ ）
A．a−1 B．√3 a−1 C．√3 a3−1 D．a3−1
【答案】C
【分析】先求出该自然数，再求出与其相邻的自然数的立方根即可．
【详解】解：∵某自然数的立方根为a，
∴该自然为a3，
∴它前面与其相邻的自然数的立方根是√3 a3−1；
故选C．
【点睛】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握立方根的定义：一个数x的立方为a，则x叫做a的立方
根，是解题的关键．
【变式3-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）已知❑√x+4与(y−16) 2互为相反数，则x与y的积的立方根为
（ ）
A．4 B．−4 C．8 D．−8
【答案】B
【分析】本题考查了相反数，算术平方根的非负性，立方根．熟练掌握a的立方根为√3 a是解题的关键．
由题意知，❑√x+4+(y−16) 2=0，即x+4=0，y−16=0，解得x=−4，y=16，根据x与y的积的立方
根为√3 xy，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，❑√x+4+(y−16) 2=0，
∴x+4=0，y−16=0，
解得x=−4，y=16，
∴xy=−64，
∴x与y的积的立方根为√3 xy=√3−64=−4，
故选：B．
【变式3-3】（23-24七年级·广西防城港·期中）若实数a，b满足❑√a+1+|b−1|=0，则a2024+b2023的立
5
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学科网（北京）股份有限公司方根为 ．
【答案】√32
【分析】本题考查算术平方根、绝对值的非负性及立方根，根据算术平方根，绝对值的非负性求出a、b的
值，再代入计算求立方根即可．
【详解】解：∵❑√a+1+|b−1|=0，而❑√a+1≥0,|b−1)≥0，
∴a+1=0,b−1=0，
即a=−1,b=1，
∴a2024+b2023=1+1=2．
∴a2024+b2023的立方根为√32，
故答案为：√32．
【题型4 由立方根的概念解方程】
【例4】（23-24七年级·广东惠州·期中）解方程：(x−5) 3+8=0
【答案】x=3
【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据立方根的性质求解即可．
【详解】解：(x−5) 3+8=0，
(x−5) 3=−8，
x−5=−2，
x=3．
125
【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）解方程：8(x−1) 3=− ．
8
1
【答案】x=−
4
【分析】首先等式两边同时除以8，然后再求x−1的立方根，进而可得x的值．
125
【详解】解：8(x−1) 3=− ，
8
125
(x−1) 3=− ，
64
5
x−1=− ，
4
6
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学科网（北京）股份有限公司1
∴x=− ．
4
【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是
正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式4-2】（23-24七年级·山东滨州·期中）（1）解方程：4(x−3) 2=64
1
（2）解方程： (x−1) 3=1
27
【答案】（1）x=7或x=−1；（2）x=4
【分析】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握立方根，以及平方根的概念是解本题的关键．
（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程变形后，利用立方根定义开方即可求出解．
【详解】解：（1）4(x−3) 2=64
(x−3) 2=16
x−3=±4
x=3+4或x=3−4
x=7或x=−1；
1
（2） (x−1) 3=1
27
(x−1) 3=27
x−1=3
x=4．
【变式4-3】（23-24七年级·上海浦东新·期中）解方程：(5x−1) 3=−0.027．
【答案】x=0.14
【分析】本题考查的是利用立方根的含义解方程，由立方根的含义可得5x−1=−0.3，再解一次方程即
可．
【详解】解：∵(5x−1) 3=−0.027，
∴5x−1=−0.3，
∴5x=0.7，
7
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学科网（北京）股份有限公司∴x=0.14
【题型5 由立方根求式子的值】
a
【例5】（23-24七年级·四川乐山·阶段练习）若√32a和√3 b互为相反数，求 的为
b
1
【答案】−
2
a
【分析】由√32a和√3 b互为相反数，可得出2a=−b，进而可得出 的值．
b
【详解】解：∵√32a和√3 b互为相反数，
∴2a=−b，
a 1
∴ =− ．
b 2
1
故答案为− .
2
【点睛】本题考查了实数的性质以及立方根，由两数互为相反数找出2a=−b是解题的关键．
【变式5-1】（23-24春·山东济宁·七年级统考期中）如果√3 a+4=4，那么(a-67)3的值是
【答案】－343
【分析】利用立方根的定义及已知等式求出a的值，代入所求式子计算即可求出值．
【详解】∵√3 a+4=4，
∴a+4=43，
即a+4=64，
∴a=60，
则（a-67）3=（60-67）3=（-7）3=-343，
故答案为-343.
【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【变式5-2】（23-24七年级·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则
❑√6n−4m＝ ．
【答案】4
【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】由题意可得：4m+15=9，2−6n=−8，
3 5
解得：m=− ，n= ，
2 3
8
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学科网（北京）股份有限公司√ 5 ( 3)
∴❑√6n−4m=❑6× −4× − =❑√16=4．
3 2
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如
果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方
根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
【变式5-3】（23-24七年级·云南曲靖·期中）若❑√a=3，√3 b =-2，则ｂ-ａ的值是 .
【答案】-17.
【分析】由已知条件求出a，b的值，然后再代入计算即可得解.
【详解】∵❑√a=3，√3 b =-2，
∴a=9，b=-8，
∴b-a=-8-9=-17.
故答案为-17.
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，根据算术平方根和立方根的意义分别求出a和b的值是解此题的
关键.
【题型6 立方根与数轴的综合】
【例6】（23-24·河北石家庄·一模）数轴上表示√38+√3−8的点一定在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】B
【分析】根据立方根的性质将√38+√3−8进行化简计算，再判断在数轴的位置即可．
【详解】√38+√3−8=2+(−2)=0，
∴在数轴上的第②段，
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的性质及利用数轴表示数，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级·河南平顶山·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−2和a−7．如
图，在数轴上表示√3 x+3a的点是（ ）
9
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学科网（北京）股份有限公司A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【分析】本题考查了平方根的概念,根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得
2a−2+a−7=0，x=(2a−2) 2，得出a=3,x=16表示出√3 x+3a的值，再利用夹逼法进行无理数的估算
即可．
【详解】∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−2和a−7，
∴2a−2+a−7=0，x=(2a−2) 2，
解得a=3,x=16，
∴√3 x+3a=√316+3×3=√325，
∵23=8,33=27，
∴√38<√325<√327，即2<√325<3，
故选：B．
【变式6-2】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：
|a+b)−❑√a2−√3 (b−a) 3结果为 ．
【答案】−a−2b/−2b−a
【分析】
先通过数轴表示确定a，b的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算．
【详解】
解：由题意得，a>0>b，且|a)<|b)，
∴a+b<0，b−a<0，
∴|a+b)−❑√a2−√3 (b−a) 3
=−(a+b)−a−(b−a)
=−a−b−a−b+a
10
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学科网（北京）股份有限公司=−a−2b，
故答案为：−a−2b．
【点睛】
此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上
知识．
【变式6-3】（23-24七年级·浙江·期中）如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影
部分是一个正方形ABCD，把正方形ABCD放到数轴上，使得A与−1重合，那么D在数轴上表示的数为
（ ）
A．−3.5 B．−❑√8 C．−❑√8+1 D．−❑√8−1
【答案】D
【分析】根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长为4，根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为
2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方
即可求出边长，根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．
【详解】解：∵√364=4，
∴这个魔方的棱长为4，
∴小正方体的棱长为2，
1
∴阴影部分的面积为： ×2×2×4=8，
2
∴小正方形ABCD的边长为：❑√8，
∴点D在数轴上表示的数为−1−❑√8，
故选：D．
【点睛】本题考查的是立方根、平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱
长．
【题型7 估算立方根的取值范围】
【例7】（23-24七年级·安徽合肥·期末）已知m<√3100N
【答案】A
【分析】由算术平方根的意义可知6-x≥0,则x-6≤0,从而M=√3 x−6≤0，N=❑√6−x≥0.
【详解】∵6-x≥0,
∴x-6≤0,
∴M=√3 x−6≤0，N=❑√6−x≥0，
∴M≤N.
故选A.
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握负数没有算术平方根是解答本题的关键.
【变式8-2】（23-24七年级·四川成都·期中）已知x+4的平方根是±3，3x+ y−1的立方根是3，则y2−x2
的算术平方根为 ．
14
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学科网（北京）股份有限公司【答案】12
【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出x的值，再根据立方根求出y的值，然后代入求值
即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：x+4=9，
解得：x=5，
3x+ y−1=27，
解得y=13，
∴ y2−x2 =144，
∵122=144，
∴ y2−x2的算术平方根为12．
故答案为：12．
【变式8-3】（23-24七年级·天津·期中）已知5a−1的算术平方根是2，b−9的立方根是2，c是❑√12的整
数部分．
(1)求a+b+c的值；
(2)若x是❑√12的小数部分，求x−❑√12+28的平方根．
【答案】(1)21
(2)±5
【分析】本题考查了平方根，立方根概念，
（1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的a，b，c的值，代入计算即可得出答案；
（2）先得出x的值，即可得出结果；
【详解】（1）∵5a−1的算术平方根是2，
∴5a−1=4，解得：a=1
∵b−9的立方根是2
∴b−9=8，解得：b=17
∵c是❑√12的整数部分，而3<❑√12<4，
∴c=3，
∴a+b+c=1+17+3=21；
（2）由（1）可知，❑√12的整数部分是3，
∵x是❑√12的小数部分，
∴x=❑√12−3，
15
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学科网（北京）股份有限公司∴x−❑√12+28=❑√12−3−❑√12+28=25，
∴x−❑√12+28的平方根是±5．
【题型9 立方根的实际应用】
【例9】（23-24七年级·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示
的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为150cm2，而小明制
作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61cm3，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A．36cm2 B．54cm2 C．96cm2 D．144cm2
【答案】C
【分析】本题考查立方根的实际应用；
设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出a=5，从而求出小康制作的正方体礼盒的体
积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61cm3即可求解．
【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a，
则6a2=150，解得：a=5
∴小康制作的正方体礼盒的体积为：a3=125cm2
∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61cm3
∴小明制作的正方体礼盒的体积为125−61=64cm3
∴小明制作的正方体礼盒的边长为√364=4cm
∴小明制作的正方体礼盒的表面积为6×42=96cm2
故选：C．
【变式9-1】（23-24七年级·陕西渭南·期中）某金属冶炼厂将8个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，
重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为4dm，9dm和6dm，求原来每个正方体钢
铁的棱长．（不计损耗）
【答案】原来每个正方体钢铁的棱长为3dm．
【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设原来每个正方体钢铁的棱长为xdm，根据炼化前后总体积
不变结合长方体和正方体体积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设原来每个正方体钢铁的棱长为xdm，
由题意得，8x3=4×6×9，
16
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学科网（北京）股份有限公司解得x=3，
答：原来每个正方体钢铁的棱长为3dm．
【变式9-2】（23-24七年级·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是1cm和2cm的铅球熔化后做成一个
4
更大的铅球．（注：球的体积公式是V = πR3 ，其中R是球的半径．）
3
(1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值）
(2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分．
【答案】(1)√3 9cm
(2)整数部分是2，小数部分是√3 9−2
【分析】本题考查立方根及无理数的估算，
（1）设大铅球的半径为R，求出半径分别是1cm，2cm的铅球的体积之和，再根据球的体积公式建立关于
R的方程，然后根据立方根的定义求解即可；
（2）先确定半径R位于哪两个相邻的整数之间，即可得出结论；
掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：设这个大铅球的半径是Rcm，
4 4 4
依题意，得：
πR3= π×13+ π×23
，
3 3 3
解得：R=√3 9，
∴这个大铅球的半径是√3 9cm；
（2）∵8<9<27，
∴2<√3 9<3，
∴√3 9的整数部分是2，小数部分是√3 9−2．
【变式9-3】（23-24七年级·河北石家庄·期中）如图所示正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接
而成的，已知一个长方形纸板的面积为162cm2．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求正方形纸板的边长；
(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为216cm3的正方体，求剩余纸板的面积．
【答案】(1)正方形纸板的边长为18cm
(2)剩余纸板的面积为108cm2
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式.
（1）根据正方形的面积公式进行解答；
（2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答.
【详解】（1）解：正方形纸板的面积为162×2=324cm2，
所以正方形纸板的边长为❑√324=18(cm)．
（2）拼成的体积为216cm3的正方体的棱长为√3216=6(cm)，
所以剩余纸板的面积为324−6×6×6=108cm2．
【题型10 立方根的规律探究】
【例10】（23-24七年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：√3−0.001=−0.1，√3−1=−1，
√3−1000=−10，√30.001=0.1，√31=1，√31000=10…
(1)则√30.000001= ；√3 106= ；按上述规律，已知数a小数点的移动与它的立方根√3 a的小数点移动
间有何规律？
(2)已知√3 x=1.587，若√3 y=−0.1587，用含x的代数式表示y，则y= ；
(3)根据规律写出√3 a与a的大小情况．
【答案】(1)0.01、100
x
(2)﹣
1000
(3)当a<−1或0a；当a=−1或a=1时，√3 a=a；当−11时，√3 aa；
当a=−1或a=1时，√3 a=a；
当−11时，√3 a
