跟踪训练03等式性质与不等式性质（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 03 等式性质与不等式性质 一．选择题（共15小题） 1．若 ， ，则下列各式中正确的是 ① ② ③ ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：因为 ， ， 所以， ，即 ，故①正确，②错误； 因为 ， ， 所以， ， ， 所以， ，故③错误，④正确． 故选： ． 2．对于任意的 ， 且 ，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【解答】解：对于 ， 在 上单调递减， ， 错误； 对于 ，当 时，原式无意义， 错误； 对于 ，当 时， ， 错误； 对于 ， 在 上单调递增， ， 正确．故选： ． 3．设 ，则 ， 的大小关系是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， ，故 ，所以 ， 即 ，所以 ， 故 ． 故选： ． 4．已知 ，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【解答】解：对 ：由于 ，则两边同时乘以 有： ， 错误； 对 ：由于 ，则两边同时加 有： ， 错误； 对 ：由于 ，则两边同时3次方有： ， 错误； 对 ：由于 ，则两边同时乘以 有： ， 正确． 故选： ． 5．下列命题正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【解答】解：对于 ，取 ， ，满足 ，但是 不成立，故 错误， 对于 ，取 ， ，满足 ，但是 不成立，故 错误， 对于 ， ， ， ， ， ，故 正确， 对于 ，取 ， ， ， ，满足 ， ，但是 不成立，故错误， 故选： ． 6．已知实数 ， ， 满足 ， ，则 的值 A．一定是正数 B．一定为负数 C．可能为0 D．正负不定 【解答】解：不妨设 ， 又实数 ， ， 满足 ， ， 则 ， ， 则 ， 即 的值一定为负数， 故选： ． 7．已知 ，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得 为负数， 为正数， 对于 ，取 ， ，则 ，故错误； 对于 ，因为 ， ，所以 ，故错误； 对于 ，因为 ，两边同时乘以 ，可得 ，故正确； 对于 ，取 ， ，则 ，故错误． 故选： ． 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后 来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引 入对不等式的发展影响深远．若 ， ， ，则下列命题正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则 【解答】解：对于 ，取 ， ，满足 ，但 ，故 错误； 对于 ，当 ，若 ，则 ，故 错误； 对于 ，取 ， ，满足 ，但 ，故 错误； 对于 ，若 ，则 ，故 ，所以 ， 故 正确， 故选： ． 9．某学生月考数学成绩 不低于100分，英语成绩 和语文成绩 的总成绩高于200分且 低于240分，用不等式组表示为 A． B． C． D． 【解答】解：数学成绩 不低于100分表示为 ，英语成绩 和语文成绩 的总成绩高 于200分且低于240分表示为 ， 即 ． 故选： ． 10．已知 ，且 ，则 的取值范围是 A． ， B． C． ， D． ， 【解答】解：设 ，则 ， 所以 ，解得 ， ， 所以 ． 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 的取值范围是 ， ． 故选： ． 11．下列命题为真命题的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【解答】解：对于 ，当 时， 不成立，故 错误； 对于 ，由 ，根据不等式的性质，可得 ，故 正确； 对于 ，取 ， ，可知 不成立，故 错误； 对于 ，取 ， ，可知 不成立，故 错误， 故选： ． 12．已知 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， ， ；对于 ，当 ， 时， ，此时 ， 错误； 对于 ，当 ， 时， ，此时 ， 错误； 对于 ，当 ， 时， ，此时 ， 错误； 对于 ， ， ， ，即 ， 正确． 故选： ． 13．下列命题中真命题的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ， ，则 D．若 ，则 【解答】解：对于 ，若 ，当 时，则 不成立，故 为假命题； 对于 ，若 ，例如 ， ，满足 ，但是 ，故 为假命题； 对于 ，若 ， ，例如 ， ， ， ，满足 ， ，但 ，故 为假命题； 对于 ，若 ，则 ，故 为真命题． 故选： ． 14．设实数 ， ， 满足 ， ，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【解答】解：对于 ， ，则 ，故 错误， 对于 ， ， ，则 ，故 正确， 对于 ， ，则 ， ，故 错误， 对于 ， ，则 ， ， ，故 错误， 故选： ．15．已知 ，则下列选项正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：设 ，则 ， 设 ，则 ， 在 上单调递减， ，即 ， 单调递减， ， ， ， 设 ，则 ， 在 上单调递增， ，即 ， ， ， ，即 ， 则 ． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引 入对不等式的发展影响深远，若 ， ，则下面结论正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 有最小值 C．若 ，则 D．若 ，则 有最大值1 【解答】解：对于 ， ，则 ，即 ， 正确； 对 于 ， ， ， ， 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 正确； 对于 ， ， ，由 得： ，有 ，则 ， 不正确； 对于 ， ， ， ，则 ，当且仅当 时取等号， 正 确． 故选： ． 17．下列四个命题中，正确的是 A．若 ，则 B．若 ，且 ，则 C．若 ， ，则 D．若 ，则 【解答】解：对于 ，举例 ， ， ，满足 ，但是 不成立，故 错误；对于 ， ， ， ， 又 ， ，故 正确； 对于 ， ， ， ， ， ，故 正确； 对于 ， ， ， ， 又 ， ，故 正确． 故选： ． 18．若实数 ， ， ， 满足 ，则下列不等式正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ，所以 ，故 正确， 且 ，所以 ，故 正确， 当 ， 时， ，故 错误， 当 ， ， ， 时， ，故 错误， 故选： ． 19．若 ， ， ， 均为不相等实数，下列命题中正确的是 A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则 C．若 ， ，则 D．当 时，不等式 成立 【解答】解： 项：由不等式的性质， 正确；选项 ：由 ，得 ，故 ， 当且仅当 时，等号成立，又 ， 正确； 选项 ：若 ， ， ， 时， ， ，故 错误； 选项 ：当 时， ， 此时 或 ，与 矛盾， 错误． 故选： ． 20．生活经验告诉我们， 克糖水中有 克糖 ， ，且 ，若再添加 克糖 后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： ．趣称之为“糖水不等式”．根 据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是 A．若 ， ，则 与 的大小关系随 的变化而变化 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则一定有 【解答】解： 选项， ，所以 ， 选项说法错误； 选项，当 ， 时， ， ，即 ， 选项说法错误； 选项， ，即 ， 选项说法正确；选 项 ， 因 为 ， ， 所 以 ， ， 所以 ， 选项说法正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．实数 ， 满足 ， ，那么 的取值范围是 ． 【解答】解：令 ， ，故 ， ， 则 ， ， ， ． 故答案为： ． 22．已知 ， 、 、 均不为 0，且 ， ， ，则 1 【解答】解： ， 、 、 均不为0，且 ， ， ， 则 ，同理可得： ， ． 则 ． 故答案为：1．23．已知 ， ，则 ．（填“ ”或“ ” 【解答】解：已知 ， ， 则 ， 则 ． 故答案为： ． 24． 与 的大小关系为 ． 【解答】解： ， ， 且 ， ， 故答案为： ． 25．已知实数 ， 满足 ， ，则 的最大值是 1 3 ． 【解答】解： ， 因为 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 即 ， 所以 的最大值是13． 故答案为：13．四．解答题（共3小题） 26．若 ， ，试比较 与 的大小． 【解答】 ． 解 ： ① ， ， 当 时，①式取0即 ； 当 时，①式大于0即 ； 当 时，①式小于0即 ． 27．比较下列两个代数式的大小，写出比较过程． 当 时， 与 ． 【解答】解：当 时， ． 当 时， ． 28．比较下列两组数的大小． （1） 与 ； （2） 与 ． 【解答】解：（1） ， ； （2） ， ，当 时等号成立．