文档内容
专题 8.2 立方根【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 立方根概念理解】......................................................................................................................................1
【题型2 求一个数的立方根】................................................................................................................................2
【题型3 求代数式的立方根】..................................................................................................................................2
【题型4 由立方根的概念解方程】..........................................................................................................................2
【题型5 由立方根求式子的值】..............................................................................................................................3
【题型6 立方根与数轴的综合】..............................................................................................................................3
【题型7 估算立方根的取值范围】..........................................................................................................................4
【题型8 立方根、平方根综合运算求值】..............................................................................................................4
【题型9 立方根的实际应用】..................................................................................................................................5
【题型10 立方根的规律探究】..................................................................................................................................6
知识点：立方根
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫
做a的立方根，记作 。即 。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 立方根概念理解】
【例1】（23-24七年级·安徽阜阳·期中）（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是
．
（2）当2x+5=√32x+5时，2x−5的值是 ．
【变式1-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）若√3 x−2有意义，则x的取值范围是_________．
【变式1-2】（23-24七年级·全国·单元测试）有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方
根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反
数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的．
其中正确的是 （填序号）．
【变式1-3】（23-24七年级·福建泉州·期末）已知√31−2x与√33x−7互为相反数，则x= ．
1
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学科网（北京）股份有限公司【题型2 求一个数的立方根】
【例2】（23-24七年级·上海虹口·期中）如果ay=−64 ，那么a= ．
【变式2-1】（23-24七年级·吉林延边·期中）|−8)的立方根是 ．
【变式2-2】（23-24七年级·陕西榆林·期末）计算：√3−27+2= ．
【变式2-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1
，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果的算术平方根的
立方根是（ ）
A．❑√2 B．4 C．2 D．√32
【题型3 求代数式的立方根】
【例3】（23-24七年级·河南商丘·期中）2a−1的平方根为±3，3a−b+1的立方根为2，则√32a+2b+1
的值为（ ）
A．−3 B．3 C．±3 D．不确定
【变式3-1】（23-24七年级·安徽淮北·阶段练习）若某自然数的立方根为a，则它前面与其相邻的自然数的
立方根是（ ）
A． B． C． D．
a−1 √3 a−1 √3 a3−1 a3−1
【变式3-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）已知 与 互为相反数，则 与 的积的立方根为
❑√x+4 (y−16) 2 x y
（ ）
A．4 B．−4 C．8 D．−8
【变式3-3】（23-24七年级·广西防城港·期中）若实数a，b满足❑√a+1+|b−1|=0，则a2024+b2023的立
方根为 ．
【题型4 由立方根的概念解方程】
【例4】（23-24七年级·广东惠州·期中）解方程：
(x−5) 3+8=0
125
【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）解方程：8(x−1) 3=− ．
8
2
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学科网（北京）股份有限公司【变式4-2】（23-24七年级·山东滨州·期中）（1）解方程：
4(x−3) 2=64
1
（2）解方程： (x−1) 3=1
27
【变式4-3】（23-24七年级·上海浦东新·期中）解方程： ．
(5x−1) 3=−0.027
【题型5 由立方根求式子的值】
a
【例5】（23-24七年级·四川乐山·阶段练习）若√32a和√3 b互为相反数，求 的为
b
【变式5-1】（23-24春·山东济宁·七年级统考期中）如果√3 a+4=4，那么(a-67)3的值是
【变式5-2】（23-24七年级·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则
❑√6n−4m＝ ．
【变式5-3】（23-24七年级·云南曲靖·期中）若❑√a=3，√3 b =-2，则ｂ-ａ的值是 .
【题型6 立方根与数轴的综合】
【例6】（23-24·河北石家庄·一模）数轴上表示√38+√3−8的点一定在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【变式6-1】（23-24七年级·河南平顶山·期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−2和a−7．如
图，在数轴上表示√3 x+3a的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【变式6-2】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：
结果为 ．
|a+b)−❑√a2−√3 (b−a) 3
【变式6-3】（23-24七年级·浙江·期中）如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影
部分是一个正方形ABCD，把正方形ABCD放到数轴上，使得A与−1重合，那么D在数轴上表示的数为
3
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A．−3.5 B．−❑√8 C．−❑√8+1 D．−❑√8−1
【题型7 估算立方根的取值范围】
【例7】（23-24七年级·安徽合肥·期末）已知m<√3100N
【变式8-2】（23-24七年级·四川成都·期中）已知x+4的平方根是±3，3x+ y−1的立方根是3，则y2−x2
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学科网（北京）股份有限公司的算术平方根为 ．
【变式8-3】（23-24七年级·天津·期中）已知5a−1的算术平方根是2，b−9的立方根是2，c是❑√12的整
数部分．
(1)求a+b+c的值；
(2)若x是❑√12的小数部分，求x−❑√12+28的平方根．
【题型9 立方根的实际应用】
【例9】（23-24七年级·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示
的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为150cm2，而小明制
作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小61cm3，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A．36cm2 B．54cm2 C．96cm2 D．144cm2
【变式9-1】（23-24七年级·陕西渭南·期中）某金属冶炼厂将8个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，
重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为4dm，9dm和6dm，求原来每个正方体钢
铁的棱长．（不计损耗）
【变式9-2】（23-24七年级·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是1cm和2cm的铅球熔化后做成一个
4
更大的铅球．（注：球的体积公式是V = πR3，其中R是球的半径．）
3
(1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值）
(2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分．
【变式9-3】（23-24七年级·河北石家庄·期中）如图所示正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接
而成的，已知一个长方形纸板的面积为162cm2．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求正方形纸板的边长；
(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为216cm3的正方体，求剩余纸板的面积．
【题型10 立方根的规律探究】
【例10】（23-24七年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：√3−0.001=−0.1，√3−1=−1，
√3−1000=−10，√30.001=0.1，√31=1，√31000=10…
(1)则 ； ；按上述规律，已知数 小数点的移动与它的立方根 的小数点移动
√30.000001= √3 106= a √3 a
间有何规律？
(2)已知√3 x=1.587，若√3 y=−0.1587，用含x的代数式表示y，则y= ；
(3)根据规律写出√3 a与a的大小情况．
√1 √1
【变式10-1】（23-24七年级·河北沧州·阶段练习）第一个等式：3 −1=−3 ；第二个等式：
2 2
√2 √2 √ 3 √ 3
3 −2=−23 ；第三个等式：3 −3=−33 ；……根据所给的式子找出规律，并写出第n个等式
9 9 28 28
（用含n的式子表示，n为正整数） ．
【变式10-2】（23-24七年级·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的式子：❑√1+√31，❑√3+√32，❑√5+√33
，❑√7+√3 4，❑√9+√35，⋯第n(n≥1)个式子是（ ）
A．❑√2n−1+√3 n B．❑√2n+1+√3 n
C．❑√2n−1+√3 n+1 D．❑√2n+1+√3 n+1
【变式10-3】（23-24七年级·全国·专题练习）阅读理解，观察下列式子：
① ；
√31+√3−1=1+(−1)=0
② ；
√3 8+√3−8=2+(−2)=0
③ ；
√327+√3−27=3+(−3)=0
④ ；
√364+√3−64=4+(−4)=0
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根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ．
(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个
有理数a，b，若 ，则√3 a+√3 b=0；反之也成立．
7
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