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第 11 章 三角形（单元提升卷）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项正确）
1．（2022秋•临洮县校级月考）下列各组图形中，AD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（2022春•娄底月考）如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝900°，然后解方程即可．
【解答】解：设该多边形边数为n，
则（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故选：D．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、
变形和数据处理．
3．（2022秋•淮北月考）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠ACD＝108°，∠B＝45°，则
∠A的度数为（ ）A．45° B．53° C．63° D．65°
【分析】利用外角的性质进行求解即可．
【解答】解：∵ 是△ABC的一个外角，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：C．
【点评】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解
题的关键．
4．（2023春•印江县月考）在△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【分析】直接根据直角三角形的两个锐角互余解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，
∴∠A＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
5．（2022秋•息县月考）如图，一副具有30°和45°角的直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠
的度数是（ ） α
A．40° B．45° C．65° D．75°
【分析】根据三角形的外角的性质解决本题．
【解答】解：如图．
由题意得，∠FED＝45°，∠C＝60°．
∴∠FAC＝∠FED+∠C＝105°．∴∠ ＝180°﹣∠FAC＝75°．
故选α：D．
【点评】本题主要考查三角形的外角，熟练掌握三角形的外角的性质是解决本题的关键．
6．（2022秋•平桥区校级月考）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点
E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题是一道关于三角形的题目，回想三角形的中线、角平分线、高线的概念；由∠1＝∠2可
知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念可知①错误；接下来，根据
三角形中线、高线、角平分线的概念试着分析②、③、④，相信你能解答此题了．
【解答】解：对于①，由∠1＝∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分
线的概念，故①错误；
对于②，BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，由三角形中线的概念，故②
错误；
对于③，由于CH⊥AD于H，由三角形高线的概念可知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；
对于④，由AH平分∠FAC并且在△ACF内，故AH是△ACF的角平分线．又因为AH⊥CF，所以AH
也是△ACF的高，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的角平分线、高线、中线．关键是根据三角形的中线、角平分线、高线解答．
7．（2020秋•浦北县校级月考）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3＝6．
多边形的内角和＝（n﹣2）×180°＝4×180°＝720°．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是多边形的对角线和多边形的内角和公式的应用，掌握公式是解题的关键．
8．（2022秋•江油市月考）如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交
BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先利用平行线的性质求出∠ABD的度数，接着利用角平分线的性质求出∠ABC，最后利用三
角形的内角和求出∠A的度数．
【解答】解：∵DE∥AB，∠BDE＝50°，
∴∠ABD＝∠BDE＝50°，
而BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，同时也利用了角平分线的性质，比较简单．
9．（2023春•凉州区校级月考）当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时，我们称此三角形为“特
征三角形”，其中 称为“特征角”．如果一个“特α征三角形”的“β特征角”为100°，那么这个“特征
三角形”的最小内角α的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．45°
【分析】根据已知一个内角 是另一个内角 的两倍得出 的度数，进而求出最小内角即可．
【解答】解：由题意得： ＝α2 ， ＝100°，则β ＝50°， β
180°﹣100°﹣50°＝30°， α β α β
故选：B．
【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出 的度数是解题关键．
10．（2021秋•新罗区校级月考）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形β，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
【解答】解：如图，n边形，A A A …A ，
1 2 3 n
若沿着直线A A 截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
1 3
若沿着直线A M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
1
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．
【点评】考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2023春•高碑店市校级月考）如图，为了不使相框变形，在相框上钉上1根木条，这是因为三角形
具有 稳定 性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：为了不使相框变形，在相框上钉上1根木条，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、
房屋架梁等．
12．（2023春•芗城区校级月考）一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的 4倍，则这个正多边形是
正十 边形．【分析】设这个正多边形的一个外角为x°，则结合已知条件列方程求得x的值，然后根据正多边形的外
角和及性质即可求得答案．
【解答】解：设这正个多边形的一个外角为x°，那么它的一个内角为4x°，
则x+4x＝180，
解得：x＝36，
那么这个正多边形的边数为360°÷36°＝10，
即这个正多边形是正十边形，
故答案为：正十．
【点评】本题考查多边形的外角和及正多边形的性质，结合已知条件求得正多边形中一个外角的度数是
解题的关键．
13．（2023春•东明县期中）若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是 3 ＜ x ＜ 6 ．
【分析】根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求x的取
值范围．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：10﹣3＜2x+1＜10+3，且2x+1＞0
解得：3＜x＜6，
即x的取值范围是3＜x＜6．
故答案为：3＜x＜6．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
14．（2022秋•呼和浩特月考）一个多边形的内角和比它的外角和的 3倍少180°，则这个多边形的边数是
7 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求
解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
15．（2023春•兴义市月考）一副直角三角板如图放置，点 C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB
＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝ 1 5 °．【分析】根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据
三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵AB∥CF，∠A＝60°，
∴∠ACM＝∠A＝60°，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∵∠EFD＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDC＝∠E+∠EFD＝135°，
∴∠DBC＝180°﹣30°﹣135°＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角形外角性质等知识点，能求出∠BDC和
∠BCD的度数是解此题的关键．
16．（2023春•凤城市期末）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝
∠4＝75°，则∠AED的度数是 120 ° ．
【分析】根据多边形的外角和求出∠5的度数，然后根据邻补角的和等于180°列式求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，
∴∠5＝360°﹣75°×4＝360°﹣300°＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠5＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的外角和等于 360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比
较简单．
17．（2022秋•东莞市校级月考）一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 8 ．
【分析】利用任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求出答案．
【解答】解：多边形的外角的个数是360÷45＝8，
所以多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
18．（2022秋•凤凰县月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果
∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 3 0 °．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不
相邻的两个内角的和．
19．（2020秋•桂东县校级月考）若三角形的两边长分别为2cm和4cm，且第三边的边长为偶数，则第三
边长为 4 cm．
【分析】首选利用三角形三边关系得出第三边长的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为2cm和4cm，且第三边的边长为偶数，
∴设第三边长为xcm，第三边长的取值范围是：2＜x＜6，故第三边的边长为：4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边长的取值范围是解题关键．
20．（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，在第1个△ABA 中，∠B＝40°，∠BAA ＝∠BA A，在A B上取
1 1 1 1
一点C，延长AA 到A ，使得在第2个△A CA 中，∠A CA ＝∠A A C；在A C上取一点D，延长A A
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
到A ，使得在第3个△A DA 中，∠A DA ＝∠A A D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A 为
3 2 3 2 3 2 3 3
顶点的内角的度数为 17.5 ° ；第n个三角形中以A 为顶点的底角的度数为 ．
n
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质
1
分别求出∠CA A ，∠DA A 及∠EA A 的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以A 为顶点的底角的
2 1 3 2 4 3 n
度数．
【解答】解：∵在△ABA 中，∠B＝40°，AB＝A B，
1 1
∴∠BA A＝ （180°﹣∠B）＝ （180°﹣40°）＝70°，
1
∵A A ＝A C，∠BA A是△A A C的外角，
1 2 1 1 1 2
∴∠CA A ＝ ∠BA A＝ ×70°＝35°；
2 1 1
同理可得，∠DA A ＝ ×70°＝17.5°，∠EA A ＝ ×70°，
3 2 4 3
以此类推，第n个三角形的以A 为顶点的底角的度数＝ ．
n
故答案为：17.5°， ．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA A ，∠DA A 及
2 1 3 2
∠EA A 的度数，进而找出规律是解答此题的关键．
4 3三、解答题（共60分）
21．（2022秋•前郭县月考）一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．
【分析】本题首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比 360°多900°，由此列出方程即可解
出边数．
【解答】解：设边数为n，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝360°+900°，
所以（n﹣2）×180°＝1260°，
所以n﹣2＝7，
所以n＝9．
答：这个多边形的边数是9．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是已知等量关系列出方程从而解决问题．
22．（2022秋•东宝区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，然后去绝对值符号后化简即
可．
【解答】解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝a+b+c．
【点评】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边，建立不等式解决问题．
23．（2022春•朝阳区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC
＝70°
求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC＝∠B+∠BAD，又∠B
＝∠BAD，求出∠B的度数；
（2）根据三角形内角和定理，直接求出∠C的度数．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
且∠B＝∠BAD，
∴∠B＝40°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∠BAC＝70°，∠B＝40°，
∴∠C＝70°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，在三角形中求角度的大小时，经常运用它
们解题．
24．（2021秋•顺庆区校级月考）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线．
（1）若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大小；
（2）请说明∠BAC＞∠B．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义可得∠ACD＝∠ECD，然后根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻
的内角可得∠BAC＞∠ACD，∠ECD＞∠B，从而得解．
【解答】解：（1）∵∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠ACE﹣∠BAC＝150°﹣100°＝50°；
（2）∵CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵∠BAC是△ACD的外角，∴∠BAC＞∠ACD，
∴∠BAC＞∠ECD，
∵∠ECD是△BCD的外角，
∴∠ECD＞∠B，
∴∠BAC＞∠B．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，角平分线定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
25．（2022秋•乐陵市校级月考）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，解方程即可
求解；
（3）代入计算求解．
【解答】解：（1）设多边形的边数为n，
180°（n﹣2）＝2020°，
解得 ，
∵n为正整数，
∴“多边形的内角和为2020°”不可能．
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，
依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，
∵﹣180°＜x﹣y＜180，
∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，解得 ，
又∵n为正整数，
∴n＝13，n＝14．
故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．
（3）十三边形的内角和＝180°×（13﹣2）＝1980°，
∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，
又x+y＝180°，
解得：x＝70°，y＝110°；
十四边形的内角和＝180°×（14﹣2）＝2160°，
∴y﹣x＝2020°﹣2160°＝﹣140°，
又x+y＝180°，
解得：x＝160°，y＝20°；
所以那个外角为110°或20°．
【点评】考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的
内容．
26．（2021秋•临邑县校级月考）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 45 °
．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利
用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AEC＝2∠G，根据三角形的高线可求解∠G的
度数．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝ ∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝ （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C＝ ∠C﹣
∠B，
即∠DAE＝ ∠C﹣ ∠B；
（3）∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG，
∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G，
∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G，
即∠AEC＝2∠G，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，∴∠G＝45°．
故答案为45°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角
平分线等知识的综合运用．
27．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．
（1）五边形ABCDE的内角和为 54 0 度；
（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．
【分析】（1）根据多边形内角和公式求出即可；
（2）求出∠EAB+∠ABC，根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA，即可求出答案．
【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
故答案为：540；
（2）∵在五边形ABCDE中，∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝
135°，
∴∠EAB+∠ABC＝230°，
∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB＝ ∠EAB，∠PBA＝ ∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝115°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝65°．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的内角和定理是解此题的关键．
28．（2022春•姜堰区月考）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A
的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC
即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得
∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣ ∠A，求出∠E＝ ∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在
一个内角等于另一个内角的 2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝
2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ ×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）
＝ （360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝ （180°+∠A）
＝90°+ ∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝ ∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝ ∠ABC+ ∠MBC
＝ （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣ ∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则 ∠A＝2（90°﹣ ∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运
用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
