文档内容
专题 8.6 实数全章专项复习【5 大考点 13 种题型】
【人教版2024】
【考点1 认识无理数】..............................................................................................................................................1
【题型1 无理数近似值的确定】..............................................................................................................................2
【题型2 方格中的无理数】......................................................................................................................................3
【考点2 平方根】......................................................................................................................................................7
【题型3 算术平方根的实际应用】..........................................................................................................................8
【题型4 利用平方根的定义解方程】....................................................................................................................11
【题型5 利用算术平方根的非负性求未知数的值】...........................................................................................13
【考点3 立方根】....................................................................................................................................................14
【题型6 开立方运算】............................................................................................................................................15
【题型7 平方根和立方根的综合应用】................................................................................................................16
【题型8 立方根在实际生活中的应用】................................................................................................................18
【考点4 估算】........................................................................................................................................................20
【题型9 估算无理数的大小】................................................................................................................................21
【题型10 估算的实际应用】....................................................................................................................................22
【考点5 实数】........................................................................................................................................................25
【题型11 实数的运算】............................................................................................................................................26
【题型12 利用数轴化简】........................................................................................................................................29
【题型13 实数与数轴的关系】................................................................................................................................30
【考点1 认识无理数】
1.定义：无限不循环小数叫做无理数．
2.无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
注意：凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
【题型1 无理数近似值的确定】
【例1】（23-24七年级·吉林长春·开学考试）设a=❑√10，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，估算❑√10的大小，即可得出答案，掌握正确的估算方法是解题的关
键．
【详解】解：∵3<❑√10<4，
∴a在3和4之间，
故选：B．
【变式1-1】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）已知❑√6在两个连续整数之间，则这两个连续整数的乘积
为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义由4<6<9得出2<❑√6<3，确定这两个相
邻整数即可得出答案．
【详解】∵4<6<9
∴❑√4<❑√6<❑√9
即2<❑√6<3
∵2×3=6
∴两个连续整数的乘积为6
故答案为：6．
【变式1-2】（23-24七年级·广西南宁·期末）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，先利用算术平方根的应用求出正方形的边长，然
后利用“夹逼法”估算即可．
【详解】解∶∵正方形的面积是13，
∴它的边长大小为❑√13，
∵9<13<16，
∴❑√9<❑√13<❑√16，即3<❑√13<4，
∴估计正方形的边长大小在3与4之间，
故选∶B．
【变式1-3】（23-24七年级·安徽·期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积
为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长．
（2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗?若不是整数，那么请你估计这个
边长的值在哪两个整数之间．
【答案】（1）5cm；（2）边长的值在5和6之间
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长；
（2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为32，边长为❑√32；因此大正方
形的边长不是整数，然后估算出❑√32的大小，从而求出与❑√32相邻的两个整数．
【详解】解：（1）边长=❑√25=5cm；
（2）大的正方形的面积=42+42=32；
边长=❑√32，∴边长不是整数，
∵ ❑√25<❑√32<❑√36，
∴5<❑√32<6．
【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是
我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
【题型2 方格中的无理数】
【例2】（23-24七年级·山东滨州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为
1．
(1)求图甲中阴影正方形的面积=______；边长=______（答案直接写在横线上即可）；
(2)请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及
边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
【答案】(1)10，❑√10；
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(2)图见解析，边长为❑√5，边长的整数部分为2；该边长的小数部分为❑√5−2．
【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的应用；
（1）根据大正方形减去4个小三角形的面积，进而根据算术平方根的意义，即可求解；
（2）画出一个面积为5的正方形，则边长为❑√5，进而求得整数部分与小数部分，即可求解．
1
【详解】（1）解：面积为4×4−4× ×1×3=10，
2
边长为：❑√10；
（2）正方形如图所示，
1
面积为3×3−4× ×1×2=5，
2
边长为：❑√5；
2<❑√5<3，
该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为❑√5−2．（答案不唯一）
【变式2-1】（23-24七年级·广东佛山·期末）由5个边长为1的小正方形组成的图形如图所示．通过剪
贴，可以将图中的5个小正方形拼成一个大正方形．
(1)拼成的大正方形的边长为________；
(2)将剪贴示意图画在网格图中．
【答案】(1)❑√5
(2)见详解
【分析】本题主要考查了网格的基本作图以及算术平方根的应用．
（1）先求出一个小正方的面积，再求出5个正方形的面积，然后根据算术平方根的定义即可求的大正方形
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司的边长；
（2）根据大正方形边长截得四个三角形和一个正方形即可拼接为大正方形．
【详解】（1）解：∵小正形的边长为1，
∴小正方形的面积为1，
∴大正方形的面积为5×1=5，
∴大正方形的边长为❑√5．
故答案为：❑√5．
（2）剪贴示意图如图所示：
剪贴后拼接示意图如图所示：
【变式2-2】（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在数轴上方有4个方格（每一方格的边长为1
个单位），连接AB，BC，CD，CD得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A左侧的数轴上取一
点E，使AE=AB，若点A与原点重合，则点E表示的数是 ．
【答案】−❑√2
【分析】先求出正方形ABCD的面积，再由算术平方根的定义求出AB=❑√2，由点A与原点重合，可得E
点表示的数．
1
【详解】解：∵正方形ABCD的面积4× ×1×1=2，
2
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴AB=❑√2，
∴点A与原点重合，
∵AE=AB，
∴E点表示的数是−❑√2，
故答案为：−❑√2．
【点睛】本题考查实数与数轴，算术平方根的意义，结合数轴的特点求解是关键．
【变式2-3】（23-24七年级·吉林·期中）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长
都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画
图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中找一格点B，连接AB，使线段AB=❑√10；
(2)在图②中画出一个△ACD，点C、D在格点上，且三边长均是有理数；
(3)在图③中画出一个正方形AMEF，点M、E、F在格点上，且边长是无理数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查无刻度直尺作图、勾股定理与网格问题；
（1）使AB为直角边分别是1和3的直角三角形的斜边即可．
（2）作一个边长分别为3，4，5的直角三角形，即可求解．
（3）画一个边长为❑√5的正方形，即可求解．
【详解】（1）解∶如图①，点B即为所求．
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）如图②，△ACD即为所求．
（3）如图③，正方形AMEF即为所求．
【考点2 平方根】
类型
平方根
项目
被开方数 非负数
符号表示 a
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
性质 零的平方根为零；
负数没有平方根；
7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司( a)2 a(a 0)
重要结论 a(a 0)
a2 a
a(a 0)
【题型3 算术平方根的实际应用】
【方法总结】利用算术平方根解决实际问题时,要注意根据实际意义进行取舍。
【例3】（23-24七年级·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制
节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为100cm2的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为200cm2的长方
形信封，其长宽之比为5:4．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你
的判断．
【答案】能，理由见解析
【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为❑√100=10cm，然后设长方形的信封的长
为5xcm，宽为4xcm，根据题意可得20x2=200，从而确定长方形的长宽即可得出结果．
【详解】解：能，理由如下：
∵正方形贺卡的面积为100cm2，
∴正方形的边长为❑√100=10cm，
设长方形的信封的长为5xcm，宽为4xcm，依题得：
5x×4x=200，
即20x2=200，
∴x2=10，
∴x=❑√10或−❑√10（舍去），
∴4x=4❑√10cm>10cm，
∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．
【变式3-1】（23-24七年级·陕西安康·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如
图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为2.25平方米，其中他用
的一块木板的边长为0.9米，求另一块木板的边长是多少米?
【答案】另一块木板的边长为1.2米
【分析】本题主要考查了平方根的应用，根据题意列出方程并用平方根的定义求解是解题的关键．设另一
块木板的边长为x米，根据面积得到并解方程即可得到答案．
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设另一块木板的边长为x米，则 x2+0.92=2.25，即 x2=1.44，
∵(±1.2) 2=1.44，x>0，
∴x=1.2，
答：另一块木板的边长为1.2米．
【变式3-2】（23-24七年级·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴
的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，
1
得知高空抛物下落的时间t（单位：秒）和高度ℎ（单位：米）近似满足公式ℎ = gt2 ，其中g为重力加速
2
度，g≈10米/平方秒．物体落地时产生的动能=物体质量×重力加速度×高度，动能的单位名称为焦耳，例
如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：1×10×30=300焦耳．
(1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
(2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精
确到0.1 秒，❑√2≈1.41）
【答案】(1)大约需要4秒
(2)大约2.8秒
【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键．
（1）将ℎ =80米代入ℎ =
1
gt2 得：80=
1
×10t2 ，即t=±❑
√80×2
，计算即可得解；
2 2 10
（2）先求出ℎ =40米，再将ℎ =40米代入ℎ =
1
gt2 得40=
1
×10t2 ，即t=±❑
√40×2
，计算即可得出答
2 2 10
案．
【详解】（1）解：把ℎ =80米代入ℎ =
1
gt2 得：80=
1
×10t2 ，即t=±❑
√80×2
，
2 2 10
解得：t=4（负值舍去），
答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒；
（2）解：由题意得：0.5×10ℎ =200，
解得
ℎ
=40，
把ℎ =40代入ℎ =
1
gt2 得：40=
1
×10t2 ，即t=±❑
√40×2
，
2 2 10
解得t=2❑√2（负值舍去），
9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴t≈2.8秒，
答：该物品坠落地面用了大约2.8秒．
【变式3-3】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为5:3
．
(1)求这块长方形空地的周长；
(2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方
形，花坛2为长方形，其长宽之比为2:1），花坛的总面积为1176平方米，宽度为2.5米的农药喷洒车能不
能在走道上正常通行？
【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米
(2)宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行
【分析】本题考查了平方根的应用；
（1）设长方形空地的长为5x，则宽为3x，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到
长方形空地的长和宽，然后即可计算周长；
（2）设花坛2的宽为y，则长为2y，正方形花坛1的边长为2y，根据总面积为1176平方米列式，利用平
方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可．
【详解】（1）解：设长方形空地的长为5x，则宽为3x，
由题意得：5x⋅3x=1500，
∴x=10（负值已舍去），
∴5x=50，3x=30，
∴这块长方形空地的周长为2×(50+30)=160米；
（2）设花坛2的宽为y，则长为2y，正方形花坛1的边长为2y，
由题意得：(2y) 2+2y⋅y=1176，
解得：y=14（负值已舍去），
∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为28，
∵30−28=2<2.5，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行．
【题型4 利用平方根的定义解方程】
【例4】（23-24七年级·四川成都·期末）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高
次数是2的方程，叫做一元二次方程．如x2=9，(x−2) 2=4，3x2+2x−1=0…都是一元二次方程．根据
平方根的特征，可以将形如x2=a(a≥0)的一元二次方程转化为一元一次方程求解．如：解方程x2=9的思
路是：由x=±❑√9，可得x =3，x =−3．
1 2
解决问题：
（1）解⽅程(x−2) 2=4．
解：∵x−2=±❑√4，
∴x−2=2，或x−2= ．
∴x =4，x = ．
1 2
（2）解⽅程：(3x−1) 2−25=0的根为 ．
4
【答案】 −2 0 2，−
3
【分析】本题考查了利用平方根性质进行求解方程，熟练掌握平方根性质是解题关键．
（1）利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用开平方的方法解方程即可．
【详解】解：（1）解：∵x−2=±❑√4，
∴x−2=2，或x−2= −2．
∴x =4，x =0．
1 2
（2）∵(3x−1) 2−25=0，
∴(3x−1) 2=25，
∴3x−1=±❑√25，
∴3x−1=5，或3x−1=−5．
4
∴x =2，x =− ．
1 2 3
4
故答案为：−2；0；x =2，x =− ．
1 2 3
11
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【变式4-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期末）解方程3x2+27=0，得该方程的根是（ ）
A．x=±3 B．x=3 C．x=﹣3 D．无实数根
【答案】D
【分析】移项化简后，方程为x2=﹣9，负数没有平方根，所以可以知道此方程根的情况．
【详解】解：移项化简后
得x2=﹣9，
∵负数没有平方根，
∴此方程没有实数根．
故选D．
【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．
【变式4-2】（23-24七年级·吉林·期末）解方程：3(x−1) 2−12=0
【答案】x =3，x =−1
1 2
【分析】此题考查了用平方根的意义解方程，方程变形为(x−1) 2=4，根据平方根的意义得到x−1=±2，
解一元一次方程即可得到答案．
【详解】解：∵3(x−1) 2−12=0
∴3(x−1) 2=12，
则(x−1) 2=4，
∴x−1=±2，
解得x =3，x =−1
❑1 2
【变式4-3】（23-24七年级·陕西汉中·期末）解方程：(3x+2) 2=16．
2
【答案】x=−2或x= ．
3
【分析】本题考查了平方根解方程，利用平方根的性质得到3x+2=±4，即可求解．
【详解】解：(3x+2) 2=16
3x+2=±4，
3x=−2±4，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司2
x=−2或x= ．
3
【题型5 利用算术平方根的非负性求未知数的值】
【例5】（23-24七年级·云南大理·期末）若(x−2) 2+❑√y+5+|z+1)=0，则xyz的值是（ ）
A．10 B．−10 C．3 D．−3
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非
负性是解题的关键．
根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得x=2,y=−5,z=−1，再代入，即可求解．
【详解】解：(x−2) 2+❑√y+5+|z+1)=0，
∵(x−2) 2≥0，❑√y+5≥0，|z+1)≥0，
∴x−2=0，y+5=0，z+1=0，
解得：x=2,y=−5,z=−1，
∴xyz=2×(−5)×(−1)=10，
故选：A．
【变式5-1】（23-24七年级·广东肇庆·期末）如果❑√1−3x和❑√y−27互为相反数，那么❑√xy的平方根是
．
【答案】±❑√3；
【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵❑√1−3x≥0，❑√y−27≥0，且❑√1−3x和❑√y−27互为相反数，
∴1−3x=0，y−27=0，
1
解得：x= ，y=27，
3
√1
∴❑√xy=❑ ×27=3，
3
∴❑√xy的平方根是：±❑√3，
故答案为：±❑√3．
【变式5-2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）若x，y都是实数，且y=❑√x−1+❑√1−x+4，则xy的值
是（ ）
A．0 B．4 C．2 D．不能确定
13
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x−1≥0且1−x≥0，
解得x≥1且x≤1，
∴x=1，
∴y=4，
∴xy=1×4=4．
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，明确被开方数是非负数是解题的关键．
【变式5-3】（23-24七年级·湖南郴州·期末）当m= 时，❑√8−m有最小值．
【答案】8
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据❑√8−m≥0，当且仅当8−m=0时取得等号可得答
案．
【详解】解：∵❑√8−m≥0，当且仅当8−m=0时取得等号，
∴当m=8，❑√8−m有最小值，
故答案为：8．
【考点3 立方根】
类型
立方根
项目
被开方数 任意实数
符号表示 3 a
一个正数有一个正的立方根；
性质 一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
(3 a)3 a
重要结论 3 a3 a
3 a 3 a
【题型6 开立方运算】
【方法总结】开立方运算是立方根的概念和性质的应用,是历年中考出现次数较多的知识点.
【例6】（23-24七年级·广西崇左·期中）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是−64
时，输出y的值是（ ）
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A．−4 B．−√3 4 C．−2 D．−√32
【答案】B
【分析】本题考查了立方根，无理数，先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结
果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【详解】解：当输入是−64时，取立方根是−4，−4是有理数；
再把−4输入，−4的立方根是−√3 4，−√3 4是无理数，
所以输出是−√3 4．
故选：B．
【变式6-1】（23-24七年级·河南信阳·期末）a3=1，则a的值一定是（ ）
1
A．1 B．−1 C．1或−1 D．
3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据a3=1可得出a=√31=1．
【详解】解：∵a3=1，
∴a=√31=1，
故选：A
【变式6-2】（23-24七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知x3+1=−63，求x的值．
【答案】x=−4
【分析】此题考查了利用立方根解方程的性质，根据立方根的性质解方程即可．
【详解】解：x3+1=−63，
x3=−1−63
x3=−64
∴x=−4
【变式6-3】（23-24七年级·甘肃定西·期中）已知√368.8=4.098，√36.88=1.902，则√36880=
．
【答案】19.02
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小
数点就向右移动1位进行求解即可．
15
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵√36.88=1.902，
∴√36880=19.02，
故答案为：19.02．
【题型7 平方根和立方根的综合应用】
【方法总结】综合应用平方根和立方根,主要是应用平方根和立方根的定义和性质.
【例7】（23-24七年级·河北廊坊·期中）已知4m+7的立方根是3，2m+2n+2的算术平方根是4，则
m2−n=（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
【答案】B
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出m、n的值是解题关键．根据立方根和
算术平方根的定义，求出m=5，n=2，再代入计算求值即可．
【详解】解：∵4m+7的立方根是3，2m+2n+2的算术平方根是4，
∴4m+7=33=27，2m+2n+2=42=16，
∴m=5，n=2，
∴m2−n=52−2=23,
故选：B．
【变式7-1】（23-24七年级·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是2a+1和a−7，b−1的立
方根是−3．
(1)求a，b的值：
(2)求6a−2b的算术平方根和立方根．
【答案】(1)a=2，b=−26
(2)8，4
【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程．
（1）根据平方根的定义、立方根的定义列出方程进行解答便可；
（2）根据算术平方根、立方根的定义进行计算便可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是2a+1和a−7，b−1的立方根是−3
∴2a+1+a−7=0，b−1=(−3) 3=−27，
∴a=2，b=−26；
（2）解：当a=2，b=−26时，6a−2b=3×2−2×(−26)=64，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴6a−2b的算术平方根为❑√64=8，立方根为√364=4．
【变式7-2】（23-24七年级·河南许昌·期末）已知A=m−√2m+8是m+8的立方根，B=2m−n−√5 n−1是n−1
的算术平方根，求A−B的值．
【答案】√313−❑√2
【分析】此题主要考查了立方根以及算术平方根，正确得出m,n的值是解题关键．
首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n,m的值，再求出A，B即可求出答案．
【详解】解：由题意得：m−2=3,2m−n−5=2，
解得：m=5,n=3，
则A=√35+8=√313,B=❑√3−1=❑√2，
∴A−B=√313−❑√2．
【变式7-3】（23-24七年级·辽宁大连·期末）已知a的平方是4，b的算术平方根是4，c的立方根是8
(1)求a，b，c的值；
√ c
(2)求❑ +a的值
2b
【答案】(1)a=2或a=−2；b=16；c=512
(2)6或2
【分析】本题考查了乘方、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握乘方、算术平方根、立方根的性
质，从而完成求解．
（1）结合题意，根据乘方、算术平方根、立方根的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据有理数混合运算以及算术平方根的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵a的平方是4，
∴a2=4，
∴a=2或a=−2；
∵b的算术平方根是4，
∴❑√b=4，
∴b=42=16；
∵c的立方根是8，
∴√3 c=8，
∴c=83=512
√ c √ 512
（2）❑ +a=❑ +a=4+a，
2b 2×16
17
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司当a=2时，原式=6，
当a=−2时，原式=2．
【题型8 立方根在实际生活中的应用】
【例8】（23-24七年级·河北石家庄·期末）请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长
(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．
【答案】(1)10cm
(2)4cm
【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根如何开方是解题的关键；
（1）根据正方体体积等于棱长×棱长×棱长，即可解答；
（2）设每个小正方体棱长为xcm，根据总体积前去截取得体积等于488，列方程解答即可；
【详解】（1）∵ √31000=10，
∴大正方体木块的棱长10cm
（2）截得的每个小正方体木块的棱长xcm，根据题意得：
1000−8x❑ 3=488
解得：x=√364=4，
∴截得的每个小正方体木块的棱长4cm．
【变式8-1】（23-24七年级·黑龙江绥化·期末）运动会期间，体育场前方飘着大氢气球，其中一个氢气球
4
的体积V =288000πcm3，求这个氢气球的半径．（提示： V = πr3 ）
球 3
【答案】60cm
【分析】直接利用球的体积公式计算即可．
【详解】解：设这个氢气球的半径rcm，
4
由题意得：288000π= πr3 ，
3
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司解得：r=60．
答：这个氢气球的半径是60cm．
【点睛】本题主要考查了认识立体图形、立方根的应用等知识点，掌握球的体积公式是解答本题的关键．
【变式8-2】（23-24七年级·山西晋中·期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的
d3
公式“t2= ”来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．
900
(1)如果雷雨区域直径为4km，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到0.1h）
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径是否超过10km？
【答案】(1)如果雷雨区域直径为4km，那么这场雷雨大约能持续大约持续0.3h
(2)如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径没有超过10km
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用．
对于（1），将d=4代入关系式，根据平方根的定义解答；
对于（2），将t=1代入关系式，再比较结果，可得答案．
【详解】（1）当d=4时，t2= 64 = 16 ，根据题意，得t=❑ √ 16 = 4 ≈0.3(h)，
900 225 225 15
答：如果雷雨区域直径为4km，那么这场雷雨大约能持续大约持续0.3h．
d3
（2）当t=1时， =1，
900
即d3=900，所以d=√3 900(km)．
又因为√31000=10，且1000>900，所以d<10．
答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径没有超过10km．
【变式8-3】（23-24七年级·新疆巴音郭楞·期末）为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为56cm2，
高为32cm的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方
体的棱长．
【答案】这两个正方体的棱长分别为4cm和12cm
【分析】此题主要考查了正方体的体积公式和立方根的定义．解决本题的关键是理解铸造前后总体积不
变，需注意正方体的棱长应是体积的三次方根．因为长方体钢块铸成两个正方体后体积不发生改变，可设
小正方体棱长为x cm，由题意列方程即可求出其棱长的值．
【详解】解：设小正方体棱长为x cm，则大正方体的棱长为3x cm，由题意得：
x3+(3x) 3=56×32，
19
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司即28x3=56×32，
∴x3=64，
∴x=4，
∴3x=12，
答：这两个正方体的棱长分别为4cm和12cm．
【考点4 估算】
比较两个无理数大小的方法：
【题型9 估算无理数的大小】
【例9】（23-24七年级·广西玉林·期中）观察表格中的数据：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
由表格中的数据可知❑√275在哪两个数之间（ ）
A．在16.2和16.3之间 B．在16.3和16.4之间
C．在16.5和16.6之间 D．在16.6和16.7之间
【答案】C
【分析】此题考查了估算无理数的大小，由272.25<275<275.56可得❑√272.25<❑√275<❑√275.56，结合
表格数据即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵272.25<275<275.56，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴❑√272.25<❑√275<❑√275.56，
即16.5<❑√275<16.6，
故选：C．
【变式9-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若2+❑√7的整数部分为a，小数部分为b，则a= ，
a−b= ．
【答案】 4 6−❑√7
【分析】本题考查无理数估算，涉及算术平方根性质，估算出2+❑√7的范围是解决问题的关键．
【详解】解：∵4<7<9，
∴2<❑√7<3，即4<2+❑√7<5，
∵ 2+❑√7的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=4,b=(2+❑√7)−4=❑√7−2，
∴a−b=4−(❑√7−2)=6−❑√7，
故答案为：4；6−❑√7．
【变式9-2】（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期末）若4+❑√15的小数部分是a，7-❑√15的小数部分是b，则
a+b的值是 ．
【答案】1
【分析】估算无理数4+❑√15，7-❑√15的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵3＜❑√15＜4，
∴-4＜-❑√15＜-3，
∴7＜4+❑√15＜8，3＜7-❑√15＜4，
∴4+❑√15的小数部分是a=4+❑√15-7=❑√15-3，
7-❑√15的小数部分是b=7-❑√15-3=4-❑√15，
∴a+b=❑√15-3+4-❑√15
=1．
故答案为：1
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式9-3】（23-24七年级·河北保定·期中）大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
❑√2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用❑√2−1表示❑√2的小数部分，事实上，小明的表示方法
是有道理的，因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：2+❑√3=x+ y
21
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司，其中x是整数，且01，因此可设❑√2=1+x可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，S =x2+2×1⋅x+1，
正方形
∵S =2，
正方形
∴x2+2×1⋅x+1=2．
∵x是❑√2的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2，
∴得方程2x+1=2，解得x=0.5，即❑√2≈1.5．
解决问题：
(1)利用材料一中的方法，求❑√85的小数部分；
(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究❑√5的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求
解过程）
【答案】(1)❑√85−9
(2)❑√5≈2.25，见解析
【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（1）根据材料一中的方法求解即可；
（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．
【详解】（1）解：∵❑√81<❑√85<❑√100，即9<❑√85<10
∴❑√85的整数部分为9．
∴❑√85的小数部分为❑√85−9．
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是❑√5， ❑√5>2，
∴可设❑√5=2+x
画出示意图如图所示
由图中面积计算，S =x2+2×2⋅x+4，
正方形
∵S =5，
正方形
∴x2+2×4⋅x+4=5
∵x是❑√5的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2，
∴得方程4x+4=5，解得x=0.25，
即❑√5≈2.25
【考点5 实数】
1.实数的分类
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
按定义分：实数
按与0的大小关系分：
实数
【易错点剖析】
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．
25
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
2.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
a a
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
3.实数的运算：
a a
数 的相反数是- ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值
是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘
除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
4.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【题型11 实数的运算】
【例11】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：
(1)(−1) 2021−|−7)+❑√9×❑√16；
(2)√327+❑√16×❑
√9
÷(−❑√2) 2 ．
4
【答案】(1)4
(2)6
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握有理数乘方的意义、有理数的加法法则、减法法则、立方根的定
义、算术平方根的定义和绝对值是解题关键．
（1）根据绝对值、算术平方根的定义和乘方运算计算即可．
（2）根据立方根的定义、算术平方根的定义和乘方运算计算即可．
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：原式=−1−7+3×4
=4；
3
（2）解：原式=3+4× ÷2
2
=3+3
=6．
【变式11-1】（23-24七年级·云南红河·阶段练习）（1）计算：(−2) 2−√327+❑√16+(−1) 2017．
（2）❑√3+❑√(−5) 2−√364−|❑√3−5)
【答案】（1）4；（2）2 ❑√3 −4．
【分析】本题考查了实数的运算与二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则与步骤是解题关键．
（1）利用乘方、立方根、绝对值、算术平方根分别计算即可．
（2）利用乘方、立方根、绝对值、算术平方根及二次根式的加减分别计算即可．
【详解】解：（1）原式=4−3+4−1=4；
（2）原式=❑√3+5−4+❑√3−5=2❑√3−4
【变式11-2】（23-24七年级·山东德州·期中）计算
(1)(−❑√3) 2 −❑√16−|1−❑√2)；
√1
(2)❑√(−1) 2+❑ ×(−2) 2−√3−64．
4
【答案】(1)−❑√2
(2)7
【分析】此题考查了实数的混合运算，
（1）利用平方根的性质、算术平方根、绝对值进行化简计算即可；
（2）利用平方根的性质、算术平方根、立方根进行化简计算即可．
【详解】（1）解：(−❑√3) 2 −❑√16−|1−❑√2)
=3−4+1−❑√2
=−❑√2
√1
（2）解：❑√(−1) 2+❑ ×(−2) 2−√3−64
4
27
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司1
=1+ ×4+4
2
=1+2+4
=7
【变式11-3】（23-24七年级·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数
x(|x|<20)的运算程序如图所示，若输出的y值为❑√2时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
【答案】−2或−14
【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键．
按照程序的运算步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：若1次运算输出的值是❑√2时，
∴|x−2|=2，
∴x−2=±2，
解得：x=4或x=0；
若2次运算输出的值是❑√2时，
∴|x−2|=4，
∴x−2=±4，
解答：x=6或x=−2；
若3次运算输出的值是❑√2时，
∴|x−2|=16，
∴x−2=±16，
解答：x=18或x=−14；
∵|x|<20，且x取负整数，
∴x=−2或−14，
故答案为：−2或−14．
【题型12 利用数轴化简】
【例12】（2024七年级·浙江·专题练习）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化
简：❑√c2+|a+b)+√3 (a+b) 3−|b−c)．
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】b
【分析】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，平方根，立方根的求解，化简绝对值，直接利用数轴
得出c>0，a+b<0，b−c<0，再化简求解．
【详解】解：由数轴可得：c>0，a+b<0，b−c<0，
原式=c−a−b+(a+b)+(b−c)=b．
【变式12-1】（2019·重庆·一模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示那么
❑√(b−a) 2+|a+b|−√3 b3化简的结果（ ）
A．2a+b B．b C．2a−b D．3b
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置可得b<00，再根据算术平方根，绝对值和立方根的
定义化简即可．
【详解】由数轴可得b<00，
∴❑√(b−a) 2+|a+b|−√3 b3
＝a−b+a+b−b
＝2a−b
故选C．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的运算是解题的
关键．
【变式12-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将
❑√(a+2) 2+❑√(b−2) 2+❑√(a−b) 2化简的结果是 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是实数与数轴，由a,b在数轴上的位置可得：0|b)，
∴b+c>0,a−b−c<0，
∴原式=−a+b+b+c−b−c+a=b；
故答案为：b．
【题型13 实数与数轴的关系】
【例13】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，表示实数1和❑√5的对应点分别
为A，B，点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，设A，B，C三点表示的三个数之和为m．
(1)求线段AB的长．
(2)求m的值．
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(3)若数轴上点D表示的数为x，且满足(x+1) 3=−8．请求出x的值，并在坐标轴上标出点D的位置．
【答案】(1)❑√5−1
(2)2
(3)x=−3，在坐标轴上标出点D的位置见解析
【分析】本题主要考查了实数与数轴，立方根，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．
（1）根据已知条件，利用两点间的距离公式求出AB即可；
（2）先根据条件求出OC，再利用两点间的距离公式求出点C表示的数，从而求出m即可；
（3）先根据立方根的定义，求出点D表示的数，即可在坐标轴上标出点D的位置．
【详解】（1）解：∵表示实数1和❑√5的对应点分别为A，B，
∴AB=❑√5−1；
（2）解：∵点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，
∴OC=AB=❑√5−1，
∵点C在原点左侧，
∴点C所表示的数为：0−(❑√5−1)=1−❑√5，
∴ m=1−❑√5+1+❑√5=2；
（3）解：∵ (x+1) 3=−8
∴x+1=−2
∴x=−3；
在坐标轴上标出点D的位置如图所示：
【变式13-1】（23-24七年级·河北邯郸·期中）已知❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的
小数部分不可能全部写出来，但由于1<❑√2<2，所以❑√2的整数部分为1，将❑√2减去其整数部分1，差即小
数部分❑√2−1．根据所获得的信息，解答下列问题．
31
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(1)❑√7的整数部分是__________，小数部分是__________；
(2)若4+❑√3的整数部分是x，小数部分是y．
①填空：y=__________；
②如图，若面积为x的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示−1的点重合，一条边恰好落在
数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，求点A表示的数．
【答案】(1)2，❑√7−2
(2)①❑√3−1；②−1+❑√5
【分析】（1）根据无理数的估算可得2<❑√7<3，由此即可得；
（2）①先根据无理数的估算可得1<❑√3<2，从而可得5<4+❑√3<6，由此即可得；
②先求出x=5，再求出正方形的边长为❑√5，然后根据数轴的性质即可得．
【详解】（1）解：∵4<7<9，
∴2<❑√7<3，
则❑√7的整数部分是2，小数部分是❑√7−2，
故答案为：2，❑√7−2．
（2）解：①∵1<3<4，
∴1<❑√3<2，
∴5<4+❑√3<6，
∴4+❑√3的小数部分y=4+❑√3−5=❑√3−1，
故答案为：❑√3−1；
②由（2）①可知，4+❑√3的整数部分x=5，
∴这个正方形的边长为❑√5，
∵正方形的一个顶点和表示−1的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点A，
∴点A表示的数为−1+❑√5．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数与数轴、算术平方根，熟练掌握无理数的估算是解题关键．
【变式13-2】（23-24七年级·福建莆田·期中）在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足
|a−❑√5|+❑√b2+1=1．
(1)直接写出a和b的值：并求点A与点B之间的距离；
(2)若点A与点C之间的距离用AC表示，点B与点C之间的距离用BC表示，请在数轴上找一点C，使得
AC=2BC，求点C在数轴上表示的数c的值．
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)a=❑√5,b=0，AB=❑√5；
❑√5
(2) 或−❑√5．
3
【分析】本题考查实数与数轴，利用非负数的性质得到a与b的值是解题关键．
（1）根据非负数的性质可得a与b的值，再根据两点间的距离可得AB的距离；
（2）分别用含c的代数式表示出AC和BC，再列方程可得c的值．
【详解】（1）∵|a−❑√5|+❑√b2+1=1.b2+1≥1，
∴a−❑√5=0,b=0,
∴a=❑√5,b=0，
∵❑√5>0,
∴点A与点B之间的距离为AB=|❑√5−0|=❑√5；
（2）①若点C在点A与点B之间，则AC=❑√5−c,BC=c−0=c,AC=2BC, ∵❑√5−c=2c,
❑√5
∴c= ，
3
②若点C在点B左边，则AC=❑√5−c,BC=|0−c|=−c,AC=2BC,
∵❑√5−c=2(−c),
∴c=−❑√5，
❑√5
综上可得，c的值为 或−❑√5．
3
【变式13-3】（23-24七年级·广西防城港·期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴如图所示．
(1)折叠纸面，使1表示的点与−1表示的点重合，则−❑√3表示的点与__________表示的点重合．
(2)折叠纸面，使−1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①4表示的点与__________表示的点重合；
②−❑√3+1表示的点与__________表示的点重合．
(3)已知在数轴上点A表示的数是a，将点A沿数轴移动6个单位长度，此时点A表示的数和a互为相反
数，求a的值．
【答案】(1)❑√3
(2)①−2；②1+❑√3
33
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(3)3或−3
【分析】本题考查了数轴与实数，线段中点的性质，数轴上的点平移的性质，数形结合是解题的关键．
（1）折叠纸面，使1表示的点与−1表示的点重合，折叠点对应的数为0，进而可得答案；
−1+3
（2）折叠纸面，使−1表示的点与3表示的点重合，折叠点对应的数为 =1，进而可得答案；
2
（3）根据点的移动，结合相反数的意义求解即可．
【详解】（1）解：∵折叠纸面，使1表示的点与−1表示的点重合，折叠点对应的数为0，
∴ −❑√3表示的点与❑√3表示的点重合．
故答案为：❑√3；
−1+3
（2）解：①折叠纸面，使−1表示的点与3表示的点重合，折叠点对应的数为 =1，
2
设4表示的点与x表示的点重合
4+x
∴ =1
2
∴ x=−2
∴4表示的点与−2表示的点重合，
②同理设−❑√3+1表示的点与y表示的点重合，
−❑√3+1+ y
∴ =1
2
∴y=1+❑√3．
∴ −❑√3+1表示的点与1+❑√3表示的点重合．
故答案为：0，1+❑√3；
（3）解：当点A沿数轴往左移6个单位长度时，(a−6)+a=0，解得a=3；
当点A沿数轴往右移6个单位长度时，(a+6)+a=0．解得a=−3，
∴a的值为3或−3．
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
