文档内容
专题 9.3 平面直角坐标系中点的坐标规律探究【八大题型】
【人教版2024】
【题型1 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究】.........................................................................................1
【题型2 沿斜线运动的点的规律探究】..................................................................................................................2
【题型3 沿曲线运动的点的规律探究】..................................................................................................................4
【题型4 沿坐标系翻折运动的点的规律探究】.....................................................................................................5
【题型5 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究】.........................................................................................6
【题型6 平面直角坐标系中图形的变换规律探究】.............................................................................................8
【题型7 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究】.............................................................................................9
【题型8 新定义问题中点的规律探究】................................................................................................................10
【题型1 沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究】
【例1】（24-25七年级·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O
出发，沿着路线O→A →A →A →A →A →A →A →A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅移动，每次移动1个单位长
1 2 3 4 5 6 7 8
度，依次得到A (0,1)，A (1,1)，A (1,0)，⋅⋅⋅根据这个规律，点A 的坐标为（ ）
1 2 3 2024
A．(1011,−1) B．(1011,0) C．(1012,−1) D．(1012,0)
【变式1-1】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，
A(1,1),B(−1,1),C(−1,−2),D(1,−2)．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗
细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A−B−C−D−A−…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细
线另一端所在位置的点的坐标是( )
1
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学科网（北京）股份有限公司A．(1，−1) B．(−1，1) C．(−1，−2) D．(1，−2)
【变式1-2】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒
钟，它从原点(0,0)运动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0,0)−(0,1)−(1,1)−(1,0)，且每
秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A．(9,0) B．(0,9) C．(8,0) D．(0,8)
【变式1-3】（24-25七年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1,0)．点P第1
次向上跳动1个单位长度至点P (1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位长度至点P (−1,1)，第3次向上跳动
1 2
1个单位长度至点P ，第4次向右跳动3个单位长度至点P ，第5次又向上跳动1个单位长度至点P ，第6次
3 4 5
向左跳动4个单位长度至点P ……照此规律，点P第2024次跳动至点P ，则点P 的坐标是（ ）
6 2024 2024
A．(−506,1010) B．(−505,1010)
C．(507,1012) D．(506,1011)
【题型2 沿斜线运动的点的规律探究】
【例2】（24-25七年级·河南周口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向
2
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学科网（北京）股份有限公司排列，即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(2,2)→ (2,3)→(3,3)→(4,4)，…，则按此规律排列下去第2024个点的
坐标为（ ）
A．(1347,1348) B．(1348,1348) C．(1348,1349) D．(1349,1349)
【变式2-1】（24-25七年级·重庆铜梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运
动到点P (1,1)，第2次运动到点P (2,0)，第3次运动到点P (2,−1)，第4次运动到点P (3,−1)，第5
1 2 3 4
次运动到点P (3,0)……，按这样的运动规律．点P 的坐标是（ ）
5 28
A．(16,1) B．(17,0) C．(17,−1) D．(18,−1)
【变式2-2】（24-25七年级·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，动点P按图中箭头所示方
向依次运动，第1次从点(−1,0)运动到点(0,1)，第2次运动到点(1,0)，第3次运动到点(2,−2)，…按
这样的运动规律，动点P第2024次运动到点（ ）
A．(2023,−2) B．(2023,0) C．(2024,−2) D．(2024,0)
【变式2-3】（24-25七年级·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系上，点A(1,0)第1次跳动至点
3
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学科网（北京）股份有限公司，第2次向右跳动3个单位长度至点 ，第3次跳动至点 ，第4次向右跳动5个
A (−1,1) A (2,1) A (−2,2)
1 2 3
单位长度至点 ……，依此规律跳动下去，点 第2024次跳动至点 的坐标是
A (3,2) A A
4 2024
．
【题型3 沿曲线运动的点的规律探究】
【例3】（24-25七年级·山东德州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆
π
O ，O ，O ，…组成一条平滑的曲线．若点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单
1 2 3 2
位长度，则经过2024秒时，点P的坐标是( )
A．(2021,1) B．(2022,0) C．(2023,−1) D．(2024,0)
【变式3-1】（24-25七年级·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A(1,−1)
，B(−1,−1)，C(−1,1)，D(1,1)．曲线A A 、A A 、A A …叫做“正方形的渐开线”，其中弧
1 1 2 2 3
A A 、弧A A 、弧A A 、弧A A 、…的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点A 的坐标是
1 1 2 2 3 3 4 2024
．
4
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学科网（北京）股份有限公司【变式3-2】（24-25七年级·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一个半径为1的圆，与两
坐标轴相切，若该圆沿x轴正方向滚动2020圈后（滚动时在x轴上不滑动），则该圆的圆心坐标为（ ）
A．(4040π+1,0) B．(4040π+1,1) C．(4040π−1,0) D．(4040π−1,1)
【变式3-3】（24-25·湖北恩施·七年级期末）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…组数称为斐波那契数
列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，弧PP，弧PP，弧PP，…得到斐波那契螺旋
1 2 2 3 3 4
线，然后依次连接PP，PP，PP 得到螺旋折线（如图），已知点P（0，1），P（﹣1，0），P（0，
1 2 2 3 3 4 1 2 3
﹣1），则该折线上P 的点的坐标为 ．
10
【题型4 沿坐标系翻折运动的点的规律探究】
【例4】（24-25七年级·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单
位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点(1,0)，(2,0)的位置，然后向右滚动，第1次滚
动使点C落在点(3,0)的位置，第2次滚动使点D落在点(4,0)的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次
5
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学科网（北京）股份有限公司滚动后，顶点A的坐标是（ ）
A．(2024,1) B．(2026,1) C．(2025,0) D．(2026,0)
【变式4-1】（24-25·广东梅州·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x 轴向右无滑动的
滚动到△AB C 的位置，再到△A B C 的位置…依次进行下去， 若已知点A(3,0),B(0,4)，AB=5，则
1 1 1 1 2
点A 的坐标为______．
199
【变式4-2】（24-25湖南长沙·七年级期末）如图，正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1)，规定把正方形
ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形ABCD的顶
点C的坐标为（ ）
A．(−2023,3) B．(−2023,−3)C．(−2021,3) D．(−2021,−3)
【变式4-3】（24-25·河北·七年级期末）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标
之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所
得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1
个单位长度．
例 ： “ 和 点 ” P(2,1)按 上 述 规 则 连 续 平 移 3 次 后 ， 到 达 点 P (2,2)， 其 平 移 过 程 如 下 ：
3
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (−1,9)，则点Q的坐标为（ ）
16
A．(6,1)或(7,1) B．(15,−7)或(8,0) C．(6,0)或(8,0) D．(5,1)或(7,1)
6
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学科网（北京）股份有限公司【题型5 绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究】
【例5】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，从点P (−1,0)，P (−1,−1)，
1 2
P (1,−1)，P (1,1)，P (−2,1)，P (−2,−2)，…，依次进行下去，则P 的坐标为（ ）
3 4 5 6 2023
A．(506,−506) B．(506,506) C．(−506,505) D．(−506,−506)
【变式5-1】（24-25·宁夏银川·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为A (0,0)，
1
A (1,1)，A (2,0)，A (0,−2)，A (−2,0)，A (1,3)，A (4,0)，A (0,−4)，A (−4,0)，A (1,5)，
2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (6,0)，则依图中所示规律，A 的坐标为（ ）
11 2023
A．(1012,0) B．(−1010,0) C．(0,−2020) D．(1010,0)
【变式5-2】（24-25七年级·河南驻马店·阶段练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴
或y轴平行，从内到外，各正方形的边长依次为2，4,6,8,10,⋯，顶点A ,A ,A ,A ,A ,A ⋯的坐标分
1 2 3 4 5 6
别为A (1,1),A (−1,1),A (−1,−1),A (1,−1)，A (2,2),A (−2,2),⋯，则顶点A 的坐标是
1 2 3 4 5 6 2024
．
7
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学科网（北京）股份有限公司【变式5-3】（24-25七年级·辽宁大连·期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个
单位长度，以点P为顶点作正方形PA A A ，正方形PA A A ，⋯此规律作下去，所作正方形的顶点
1 2 3 4 5 6
均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为P(−3,0)，A (−2,1)，A (−1,0)，A (−1,−1)，A (−1,2)
1 2 3 4
，A (1,0)⋯则顶点A 的坐标为 ．
5 100
【题型6 平面直角坐标系中图形的变换规律探究】
【例6】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA B ，第二
1 1
次将△OA B 变换成△OA B ，第三次将△OA B 变换成△OA B ，已知A(1,4)，A (2,4)，A (4,4)
1 1 2 2 2 2 3 3 1 2
，A (8,4)；B(2,0)，B (4,0)，B (8,0)，B (16,0)．
3 1 2 3
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA B 变换成△OA B ，则A
3 3 4 4 4
的坐标是 ，B 的坐标是 ．
4
(2)若按（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA B ，比较每次变换中三角形顶点有何变
n n
化，找出规律，推测A 的坐标是 ，B 的坐标是 ．
n n
【变式6-1】（24-25·广东珠海·七年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy内，动点M第1次从点
8
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学科网（北京）股份有限公司运动到 ，第2次运动到 ，第3次运动到 ，第4次运动到
M (−3,−2) M (−2,0) M (−1,1) M (0,3) M (1,2)
0 1 2 3 4
，第5次运动到M (2,−1)，第6次运动到M (3,−2)，第7次运动到M (4,0)……依此规律，第2024次
5 6 7
运动到M 的坐标是 ．
2024
【变式6-2】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对
称变换，若点C坐标是(6，2)，则经过第2022次变换后，点C的对应点的坐标为（ ）
A．(−6，−2) B．(6，−2) C．(−6，2) D．(6，2)
【变式6-3】（24-25七年级·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA B ，第
1 1
二次将△OA B 变换△OA B ，第三次将△OA B 变换成△OA B ，已知：
1 1 2 2 2 2 3 3
A(1,3),A (−2,−3),A (4,3),A (−8,−3),B(2,0),B (−4,0),B (8,0),B (−16,0)；
1 2 3 1 2 3
(1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将△OA B 变换成△OA B 则
3 3 4 4
点A 的坐标为 ___________，点B 的坐标为 ___________．
4 4
(2)若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OA B 推测点A 坐标为
n n n
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学科网（北京）股份有限公司___________，点B 坐标为 ___________．
n
【题型7 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究】
【例7】（24-25七年级·黑龙江绥化·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(x，y)，若规定以
下两种变换：
①f (x，y)=(x+2，y)．②g(x，y)=(−x，−y)，
例如按照以上变换有： ； ．
f (1，1)=(3，1) g(f (1，1))=g(3，1)=(−3，−1)
如果有数a、b，使得 ，则 ．
f (g(a，b))=(b，−a) g(f (a+b，a−b))=
【变式7-1】（24-25七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定
以下三种变换：
①f（a，b）＝（﹣b，﹣a），如f（1，3）＝（﹣3，﹣1）；
②g（a，b）＝（b，a），如g（1，3）＝（3，1）；
③h（a，b）＝（﹣a，b），如h（1，3）＝（﹣1，3）．
且规定了运算顺序是“由内到外”，例如按照以上规定有：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（﹣2，
3），那么f（g（h（5，﹣3）））＝ ．
【变式7-2】（24-25七年级·安徽六安·期末）对一组数 的一次操作变换记为 ，定义其变换
(x,y) P (x ,y )
1 1 1
法则如下： ，
P (x ,y )=(x+ y,x−y)
1 1 1
（ 为大于 的整数），如这组数为
P (x ,y )=(x + y ,x −y )⋯P (x ,y )=(x + y ,x −y ) n 1
2 2 2 1 1 1 1 n n n n−1 n−1 n−1 n−1
(1,2)，则P =(3,−1)，P =(2,4)，P =(6,−2)…当这组数为(1,−1)时，P =（ ）
1 2 3 2024
A． B． C． D．
(21012,−21012) (0,−21012) (0,21011) (21011,−21011)
【变式7-3】（24-25七年级·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(x,y)，若规定以
下两种变换：
①f (x,y)=(y,x)．如f (2,3)=(3,2)；
②g(x,y)=(−x,−y)，如g(2,3)=(−2,−3)．
按照以上变换有： ，那么 ．
f (g(2,3))=f (−2,−3)=(−3,−2) g(f (−6,7))=
10
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学科网（北京）股份有限公司【题型8 新定义问题中点的规律探究】
( 1 )
【例8】（24-25七年级·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，把点P y,
1 1−x
叫做点P的友好点．已知点A 的友好点为点A ，点A 的友好点为点A ⋯这样依次得到点
1 2 2 3
(1 )
A ,A ,A ,A ⋯A ，若点A 的坐标为 ,2 ，则根据友好点的定义，点A 的坐标为（ ）
1 2 3 4 x 1 2 2023
(1 ) ( 1)
A． ,2 B．(2,−1) C．(−1,−1) D． −1,
2 2
【变式8-1】（24-25七年级·全国·课后作业）定义：平面内的直线l 与l 相交于点O，对于该平面内任意一
1 2
点M，点M到直线l ，l 的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a,b)是点M的“距离坐标”根据上述
1 2
定义，“距离坐标”为(2,1)的点的个数是 .
【变式8-2】（24-25七年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）新定义：在平面直角坐标系中xOy中的点P(a,b)，若
点P的坐标为(a+kb,ka+b)（其中k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：点
P(1,2)的“3属派生点”为P′(1+3×2,3×1+2)，即P′(7,5)．
(1)点P(−2,3)的“2属派生点”P′的坐标为________；
(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长为线段OP长的3倍，求k的
值．
【变式8-3】（24-25七年级·北京·期中）在平面直角坐标系 中，对于任意两点 与
xOy P (x ,y ) P (x ,y )
1 1 1 2 2 2
，我们重新定义这两点的“距离”：
①当 时， 为点 与点 的“远距离” ，即 ；
|y −y )≤|x −x ) |x −x ) P P D D (P ,P )=|x −x )
1 2 1 2 1 2 1 2 远 远 1 2 1 2
当 时， 为点 与点 的“远距离” ，即 ．
|x −x )≤|y −y ) |y −y ) P P D D (P ,P )=|y −y )
1 2 1 2 1 2 1 2 远 远 1 2 1 2
②点 与点 的“总距离” 为 与 的和，即 ．
P P D |x −x ) |y −y ) D (P ,P )=|x −x )+|y −y )
1 2 总 1 2 1 2 总 1 2 1 2 1 2
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点A(5,3)，则D (A,O)=______．
总
(2)若点B(x,7−x)在第一象限，且D (B,O)=5．求点B的坐标．
远
(3)若点C(x,y)(x≥0,y≥0)，且D (C,O)=4，所有满足条件的点C组成了图形G，请在图中画出图形G
总
．
11
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