跟踪训练04二次函数与幂函数（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 04 二次函数与幂函数 一．选择题（共15小题） 1．若幂函数 的图象关于 轴对称，且与 轴无公共点，则 的解析式可能为 A． B． C． D． 【解答】解：由已知结合幂函数的性质可知， 的图象关于 轴对称，且与 轴无 公共点． 故选： ． 2．不等式 的解集是 A． B． C． D． ， ， 【解答】解：不等式 ，可化为 ， 所以 ，解得 ， 所以不等式的解集为 ， ， ． 故选： ． 3．若函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：函数 图象是开口向上，对称轴为 ， 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又函数 在区间 上是单调函数， 所以 ，解得 ， 所以实数 的取值范围为 ， ． 故选： ． 4．如图中，①②③④中不属于函数 ， ， 中一个的是 A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：由指数函数的性质可知： ①是 的部分图象；③是 的部分图象；④是 的部分图象； 所以只有②不是指数函数的图象． 故选： ． 5．已知幂函数 的图象过点 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：设幂函数 ，由于 的图象过点 ， 故 ， ， 即 ， 故选： ． 6．“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件是A． B． C． D． 【解答】解：关于 的不等式 的解集为 ，则△ ， 解得 ，所以“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件 是“ ”． 故选： ． 7．已知幂函数 的图象过点 ，则 A． B． C．4 D．8 【解答】解：由题意可设幂函数 ， 幂函数 的图象过点 ， ，解得 ， ， ． 故选： ． 8．关于二次函数 ，则下列正确的是 A．函数图象与 轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与 轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论 为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当 时， 随 的增大而增大，则 【解答】解： △ ， 函数图象与 轴总有两个不同的交点或相同的交点，故 错误；若函数图象与 轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知 ，解得 且 ，故 错误； 若将函数图象向左平移1个单位，可得到 ，令 ，则 ， 即图象经过原点，故 错误； 当 时， 随 的增大而增大，即函数图象的对称轴 ，解得 ，故 错误． 故选： ． 9．若函数 在 ， 上是增函数，则实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：函数 的对称轴为： ，图象开口向上， 函数在 ， 上单调递增， ，解得 ， 故选： ． 10．已知关于 的不等式 的解集是 ， ， ，则不等式 的解集是 A． ， B． ， ， C． ， D． ， ， 【解答】解：由条件可知， 的两个实数根是 和2，且 ， 则 ，得 ， ，所以 ，即 ，解得 ， 所以不等式的解集为 ， ． 故选： ． 11．已知函数 只有一个零点，不等式 的解集为 ， ，则 的值为 A． B． C． D．1 【解答】解：函数 只有一个零点，则△ ， 不等式 的解集为 ， ，即 的解集为 ， ． 设方程 的两根为 ， ，则 ， ，且 ， ，则 ，整理得 ， ． 故选： ． 12．已知幂函数 在 上是减函数，则 的值是 A． 或2 B．2 C． D．1 【解答】解： 幂函数 在区间 上是减函数， ， 解得 ． 故选： ． 13．若 ， 满足 ， ，且 ，则 的值为 A． B． C．9 D．11【解答】解：因为 ， 满足 ， ，且 ， 所以 ， 是方程 的两根， 根据方程的根与系数关系可得， ， ， 所以 ， 则 ． 故选： ． 14．“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件是 A． B． C． D． 【解答】解：关于 的不等式 的解集为 ， 则△ ， 解得 ， 所以“关于 的不等式 的解集为 ”的一个必要不充分条件是“ ”． 故选： ． 15．已知幂函数的图象过 ， ， ， ， 是函数图象上的任意不 同两点，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：设幂函数 ，图象经过点 ， ， 所以 ，解得 ，所以 ，因为函数 在定义域 ， 内单调递增，所以当 时， ， 所以 ，选项 ， 错误； 又因为函数 单调递增， 所以当 时， ，选项 正确． 所以 ，即 ，选项 错误． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．下列说法正确的是 A．函数 ， 的图象是一条直线 B．若函数 为幂函数，则 C．命题“所有的素数都是奇数”的否定是真命题 D．与 比较接近的数可以构成一个集合 【解答】解：函数 ， 的图象是由孤立的点构成，不是直线， 错； 若函数 为幂函数，则 ， ， 正确； 命题“所有的素数都是奇数”的否定是：不是所有的素数都是奇数也可写成：存在素数不 是奇数，此命题是真命题，因为2是素数，它是偶数． 正确； 与 比较接近的数不能构成一个集合，与集合中元素的确定性不合． 错． 故选： ． 17．已知函数 在区间 ， 上单调，则实数 的值可以是 A．0 B．8 C．16 D．20【解答】解：因为函数 在区间 ， 上单调， 所以 或 ， 解得 或 ． 故选： ． 18．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法中正确的有 A． B． C． D． 【解答】解： 关于 的不等式 的解集为 ， ，且2，3是一元二次方程 的两个根，故 正确； 由韦达定理得： ， ， ， ，故 正确； ，故 正确， ，故 错误． 故选： ． 19．不等式 的解集是 ，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：因为不等式 的解集是 ， 所以 ，且 ， 所以 所以 ， ， ， 故 正确， 错误．因为二次函数 的两个零点为 ，2，且图像开口向下， 所以当 时， ，故 正确． 故选： ． 20．已知函数 ，则下列说法中正确的是 A．若 ， 为方程 的两实数根，且 ，则 B．若方程 的两实数根都在 ，则实数 的取值范围是 C．若 ， ，则实数 的取值范围是 D．若 ， ， ，则实数 的取值范围是 【解答】解：对于 ，因为 ， 为方程 的两实数根，所以满足 ， 因为 ， 则 ，此时△ ， 所以 的取值范围为 或 ，故 正确； 对于 ．因为方程 的两实数根都在 ，满足 ， 解得 ，故 正确； 对于 ，因为 ， ，则 ， 即 ，因为 ，则 ，故 错误；对于 ，因为 图像开口向上， ， ，都有 ， 所以 ，即 ， 解得 ， 故 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知幂函数 的图象经过点 ，则 4 ． 【解答】解：设 ，则 ， ， 即 ， 所以 ． 故答案为：4． 22．已知幂函数 在 上为单调减函数，则实数 的值为 2 ． 【解答】解： 为幂函数， 则 ，解得 ， 当 时， ，在 上单调递增，不符合题意，舍去， 当 时， ，在 上单调递减，符合题意， 综上所述， 的值为2． 故答案为：2． 23．已知函数 ， （1） ，则 的最小值为 ．【解答】解：由 （1） 可得： ，则 ， 所以 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时最小值为 ， 故答案为： ． 24．若幂函数 的图像经过点 ，则此幂函数的表达式为 ． 【解答】解： 幂函数 的图像经过点 ， ， ， 则此幂函数的表达式为 ． 故答案为： ． 25．已知幂函数 在区间 上是严格减函数，且图像关于 轴对称，写出一个满 足条件的 ． 【解答】解：当 时， 在区间 上是严格减函数，且图像关于 轴对称． 故答案为： ． 四．解答题（共3小题） 26．已知二次函数 的图象经过点 ，方程 的解集为 ， ． （1）求 的解析式； （2）是否存在实数 ， ，使得 的定义域和值域分别为 ， 和 ， ？ 若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可设 ， 则 （4） ， 所以 ， ； （2）假设存在满足条件的 ， ， 因为 ， 所以 ，即 ， 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为 ， 故函数在 ， 上单调递增， 所以 ， 因为 ， 所以 ， ． 27．已知函数 ， ． （1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 的取值范围； （2）解关于 的不等式 ． 【解答】解：（1）因为不等式 的解集为 ，则△ ，解得 ， 所以实数 的范围为 ； （2）不等式 化简为： ， 因为方程 的两根分别为1， ， 当 时，不等式化为 ，此时不等式无解，当 时，解不等式可得 ， 当 时，解不等式可得 ， 所以当 时，不等式的解集为 ， 当 时，不等式的解集为 ， 当 时，不等式的解集为 ． 28．已知函数 ． （1）若 的图象与 轴的两个不同交点的横坐标分别为 ， ，求 的取值范围； （2）若 在 ， 上是减函数，且对任意的 ， ， ， 总有 成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可知方程 有两个不相等的实数根 ， ， 由韦达定理得 ， 所以△ ，解得 或 ， ， 令 ， 则当 时， ，当 时， ， 所以 ，所以 ，即 的取值范围为 ； （2）函数 图象的对称轴为直线 在 ， 上是减函数， 所以有 ，即 ， 又因为对任意的 ， ， ，总有 ，要使 成立，则必有 ， 在区间 ， 上， 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ，所以 ， 所以有 ，即 ，解得 ， 综上，实数 的取值范围是 ， ．