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第 13 章 轴对称 章节整合练习（17 个知识点+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的
距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距
离相等．
知识点2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
知识点3．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
知识点4．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的
重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解
决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的
思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
知识点5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶
角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线
是对称轴．
知识点6．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三
个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
知识点7．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性
质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的直
角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
知识点8．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
知识点9．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
知识点10．生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
知识点11．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
知识点12．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做
对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对
称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
知识点13．镜面对称
1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里
所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一
对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是
镜面反射的结果．
知识点14．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
知识点15．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
⇒②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
⇒
知识点16．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始
的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一
端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
知识点17．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确
定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况
要作点关于某直线的对称点．
章节题型整合练习
一．线段垂直平分线的性质
1．（2024•南安市模拟）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线分别交 、 于点
、 ，则 的周长为
A．8 B．11 C．16 D．172．（2024秋•江宁区校级月考）如图，△ 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点 、
， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．则△ 的周长为 ．
3．（2024•城关区校级模拟）电信部门要修建一座电视信号发射塔 ，按照设计要求，发射塔 到两城镇
、 的距离必须相等，到两条高速公路 和 的距离也必须相等．请在图中作出发射塔 的位置．
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
二．等腰三角形的性质
4．（2023秋•铁西区期末）等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为 ．
5．（2024秋•鲤城区校级月考）如图，在 中， ，点 是 上一点，过点 作
交 于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）试判断 的形状，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的周长．
三．等腰三角形的判定6．（2024秋•新吴区校级月考）已知：如图，△ 中 ， ，在直线 上找一点 ，
使△ 或△ 为等腰三角形，则符合条件的点 的个数有
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
7．（2023秋•东莞市期末）已知在 中， ， 平分 交 于 ．
（1）如图1．若 于 ， ，求 的度数；
（2）如图2，若 交 于 ，求证： ．
四．等腰三角形的判定与性质
8．（2023 秋•凉州区校级期末）如图，在 中， ， 的平分线交于点 ，过点 作
交 于点 ，交 于点 ．若 ， ， ，则 的周长是
A．15 B．18 C．20 D．229．（2023秋•凉州区期末）如图， 中， ， ， ， 与 的平分线相交
于点 ，过 点作 ，则 的周长为 ．
五．等边三角形的性质
10．（2024秋•宿豫区月考）如图，等边三角形 中， ， 为 边上一动点， ，
，垂足分别为 ， 则 的最小值为 ．
11．（2023秋•夏邑县期末）如图，在等边三角形 中， 是 边上一点，以 为边作等腰三角形
，使 ， ， 交 于点 ， ．
（Ⅰ）求 的度数；
（Ⅱ）求 的度数．
六．等边三角形的判定12．（2023秋•成华区期末） 的三边长 ， ， 满足 ，则
是
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
13．（2022秋•藁城区期末）如图， 中， ， 是中线，延长 至 ，使 ，若
，求证： 是等边三角形．
七．等边三角形的判定与性质
14．（2023秋•太康县期末）下列说法中，正确的个数是
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为 的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为 的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2023秋•方城县期末）如图，在 中， 是高，点 是 边的中点，点 在 边的延长线上， 的延长线交 于点 ，且 ，若 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）请判断线段 与 的大小关系，并说明理由．
八．含30度角的直角三角形
16．（2024秋•崇川区校级月考）在 △ 中， ， ， 是斜边 上的高，则下
列关系式不正确的是
A． B． C． D．
17．（2023秋•金州区期末）在 中， ，有一个锐角为 ， ，若点 在直线
上（不与点 ， 重合），且 ，则 的长为 ．
18．（2023秋•璧山区期末）上午8时，一条船从海岛 出发，以15海里 时的速度向正北航行，10时到达海岛 处，从 ， 望灯塔 ，测得 ， ．
（1）求从海岛 到灯塔 的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔 的距离最短？
九．作图—基本作图
19．（2024秋•阳谷县校级月考）如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时，作了 ，
在作图痕迹中弧 是
A．以点 为圆心， 长为半径的弧
B．以点 为圆心， 长为半径的弧
C．以点 为圆心， 长为半径的弧
D．以点 为圆心， 长为半径的弧
20．（2024秋•西青区校级月考）如图，画出△ 的三条高．一十．生活中的轴对称现象（共3小题）
21．（2022秋•道里区期末）视力表中的字母“ ”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母
“ ”不能关于某条直线成轴对称的是
A． B．
C． D．
22．（2022秋•开封期末）如图， ， ，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中， ．
23．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个
球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入哪一个球袋？说明理由．一十一．轴对称的性质（共2小题）
24．（2024秋•江宁区校级月考）如图，△ 与△ 关于直线 对称，则 的度数为
A． B． C． D．
25．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图所示，已知 是 内的一点，点 、 分别是 点关于 、
的对称点， 与 、 分别相交于点 、 ，已知 ．
（1）求△ 的周长；
（2）若 ，求 （用含 的代数式表示）．
一十二．轴对称图形
26．（2024秋•香坊区校级月考）下列图案中，不是轴对称的图形有A． B．
C． D．
27．（2023秋•花垣县校级月考）阳阳同学发现了这样一个正多边形，它的每个外角都等于它每个内角的
，阳阳想知道它是一个正几边形，还想知道它每个内角和每个外角的度数，还想知道它是不是轴对称图
形，还想知道它的对称轴有多少条，还想知道 呃，想知道的还真有点多，也只有你能帮助阳阳同学了，
请把所有的答案都写下来告诉他吧！
一十三．镜面对称
28．（2024•金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是
A． B． C． D．
29．（2024秋•南岗区校级月考）一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌照号码为
．
一十四．关于x轴、y轴对称的点的坐标30．（2024秋•南岗区校级月考）在平面直角坐标系中，则与点 关于 轴对称的点 的坐标为
A． B． C． D．
31．（2024秋•望城区校级月考）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为 ．
32．（2023秋•沙河口区期末）点 是平面直角坐标系 内一点，点 的轴变换定义为：当
时，作点 关于 轴对称：当 时，作点 关于 轴对称．
根据定义，解决问题：
如图，平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 的坐标为 ，其中 ，点 ， 轴变换后的
对应点是点 ， ．
（1）分别求 ， 的坐标；
（2）若 ，求 的值．一十五．坐标与图形变化-对称
33．（2023秋•平原县期末）与点 关于直线 对称的点为
A． B． C． D．
34．（2023秋•玉门市期末）如图是国庆阅兵时，战机在空中展示的轴对称队形．以飞机 ， 所在直线
为 轴、队形的对称轴为 轴，建立平面直角坐标系．若飞机 的坐标为 ，则飞机 的坐标为
．
35．（2023秋•南关区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点 ，且平行于 轴．
（1）如果 三个顶点的坐标分别是 ， ， ， 关于 轴的对称图形是△
，△ 关于直线 的对称图形是△ ，写出△ 的三个顶点的坐标；
（2）如果点 的坐标是 ，其中 ，点 关于 轴的对称点是 ，点 关于直线 的对称点是
，求 的长．一十六．作图-轴对称变换
36．（2021秋•泰山区期末）如图，保持 的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘 ，画出坐标变化
后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是
A．关于 轴对称
B．关于 轴对称
C．将原图形沿 轴的负方向平移了1个单位
D．将原图形沿 轴的负方向平移了1个单位
37．（2023秋•曹县期末）如图，在正方形网格中，与 成轴对称的三角形可以画出 个．一十七．轴对称-最短路线问题
38．（2024•开州区开学）如图，直线 是一条河， ， 是两个村庄，欲在 上的某处修建一个水泵站，
向 ， 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A． B．
C． D．
39．（2024秋•香坊区校级月考）如图， ， 是 内的一个定点， ， ， 分
别是 ， 上的动点，连接 ， ， ，则△ 周长的最小值为 ．
40．（2023秋•雅安期末）如图， ， ， ， ， ， 是 上一动点，
设 ．
（1）用 表示 ；
（2）当 为何值时， ；
（3）代数式 是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由．
