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第13 章 轴对称（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．学校为庆祝国庆，在校内张贴了“爱我中华”四字标语，这些汉字中是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
2．如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于
点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（ ）
A．30° B．60° C．50° D．40°
3．如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ， ．作直
线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ， ，则 的周长为
（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
4．若点 关于 轴的对称点在第四象限，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错
△误的是（ ）
A． B． C． D．
6．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：将一张四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A恰巧落在BC上，
已知∠C＝90°，AB＝6dm，BC＝9dm，CD＝4dm，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24dm2 B．30dm2 C．36dm2 D．42dm²
7．如图，在 中， ，边 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ， ，点 是边
的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ，若 ， ， 周长最小时， ， 之
间的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在等腰三角形ABC中， ，过点A作 的高AD．若 ，则这个三角形的底角与顶
角的度数比为（ ）
A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10
9．如图，等边△ABC中，D是边BC上不与两端点重合的点，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点
E，F，连接ED，FD，则下列选项中不一定正确的是（ ）A．EA=ED B．∠EDF=60° C．DF⊥AC D．∠2=2∠1
10．在△ABC中，CD平分∠BCA，与AB交于点D．若BD＝3，AD＝4，∠A＝30°，△ABC中BC边上的
高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，
∠BDC＝140°，则∠A的度数为 ．
12．如图， 和 关于直线AB对称， 和 关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若
， ，则 的度数为 ．
13．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则
∠EAN= ．14．在平面直角坐标系中，点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
15．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在
BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝ ．（用α含的式子表示）
16．如图，在 中， ，M、N为边AB、BC上的两个动点，将 沿MN翻折，翻折后点B
的对应点D落在直线BC上方，连接CD， ，且 ，则当 是等腰三角形
时， 度．
17．如图1，将一张直角三角形纸片 （已知 ， ）折叠，使得点 落在点 处，
折痕为 ．将纸片展平后，再沿着 将纸片按着如图2方式折叠， 边交 于点 ．若 是等
腰三角形，则 的度数可能是 ．
18．如图， ，在直线 上方作等腰 ， ， ，连接 ，当 最
大时， ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河 上的某一位置P，再马上赶到河 上
的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程
最短．
20．（8分）如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE
并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．
（1）说明△ACE≌△MCF的理由；
（2）说明△CNB为等边三角形的理由．21．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，
连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP=NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
22．（10分）如图， 为等边三角形，点D在线段BA的延长线上，以DC为边在BC的上方作等
边 （点E与点B在DC的两侧）．
（1）求证： ；
（2）点F与点E关于直线DC对称，连接 ，试探究 与 有怎样的数量关系？并证
明你探究的结论．23．（10分）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直
线AB于点G．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：
①△BDF≌△ADC；
②FG＋DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．24．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为
∵
∴
【新知应用】已知：在 中， ，若 ，则 ______；若 ，则 ______．
【尝试探究】如图2，四边形 中， ， ，若连接 ，则 平分 ．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长 到点 ，使得 ，连接 ，利用三角
形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形 中， ， ，
，连接 ， 平分 吗？请说明理由．参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、“爱”不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、“我”不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、“中”是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、“华”不是轴对称图形，故该选项不符合题意．
故选：C
【点拨】本题考查了轴对称图形，解本题的关键在熟练掌握轴对称图形的定义．
2．D
【分析】由折叠的性质得到∠ADB＝∠EDB，解得∠ADF的度数，再根据两直线平行内错角相等解答．
【详解】由折叠的性质得∠ADB＝∠EDB，
∴∠ADF＝2∠ADB，
∵∠ADB＝20°，
∴∠ADF＝2×20°＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠ADF＝40°，
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由 ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得
到答案． △
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵ ， ，
∴ ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝A△B＋AD＋CD＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线
段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出对称点，再由第四象限内点的坐
标符号为（+，-），据此列不等式解答．
【详解】解：∵点 关于 轴的对称点坐标为（a+1，2a-2），且在第四象限，
∴a+1>0，且2a-2<0，
解得-1
