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第13 章 轴对称（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．学校为庆祝国庆，在校内张贴了“爱我中华”四字标语，这些汉字中是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
2．如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于
点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（ ）
A．30° B．60° C．50° D．40°
3．如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ， ．作直
线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ， ，则 的周长为
（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
4．若点 关于 轴的对称点在第四象限，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错
△误的是（ ）
A． B． C． D．
6．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：将一张四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A恰巧落在BC上，
已知∠C＝90°，AB＝6dm，BC＝9dm，CD＝4dm，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24dm2 B．30dm2 C．36dm2 D．42dm²
7．如图，在 中， ，边 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ， ，点 是边
的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ，若 ， ， 周长最小时， ， 之
间的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在等腰三角形ABC中， ，过点A作 的高AD．若 ，则这个三角形的底角与顶
角的度数比为（ ）
A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10
9．如图，等边△ABC中，D是边BC上不与两端点重合的点，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点
E，F，连接ED，FD，则下列选项中不一定正确的是（ ）A．EA=ED B．∠EDF=60° C．DF⊥AC D．∠2=2∠1
10．在△ABC中，CD平分∠BCA，与AB交于点D．若BD＝3，AD＝4，∠A＝30°，△ABC中BC边上的
高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，
∠BDC＝140°，则∠A的度数为 ．
12．如图， 和 关于直线AB对称， 和 关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若
， ，则 的度数为 ．
13．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则
∠EAN= ．14．在平面直角坐标系中，点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
15．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在
BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝ ．（用α含的式子表示）
16．如图，在 中， ，M、N为边AB、BC上的两个动点，将 沿MN翻折，翻折后点B
的对应点D落在直线BC上方，连接CD， ，且 ，则当 是等腰三角形
时， 度．
17．如图1，将一张直角三角形纸片 （已知 ， ）折叠，使得点 落在点 处，
折痕为 ．将纸片展平后，再沿着 将纸片按着如图2方式折叠， 边交 于点 ．若 是等
腰三角形，则 的度数可能是 ．
18．如图， ，在直线 上方作等腰 ， ， ，连接 ，当 最
大时， ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河 上的某一位置P，再马上赶到河 上
的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程
最短．
20．（8分）如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE
并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．
（1）说明△ACE≌△MCF的理由；
（2）说明△CNB为等边三角形的理由．21．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，
连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP=NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
22．（10分）如图， 为等边三角形，点D在线段BA的延长线上，以DC为边在BC的上方作等
边 （点E与点B在DC的两侧）．
（1）求证： ；
（2）点F与点E关于直线DC对称，连接 ，试探究 与 有怎样的数量关系？并证
明你探究的结论．23．（10分）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直
线AB于点G．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：
①△BDF≌△ADC；
②FG＋DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．24．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为
∵
∴
【新知应用】已知：在 中， ，若 ，则 ______；若 ，则 ______．
【尝试探究】如图2，四边形 中， ， ，若连接 ，则 平分 ．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长 到点 ，使得 ，连接 ，利用三角
形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形 中， ， ，
，连接 ， 平分 吗？请说明理由．参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、“爱”不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、“我”不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、“中”是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、“华”不是轴对称图形，故该选项不符合题意．
故选：C
【点拨】本题考查了轴对称图形，解本题的关键在熟练掌握轴对称图形的定义．
2．D
【分析】由折叠的性质得到∠ADB＝∠EDB，解得∠ADF的度数，再根据两直线平行内错角相等解答．
【详解】由折叠的性质得∠ADB＝∠EDB，
∴∠ADF＝2∠ADB，
∵∠ADB＝20°，
∴∠ADF＝2×20°＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠ADF＝40°，
故选：D．
【点拨】本题考查折叠的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由 ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得
到答案． △
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵ ， ，
∴ ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝A△B＋AD＋CD＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线
段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出对称点，再由第四象限内点的坐
标符号为（+，-），据此列不等式解答．
【详解】解：∵点 关于 轴的对称点坐标为（a+1，2a-2），且在第四象限，
∴a+1>0，且2a-2<0，
解得-1<a<1，
故选：C．
【点拨】此题考查了轴对称的性质，各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标符号特点是解题的关
键．
5．D
【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB= （180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD= AD，故选项D不成立；
故选：D．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．6．B
【分析】由折叠的性质得到BE=BA=6，∠ABD=∠EBD，利用角平分线的性质以及三角形公式即可求解．
【详解】解：根据题意，将一张四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A恰巧落在BC上的E处，连接DE，过
点D作DF⊥BA并交BA的延长线于点F，如图：
∴BE=BA=6，∠ABD=∠EBD，
∵∠C=90°，DF⊥BA，
∴DF=DC=4，
∴四边形ABCD的面积= BC CD+ AB DF= 9 4+ 6 4=30(dm2) ．
故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
7．C
【分析】连接AP，根据线段垂直垂直平分线的性质可知PA=PC， ．由
，即得出 ，由此可知当A、P、D在同一直线上时， 最小．
再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为 的平分线，即 ．最后根据三
角形外角性质即得出 ，由此即可判断 ．
【详解】如图，连接AP，
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，
∴PA=PC， ．
∵ ,∴ ．
由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时， 最小，即为 的长，
∴此时 最小．
∵D是边BC的中点，AB=AC，
∴AD为 的平分线，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．
根据题意理解当A、P、D在同一直线上时 最小是解题关键．
8．D
【分析】分等腰三角形顶角是钝角和锐角两种情况讨论即可.
【详解】解：情况1：如图：
∵ ，
∴ ，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15º，底角与顶角的度数比为：15º:150º=1:10；
情况2：如图：
∵ ，CA=CB，
∴∠B=∠CAB= ，
底角与顶角的度数比为：75º:30º=5:2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5:2或1:10，
故选：D.
【点拨】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用.分情况讨论是解答此题的关键.
9．C
【分析】由线段垂直平分线的性质得出EA=ED，FA=FD，选项A正确；
由等边三角形的性质得出∠BAC=∠B=60°，由等腰三角形的性质得出∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，得出
∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，选项B正确；
由三角形的外角性质得出∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，再由∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED，得出∠2=2∠1，选
项D正确；即可得出结论．
【详解】解： EF是AD的垂直平分线，
EA=ED，FA=∵FD，选项A正确；
∴△ABC是等边三角形，
∵∠BAC=∠B=60°，
∴EA=ED，FA=FD，
∵∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，
∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，选项B正确；
∴∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED
∵ ∠2= 2∠1，
∴60°+ 60°+∠2=2∠1，选项D正确；
∴已知条件不能推出DF与AC是否垂直
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角性质；
熟记等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
10．D
【分析】过点 作 垂足为 ，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
证明 ，得到 ，根据等面积求得 ，设 ，由
，得出 ，根据等面积法求得 的长，即可求解．
【详解】如图，过点 作 垂足为 ，过点 作 于 ，过点 作 于
点 ，
∵CD平分∠BCA，
∴ ，
在 与 中
∴
∴
∵
∴
设∵
∴
∴
又
∴
故选D
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．130°/130度
【分析】先利用轴对称的性质得到∠ABC＝∠A'BC＝30°，∠ACB＝∠A'CB，再利用平行的性质得到∠CBD
＝∠ACB，等量代换得到∠CBD＝∠A'CB，利用三角形内角和定理求出∠A'CB，最后利用三角形内角和定
理即可求出∠A的度数．
【详解】解：∵△ABC沿BC翻折得到△A'BC，
∴∠ABC＝∠A'BC＝30°，∠ACB＝∠A'CB，
∵ BD AC，
∴∠CBD＝∠ACB，
∴∠CBD＝∠A'CB，
∵∠BDC＝140°，
∴∠A'CB＝ ，
∴∠ACB＝20°，
∴∠A＝ ．
故答案为：130°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的性质等，利用轴对称的性质得出∠ABC＝
∠A'BC，∠ACB＝∠A'CB是解题的关键．
12．
【分析】根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，
∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，
∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，
∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，
故答案为：118°．
【点拨】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．
13．32°
【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出
∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．
【详解】解：在 ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B＋∠C＝180△°−∠BAC＝180°−106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）＝106°−74°＝32°．
故答案为32°．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋
∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．
14．
【分析】先求出点 到直线 的距离，再根据对称性求出对称点 到直线 的距离，从而得到点
的横坐标，即可得解．
【详解】∵点 ，
∴点 到直线 的距离为 ，∴点 关于直线 的对称点 到直线 的距离为3，
∴点 的横坐标为 ，
∴对称点 的坐标为 .
故答案为 ．【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线 的距离，从而得到横坐
标是解题的关键，作出图形更形象直观．
15．180°﹣α．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝
FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可
得到结论．
【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角
形是解题的关键．
16．40
【分析】连接BD，根据折叠的性质可得 ，得
，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三种情况讨论可得结果．
【详解】解：连接BD，如图，
由折叠可得，MB=MD，BN=DN，
∴ ，
∵
∴
∴∵
∴
∵ 是等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①当NC=DC时，
又
∴
整理得，
故此种情况不存在；
②当DN=DC时，
∴
解得，
∴ ；
∵∠AMD＞20°，
∴此种情况须舍去；
③当DN=NC时，
∵
∴
解得，
∴
综上， 的度数为
故答案为：
【点拨】此题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，灵活掌握分
类讨论思想是解答此题的关键．
17． ＃＃
【分析】由翻折可得AD=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，所以∠BDB′=4∠A，所以∠ADF=180°-4∠A，
∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，若∠ADF是等腰三角形，有三种情况：①当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，②
当AD=DF时，∠AFD=∠A，③当DF=AF时，∠ADF=∠A，然后分别列式计算即可解决问题．
【详解】由翻折可知： ， ，
，，
，
，
，
， ，
若 是等腰三角形，有三种情况：
①当 时， ，
，
解得 ；
②当 时， ，
，
（不符合题意舍去）；
③当 时， ，
，
解得 ．
综上所述： 的度数可能是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性
质．
18．
【分析】构造等腰 ，如图1，使 ， ，则 ，
，当 、 、 三点共线时， 最大，然后根据已知角及等腰三角形的性质即可求
解．
【详解】解：如图1，构造等腰 ，使 ， ，则 ， ，
∴当 、 、 共线时， 最大，
此时，如图2所示，
， ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：45°．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线，
找出当 最大时的图形．
19．见解析
【分析】将 通过轴对称转化为几条“直线段”的和即可．
【详解】解：如图：
作点M关于 的对称点 ，作点N关于 的对称点 ，
连接 交 于P、交 于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【点拨】此题考查了轴对称最短路径问题，正确理解最短路径即利用轴对称的性质将几条线段的和化为
“直线段”的和的过程是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由△ACM和△CEF是等边三角形，得CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，再利用SAS
即可证出△ACE≌△MCF；
（2）由△ACE≌△MCF，得∠CAE=∠CMF，由∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，可
得∠ACN=∠MCB，再利用ASA证出△ACN≌△MCB，得到CN=CB，再由∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，即
可证明△CNB是等边三角形．
【详解】（1）证明：△ACM和△CEF是等边三角形，
∴CA=CM，CE=CF，
∠ACM=∠ECF=60°，
在△ACE和△MCF中，
，
∴△ACE≌△MCF（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△MCF（SAS），
∴∠CAE=∠CMF，
∵∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN与△MCB中，，
∴△ACN≌△MCB（ASA），
∴CN=CB，
∵∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，
∴△CNB是等边三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与
性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)见详解；
(2)0.5a．
【分析】（1）过点M作MQ CN，证明 即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
【详解】（1）如下图所示，过点M作MQ CN，
∵ 为等边三角形，MQ CN，
∴ ，
则AM=AQ，且∠A=60°，
∴ 为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQ CN，
∴∠QMP=∠CNP，
在 ，∴ ，
则MP=NP；
（2）∵ 为等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得， ，
则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
22．(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明 ，再利用全等三角形的对应
边相等即可证得结论；
（2）利用对称性质得到 ， ，进而得到
，证明 得到 即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ；证明：∵点F与点E关于直线 对称，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴
即 ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、对称性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，
会利用全等三角形的性质探究线段的数量关系是解答的关键．
23．(1)①见解析；②见解析
(2)FG＝DC+AD
【分析】（1）①可以证明 为等腰直角三角形，得到AD＝BD，再利用ASA判定三角形全等即可；
②由上一小问中三角形全等可知DF＝DC，再去证明FA＝FG，则FG+DC＝FA+DF＝AD；
（2）易知△ABD、△AGF为等腰直角三角形，BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，再证明△BDF≌△ADC，得到
DF＝DC，则得到FG＝DC+AD．
【详解】（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，
∵∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°
又∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠CBE＝∠DAC，
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，
∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵FDB≌△CDA，
∴DF＝DC；∵GF BC，
∴∠AGF＝∠ABC＝45°，
∴∠AGF＝∠BAD，
∴FA＝FG，
∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
理由：∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，
∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，
∴∠DFB＝∠DCA，
又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
【点拨】本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，
注意熟练掌握．
24．新知应用： ；
尝试探究：见解析
拓展应用： 平分 ；见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）延长 到点 ，使得 ，连接 ，证明 得到 ， ，
从而得出 平分 ；
（3）连接 ，延长 到 ，使 ，连接 ，由 ，得到 ，
， ，再证明 得到 ，从而得出 平分 ．
【详解】新知应用：
∵ ，
∴ ，
若 ，则 ；若 ，则 ，
∴ ；
故答案是 ；
尝试探究：
证明：如图，延长 到点 ，使得 ，连接 ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ；
拓展应用：
证明：连接 ，延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ；
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定
义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
