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第14 章 整式的乘法与因式分解（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点1】幂的运算
m，n
（1）同底数幂的乘法： ( 为正整数)；
（2）幂的乘方： (m，n为正整数)；
（3）积的乘方： (n为正整数)；
a m，n mn
（4）同底数幂的除法： ( ≠0, 为正整数，并且 ).
a0 1a 0.
（5）零指数幂： 即任何不等于零的数的零次方等于1.
【要点2】整式的乘法和除法
（1）单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .即
m(abc) mambmc m,a,b,c
( 都是单项式).
（3）多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
abmnamanbmbn
即 .
（4）单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数
一起作为商的一个因式.
（5）多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
(ambmcm)m ammbmmcmm abc
即：
【要点3】乘法公式
(ab)(ab)a2 b2
方差公式：
（1）平 ；
ab2 a2 2abb2 (ab)2 a2 2abb2
2）完全平方公式： ；
（
【要点4】因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这
个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22·23下·南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑
料快餐盒的污染面积为 ，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学
记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（22·23·德阳·中考真题）已知 ，则 （ ）
A．y B． C． D．
3．（22·23下·邵阳·期中）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（23·24上·渝中·阶段练习）若多项式 与 的乘积中不含 项和 项，则
（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（23·24上·渝中·阶段练习） ， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（22·23下·太原·期中）下列各图中，能直观解释“ ”的是（ ）
A． B．
C． D．7．（22·23上·南宁·阶段练习）多项式 的公因式是（ ）
A．3 B． C． D．
8．（22·23下·秦皇岛·三模）数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错
的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．（22·23上·南阳·阶段练习）设M为多项式，且 ，则M应为（ ）
A． B． C． D．
10．（22·23上·泉州·期中）如图，若将左边的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰好能拼
成右边的矩形．则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22·23下·廊坊·三模） 是 的 倍．
12．（11·12下·扬州·期中） = ．
13．（22·23下·苏州·期中） ．
14．（22·23下·开封·期末）写出计算结果为 的两个整式相除的算式： ．15．（23·24上·南阳·阶段练习）若M是一个单项式，且 ，则
16．（22·23下·榆林·一模）中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》出现了如下图的内容，
后人称其为“杨辉三角”．请观察图中规律，则图中横线处应填写的内容是 ．
17．（22·23上·宁波·期末）按如图所示程序运算，x为不超过20的自然数．当输入值x为
时，输出值最小．
18．（22·23下·成都·期中）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有
力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式 进行因式分解得到
，若取 ，则2→2，x→12，y→7， →14，可得密码为 ，对于代数式
，若取 ，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即
可）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23·24上·福州·期中）计算：
（1） （2）
20．（8分）（21·22下·菏泽·期中）（1）化简： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（10分）（23·24上·漳州·期中）将下列各式分解因式
（1）
（2）
（3）利用因式分解进行简便计算：
22．（10分）（21·22下·茂名·阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去
a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如
图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．23．（10分）（23·24上·东城·期中）下面是某同学对多项式 进行因式分解
的过程：
解：设
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________________________．
（3）模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
24．（12分）（23·24上·奉贤·期中）在长方形 内将两张边长分别为a和 的正方形纸片
按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ．
（1）当 ， ， ， 时， __________， __________．
（2）当 ， 时， __________， __________．（用a和b的代数式表示）
（3）当 时， 的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示）
参考答案：
1．A
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为 ， 为正整数，且比原数的整
数位数少1，据此可以解答．
解： 万 ．
故选：A．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法表示较大的数一般形式为 ，其中
， 是正整数，正确确定 的值和 的值是解题的关键．
2．D【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得 ，再代入计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
故选D
【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“ ”是解本题的关键．
3．C
【分析】根据幂的乘方即可完成计算．
解： ，
故选：C．
【点拨】本题考查了幂的乘方，熟悉幂的运算性质是关键．
4．C
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项，使x项和 项的系数等于0即可．
解：
，
多项式 与 的乘积中不含 项和 项，
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
5．B
【分析】把 ， 代入 ，再计算即可得到答案．
解：∵ ， ，∴ ；
故选B
【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解本题的关键．
6．C
【分析】根据长方形和正方形的面积计算公式进行求解即可．
解： 、 表示 ，故不符合题意；
B、 表示 ，故不符合题意；
C、 表示 ，故符合题意；
D、 表示 ，故不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了积的乘方计算，正确理解数形结合的思想求解是解题的关键．
7．C
【分析】找出多项式的公因式即可．
解：多项式 的公因式是 ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只
在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式．
8．B
【分析】根据同底数幂的运算法则，合并同类项的运算法则，逐个进行判断，即可进行解答．
解：（1） ，故（1）不正确，同学判断正确；（2） ，不是同类项，不能相加减，故（2）不正确，同学判断正确；
（3） ，故（3）不正确，同学判断正确；
（4） ，故（4）不正确，同学判断错误；
（5） ，故（5）不正确，同学判断正确；
综上：同学判断正确的有（1）（2）（3）（5），共4个；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），
底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同
类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
9．B
【分析】利用平方差公式进行因式分解，求解即可．
解：由题意可得：
故选：B
【点拨】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
10．C
【分析】根据左边图形为正方形可得其面积为 ，右边矩形面积为 ，根据题意，左边
的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰好能拼成右边的矩形，从而得到答案．
解：根据题意，左边正方形边长为 ，右边矩形长为 ，宽为 ，
将左边的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰好能拼成右边的矩形，
正方形面积与矩形面积相等，即 ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查图形的剪拼，是一个信息题，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件
找到数量关系，然后利用数量关系列出等式是解决问题的关键．11．27
【分析】根据同底数幂的乘法得出 ，即可求解．
解：∵ ，
∴ 是 的27倍．
故答案为：27．
【点拨】本题考查了同底数幂乘法的逆用，掌握运算法则是解题的关键．
12．-x6
【分析】根据乘方的意义，以及幂的乘方法则 即可求解．
解： ，
故答案为：-x6．
【点拨】本题考查了幂的乘方，理清指数的变化以及确定结果的符号，是解题的关键．
13．
【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
解：
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方公式的逆用，解题的关键是熟练掌握积的乘方和
同底数幂的乘法运算法则．
14． （答案不唯一）
【分析】根据整式的除法法则列式计算即可．
解：由题意可得：，
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题考查了整式的除法运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式法则．
15．
【分析】通过因式分解， ，求得 ．
解：∵
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查因式分解与整式乘法；通过因式分解将多项式化为两个代数式的积的形式是解题的
关键．
16．
【分析】根据规律填写即可．
解：根据题意得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列、b的升幂排列的，它的两端都是由数字1
组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
17．9或18/18或9
【分析】大于10的自然数从11开始，从输出数值为11，12等依次分析可得答案．
解：若最小为11，①输入为22，不在0至20之间，舍去
②输入为8，不合题意，舍去
若最小为12，①输入为24，不在0至20之间，舍去
②输入为9，可行
③9可以由18除以2得到，故18可行
综上，最后结果为9，18；故答案为：9或18．
【点拨】本题考查的是有理数的混合运算，代数式的求值与程序框图的含义，理解题意是解本题的关
键．
18． （答案不唯一）
【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可．
解：
当 时，
即3→3，a→15， →3， →11，
可得密码为： ．
故答案为： （答案不唯一）
【点拨】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解；
（2）根据多项式除以单项式进行计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
20．（1） ；（2）x-3y：
【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算乘法，再合并，最后计算除法，然后把 代入化简后的结果，即可求解．
解：（1）原式＝（2）
把 代入 ．
【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法是解题的关键．
21．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）把 看作整体，利用完全平方公式进行因式分解；
（2）先提取公因式 ，再用完全平方公式进行因式分解；
（3）先提取公因式4，再用平方差公式进行因式分解即可求值．
（1）解：
；
（2）解：（3）解：
．
【点拨】本题考查了因式分解及因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．
22．（1）A区显示的结果为-2a+25；B区显示的结果为6a-16；（2） ；代数式乘积的
值为 230
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后将a＝1代入求值即可．
解：（1）第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为
故答案为： ，
（2）（-2a+25）（6a-16）
=
当a＝1时
原式=﹣12+182﹣400= 230
【点拨】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式，准确理解题意，并熟练掌握运算法则是解题的关
键．
23．（1）C；（2） ；（3）
【分析】本题考查了因式分解：
（1）根据分解因式的过程可得答案；
（2）将结果再次因式分解即可；
（3）将 看作整体进行因式分解即可；
掌握运用公式法分解因式是解题的关键，注意因式分解要分解彻底．
（1）解： ，
则运用了两数和的完全平方公式进行因式分解，
故选C．
（2） ，故答案为： ．
（3）设 ，
原式
．
24．（1） ， ；（2） ， ；（3）b
【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思
想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．利
用面积的和差分别表示出 和 ，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
（1）解： ，
，
， ， ， ，
，
；
故答案为： ， ；
（2）解： ， ，
，；
故答案为： ， ；
（3）解： ，
，
，
，
，
．
故答案为：．
