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专题八 整式的实际应用
1．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 2a 3b 4c
(1) 做这两个纸盒共用料多少cm2?
(2) 做小纸盒比做大纸盒少用料多少cm2?
2．如图，是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m）．
(1)求这所住宅的建筑面积（用含x式子表示）；
(2)若某市今年10月的房价均价约为15000元m2，求当图中的x=6，y=4时，住户买此房产的总房
价为多少万元？3．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．
小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，
多于50km的记为“+”，不足50km的记为“−”，刚好50km的记为“0”．
第二 第四 第六
第一天 第三天 第五天 第七天
天 天 天
路程（km） −9 −15 −14 0 +25 +31 +32
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走_______km；
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)已知汽油车每行驶100km需用汽油6.5升，汽油价8.4元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量
为35度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？4．窗户形状如图所示，其上部是由三个大小相等的扇形组成的半圆形，下部是由大小相同的两个长
方形构成，且长方形的长为x，宽为y，窗框为铝合金材料（图中实线部分），窗户全部安装玻璃
（图中空白部分）．（中π取3，圆的面积和周长公式：S=πR2，C=2πR，图中的长度单位：
米）
(1)求这样一扇窗户一共需要铝合金材料的总长为多少米？（用含x，y的式子表示）
(2)求这样一扇窗户一共需要玻璃多少平方米？（铝合金窗框宽度忽略不计，结果用含x，y的式子表
示）
(3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价：
铝合金材
玻璃
料
不超过100平方米的部分：90元/平方米，
甲厂商 180元/米
超过100平方米的部分：70元/平方米乙厂商 200元/米 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金
当x=4，y=2时，从该公司购进这批窗户的总费用角度考虑，在哪个厂商购买窗户合算？
5．（1）一个两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b．把这个两位数的十位上的数与个位上的
数交换位置，得到一个新的两位数．计算原数与新数的和，这个和能被11整除吗？请说明理由；
（2）一个四位数的千位与个位的数字均为m，百位与十位的数字均为n，这个四位数能被11整除吗？
请说明理由．
6．某路公交车从起点经过A、B、C、D站到达终点，一路上下乘客如下表所示．（用正数表示上车
的人数，负数表示下车的人数）起
A B C D 终点
点
上车的人数 18 15 13 8 6 0
下车的人数 0 −4 −5 −11 −12
(1)到终点下车________人；
(2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？________站和________站；
(3)若每人上车需买票2元，问该车出车一次能收入多少钱？
7．某条公交车的线路上从起点到终点共设有6个车站．一辆公交车由起点开往终点（到达终点时所
有乘客均下车），在第一站始发时上了a名乘客，其余每站上、下车的乘客数如下表：
站次 一 二 三 四 五 六
上车人
a 5 1 5 4
数
下车人
0 1 2 3 6 5
数
(1)直接写出：①各站下车的总人数是______，②a的值是______；
(2)汽车从第三站开往第四站途中，车上共有多少名乘客？(3)公交车在哪两个站之间运行时车上乘客最多？最多是多少名乘客？
8．为了更好的落实“双减”政策，某校计划购买一批排球用于课后服务相关活动．为了保证排球质
量，随机选取了10个排球进行重量检查，若将每个排球标准重量设定为270克，超过或不足标准重
量的克数分别用正、负数来表示，这10个排球实际重量记录如下表：差值（克） +1.2 −1 +1.6 +2.3 −1.2 +1.7 −2.1 0 −0.9 +2.4
(1)求这10个排球的实际总重量；
(2)已知排球的价格如下表所示：
一次购买个数（n） 1≤n≤50 51≤n≤100 n>100
每个排球的价格 78元 66元 60元
已知该校七年级至少需要排球x个，八年级至少需要排球y个．
①在实际生活中，根据以上的定价规则，会出现多购买比少购买反而付钱少的情况．根据你的生活
经验，如果x=45，七年级怎样购买最省钱？请简要说明理由；
②若x+ y=100，则所需费用最少为______元．9．A，B两市盛产柑橘，国庆期间，A市有柑橘240吨，B市有柑橘260吨，现将这些柑橘全部运到
C，D两个市场．C市场需200吨，D市场需300吨．从A市运往C，D两个市场的费用分别为20
元/吨和30元/吨，从B市运往C，D两个市场的费用分别为24元/吨和32元/吨．设从A市运往C市
场的柑橘重量为x吨．
(1)请用含x的式子表示：
①从A市运往D市场的柑橘重量为_______吨；
②从B市运往D市场的柑橘重量为________吨；
(2)求整个运输所需的总费用（用含x的式子表示）．
10．一种笔记本售价为2.5元/本，如果买100本以上（不含100本），售价为2元/本．请回答下面的
问题：
(1)当n≤100时，买n本笔记本所需钱数为______，当n>100时，买n本笔记本所需的钱数为______．
(2)如果七（1）、七（2）两班分别需要购买50本，52本，怎样购买可省钱？可以省多少钱？
(3)如果两次共购买200本笔记本（第二次比第一次多），平均每个笔记本为2.2元/本，两次分别购买
多少本？11．某市居民使用自来水按如下标准收费：若每户用水不超过12m3，按a元/m3收费，若超过12m3，
但不超过20m3，则超过部分按1.5a元/m3收费；若超过20m3，超过部分按2a元/m3收费．
(1)按要求填空：①用户用水量为18m3时，收费金额______元；②用户用水量为26m3时，收费金额
______元；③用户用水量为n(n>20)，收费金额______元．
(2)若a=1.5，则当该用户上月水费为60元时，直接写出n的值______．12．问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：
图2中，当a=7，b=3时，正方形的面积既可以用(3+7) 2=100，也可以用1个较大正方形和一个小
正方形及两个长方形的面积和表示为72+2×3×7+32=100，也就是说，这个正方形的面积为可以
用等式表示为：(7+3) 2=72+2×3×7+72．请用小明计算的方法，直接写出图3中，若a=10，
b=3时，表示的等式为______．
数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______．
数学思考：边长为a的正方形ABCD和边长为b(a>b)的正方形CEFG拼在一起，B，C，E三点在同
一条直线上，设图中阴影部分面积为S．（1）如图4，S的值与a的大小有关吗？请说明理由．
（2）如图5，若a+b=10，ab=21．直接写出S的值．
数学运用：如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足①
a2m2−2abmn+b2n2=4与②b2m2+2abmn+a2n2=16．若图4中阴影部分的面积为3，图5中梯
形ABCD的面积为5，则图5阴影部分的面积是______．（直接写出结果）．13．乐乐在妈妈的监督下进行了7次跳绳检测，检测他一分钟跳绳的个数，并把每次的个数都与前
一次进行比较，超出的部分记为“+”，不足的部分记为“－”．下表记录了他第2次到第7次的检
测结果．
第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次
+1 −8 +5 +4 +5 n
(1)若乐乐第1次的检测成绩为m个．请直接写出：
①第4次检测成绩的个数（用m表示）；
②第2次到第6次的检测中成绩超过m个的次数．
(2)若乐乐第1次的检测成绩为100个，第7次的检测成绩为106个．
①求表中n的值；②乐乐妈妈为了鼓励乐乐，每跳绳一个奖励1颗小星星，并从第2次开始，与前一次进行比较，每
超过一个再额外奖励2颗小星星，求乐乐这7次检测共能得到多少颗小星星．
14．如图是某住房户型平面图（图中长度单位：米），现需要对地面铺装地板，已知房间i，ii，iii
，iv，v所铺地板的单价分别为m ，m ，m ，m ，m （单位：元/平方米）．
1 2 3 4 5(1)若b＝3，c＝2，m ，m ，m ，m ，m 的值分别为90，120，80，100，110，请直接用含a的
1 2 3 4 5
式子写出：
①这所住宅的面积；
②所购地板的总费用．
m
(2)工程设计过程中(ML100时，每个排球的价格为60元，
∴若购买101个排球，则所需费用为60×101=6060；
∵当51≤n≤100时，每个排球的价格为66元，
∴若购买100个排球，则所需费用为66×100=6600；
∵6060<6600
∴若x+ y=100，则所需费用最少为6060元．9．(1)①(240−x)；②(60+x)
(2)整个运输所需的总费用为(13920−2x)元
【分析】本题考查列代数式，整式的化简．
（1）根据题意A市有240吨，运了x吨到C，剩下(240−x)吨运到D，再根据C，D两市的需求即
可表示出从B运到D的柑橘；
（2）根据题意列出式子即可．
【详解】（1）解：①∵A市有240吨，运了x吨到C，
∴从A市运往D市场的柑橘重量为(240−x)吨，
②∵D市场需300吨．
∴从B市运往D市场的柑橘重量为300−(240−x)=(60+x)吨；
故答案为：①(240−x)，②(60+x)；
（2）解：总运费为：20x+30(240−x)+24(200−x)+32(60+x)
=(13920−2x)元．
10．(1)2.5n；2n
(2)联合购买可省钱，可省51元
(3)第一次购买80本，第二则买120本
【分析】本题主要考查了本题主要考查列代数式及一元一次方程的应用，
（1）分两种情况讨论，一种是不超过100本，另一种是超过100本，分别求出各自的代数式即可．
（2）根据2.5n＞22n可得会出现多买比少买反而付钱少的情况，从而求解；
（3）列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：当n≤100时，买n本笔记本所需的钱数是：2.5n，
当n>100时，买n本笔记本所需的钱数是：2n；故答案为：2.5n，2n；
（2）解：分开购买所花费用为：2.5×(50+52)=255元
联合购买的费用：2×(50+52)=204元，
∵204<255，
∴联合购买更省钱，联合购买所省的钱为255−204=51元；
（3）解：设第一次购买x本，则第二购买(200−x)本，根据题意得：
2.5x+2(200−x)=2.2×200
解得x=80
答：第一次购买80本，第二则买120本．
11．(1)①21a；②36a；③(2n−16)a
(2)28
【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，弄懂收费方式，正确列出代数式
和方程是解此题的关键．
【详解】（1）解：①根据题意得：
用户用水量为18m3时，收费金额12a+(18−12)×1.5a=12a+9a=21a元，
故答案为：21a；
②根据题意得：
用户用水量为26m3时，收费金额为：
12a+(20−12)×1.5a+(26−20)×2a=12a+12a+12a=36a元，
故答案为：36a；
③根据题意得：
用户用水量为n(n>20)，收费金额为：
12a+(20−12)×1.5a+(n−20)×2a=12a+12a+2na−40a=(2n−16)a元，故答案为：(2n−16)a；
（2）解：∵若a=1.5，则当该用户上月水费为60元，
∴(2n−16)×1.5=60，
解得：n=28，
故答案为：28．
12．问题呈现：102=2×3×(10−3)+32+(10−3) 2或(10−3) 2=102−2×10×3+32；数学发现：
图2：(a+b) 2=a2+2ab+b2，图3：(a−b) 2=a2−2ab+b2或a2=(a−b) 2+2(a−b)b+b2；数学思
37 5
考：（1）无关，理由见解析；（2） ，数学运用：
2 3
【分析】问题呈现：根据阴影部分面积的不同表示方法得到等式即可；数学思考：用割补法表示阴
1
影部分面积即可；数学运用：根据a2+b2=3， (m+n) 2=5，①+②得：(a2+b2)(m2+n2)=20进
2
20
而求出m2+n2=
，整体代入求得结论．
3
【详解】问题呈现：102=2×3×(10−3)+32+(10−3) 2或(10−3) 2=102−2×10×3+32；
数学发现：图2：(a+b) 2=a2+2ab+b2，
图3：(a−b) 2=a2−2ab+b2，或a2=(a−b) 2+2(a−b)b+b2；
数学思考：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（1）∵S= (a+b)a+ b2− a(a+b)= a2+ ab+ b2− a2− ab= b2 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴S的值与a的大小无关．
37
（2） ，理由如下：
2
∵a+b=10，ab=21，∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=100−2×21=58，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 37
∴S= a2+b2− (a+b)b= a2+b2− ab− b2= (a2+b2)− ab= ×58− ×21= ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
数学运用：
1
由题意得：a2+b2=3， (m+n) 2=5，
2
∵①a2m2−2abmn+b2n2=4与②b2m2+2abmn+a2n2=16，
∴①+②得：a2m2+b2m2+b2n2+a2n2=20，
即(a2+b2)m2+(a2+b2)n2=20，
∴(a2+b2)(m2+n2)=20，
20
∴m2+n2=
，
3
∴图5阴影部分的面积
1 1 1 1 1 1 20 5
= (m+n) 2− m2− n2= (m+n) 2− (m2+n2)=5− × = ，
2 2 2 2 2 2 3 3
5
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、公式变形及割补法表示面积，理解完全平方公式的结
构特征及割补法求面积是解答的关键．
13．(1)①m−2；②3次
(2)①−1；②737个
【分析】(1)①根据第1次的检测成绩为m个，再根据表中的数据，即可求得第4次检测成绩的个数；
②根据第1次的检测成绩为m个，再根据表中的数据，即可求得第2次到第6次检测成绩超过m个
的次数；(2)①根据第1次的检测成绩为100个，即可求得第6次的检测成绩，据此即可求得；②首先根据第
1次的检测成绩为100个，即可分别求得每次的成绩，据此即可求得．
【详解】（1）解：①∵第1次的检测成绩为m个，
∴第4次检测成绩的个数为：m+1−8+5=m−2；
②∵第1次的检测成绩为m个，
∴第2次的检测成绩为(m+1)个，
第3次的检测成绩为(m−7)个，
第4次的检测成绩为(m−2)个，
第5次的检测成绩为(m+2)个，
第6次的检测成绩为(m+7)个，
故第2次到第6次的检测中成绩超过m个的次数为3次；
（2）解：①依题意：第6次为：100+1−8+5+4+5=107（个）
又∵第7次为106个，
∴n=106−107=−1；
②依题意：
7次检测的成绩分别为：100，101，93，98，102，107，106，
∴所得星星数为：100+101+93+98+102+107+106+2×(1+5+4+5)=737（个）．
【点睛】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，列代数式，理解题意，逐一解答是解决本
题的关键．
14．(1)①a2+6a+6；②120a2+500a+900
3
(2)t=
4
【分析】（1）①根据题意可知i，ii，iii，iv，v面积分别为：2a，a2，4a−12，12，6，从而可
得这所住宅的面积为：a2+6a+6；②根据i，ii，iii，iv，v面积分别为：2a，a2，4a−12，12，6；m ，m ，m ，m ，m 的值分别为90，120，80，100，110；可得所购地板的总费用为：
1 2 3 4 5
120a2+500a+900；
（2）依题意，总费用可表示为2am +a2m +4am +8m −4bm −4cm +4bm +3cm ，当式
1 2 3 3 3 3 4 5
m 3 3
子的值与c无关时，−4cm +3cm =0，可得 3= ，即t= ．
3 5 m 4 4
5
【详解】（1）解：①根据题意可知i，ii，iii，iv，v面积分别为：2a，a2，4a−12，12，6
∴这所住宅的面积为：a2+6a+6
②根据i，ii，iii，iv，v面积分别为：2a，a2，4a−12，12，6，
m ，m ，m ，m ，m 的值分别为90，120，80，100，110，
1 2 3 4 5
可得所购地板的总费用为：120a2+500a+900
（2）解：依题意，总费用可表示为
2am +a2m +4(a+2−b−c)m +4bm +3cm
1 2 3 4 5
=2am +a2m +4am +8m −4bm −4cm +4bm +3cm
1 2 3 3 3 3 4 5
∵上面式子的值与c无关
∴−4cm +3cm =0
3 5
即3m =4m
5 3
m 3
∴ 3=
m 4
5
3
即：t=
4
【点睛】此题考查列代数式，整式的加减运算，读懂题目，根据已知条件正确列出代数式是解题关
键．1 1 1
15．(1) a2+ b2− ab
2 2 2
(2)19.5
【分析】（1）结合图形得出，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和减去两个三角形的面积；
（2）根据题意得a2+b2=74，确定a=5，b=7，代入（1）中结果求解即可．
1 1
【详解】（1）解：S=a2+b2− a2− b(b+a)
2 2
1 1 1
= a2+ b2− ab；
2 2 2
（2）∵a2+b2=74，大、小正方形的边长均为整数，
∴a=5，b=7，
1 1 1
∴S= ×52+ ×72− ×5×7=19.5．
2 2 2
【点睛】题目主要考查利用代数式表示图形的面积及整式的加减运算与化简求值，根据图形表示出
面积是解题关键．
16．(1)(2.1x+40)
(2)甲
(3)在甲，乙两商店购买的本数相同．理由见解答．
【分析】（1）读懂题意，利用乙商店的销售方式计算即可；
（2）分别按照甲、乙两商店的销售方式计算费用，再比较判断即可；
（3）设在甲、乙两商店购买的本数分别为x、y，列方程求解．
【详解】（1）解：在乙商店购买x本需要费用：100×2.5+2.1(x−100)=(2.1x+40)（元)；
故答案为：(2.1x+40)；
（2）解：在甲商店购买150本需要费用：2.3×150=345（元)，在乙商店购买150本需要费用：100×2.5+(150−100)×2.1=355（元)，
∵355>345，
∴在甲商店购买便宜；
故答案为：甲；
（3）解：设购买的总金额为460元时，在甲，乙两商店购买的本数分别是x本，y本，根据题意，
得
2.3x=460，
x=200，
100×2.5+2.1(x−100)=460，
x=200，
x= y=200，
∴购买的总金额为460元时，在甲，乙两商店购买的本数相同．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出正
确的代数式和一元一次方程．
17．(1)40；10
(2)60
(3)AB=26，AC=22．
【分析】（1）根据图形，利用矩形面积公式即可求解；
（2）由题意得出PB=b，BQ=15−4a，CN=4a，MC=15−b，根据矩形周长公式列式计算即
可求解；
（3）设AF=AE=EK=FK=m，用m分别表示各正方形的边长，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵a=2，b=5，AC=10，
∴S =(10−5)×4×2=40；
1S =(10−4×2)×5=10；
2
故答案为：40；10；
（2）解：如图，
S S 2MC+2CN+2BQ+2BP
1 2
和 的周长和是
=2(MC+CN+BQ+BP)
∵PB=b，BQ=15−4a，CN=4a，MC=15−b，
∴2(MC+CN+BQ+BP)
=2(15−b+4a+15−4a+b)
=2×30=60
故答案为：60；
（3）解：如图，GK=KI=IH=HG=2，
设AF=AE=EK=FK=m，BE=EI=∈=BN=m+2，
FG=GL=LC=CF=m−2，HJ=JN=ND=DM=MJ=ML=LH=m−4，
HN=∈+HI=m+2+2=m+4，∵HN=2HJ，
∴m+4=2(m−4)，
解得m=12，
∴AB=AE+BE=m+m+2=26，
AC=AF+FC=m+m−2=22．
【点睛】本题考查整式加减，涉及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键．
18．(1)x2+2x+18，
(2)159万元.
【分析】（1）把四个小长方形的面积合并起来即可；
（2）把x=8代入（1）中的代数式求得答案，再按要求取近似值即可．
【详解】（1）解：住宅的建筑面积为：2x+x2+3×2+3×4=x2+2x+18；
（2）当x=8时，
住宅的建筑面积有x2+2x+18=82+2×8+18=98．
∴住户买此房产的总房价16183×98=1585934≈159（万元）.
【点睛】此题考查列代数式，求解代数式的值，近似数的含义，理解题意，利用面积公式列出代数
式是解决问题的关键．
