文档内容
第 16 章 二次根式 章节复习卷（11 个知识点+50 题练习）
知识点
知识点1．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
①“ ”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根
式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
知识点2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性． （a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能
利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开
方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点3．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
① ≥0； a≥0（双重非负性）．②（ ）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③ ＝|a|＝ （算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝ • （a≥0，b≥0） ＝ （a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把
被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中
每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
知识点4．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数
中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
知识点5．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： ＝ • （a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则： • ＝ （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质： ＝ （a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 • ＝ （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a
＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（ ）×（ ）≠﹣4×﹣9；同样的
在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
知识点6．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：① ＝ ＝ ；② ＝ ＝ ．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如： ﹣ 的有理化因式可以是 + ，也可以是a（ + ），这里的a可以是
任意有理数．
知识点7．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几
个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同
类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看
被开方数是否相同．
知识点8．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外
的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
知识点9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次
根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面
的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作
“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当
的解题途径，往往能事半功倍．
知识点10．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算
区分，避免互相干扰．
知识点11．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体
性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的
方法．
练习卷
一．二次根式的定义（共4小题）
1．（2023春•瑶海区期末）下列式子中，是二次根式的是
A． B． C． D．
2．（2023春•庐阳区校级期末）下列式子中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
3．（2023春•滨州期末）在人教版八年级下册第十六章我们学习了《二次根式》，请叙述
学习二次根式的基本路径是什么？
4．（2023春•阳江期末）已知 为正整数，且 也为正整数，则 的最小值为 ．
二．二次根式有意义的条件（共5小题）
5．（2023秋•钟山区期末）若 满足 ，则 的值为
A．0 B．1 C．2023 D．2024
6．（2023秋•雨湖区期末）已知 ，则 的算术平方根
是 ．
7．（2023秋•纳溪区期末）使 有意义的 的取值范围是
A． 且 B． C． 且 D．
8．（2023春•播州区期中）（1）已知 ， 为实数，且 ，求 ，
的值．（2）已知实数 满足 ，求 的值．
9．（2023春•朝天区期末）已知 的三边长分别为 ， ， ．
（1）化简： ；
（2）若 ， 满足 ，且 ，判断此三角形的形状，并说明理由．
三．二次根式的性质与化简（共5小题）
10．（2023春•云阳县期中）当 时， ．
11．（2023春•铁西区期末） 的化简结果是
A．4 B． C．16 D．
12．（2023秋•雨湖区期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 ， ，使 ， ，使得
， ，那么便有： ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于 ， ，即
， ，
．
仿照上例，回答问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ．
13．（2023春•青川县期末）已知实数 在数轴上的位置如图，则化简 的结果
为A．1 B． C． D．
14．（2023•平潭县校级开学）有理数 ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
．
四．最简二次根式（共4小题）
15．（2023•港北区三模）将二次根式 化为最简二次根式 ．
16．（2023秋•鹤壁期末）下列式子中是最简二次根式的是
A． B． C． D．
17．（2023秋•广平县期末）在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根
式的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2023春•乾安县期末）已知 ，求 的值．
五．二次根式的乘除法（共4小题）
19．（2023•信都区开学）化简：
（1） ；
（2） ．
20．（2023秋•雨湖区期末）如图，已知数轴上 ， 两点表示的数分别是 ， ，化简
的结果是A． B． C． D．
21．（2023秋•金东区期末）化简 的结果是
A．100 B．60 C．40 D．20
22．（2023春•防城港期末）计算： ．
六．分母有理化（共5小题）
23．（2023春•香洲区校级期中）化简 ．
24．（2023秋•邹平市期末）下列各式化成最简二次根式正确的是
A． B． C． D．
25．（2023春•五莲县期末）已知 ， ，则 ．
26．（2023春•巨野县期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还可以将其进一
步化简：
．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简 ；
（2）已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．
27．（2023春•惠城区校级期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，
以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
（1）小青编的题．观察下列等式：；
；
直接写出以下算式的结果： ；
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
， ，
再 根 据 平 方 根 的 定 义 可 得 ， ，
，
直接写出以下算式的结果： ；
（ 3 ） 数 学 老 师 编 的 题 ， 根 据 你 的 发 现 ， 完 成 以 下 计 算 ：
．
七．同类二次根式（共4小题）
28．（2023秋•临邑县期末）下列二次根式中，与 属于同类二次根式的是
A． B． C． D．
29．（2023春•仪征市期末）已知二次根式 ．
（1）求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
（2）已知 是最简二次根式，且与 可以合并．
①求 的值；②求 与 的乘积．
30．（2023春•船营区期中）如果最简二次根式 和 是可以合并的二次根式，
则 ．
31．（2023春•前郭县期中）是否存在实数 ，使最简二次根式 与 是同类
二次根式？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
八．二次根式的加减法（共4小题）
32．（2023春•泸县校级期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
33．（2023春•宁明县期中）计算： ．
34．（2023秋•义乌市期末）计算：
（1） ；
（2） ．
35．（2024•南岗区校级开学）计算 结果是 ．
九．二次根式的混合运算（共5小题）
36．（2023秋•临邑县期末）下列乘法算式中，正确的是
A． B．
C． D．
37．（2023 秋•攸县期末）下列运算中，① ，② ，③，④ ，⑤ ．其中正确的是 ．（填序号）
38．（2023秋•攸县期末）计算：
（1） ；
（2） ．
39．（2023秋•青原区期末）（1）解方程组： ；
（2）计算： ．
40．（2024•沙坪坝区校级开学）估计 的值应在
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
一十．二次根式的化简求值（共5小题）
41．（2023春•玉州区期中）已知 ，则代数式 的值为
A．2 B．6 C．4 D．
42．（2023•平潭县校级开学）已知 ， ，则 的值为 ．
43．（2023春•海珠区期末）若 ，则式子 的值为 ．
44．（2023秋•双牌县期末）已知 ，求 的值．
45．（2023秋•鹤壁期末）【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样分析与解答的：
， ．
，即 ．．
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）若 ，求 的值．
一十一．二次根式的应用（共5小题）
46．（2023春•栖霞市期末）古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算
三角形面积的海伦公式，若三角形三边长分别为 、 、 ，记 ，三角形的
面积为 ，如图，请你利用海伦公式计算 的面积为 ．
47．（2023春•瑞安市期中）有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截
出两个面积分别为 和 的正方形木板，则剩余木料（阴影部分）的面积为
．48．（2023春•播州区期中）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们
介绍了“海伦 秦九部公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即
如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么，这个三角形的面积
．如图，在 中， ， ， ．
（1）求 的面积；
（2）设 边上的高为 ， 边上的高为 ．求 的值．
49．（2023春•东莞市期中）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和
18，则图中阴影部分的面积为
A． B． C．4 D．6
50．（2023春•嘉鱼县期中）如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，
那么这个三角形的面积 ．这个公式称为海伦 秦九韶公式，在
中， ， ， ，则 的面积是
A．12 B． C．24 D．
