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跟踪训练 06 向量法求空间角和距离
一．选择题（共15小题）
1．已知 ，2， 、 ，4， 、 ，2， ，则原点 到平面 的距离是
A． B． C．2 D．
2．在长方体 中， ， ， 为 的中点，则点 到平
面 的距离为
A． B． C． D．
3．如图，在正三棱柱 中，若 ，则点 到直线 的距离为
A． B． C． D．
4．如图，在长方体 中， ， ，点 在侧面 上．
若点 到直线 和 的距离相等，则 的最小值是A． B． C．2 D．
5．空间中有三点 ， ， ， ， ， ， ， ， ，则点 到直线
的距离为
A． B． C．3 D．
6．如图，在正方体 中，截面 与底面 所成锐二面角
的正切值为
A． B． C． D．
7．已知直线 ，且向量 是直线 的一个方向向量，则实数 的值为
A． B．1 C．2 D． 或2
8 ． 如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， ， ， ，， 与 的交点为 ，则
A． B． C． D．
9．直线 的方向向量为
A． B． C． D．
10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学
用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底
面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．
现有一如图所示的“堑堵” ，其中 ，若 ，则
到平面 的距离为
A． B． C． D．
11．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 ，底面 是正方形，
， ，且 ．则向量 的模长为A． B．34 C．52 D．
12．如图所示，在棱长为2的正方体 中，点 在棱 上，且 ，
则点 ， 到平面 的距离之和为
A． B． C． D．
13．如图，在平行六面体 中，底面 是菱形，侧面 是正方形，
且 ， ， ，若 是 与 的交点，则
A．9 B．7 C．3 D．14．如图，设正方体 的棱长为 ．则顶点 到面 的距离为
A． B． C． D．
15．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述
的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”
中， 平面 ， ，则直线 与面 所成角的正弦值
为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
16．已知平面 内有一点 ， ， ，平面 的一个法向量为 ，则下列点
中不在平面 内的是
A． ，3， B． ，0， C． ，4， D． ， ，
17．在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，则下列结论中正确
的是
A． 平面 B． 与 所成的角为C．平面 平面 D． 与平面 所成角为
18．如图，矩形 中， ，边 ， 的中点分别为 ， ，直线
交 于点 ，直线 交 于点 ．现分别将 ， 沿 ， 折起，
点 ， 在平面 同侧，则
A．当平面 平面 时， 平面
B．当平面 平面 时，
C．当 ， 重合于点 时，二面角 的大小等于
D．当 重合于点 时，三棱锥 与三棱锥 外接球的公共圆的周长为
19．已知空间中三点 ，1， ， ，2， ， ，1， ，则下列说法正确的是
A． 与 是共线向量
B．与 同向的单位向量是
C． 和 夹角的余弦值是
D．平面 的一个法向量是 ， ，
20．如图，在棱长为1的正方体 中，则A． 平面
B．平面 平面
C． 与平面 所成角大小为
D．平面 与平面 所成二面角的余弦值为
三．填空题（共5小题）
21．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行
六面体单位相同．如图是某种晶体的晶胞，其中 ， ， ， ，
，则该晶胞的体对角线 的长为 ．
22．已知直线 的方向向量为 ， ， ，平面 的法向量为 ，3， ，且 ，则
．
23．在三棱锥 中， ，则直线 与平面 所成角
的正弦值为 ．
24．三棱锥 中， ，底面 是边长为3的正三角形， ， 分别
是 ， 的中点，且 ，若 为三棱锥 外接球上的动点，则点 到平面 距离的最大值为 ．
25．在长方体 中， ， ， ， 为 上一动点，
为 上一动点，则 的最小值为 ．
四．解答题（共3小题）
26．如图，在多面体 中，四边形 是边长为3的正方形，平面 平面
， ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置并证明；
若不存在，请说明理由．27．如图，在长方体 中， ， ，点 在 上，且
．
（Ⅰ）求直线 与 所成角的大小；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦．28．已知空间中三点 ， ， ， ，1， ， ， ， ．设 ， ．
（1）求 和 ；
（2）若 与 互相垂直，求实数 的值．
