文档内容
相交线
一、教学目标
(一)知识与技能：1.表述对顶角、邻补角的概念、性质，并能利用它进行简单的推理和计
算；2.通过对顶角性质的推理过程，提高推理和逻辑思维能力；3.通过变式图形的识图训
练，提高识图能力.
(二)过程与方法：经历实际操作，通过观察讨论等活动，能在具体的情境中认识对顶角、
邻补角.
(三)情感态度与价值观：从图形变化过程中，树立正确的辩证唯物主义观点：认识几何图
形的位置美.
二、教学重点、难点
重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用.
难点：理解对顶角相等的性质.
三、教学过程
你能在身边找出一些相交线的实例吗？
观察剪刀工作过程，你能发现它的角有什么变化？如果把剪刀的构造看做两条相交的
直线，你们想想它是一种怎样的几何结构？
如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交；公共点叫做这两条直线的交点.
上图的几何描述为：直线AB、CD相交于点O.
探究
任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样
的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.
探究与发现1
1形如∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具
有这种关系的两个角，互为邻补角.
图中还有哪些角也是邻补角呢？
探究与发现2
形如∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具
有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
图中还有哪些角也是对顶角呢？
∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
对顶角相等
∵ ∠1与∠2互补，∠3与∠2互补 (邻补角的定义)
∴ ∠1=∠3 (同角的补角相等)
(注：“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”.)
例1如图，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数.
解：由邻补角的定义，得
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
由对顶角相等，得
∠3=∠1=40°
∠4=∠2=140°
练习
如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相
交线的模型. 你能说出其中的一些邻补角与对顶角吗？如果∠α=35°，其他三个角各是多
少度？如果∠α等于90°、115°、m°呢？
解：∠1与∠α，∠3与∠α，∠1与∠2，∠2与∠3是
邻补角；∠1与∠3，∠2与∠α是对顶角.
当∠α=35°时，∠1=145°，∠2=35°，∠3=145°；
当∠α=90°时，∠1=90°，∠2=90°，∠3=90°；
当∠α=115°时，∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°；
当∠α=m°时，∠1=(180-m)°，∠2=m°，∠3=(180-m)°.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过对学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我
们的生活密不可分；学生经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问
题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展.
2垂线
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2.
掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的度数；3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行
简单的推理.
(二)过程与方法：经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念
用几何语言准确表达能力.
(三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成
功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.
难点：两条直线互相垂直的性质和画法.
三、教学过程
创设情境
在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b.当 b的位置变化时，a、b 所成的角
∠α也会发生变化.
当∠α=90°时，我们说 a 与 b互相垂直，记作 a⊥b.
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中
一条直线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
如右图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD，垂足是
O；
直线 m 与直线 n 垂直，记作：m⊥n；
“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；
而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
垂直的定义有以下两层含义：
31.∵AB⊥CD (已知) 2.∵∠1=90°(已知)
∴∠1=90°(垂直的定义) ∴AB⊥CD (垂直的定义)
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的木条.
你能再举出其他例子吗？
做一做
1.你能借助三角尺画出两条互相垂直的直线吗？
2.如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
3.利用下面的方法可以折出互相垂直的线，你试试看!
探究
1.用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
2.经过直线 l 上一点A画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
3.经过直线 l 外一点B画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂
线. 即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
练习
1.当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系，为什么？
42.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 如图，请你过点P画出线段AB
或射线AB的垂线.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况—垂直，可类比前面两条直线相交时的一
般情况学习新知识. 经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.
这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，使每个学生在数学的学习上都能得到不同的发展.
5垂线段
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解垂线段的概念；2.掌握垂线段最短的性质；3.体会点到直线的距
离的意义，并会度量或计算点到直线的距离.
(二)过程与方法：通过观察、思考、探究等活动归纳出垂线段的概念和性质，并利用所学
知识进行说理，体会从一般到特殊的方法，提高逻辑思维能力.
(三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成
功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
重点：垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.
难点：对点到直线的距离的概念的理解.
三、教学过程
创设情境
同学们，你们知道在跳远比赛中，跳远成绩是如何测量出来的吗？
思考
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使渠道最短？
探究
如图，连接直线 l 外一点P与直线 l 上各点O，A，A，A，A，A，…，其中PO⊥l
1 2 3 4 5
(我们称PO为点P到直线 l 的垂线段).比较线段PO，PA，PA，PA，PA，PA，…的长短，
1 2 3 4 5
这些线段中，哪一条最短？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在书中图5.18中画出来，如果图中比例尺为
1:100000，水渠大约要挖多长？
6则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.
我们如何测量立定跳远的成绩？
练习
如图，三角形ABC中，∠C=90°.
(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长；
(2)三条边AB，AC，BC中哪条最长？为什么？
解：(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长，点B到直线AC
的距离是线段BC的长；
(2)由(1)可知，AC＜AB及BC＜AB，所以AB最长.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，
在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主
体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
7同位角、内错角、同旁内角
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2.结合图形识别同位角、内
错角、同旁内角.
(二)过程与方法：1.通过变式图形的识图训练，培养学生的识图能力；2.通过例题口答
“为什么”，培养学生的推理能力.
(三)情感态度与价值观：1.从复杂图形分解为基本图形的过程中，渗透化繁为简，化难为
易的化归思想，从图形变化过程中，培养学生辩证唯物主义观点；2.通过“三线八角”基
本图形，使学生认识几何图形的位置美.
二、教学重点、难点
重点：理解同位角、内错角、同旁内角的概念.
难点：能在图形中识别同位角、内错角、同旁内角.
三、教学过程
三线八角
如果有两条直线和另一条直线相交，可以得到几个
角？八个角
通常说：两条直线被第三条直线所截.
如：直线 a、b 被直线 c 所截.
同位角
观察图中∠1和∠5的位置关系.
两角的位置分别在直线AB，CD的同一方(上方)，并且都在直线EF的同侧(右侧)，具
有这种位置关系的一对角叫做同位角.
∠2和∠6是同位角吗？图中还有没有其他的同位角？
标记出它们.
∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8都是同位角.
内错角
观察图中∠3和∠5的位置关系.
两角的位置都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF
两侧(∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧)，具有这种
位置关系的一对角叫做内错角.
图中还有其它内错角吗？∠4和∠6是内错角
同旁内角
观察图中∠3和∠6的位置关系.
两角的位置都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁(左侧)，具有这种位置
关系的一对角叫做同旁内角.
图中还有其它同旁内角吗？∠4和∠5是同旁内角
同位角、内错角、同旁内角的结构特征：
8注：上述三类角类似于对顶角都是成对出现. 不能说哪个角是同位角、内错角、同旁内角.
例2如图，直线DE，BC被直线AB所截.
(1)∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
答：(1)∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，
∠1和∠4是同位角.
(2)如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.
∵ ∠4和∠3互补，即∠4+∠3=180°
又∵ ∠1=∠4
∴ ∠1+∠3=180°，即∠1与∠3互补.
练习
1.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
2.如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条
直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论.
解：∠B与∠DAB是内错角，∠B与∠EAB是同旁内角，
它们都是直线DE，BC被直线AB所截形成的；∠B与∠BAC
是同旁内角，它们是直线BC，AC被直线AB所截形成的；
∠B与∠C是同旁内角，它们是直线AB，AC被直线BC所截
形成的.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课以学生交流、合作、探究贯穿始终，在教学过程中，给学生的思考留下了足够
的时间和空间，由学生自己去发现结论. 学生在经历发现问题、探究问题、解决问题的过
程中，对“三线八角”的概念准确理解并掌握. 培养学生动手、合作、概括能力，同时也
提高思维水平和探究能力.
9平行线
一、教学目标
(一)知识与技能：1.在丰富的现实情境中，进一步了解两条直线的平行关系，掌握有关的
符号表示；2.会用三角尺、方格纸等画平行线，积累操作活动的经验；3.在操作活动中，
探索并了解平行线的有关性质(基本事实).
(二)过程与方法：在探究新知的过程中体验数学与现实世界的联系，感受从具体到抽象的
数学过程.
(三)情感态度与价值观：培养学生的空间想象能力，以及逻辑推理能力，体验成功的快乐.
二、教学重点、难点
重点：1.了解平行线的定义，并能用符号表示.能借助三角板，方格纸等画平行线；2.探索
平行线的基本性质(基本事实).
难点：探索平行线的基本性质.
三、教学过程
创设情境
你喜欢滑雪运动吗？早在5000年前，人们就把滑雪作为雪上旅行的一种方式，今天滑
雪在许多国家和地区都是一项十分普及的运动.
你知道滑雪运动最关键是什么吗？滑雪运动最关键是要保持两只雪橇板的平行!
思考
如图，分别将木条 a、b 与木条 c 钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三
条直线.转动直线 a，想象一下，在这个过程中，有没有直线 a 与直线 b 不相交的位置呢？
平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
(在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.)
10平行线在生活中是很常见的，你能在下面的图片中找出平行线吗？
我们知道了平行线的定义后，如何用几何语言来描述平行线呢？
通常用“∥”表示平行，读作“平行于”.
如下图中直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD.
如果用 l，m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m平行记作 l∥m.
思考
1.在图中转动木条 a 的过程中，有几个位置使得直线 a与b平行？
2.如图，过点B画直线 a 的平行线，能画出几条？再过点C画直线 a 的平行线，它
和前面过点B画出的直线平行吗？
可以发现一个基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线
平行.
(平行公理的推论)：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c.
练习
读下列语句，并画出图形：
(1)点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行；
(2)直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P且与直线AB
平行，与直线CD相交于点E.
解：
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
11四、教学反思
本节课以学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们的
生活密不可分. 经历观察多媒体的演示和通过画图等操作，交流归纳与活动，进一步培养
学生的空间想象能力.
平行线的判定方法
一、教学目标
(一)知识与技能：1.从用三角尺和直尺画平行线的活动过程中发现“同位角相等，两直线
平行.”培养学生动手操作，主动探究及合作交流的能力；2.会用平行线的判定方法判定两
直线平行，初步学会用几何语言进行简单推理和表述.
(二)过程与方法：在探索图形的过程中，通过观察、操作、推理等手段，有条理地思考和
表达自己地探索过程和结果，从而进一步加强学生分析、概括、表达能力.
(三)情感态度与价值观：让学生在活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生
学习数学的兴趣，培养学生勇于实践，大胆猜想、推理的科学态度.
二、教学重点、难点
重点：理解直线平行的判定方法，并会根据判定方法进行简单的推理应用.
难点：平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识.
三、教学过程
复习巩固
平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 记作：a∥b.
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
(也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c.)
做一做
如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.
思考
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别起着什么样的作用？
可以看出，画直线AB的平行线CD，实际上就是过点P画与∠2相等的∠1，而∠2和
∠1正是直线AB，CD被直线EF截得的同位角，这说明，
如果同位角相等，那么AB∥CD.
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位
12角
相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
几何语言：
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD
如图，你能说出木工用图中的 角尺画平行线的道理吗？
∵ ∠BEF=∠ECD
∴ CD∥EF (同位角相等，两 直线平行)
思考
两条直线被第三条直线所截， 同时得到同位角、内错角和同
旁内角. 由同位角相等，可以判定两条直线平行，那么，能否利用内错角，或同旁内角来
判定两直线平行呢？
猜一猜
(1) 内错角满足什么关系时？两直线会平行？
(2) 同旁内角满足什么关系时？两直线会平行？
如图，如果∠2=∠3，你能得出a∥b吗？
解：a∥b
∵ ∠2=∠3 (已知)
∠1=∠3 (对顶角相等)
∴ ∠1=∠2 (等量代换)
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行)
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
几何语言：
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD
如图，如果∠2+∠4=180°，你能得出a∥b吗？
解：a∥b
∵ ∠2+∠4=180°(已知)
∠1+∠4=180°(邻补角定义)
∴ ∠1=∠2 (同角的补角相等)
∴ a∥b (同位角相等，两直线平 行)
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
几何语言：
∵ ∠1+∠2=180°
∴ AB∥CD
感悟
遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的
(或已经解决的)问题来解决. 这一节中，我们利
13用“同位角相等，两直线平行”得到了“内错角
相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”.
因此，在解题的过程中，可以用这种思路去分析实际问题，从而解决问题.
归纳
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
几何语言：
判定1：∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD
判定2：∵ ∠1=∠4 ∴ AB∥CD
判定3：∵ ∠1+∠3=180° ∴ AB∥CD
练习
如图，BE是AB的延长线.
(1)由∠CBE=∠A可以判定哪两条直线平行？根据什么？
(2)由∠CBE=∠C可以判定哪两条直线平行？根据什么？
解：(1)∵ ∠CBE=∠A
∴ AD∥BC(同位角相等，两直线平行)
(2)∵ ∠CBE=∠C
∴ CD∥AE(内错角相等，两直线平行
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习
平行线的性质、三角形、四边形等知识打下基础，在整个初中几何中占有非常重要的地位.
学生虽然已经学了平行线的定义、平行公理，具备了探究直线平行的基础，但学生在文字
语言、符号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和合作交流的意识方面
发展不够均衡，还需逐渐提高.
14平行线的判定方法的应用
一、教学目标
(一)知识与技能：熟练掌握平行线的三个判定方法，并会运用.
(二)过程与方法：经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推
理能力和有条理表达能力.
(三)情感态度与价值观：经历分析题意，说理过程，能灵活地选用直线平行的规定方法进
行说理、认识数学与现实生活的联系，在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参
与的意识.
二、教学重点、难点
重点：灵活选用平行线的判定方法进行证明.
难点：掌握平行线的判定在实际生活中的应用.
三、教学过程
忆一忆
两直线平行的判定方法有哪些？
(1) 在同一平面内，两条不相交的直线互相平行；
(2) 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行；
(3) 同位角相等，两直线平行；
(4) 内错角相等，两直线平行；
(5) 同旁内角互补，两直线平行.
试一试
如图，如果∠1=∠2，则___∥___；如果∠1=∠3，则___∥___；如果
∠C+______=180°，则AB∥CD.
如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB∥AC的条件：______________.
例 同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
答：这两条直线平行.
理由如下：如图，
∵ b⊥a，c⊥a (已知)
∴ ∠1=∠2=90°(垂线定义)
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行)
15练习
2.在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的. 如图，已经知道∠2是直角，那么再度量
图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
3.如图，这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分.其中的横格线互相平行吗？你有多
少种判别方法？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
在教学设计中，突出学生是学习的主体，把问题尽量抛给学生解决，有意识地对学生
渗透“转化”思想，并将数学学习与生活实际联系起来. 本节课对七年级的学生而言，本
是一个艰难的起步，应时时提醒学生应注意的地方，证明要严谨，步步有依据，并且依据
只能是有关概念的定义、所规定的公理及已知证明的定理，防止学生不假思索地把以前学
过的结论用来作为证明的依据.
16平行线的性质
一、教学目标
(一)知识与技能：1.掌握平行线的三个性质，能够进行简单的推理；2.初步理解命题的含
义，能够辨别简单命题的题设和结论.
(二)过程与方法：在探索图形的过程中，通过观察、操作、推理等手段，有条理地思考和
表达自己的探索过程和结果，从而进一步增强分析、概括、表达能力.
(三)情感态度与价值观：让学生在活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生
学习数学的兴趣，培养学生勇于实践，大胆猜想、推理的科学态度.
二、教学重点、难点
重点：理解平行线的性质
难点：能运用平行线的性质进行推理证明.
三、教学过程
复习启新
(1) 同位角相等，两直线平行；
(2) 内错角相等，两直线平行；
(3) 同旁内角互补，两直线平行.
上述平行线的三个判定，它们是先知道
什么，后知道什么？
探究
利用坐标纸上的直线或者用直尺和三角尺画两条平行线a∥b，然后，画一条截线c与
这两条平行线相交，度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表：
猜一猜
两条平行线被第三条直线所截，同位角______，内错角______，同旁内角______.
平行线的性质
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
17简单说成：两直线平行，同位角相等.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
几何语言：
性质1：∵ a∥b ∴ ∠1=∠3 性质2：∵ a∥b ∴ ∠2=∠4
性质3：∵ a∥b ∴ ∠2+∠3=180°
思考
如图，你能根据性质1，说出性质2成立的道理吗？
∵ a∥b (已知)
∴ ∠1=∠2 (_______________________)
又∵ ∠1=____ (对顶角相等)
∴ ∠2=∠3 (_________)
如图，你能根据性质1，说出性质3成立的道理吗？
∵ a∥b (已知)
∴ ∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等)
又∵ ∠1+∠3=180°(邻补角定义)
∴ ∠2+∠3=180°(等量代换)
练习
如图，直线a∥b，∠1=54°，那么∠2、∠3、∠4各是多少度？
解：∵ ∠2=∠1 (对顶角相等)
∴ ∠2=∠1=54°
∵ a∥b (已知)
∴ ∠3=∠1=54°(两直线平行，同位角相等)
∠2+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∴ ∠4=180°-∠2=180°-54°=126°
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻
辑思维能力，鼓励学生勇于尝试. 在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，
让学生在动口、动手、动脑中学数学.
18平行线的性质与判定的综合应用
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解平行线的性质与平行线的判定是相反的问题，掌握平行线的性质
与判定；2.会用平行线的性质与判定进行推理和计算.
(二)过程与方法：通过平行线性质与判定的综合应用，培养学生观察分析和进行简单的逻
辑推理的能力.
(三)情感态度与价值观：通过学习平行线的性质与判定的联系与区别，让学生懂得事物是
普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想.
二、教学重点、难点
重点：掌握平行线的性质与判定的综合运用.
难点：体会平行线的性质与判定的区别与联系.
三、教学过程
忆一忆
1.平行线的判定方法有哪些？
(1) 在同一平面内，两条不相交的直线互相平行；
(2) 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行；
(3) 同位角相等，两直线平行；
(4) 内错角相等，两直线平行；
(5) 同旁内角互补，两直线平行.
2.平行线的性质有哪些？
(1) 两直线平行，同位角相等；
(2) 两直线平行，内错角相等；
(3) 两直线平行，同旁内角互补.
练一练
1.如图是三个相同的三角尺拼接成的一个图形，请结合图形填空.
(1)∵ ∠BCA=_____，∴ BD∥AE (_______________________)
(2)∵ ∠BCA=∠D，∴ ______ (_______________________)
(3)∵ ∠BAE+______=180°，∴ AB∥CE (_________________________)
2.如图，AB∥CD，CE∥BF，试说明∠1=∠2.
19解：∵ AB∥CD (已知)
∴ ∠2=____(_______________________)
∵ CE∥BF (已知)
∴ ∠1=____(_______________________)
∴ _______ (等量代换)
例1如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形另外两个角分别
是多少度？
解：如图，因为梯形上、下两底AB与CD互相平行，根据“两
直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.
于是
∠D=180°-∠A=180°-100°=80°
∠C=180°-∠B=180°-115°=65°
所以梯形的另外两个角分别是80°、65°.
练习
如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，
∠AED=40°.
(1)DE和BC平行吗？为什么？
(2)∠C是多少度？为什么？
解：(1)DE∥BC.
∵ ∠ADE=60°，∠B=60°
∴ ∠ADE=∠B
∴ DE∥BC (同位角相等，两直线平行)
(2)由(1)得DE∥BC
∴ ∠AED=∠C (两直线平行，同位角相等)
又∵ ∠AED=40°
∴ ∠C=40°
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节内容的重点是平行线的性质及判定的综合，直接运用了“∵”“∴”的推理形式，
为学生创设了一个学习推理的环境，逐步培养学生的逻辑推理能力. 因此，这一节课有着
承上启下的作用，比较重要. 本节内容的难点是理解平行线的性质和判定的区别，并在推
理中正确地应用. 由于学生还没有学习命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本
质区别和联系是什么，所以在教学中，应让学生通过应用和讨论，体会到如果已知角的关
系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果两直线平行，得出角的关系，就是
平行线的性质.
20命题、定理、证明
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解命题的概念以及命题的构成；2.会判断所给命题的真假；3.了解
定理的概念.
(二)过程与方法：通过对命题及其真假的判断，提高学生的理性判断能力.
(三)情感态度与价值观：通过对命题的学习，让学生学会从理性的角度判断一件事情的
真假.
二、教学重点、难点
重点：1.理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那
么……”的形式；2.证明的步骤和格式.
难点：了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例.
三、教学过程
描述与判断
我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，
如：
(1)中华人民共和国的首都是北京.……( )
(2)我们班的同学多么聪明!……………( )
(3)浪费是可耻的.………………………( )
(4)春天到了，花儿开了.………………( )
在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：
(1)画线段AB=3厘米.……………………( )
(2)两条直线相交，只有一个交点.……( )
观察下列语句，它们有什么共同点？
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
像上面这样，判断一件事情的语句，叫做命题.
命题的组成
一般地，命题由题设和结论两部分组成.
题设：是已知事项；
结论：是由已知事项推出的事项.
21数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，这时“如果”后接的部分
是_____，“那么”后接的部分是_____.例如，命题(1)中，“两条直线都与第三条直线平
行”是_____，“这两条直线也互相平行”是_____.
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它写成“如
果……，那么……”的形式.例如，命题(3)“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶
角，那么这两个角相等”.
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
______________________________________________________________________________
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
______________________________________________________________________________
指出下列命题的题设和结论，并把(3)写成“如果……，那么……”的形式.
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；
(2)如果∠1=∠2，2=∠3，那么∠1=∠3；
(3)两直线平行，同位角相等.
解：(1)题设：AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°；
(2)题设：∠1=∠2，2=∠3，结论：∠1=∠3；
(3)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同位角相等.
如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.
真假命题
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；
假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
再举出学过的2～3个真命题.
(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
(3)相等的角是对顶角.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结
论就可以了.
解：(1)假命题，反例：如图∠1=60°，∠2=120°，
∠1与∠2互补，但它们不是邻补角.
(2)假命题，反例：6能被2整除，但它不能被4整除.
(3)假命题，反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，
但它们不是对顶角.
定理、证明
如何证实一个命题是真命题呢？
22我们学过的一些图形的性质，都是真命题.其中有些命题是基本事实(公理)，如“两点
确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，
如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过推理证实的，这
样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做
证明.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
例2如图，已知直线b∥c，a⊥b. 求证a⊥c.
证明：∵ a⊥b (已知)
∴ ∠1=90°(垂直的定义)
又 b∥c (已知)
∴ ∠1=∠2
(两直线平行，同位角相等)
∴ ∠2=∠1=90°(等量代换)
∴ a⊥c (垂直的定义)
注：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可
以是学过的定义、其本事实、定理等.
练习
1.在下面的括号内，填上推理的根据.
如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°.
证明：∵ ∠A+∠B=180°
∴ AD∥BC (_________________________)
∴ ∠C+∠D=180°(_________________________)
2.命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由：
如果不是，请举出反例.
解：命题“同位角相等”是假命题.
反例：如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1与∠2是
同位角，且∠1=90°，∠2=110°，但它们不相等.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要
说明一个命题是假命题，可以举反例.同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有
23理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
平移
一、教学目标
(一)知识与技能：通过实例认识平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形对应点的
连线平行且相等的性质.
(二)过程与方法：通过平移在实际生活当中的应用，理解平移的含义，总结出平移的作图
方法.
(三)情感态度与价值观：1.开展探究性学习，发展学习能力；2.鼓励学生自主探索与合作
交流，发展思维策略，锻炼逻辑思维及空间想象能力.
二、教学重点、难点
重点：探索并理解平移的性质.
难点：对平移的认识和性质的探索.
三、教学过程
图片欣赏
仔细观察下面一些美丽的图案，它们有什么共同的特点？能否根据其中的一部分绘制
出整个图案？
探究
24如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如下图的雪人呢？
思考
如图，在所画出的相邻两个雪人中，找出三组对应点(例如，它们的鼻尖A与A′，帽顶
B与B′，纽扣C与C′)，连接这些对应点，观察得出的线段，它们的位置、长短有什么关系？
AA′∥BB′∥CC′
AA′ = BB′ = CC′
再作出连接一些其他对应点的线段，它们是否仍有
上述的关系？
归纳
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形
状和大小完全相同.
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连
接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等.
图形的这种移动，叫做平移.
图形平移的方向，不限于是水平的，如下图
平移在我们日常生活中是很常见的，利用平移也可以制作很多美丽的图案.你能举出生
活中一些利用平移的例子吗？
25平移在我们日常生活中是很常见的，利用平移也可以制作很多美丽的图案.你能举出生
活中一些利用平移的例子
例 如图，平移三角形ABC，使点A移动到点
A′，画出平移后的三角形A′B′C′.
分析：图形平移后的对应点有什么特征？
作出点B和点C的对应点B′，C′，能确定三角
形A′B′C′吗？
解：如图，连接AA′，过点B作AA′的平行
线l，在l上截取BB′=AA′，则点B′就是点B的
对应点. 类似地，作出点C的对应点C′，进一步连接A′B′，B′C′，C′A′就得到平移后的三角形
A′B′C′.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过生活中的实例引入平移的概念，在学习中，引导学生分析、观察、概括得
出平移的性质，并通过例题和练习加深对平移性质的理解.让学生作图，自主探究.平移的
作图是本节课的重点，应让学生加强训练，结合解题中的错误分析原因，举一反三.
26第5章相交线与平行线小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：理解相交线与平行线的相关知识，会应用所学知识灵活的解题.
(二)过程与方法：让学生经历观察、猜想、操作、交流、归纳、推理等活动，培养学生的
概括和逻辑思维能力.
(三)情感态度与价值观：经历相关活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，激发学生
乐于探究的热情.
二、教学重点、难点
重点：相交线与平行线的相关知识.
难点：灵活运用所学知识解题.
三、教学过程
知识网络
考点一 相交线
例1 如图，AB⊥CD于点O，直线EF过O点，∠AOE＝65°，求∠DOF的度数.
解：∵ AB⊥CD，∴ ∠AOC=90°
27∵ ∠AOE=65°，∴ ∠COE=25°
∵ ∠COE=∠DOF (对顶角相等)
∴ ∠DOF=25°
针对训练
1.如图(1)，直线AB、CD相交于O，∠AOC＝80°，∠1＝30°，则∠2＝____.
2.如图(2)，直线AB、CD相交于O，∠AOC＝70°，EF平分∠COB，则∠COE＝_____.
考点二 点到直线的距离
例2 如图，AD为三角形ABC的高，能表示点到直线(线段)
的距离的线段有( )
A条 B.3条 C.4条 D.5条
针对训练
3.如图，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD＝4.8cm，AC＝6cm，BC＝
8cm，
则点C到AB的距离是_____cm；点A到BC的距离是_____cm；点B
到AC的距离是_____cm.
方法总结
点到直线的距离容易和两点之间的距离相混淆.当图形复杂不容易分析出是哪条线段时，
准确掌握概念，抓住垂直这个关键点，认真分析图形是关键.
考点三 平行线的性质和判定
例3 (1)如图所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数.
解：∵∠1=∠2=72°
∴ a∥b (内错角相等，两直线平行)
∴ ∠3+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵ ∠3=60°
∴ ∠4=120°
(2)如图，已知∠DAC＝∠ACB，∠D＋∠DFE＝180°.求证：EF∥BC.
证明：∵ ∠DAC=∠ACB (已知)
∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行)
∵ ∠D+∠DFE=180°(已知)
∴ AD∥EF (同旁内角互补，两直线平行)
28∴ EF∥BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行)
方法总结
平行线的性质和判定经常结合使用，由角之间的关系得出直线平行，进而再得出其他
角之间的关系，或是由直线平行得到角之间的关系，进而再由角的关系得出其他直线平行.
针对训练
4.如图(4)，若∠3＝∠4，则____∥____；若AB∥CD，则∠___＝∠___.
5.如图(5)，∠D＝70°，∠C＝110°，∠1＝69°，则∠B＝____.
6.如图(6)，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝50°，则∠AEG＝____.
7.如图(7)，AB∥CD，∠A＝30°，AE⊥CE，则∠C＝____.
8.如图(8)，AE∥CD，∠EBF＝135°，∠BFD＝60°，∠D＝____.
9.如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B＋∠DAB＝180°.求证：∠E＝∠3.
证明：∵ CE平分∠DCB (已知)
∴ ∠1=∠2 (角平分线的定义)
∵ AB∥CD (已知)
∴ ∠2=∠3 (两直线平行，同位角相等)
∴ ∠1=∠3 (等量代换)
∵ ∠B+∠DAB=180°(已知)
∴ DE∥BC (同旁内角互补，两直线平行)
∴ ∠E=∠1 (两直线平行，内错角相等)
∴ ∠E=∠3 (等量代换)
考点四 命题
例4 命题“绝对值相等的两个数互为相反数”.
(1)将这命题改写成“如果…那么…的形式；
(2)写出这命题的题设和结论；
(3)判断该命题的真假.
解：(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；
(2)题设：两个数的绝对值相等，结论：这两个数互为相反数；
(3)绝对值相等的两个数可能互为相反数，也可能相等，所以该命题为假命题.
针对训练
10.A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩.A说：“如果我得优，那么B也得优.”B
说：“如果我得优，那么C也得优.”C说：“如果我得优，那么D也得优.”D说：“如果
我得优，那么E也得优.”大家都没有说错，但只有三个人得优，请问：得优的三个人是
_________.
考点五 平移
29例5 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，
这组图形是( )
针对训练
11.如图所示，△DEF经过平移得到△ABC，那么∠C的对应角和ED的对应边分别是( )
A.∠F，AC B.∠BOD，BA
C.∠F，BA D.∠BOD，AC
12.如图所示，把∠AOB沿着MN的方向平移一定距离后得到∠CPD，已知∠AOM＝30°，
∠DPN＝45°，则∠AOB＝____.
能力提升
1.如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°.点E、F在射线CB上，且满
足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.
(1)求∠EOB的度数；
(2)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化，找出变化规律，若不变，求
出这个比值；
(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数，
若不存在，请说明理由.
解：(1)∵ CB∥OA，∴ ∠C+∠COA=180°
∴ ∠COA=180°-∠C=180°-100°=80°
∵ ∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
∴ ∠FOB+∠EOF = (∠AOF+∠COF) = ∠COA=40°
∴ ∠EOB=40°
(2)∠OBC:∠OFC的值不会发生变化
∵ CB∥OA
∴ ∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠FOA
∵ ∠FOB=∠AOB
∴ ∠FOA=2∠AOB
∴ ∠OFC=2∠OBC
∴ ∠OBC:∠OFC=1:2
(3)当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA.
∵ CB∥OA，AB∥OC，∴ ∠OEC=∠AOE，∠OBA=∠COB
∵ ∠OEC=∠OBA，∴ ∠AOE=∠COB
∴ ∠AOE-∠BOE=∠COB-∠BOE
∴ ∠COE=∠AOB
∵ ∠COE=∠FOE，∠AOB=∠FOB
30且∠AOC=80°
∴ ∠COE=∠FOE=∠AOB=∠FOB=20°
∴ ∠AOE=∠COB=60°
∴ ∠OEC=∠OBA=60°
2.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：
BG是∠EBC的平分线；
(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，
若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数.
(1) 证 明 ： ∵ AD∥ BC ， ∴
∠A+∠B=180°
∵ ∠A=∠C，∴ ∠C+∠B=180°
∴ AB∥CD，∴ ∠A+∠D=180°
∴ ∠B=∠D
(2)证明：∵ AD∥BC
∴ ∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE
∵ ∠AEB=2∠G，∴ ∠CBE=2∠G
∴ ∠EBG+∠CBG=2∠G
∴ ∠EBG=∠CBG=∠G
∴ BG是∠EBC的平分线
(3)解：∵ DH是∠GDC的平分线
∴ ∠GDH=∠HDC，设∠GDH=∠HDC=α
∵ AD∥BC，∴ ∠BCD=∠GDC=2α
设∠EBG=∠CBG=β
∵ AB∥CD，∴ ∠ABC+∠BCD=180°
∴ ∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°
∴ 66°+2β+2α=180°，∴ α+β=57°
过点H作HP∥AB交AG于P，∴ ∠PHB+∠ABH=180°
∵ AB∥CD，∴ CD∥HP，∴ ∠DHP=∠HDC=α
∴ ∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°
即α+∠BHD+66°+β=180°，∴ ∠BHD=57°
算术平方根
一、教学目标
(一)知识与技能：能表述非负数的算术平方根的概念领会其性质，会用符号(根号)表示一
个非负数的算术平方根.
(二)过程与方法：在算术平方根概念的形成过程以及用之进行运算的过程中，体会知识的
来源与发展以及它与平方运算的互逆关系，发展双向思维，并在概念的探索过程中，激发
学习数学的兴趣.
(三)情感态度与价值观：通过算术平方根的学习，感知数学来自于生活又服务于实际生活.
二、教学重点、难点
重点：根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根，明白算术平方根是一个非负数.
难点：算术平方根的概念和理解.
31三、教学过程
创设情境
同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围吗？
大于第一宇宙速度v：v2=gR: 小于第二宇宙速度v：v2=2gR (其中g是物理中的一
1 1 2 2
个常数(重力加速度)，g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m.)
学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的
得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
解：∵ 52=25
∴ 这个正方形画布的边长应取5dm.
填表：
算术平方根
像52=25，那么5叫做25的算术平方根；
102=100，那么10叫做100的算术平方根；
∵ 32=9，∴ 9的算术平方根是3.
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记作： ，读作:“根号a”.
即 x2=a (x>0)
x叫做a的算术平方根，记作：x= .
规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.
探究
1.算术平方根 中，a可以取任何数吗？被开方数a是非负数，即a≥0.
2. 是什么数？ 是非负数，即 ≥0.
算术平方根具有双重非负性
例1 求下列各数的算术平方根:
32(1) 100 (2) (3) 0.0001
解：(1) 因为102=100，所以100的算术平方根是10，即 =10；
(2) 因为 = ，所以 的算术平方根是 ，即 = ；
(3) 因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即 =0.01.
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
练习
1.求下列各数的算术平方根：
(1) 0.0025 (2) 81 (3) 32
解：(1) 因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术平方根是0.05，即 =0.05；
(2) 因为92=81，所以81的算术平方根是9，即 =9；
(3) 因为32=32，所以32的算术平方根是3，即 =3.
2.求下列各式的值：
(1) (2) (3)
解：(1) =1；(2) = ；(3) =2.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化. 概念的形成
过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的. 概
念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化.
用计算器求一个正数的算术平方根
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会用计算器求一个数的算术平方根，理解被开方数扩大(或缩小)与它
的算术平方根扩大(或缩小)的规律；2.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；
(二)过程与方法：1.培养学生的探究能力和归纳问题的能力；2.体验“无限不循环小数”
的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.
(三)情感态度与价值观：通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
33重点：会比较两个数的算术平方根的大小.
难点：会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识.
三、教学过程
课前热身
求下列各数的算术平方根，并用“＜”分别把被开方数和算术平方根连接起来.
1，4，9，16，25.
解： =1， =2， =3， =4， =5.
比较结果：1＜4＜9＜16＜25， ＜ ＜ ＜ ＜ .
被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 若a＞b＞0，则 ＞ ＞0.
探究
能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为x，则x2=2，由算术平方根的意义可知x= ，所以大正方形的边
长是 dm.
小正方形的对角线的长是多少呢？
有多大呢？
因为 12=1，22=4，所以 1＜ ＜2
因为 1.42=1.96，1.52=2.25，所以 1.4＜ ＜1.5
因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以 1.41＜ ＜1.42
因为 1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以 1.414＜ ＜1.415
……
事实上， =1.414213562373…，它是一个无限不循环小数.(无限不循环小数是指小
数位数无限，且小数部分不循环的小数.)
π也是一个无限不循小数.实际上，许多正有理数的算术平方根(例如
， ， 等)都是无限不循小数.
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根
(或其近似值).
34例2 用计算器求下列各式的值:
(1) (2) (精确到0.001)
解：(1)依次按键 3136=，显示：56，∴ =56
(2)依次按键 2=，显示：1.4142135623731，∴ ≈1.414
注：计算器上显示的1.4142135623731是 的近似值.
下面我们来看引言中提出的问题：
由v2=gR，v2=2gR，得v= ，v= ，其中g≈9.8，R≈6.4×106.
1 2 1 2
用计算器求v 和v(用科学记数法把结果写成a×10n的形式，其中a保留小数点后一位，
1 2
得v≈ ≈7.9×103，v≈ ≈1.1×104.
1 2
因此，第一宇宙速度v 大约是7.9×103m/s，第二宇宙速度v 大约是1.1×104m/s.
1 2
探究
(1)利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
你能说出其中的道理吗？
规律：_________________________________________________________________________
(2) 用计算器计算 ≈______(精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说
≈______， ≈______， ≈______的近似值.
你能根据 的值说出 是多少吗？
例3小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长
方形纸片，使它的长宽之比为3:2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，
一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这
块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm.根据边长与面积的关系得
3x•2x =300
6x2=300
x2=50
x=
因此长方形纸片的长为3 cm.( 3 就是3×
)
因为50＞49，所以 ＞7.
35由上可知3 ＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm.
因为 =20. 所以正方形纸片的边长只有20cm.这样，长方形纸片的长将大于正方
形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
练习
1.用计算器求下列各式的值：
(1) (2) (3) (精确到0.01)
解：(1) =37；(2) =10.06；(3) ≈2.24
2.比较下列各组数的大小：
(1) 与 (2) 与8 (3) 与0.5 (4) 与1
解：(1)∵ 8＜10，∴ ＜
(2) ∵ 65＞64，∴ ＞ ，即 ＞8
(3)∵ ＞2，∴ -1＞2-1，∴ ＞ ，即 ＞0.5
(4)∵ ＜3，∴ -1＜3-1，∴ ＜ ，即 ＜1
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法. 让
学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独
立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用
价值.
平方根
一、教学目标
(一)知识与技能：理解平方根的概念，知道开平方是平方逆运算，会用符号表示平方根，
并会求平方数的平方根.
(二)过程与方法：类比算术平方根概念探究平方根，利用平方与开平方互逆揭示开平方运
算的本质，经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征.
(三)情感态度与价值观：使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解
36决问题的习惯.
二、教学重点、难点
重点：理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根.
难点：理解平方根的意义.
三、教学过程
复习回顾
1.什么叫一个数的算术平方根？怎样表示？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为: (a≥0)，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.
2.25的算术平方根是_____，13的算术平方根是_____.
思考
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？由于(±3)2=9，所以这个数是3或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根，-3与9的算术平方根有什么关系？(与算术平方根
互为相反数.)
归纳平方根的概念
填表：
如果我们把±1，±4，±6，±7，± 分别叫做1，16，36，49， 的平方根，你能
类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是
说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
例如，3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
观察下图，你发现了什么？
平方与开平方互为逆运算
例4 求下列各数的平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.25.
解：(1)因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10；
(2)因为 = ，所以 的平方根是 ；
(3)因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
37即(1) ； (2) ； (3) .
归纳数的平方根的特征：
正数的平方根有什么特点？(正数有两个平方根，它们互为相反数)
0的平方根是多少？(0的平方根是0)
负数有平方根吗？(负数没有平方根)
平方根的表示
我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？
正数a的算术平方根可以表示为 ，正数a的负的平方根，可以表示为- .
正数a的平方根可以用± 表示，读作“正、负根号a”．
例如，± =±3，± =±5.
例5 求下列各式的值：
(1) ； (2) - ； (3) ± .
解：(1)因为62=36，所以 =6；(2)因为0.92=0.81，所以- =-0.9；
(3)因为 = ，所以± =± .
练习
1.判断下列说法是否正确：
(1) 0的平方根是0；……………………( )
(2) 1的平方根是1；……………………( )
(3) -1的平方根是-1；…………………( )
(4) 0.01是0.1的一个平方根.…………( )
2.填表：
3.计算下列各式的值：
(1) (2) - (3) ±
解：(1) =3；(2) - =-0.7；(3) ± =± .
4.平方根概念的起源与几何中的正方形有关，如果一个正方形的面积为A，那么这个正方
形的边长是_____.
38课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
为学生提供有趣且富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流. 如把正方形
的面积不断地扩大为原来的2倍、3倍、n倍，引导学生进行交流、讨论与探索，从中感受
学习平方根的必要性.
立方根
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解立方根的概念能够用根号表示一个数的立方根；2.能够类比平方
根的方法学习立方根，及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同.
(二)过程与方法：用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根
与立方根的异同.
(三)情感态度与价值观：发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，
39并做出正确的处理.
二、教学重点、难点
重点：立方根的概念与性质.
难点：会用开立方运算求一个数的立方根.
三、教学过程
问题
要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
设这种包装箱的棱长为xm，则x3=27
因为33=27，所以x=3.
因此这种包装箱的棱长为3m.
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就
是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与
立方也互为逆运算.
探究
根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为23=8，所以8的立方根是( )；
因为( )3=0.064，所以0.064的立方根是( )；
因为( )3=0，所以0的立方根是( )；
因为( )3=-8，所以-8的立方根是( )；
因为 ，所以 的立方根是( ).
正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中
a 是被开方数，3是根指数.
例如， 表示8的立方根， =2； 表示-8的立方根， =-2. 中的根指
数3不能省略.
注：算术平方根的符号 ，实际上省略了 中的根指数2.因此， 也可读作“二
次根号a”.
探究
因为 =___，- =___，所以 ___- ；
因为 =___，- =___，所以 ___- .
一般地， =_____.
例 求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
40解：(1) =4； (2) =-5；(3) = .
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如 ， 等都是无限不循环小
数.我们可以用有理数近似地表示它们.
一些计算器设有 健，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).
例如，用计算器求 ，可以按照下面的步骤进行：依次按键 1845 =，显示：
12.2649408147445.这样就得到 的近似值12.2649408147445.
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如用这种计算器求 ，可以依
次按键2ndF 1845 =，显示：12.2649408147445.
探究
用计算器计算…， =_____， =____， =____， =____，
…，你能发现什么规律？规律：
______________________________________________________.
用计算器计算 ≈____，(精确到0.001)，并利用你发现的规律求 ≈_______，
≈_________， ≈______.
练习
1.求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：(1) =10； (2) =-0.1； (3) =-1； (4) = .
2.用计算器求下列各式的值：
(1) =____； (2) =____； (3) ± =____.
3.比较3，4， 的大小.
解：∵ 33=27，43=64，∴ ＜ ＜ ，即 3＜ ＜4.
4.立方根概念的起源与几何中的正方体有关. 如果一个正方体的体积为V，这个正方体的
棱长为______.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
41四、教学反思
本节课让学生应用类比法学习立方根的概念、性质和运算. 学生在以后的数学学习中，
要注意渗透类比的思维方式，让学生在学习新知识的同时巩固已学的知识，并通过新旧对
比更好地掌握知识.
实数的概念
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解无理数和实数的概念以及实数的分类；2.知道实数与数轴上的点
具有一一对应的关系；3.实数的绝对值与相反数的意义.
(二)过程与方法：在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到
42实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与
数轴上的点是一一对应的关系.
(三)情感态度与价值观：1.通过了解数域扩充体会数域扩充对人类发展的作用；2.敢于面
对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.
二、教学重点、难点
重点：1.了解无理数和实数的概念；2.对实数进行分类；3.会求实数的绝对值与相反数.
难点：对无理数的认识.
三、教学过程
有理数
我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什
么特征？ ， ， ， ， .
• ••
=0.4， =-0.6， =6.75， =1.2， =0.81.它们都可以写成有限小数或者无
限循环小数的形式.
整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？3=3.0
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数
或无限循环小数也都是有理数.
无理数
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.
无限不循环小数又叫做无理数.
例如 ，- ， ， 等都是无理数.
π是无理数吗？1.01001000100001…是无理数吗？
π=3.14159265…，1.01001000100001…它们都是无限不循环小数，是无理数.
常见的无理数的三种形式：(1)含π的一些数；(2)开方开不尽的数；(3)有规律但不循
环的数，如1.01001000100001…
实数
有理数和无理数统称为实数.
分类原则：不重不漏
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的
点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？
如：π， .
探究
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达
43点O'，点O'对应的数是多少？
OO'的长是这个圆的周长π，所以点O'的坐标为π.无理数π可以用数轴上的点来表示出.
如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，
与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示- .(为什么)
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实
数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 与规定
有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示
的实数大.
思考
(1) 相反数是______，-π的相反数是______，0的相反数是______；
(2)| |=_____，|-π|=_____，|0|=_____.
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是
它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则
例1 (1)分别写出- ，π-3.14的相反数；
(2)指出- ，1- 各是什么数的相反数；(3)求 的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是 ，求这个数.
解：(1)因为-(- )= ，-(π-3.14)=3.14-π，所以，- ，π-3.14的相反数分别为 ，
3.14-π；
(2)因为-(- )= ，-( -1)=1- ，所以，- ，1- 分别是 ， -1的相反
数；
(3)因为 =- =-4，所以| |=|-4|=4；
(4)因为| |= ，|- |= ，所以绝对值是 的数是 或- .
44练习
1.请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：
，-1.5， ，π， 3.
解：A：-1.5，B： ，C： ，D：3，E：π.
2.求下列各数的相反数与绝对值：2.5，- ， ， -2，0.
解：相反数分别是：-2.5， ， ，2- ，0. |2.5|=2.5，|- |= ，| |=
，| -2|=2- ，|0|=0.
3.求下列各式中的实数x：
(1) |x|= ； (2) |x|=0； (3) |x|= ； (4) |x|=π.
解：(1) x= 或x= ；(2) x=0；(3) x= 或x=- ；(4) x=π或x=-π.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩
充到实数. 在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念. 本节课要注意的地方有
两个：一是所有的分数都是有理数，如 ；二是形如 、 等之类的含有π的数不是分
数，而是无理数.
实数的运算
一、教学目标
(一)知识与技能：了解在有理数范围内的运算及运算法则，运算性质等在实数范围内仍然
45成立，能熟练地进行实数运算.
(二)过程与方法：在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算.
(三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成
功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
重点：实数的混合运算.
难点：求实数的近似值的计算.
三、教学过程
实数的运算性质
(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、
乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
(2)在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
1.交换律：加法 a＋b＝b＋a，乘法 a×b＝b×a
2.结合律：加法 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，乘法 (a×b)×c＝a×(b×c)
3.分配律： a×(b＋c)＝a×b＋a×c
例2 计算下列各式的值：
(1) ( + )- ； (2) 3 +2 .
解：(1) ( + )- (2) 3 +2
= +( - )(加法结合律) =(3+2) (乘法分配律)
= +0 =5
=
求实数的近似值
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确
度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
例3 计算(结果保留小数点后两位)
(1) +π； (2) • .
解：(1) +π≈2.236+3.142≈5.38 ；(2) • ≈1.732×1.414≈2.45
练习
(1) 2 -3 ； (2) | - |+2 .
解：(1) 原式=(2-3) =- ；
(2) 原式= - +2 = +
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
46由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣. 同时复习有理数的运算法则和运
算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用. 教学中，让学生通过具体的运算
(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度.
在涉及用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度.
第6章实数小结与复习
一、教学目标
47(一)知识与技能：1.理解算术平方根、平方根、立方根概念；2.掌握算术平方根和平方根
的区别于联系；3.了解平方根、立方根的计算器求法；4.巩固实数的运算.
(二)过程与方法：体会特殊到一般、化零为整的认识过程，运用类比思想，强化符号意识，
进一步培养估算和运算能力.
(三)情感态度与价值观：学生在充分经历交流、当堂练习等活动中，获得成功的体验，调
动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
重点：1.算术平方根、平方根、立方根、无理数概念及性质；2.理解实数的有关概念及实
数的运算.
难点：灵活运用算术平方根的双重非负性解题.
三、教学过程
知识网络
考点一 开方运算
例1 1.求下列各数的平方根：
(1) ；(2) ；(3) (－10)2
解：(1) ± ；(2) ± ；(3) ±10
2.求下列各数的立方根：
(1) ；(2) 0.027；(3) (－10)6
解：(1) ；(2) 0.3；(3) 100
针对训练
1.求下列各式的值：
(1) _____ (2) _____ (3) _____
(4) _____ (5) _____ (6) _____
2.一个立方体的棱长是4cm，如果把它体积扩大为原来的8倍，则扩大后的立方体的表面
积是_______.
3.3的算术平方根是( )
48A.9 B. C. D.
考点二 实数的有关概念
例2 在－7.5， ，4， ，π， ， 中，无理数的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
针对训练
4.在 ，0.618，π， ， 中，负有理数的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列实数 ， ， ，3.14159， ， 中，正分数的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点三 实数的估算及与数轴的结合
例3 (1) 位于整数___和___之间，它的整数部分为___，小数部分为_______.
(2)如图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使－1表示的点与3表示的点重合，则
表示的点与数_______表示的点重合.
针对训练
6.写出两个大于3小于4的无理数__________.
7. 的整数部分为____，小数部分为_______.
8.如图所示，数轴上表示1和 的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，O为
原点.(1)线段长度：AB＝______，AC＝______，OC＝______.
(2)设C点表示的数为x，试求|x－ |＋x的值.
解：由(1)得x=2-
∴ 原式=|2- - |+2- =|2-2 |+2- =2 -2+2- =
考点四 实数的运算
例4 计算：
(1) (2)
解：(1)原式= - - - (2)原式=
49=-2 =
=
例5 已知 ≈0.8138， ≈1.753， ≈3.777，则 ≈________，
≈________.
针对训练
9.已知 ≈2.236，不再利用其他工具，能确定出近似值的是( )
A. B. C. D.
方法总结
开方运算时要注意小数点的变化规律，开立方是三位与一位的关系，开平方是二位与
一位的关系.
10.计算：
(1) (2) (3) (精确到0.01)
解：(1)原式=0.6+1-2=-0.4 (2)原式= - -4=-4 (3)原式≈2.449-2.236≈0.21
针对训练
11.求下列各式中的x值.
(1)(x－1)2＝64 (2)
解：(1)x-1=±8 (2) =-729
x-1=8或x-1=-8 =-9
∴ x=9或x=-7 ∴ x=-18
能力提升
1.对于实数a，我们规定：用符号[ ]表示不大于 的最大整数，称[ ]为a的根
整数，例如：[ ]＝3，[ ]＝3.
(1)仿照以上方法计算：[ ]＝____；[ ]＝____.
(2)若[ ]＝1，写出满足题意的x的整数值_________.
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次[ ]＝
503→[ ]＝1，这时候结果为1.
(3)对120连续求根整数，____次之后结果为1.
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_____.
有序数对
51一、教学目标
(一)知识与技能：从实际生活中感受有序数对的意义，并会确定平面内物体的位置.
(二)过程与方法：通过有序数对确定位置，让学生感受二维空间观，发展符号感及抽象思
维能力，让学生体会“具体－抽象－具体”的数学学习过程.
(三)情感态度与价值观：培养学生的合作交流意识和探索精神，创造性思维意识；体验数
学来源于生活及应用于生活的意识，更好的激发学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：有序数对的概念及平面内确定点的方法.
难点：对有序数对中的有序的理解，利用有序数对表示平面内的点.
三、教学过程
图片欣赏
这是一张其中一个小组训练的模拟情形，有一个人的动作不太到位，你能告诉大家他
在哪里吗？
第4排第3列
影剧院对观众席的所有座位都按“几排几号”编号，以便确定每一个座位在影剧院中
的位置.这样，观众就能根据入场券上的“排数”和“号数”准确地“对号入座”.
在电影票上“9排7号”与“7排9号”中的“9”的含义有什么不同？
52如果将“5排3号”简记作(5，3)，那么“3排5号”如何表示？(5，6)表示什么含义？
“3排5号”简记作(3，5)；(5，6)表示“5排6号”.
当发现一本书上某页有一处印刷错误时，你可以怎样告诉其他同学这一处的位置呢？
右上图是一则通知，你明白它所表达的意思吗？(2，4)和(4，2)在同一位置吗？
怎样确定教室里座位的位置？排数和列数的先后顺序对位置有影响吗？假设我们约定
“列数在前，排数在后”，请你在上图中标出被邀请参加讨论的同学的座位.
前面的问题都是通过像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表
示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边的表示“排数”，后边的
表示“号数”.我们把这种有顺序的两个数 a 与 b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，
b).
利用有序数对，可以准确地表示出一个位置. 生活中利用有序数对表示位置的情况是
很常见的，如人们常用经纬度来表示地球上的地点等.你能再举出一些例子吗？
确定物体位置，从古至今都非常重要，在“涿鹿之战”中，黄帝用“指南车”打败了
勇猛异常的蚩尤，郑和使用“罗盘、测探器、牵星板”等当时先进的“定位技术”七下西
洋.人类社会发展到科学技术日新月异的今天，人们使用“全球定位系统”，如果同时接收
三颗卫星发射的信号很快就能测得船舶与三颗卫星的距离，确定出船舶的位置，但无论使
用怎样先进的设备，要指出平面上物体的位置，至少需要两个数据.
53练习
如图，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街与2巷的十字路口. 如果用(2，5)
表示甲处的位置，那么“(2，5)→(3，5)→(4，5)→(5，5)→(5，4)→(5，3)→(5，2)”
表示甲处到乙处的一种路线.请你用这种形式写出几种从甲处到乙处的路线.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
将现实生活中常用的定位方法呈现给学生，进一步丰富学生的数学活动经验，培养学
生观察、分析、归纳、概括的能力. 教学过程中创设生动活泼、直观形象且贴近他们生活
的问题情境；另一方面，为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积
极探究.
54平面直角坐标系
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解平面直角坐标系概念；2.学会用坐标表示，能建立适当的直角坐
标系描述物体的位置.
(二)过程与方法：通过观察了解平面直角坐标系的特征，使学生掌握研究问题的方法，从
而学会学习.
(三)情感态度与价值观：通过具体情境的探索、交流等数学活动培养学生的团结合作精神
和积极参与、勤于思考意识.
二、教学重点、难点
重点：平面直角坐标系和点的坐标，描出点的位置和建立坐标系.
难点：根据点的位置写出点的坐标，适当地建立坐标系.
三、教学过程
回顾旧知，引入新知
在平面内，确定物体的位置一般需要几个数据？有哪些方法？
在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据.
常用的方法：用有序数对来确定，如：(排，列)，(组，排)，(排，号)，(角度，距
离)，(经度，纬度)等.
什么是数轴？
规定了原点、正方向、单位长度的直线就构成了数轴.
数轴上的点A表示数1. 反过来，数1就是点A的位置. 我们说数1是点A在数轴上的
坐标.
同理可知，点B在数轴上的坐标是____；点C在数轴上的坐标是____；点D在数轴上
坐标是____.
数轴上的点与实数之间存在着__________的关系.
思考
类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置
呢？(例如:下图中A、B、C、D各点)
55如图，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向
上方
向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
有了，平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数
对来表示了.
法国数学家笛卡儿
例如，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的
(Descartes ， 1596-
坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3， 1650)
纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫做点A的坐标，记作A(3，4). 最早引入坐标系，用
代
类似地，请你写出点B，C，D的坐标： 数方法研究几何图形.
B(____，____)
C(____，____)
D(____，____)
思考
原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？
原点O的坐标为(0，0)；x 轴上的点的纵坐标为0，例如(1，0)，(-1，0)，…；y 轴
上的点的横坐标为0，例如(0，1)，(0，-1)，….如右上图A(3，0)，B(-2，0) ，C(0，2)，
D(0，-3).
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，
每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 坐标轴上的点
不属于任何象限.
56例 在平面直角坐标系中描出下列各点：A(4，5)，
B(-2，3)，C(-4，-1)，D(2.5，-2)，E(0，-4).
解：如图，先在x轴上找出表示4的点，再在y
轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴
的垂线，垂线的交点就是点A.
我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的.我
们还可以得出：对于坐标平面内任意一点M，都有唯
一的一对有序实数(x，y)(即点M的坐标)和它对应；
反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面
内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应.
也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应
的.
探究
如图，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原
点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那
么y轴是哪条线？写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.
A(____，____) A(____，____)
B(____，____) B(____，____)
C(____，____) C(____，____)
D(____，____) D(____，____)
请另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少？
与同学们交流一下.
练习
1.写出图中点A，B，C，D，E，F的坐标.
A(____，____) B(____，____)
C(____，____) D(____，____)
E(____，____) F(____，____)
2.在图中描出下列各点：L(-5，-3)，M(4，0)，
N(-6，2)，P(5，-3.5)，Q(0，5)，R(6，2).
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过平面直角坐标系的有关内容的学习，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，
让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生学习数学的积
57极性和好奇心.
用坐标表示地理位置
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过具体的实例，帮助学生掌握建立适当的直角坐标系描述地理位置
的方法；2.培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及把实际问题转化为数学
问题的能力.
(二)过程与方法：通过用直角坐标系表示地理位置，使学生体会平面直角坐标系在实际生
活中的应用.
(三)情感态度与价值观：通过用坐标系表示实际生活中的一些地理位置，让学生认识数学
与人类生活的密切联系，培养学生解诀实际问题的能力；初步形成认真参与、积极交流的
主体意识，提高学生学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：用坐标表示地理位置的方法.
难点：根据已知条件，建立适当的直角坐标系解决实际问题.
三、教学过程
百度地图
如图是某市旅游景点的示意图.
(1)你是怎样确定各个景点的位置？
(2)如果以“中心广场”为原点建立平面直角坐标系，一个方格的边长看做一个单位长
度，那么你能写出各个景点的坐标吗？
(3)如果规定一个单位长度代表1km，那么雁塔到影月湖的距离是多少？
58根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置.
小刚家：出校门向东走1500m，
再向北走2000m.
小强家：出校门向西走2000m，
再向北走3500m，最后向东走500m.
小敏家：出校门向南走1000m，
再向东走3000m，最后向南走750m.
规定：一个方格边长代表500个单位
长度，一个单位长度代表1m长.
选取学校所在位置为原点，并以
正东、正北方向为x轴、y轴的正方
向有什么优点？
归纳
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平 面
图的过程如下：
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x
轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个
地点的名称.
方法总结：
选取适当的点为原点，在建立平面直角坐标系时，应使尽可能多的点落在坐标轴上，
使点的坐标比较简单.
思考
如图，一艘船在A处遇险后向相距35海里位于B处的救生船报警，如何用方向和距离
描述救生船相对于遇险船的位置？救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描
述遇险船相对于救生船的位置？
59解：由图可知，救生船在遇险船北偏东60°的方向上，与遇险船的距离是35海里，
用北偏东60°，35海里就可以确定救生船相对于遇险船的位置. 反过来，用南偏西
60°，35海里就可以确定遇险船相对于救生船的位置.
练习
1.长方形零件如图(单位：mm)，建立适当的坐标系，用坐标表示孔心的位置.
解：如图，一个方格的边长代表5个单位长度，一个单位长度代表1mm长. 则孔心位
置的坐标为(15，25).
2.如图，货轮与灯塔相距40海里，如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置？反过来，
如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？
解：用南偏东50°，40海里就可以确定灯塔相对于货轮的位置；反过来，用北偏西
50°，40海里就可以确定货轮相对于灯塔的位置.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造，激发
学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识，让学生认识数学
与人类生活的密切联系，提高他们学习数学的兴趣.
60用坐标表示平移
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握点的坐标变化与图形平移的关系，能利用点的平移规律将平面图形
进行平移，会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程.
(二)过程与方法：经历探索点坐标变化与点平移的关系，图形各个点坐标变化与图形平移
的关系的过程，发展学生的形象思维能力和数形结合意识.
(三)情感态度与价值观：培养学生自主探究的意识，体会合作的重要性；在学习过程中，
通过解诀系列问题使学生敢于面对挑战和具有勇于克服困难的意志.
二、教学重点、难点
重点：掌握坐标变化与图形平移的关系.
难点：探索坐标变化与图形平移的关系.
三、教学过程
动画引入
在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，图形上点的位置发生了变化，坐标也发
生了变化.
如图，在平面直角坐标系中有A、B、C三点，请你分别将这三点向左、向右、向上、
向下平移，观察它们的坐标是否按一定的规律变化呢？
1.将图中各点向右平移5个单位，观察它们的坐标的变化.
A(-4，3)→ A(___，___)；B(-2，-3)→B(___，___)；C(2，1)→C(___，___).
1 1 1
612.将图中各点向左平移2个单位，观察它们的坐标的变化.
A(-4，3)→ A(___，___)；B(-2，-3)→B(___，___)；C(2，1)→C(___，___).
2 2 2
3.将图中各点向上平移3个单位，观察它们的坐标的变化.
A(-4，3)→ A(___，___)；B(-2，-3)→B(___，___)；C(2，1)→C(___，___).
3 3 3
4.将图中各点向下平移2个单位，观察它们的坐标的变化.
A(-4，3)→ A(___，___)；B(-2，-3)→B(___，___)；C(2，1)→C(___，___).
4 4 4
归纳
一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)
向右(或左)平移 a 个单位长度，可以得到对应点
(____，____)(或(____，____))；将点(x，y)向
上(或下)平移 b 个单位长度，可以得到对应点
(____，____)(或(____，____)).
如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是
A(-2，4)，B(-2，3)，C(-1，3)，D(-1，4)，将
正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移
8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，
F，G，H，它们的坐标分别是什么？如果直接平移
正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到
的正方形的位置相同吗？
解：点E，F，G，H的坐标分别是(6，-3)，
(6，-4)，(7，-4)，(7，-3).如果直接平移正方
形ABCD，使点A移到点E，它和之前得到的正方
形的位置相同.
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图
形作一次平移得到.
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图
形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行怎样的平移.
例 如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2). (1)将三角形
ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A、B、C，依次连接A、B、C，
1 1 1 1 1 1
所得三角形ABC 与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？(2)将三角形ABC三个
1 1 1
顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A、B、C，依次连接A、B、C，所得
2 2 2 2 2 2
三角形ABC 与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
2 2 2
解：(1)A(-2，3)，B(-3，1)，C (-5，2)，依次
1 1 1
连接A、B、C，所得三角形ABC 与三角形ABC的大
1 1 1 1 1 1
小、形状完全相同，位置不同.三角形ABC 可以看作
1 1 1
将三角形ABC向左平移6个单位长度得到. (2)A(4，-
2
2)，B(3，-4)，C(1，-3)，依次连接A、B、C，所
2 2 2 2 2
得三角形ABC 与三角形ABC的大小、形状完全相同，
2 2 2
位置不同.三角形ABC 可以看作将三角形ABC向下平
2 2 2
移5个单位长度得到.
思考
(1)如果将这个问题中的“横坐标都减去6”，“纵坐标都减去5”相应地变为“横坐
标都加3”，“纵坐标都加2”，分别能得到什么结论？画出得到的图形.
62(2)如果将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，能得到什么
结论？画出得到的图形.
解：(1)A(7，3)，B(6，1)，C(4，2)，依次连接A、B、C，所得三角形ABC 与三
3 3 3 3 3 3 3 3 3
角形ABC的大小、形状完全相同，位置不同.三角形ABC 可以看作将三角形ABC向右平移
3 3 3
3个单位长度得到. A(4，5)，B(3，3)，C(1，4)，依次连接A、B、C，所得三角形
4 4 4 4 4 4
ABC 与三角形ABC的大小、形状完全相同，位置不同.三角形ABC 可以看作将三角形ABC
4 4 4 4 4 4
向上平移2个单位长度得到.
(2)A(-2,-2)，B(-3,-4)，C(-5,-3)，依次连接A、B、C，所得三角形ABC 与三
5 5 5 5 5 5 5 5 5
角形ABC的大小、形状完全相同，位置不同.三角形ABC 可以看作将三角形ABC先向左平
5 5 5
移6个单位，再向下平移5个单位长度得到.
归纳总结
一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正
数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵
坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长
度.
练习
如图，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可
以得到平行四边形A′B′C′D′，画出平移后的图形，并指出其各个顶点的坐标.
解：如图，平行四边形A′B′C′D′为所求.A′(-3，1)，B′(1，1)，C′(2，4)，D′(-2，4).
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过本课时的学习，学生经历图形坐标变化与图形平移之间的关系的探索过程，掌握
空间与图形的基础知识和基本作图技巧，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间
观念，培养形象思维能力，激发数学学习的好奇心与求知欲.教学过程中让学生能积极参与
数学学习活动，积极交流合作，体验数学活动的乐趣.
63第7章平面直角坐标系小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.熟练掌握章的知识结构及各知识点间的相互关系；2.灵活运用相关知
识解决与坐标有关的计算，熟练画平移后的图形并用坐标表示平移；3.能在现实情境中建
立适当的直角坐标系，在此坐标系中会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标
运用不同的方式确定物体的位置.
(二)过程与方法：1.通过复习，使学生系统地回顾本章所学的知识，通过习题，使学生能
够运用所学的知识解决问题；2、通过学生练习的过程，发展学生的数形结合意识，合作交
流意识；3、经历图形坐标变化与图形的平移、轴对称之间关系的探索过程，发展学生的形
象思维能力和数形结合意识.
(三)情感态度与价值观：体会观察、推理、归纳对数学知识获取的重要作用，感受数学与
现实生活的密切关系及其应用价值；能在独立思考和小组交流中获益，认识自我，建立信
心.
二、教学重点、难点
重点：对所学的知识进行梳理，深刻理解每一部分的内容.
难点：运用所学的知识分析问题和解诀问题.
三、教学过程
知识网络
64考点一 平面直角坐标系与点的坐标
例1 (1)已知点A(－3＋a，2a＋9)在第二象限，且到x轴的距离为5，则点a的值是____；
(2)点P(x，y)在第四象限，且|x|＝5，|y|＝4，则P点的坐标是________；
(3)点P(a，a2－9)在x轴负半轴上，则P点的坐标是_______；
(4)已知点A(m，－2)，点B(3，m－1)，且直线AB∥x轴，则m的值为____.
方法总结
1.第一、三象限内点的横、纵坐标同号；
2.第二、四象限内点的横、纵坐标异号；
3.x轴上的点 y=0，y轴上的点 x=0；
4.平面内点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是它横坐标的绝对值；
5.平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
针对训练
1.点A(2，3)到x轴的距离为____；点B(－4，0)到y轴的距离为____；点C到x轴的距离
为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是________.
2.已知A(1，2)，B(x，y)，AB∥y轴，且B到x轴距离为4，则点B的坐标是___________.
3.直角坐标系xOy中，在y轴上有一点P，且OP＝5，则点P的坐标为________________.
考点二 坐标与平移
例 2 如图，三角形 ABC 经过一定的变换得到三角形
A′B′C′，如果三角形ABC上点P的坐标为(a，b)，那么点P
变换后的对应点P′的坐标为___________.
针对训练
4.将点P(－3，y)向下平移3个单位，再向左平移 2个单位得到点 Q(x，－1)，则xy＝
_____.
5.如图，点A，B的坐标为(－2，0)，(0，－1)，若将线段AB平移至CD，则x＋y的值为
____.
考点三 平移作图及求坐标系中的几何图形面积
65例3 (1)写出三角形ABC的各个顶点的坐标；
(2)试求出三角形ABC的面积；
(3)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形.
解：(1)A(0，2)，B(4，3)，C(3，0)；
(2)S=4×3- ×2×3- ×1×4- ×1×3=5.5；
(3)如图所示△A′B′C′为所求.
方法总结
在坐标系中求图形的面积应从两方面去把握：
(1)通常用割或补的方法将要求图形转化为一些特
殊的图形，去间接计算面积.(2)需要将已知点的坐
标转化为线段的长度，以满足求面积的需要.
针对训练
6.已知A(1，4)，B(－4，0)，C(2，0)，则△ABC的面积是____.
7.如图，直角三角形ABC的直角边BC＝AC，且B(3，2)，C(3，－2)，求点A的坐标及三角
形ABC的面积.
解：∵ B(3，2)，C(3，-2)
∴ BC∥y轴，且BC=2-(-2)=4
∴ AC=BC=4
∴ 三角形ABC面积是 ×4×4=8
∵ AC⊥BC
∴ AC⊥y轴
∴ 点A的横坐标为-(4-3)=-1，纵坐标为-2
∴ 点A坐标为(-1，-2)
8.如图，已知点A(0，3)，B(2，1)，C(3，4). 在x轴上是否存在点P，使△OCP的面积为
△ABC面积的1.5倍？说明理由.
解：作CD⊥y轴，BE⊥y轴，CM⊥x轴.
∵ S =S -S -S
△ABC 梯形EBCD △AEB △ADC
= ×(3+2)×3- ×2×2- ×1×3=4
∴ S =1.5S =6，即 OP×CM=6
△OCP △ABC
又∵ CM=4，∴ OP=3
∴ 点P的坐标为(3，0)或(-3，0)
考点四 平面直角坐标系中的变化规律
66例4 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方
向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点 A(0，1)，A(1，1)，A(1，0)，A(2，
1 2 3 4
0)，…，那么点A (n是自然数)的坐标为_______.
4n＋1
针对训练
9.如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A(－1，1)，紧接着第
1
二次向右跳动3个单位至点A(2，1)，第三次跳动至点A(－2，2)，第四次向右跳动5个
2 3
单位至点 A(3，2)，…，依此规律跳动下去，点 A 第 100 次跳动至点 A 的坐标是
4 100
_________.
10.如图，已知A(1，0)，A(1，1)，A(－1，1)，A(－1，－1)，A(2，－1)，…，则A
1 2 3 4 5 2025
的坐标为__________.
二元一次方程组
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解二元一次方程、二元一次方程组的概念；2.理解二元一次方程的
解、二元一次方程组的解的概念.
(二)过程与方法：经历有关含有两个等量关系的应用题的列方程的过程，了解二元一次方
程的概念及二元一次方程组的概念、在此基础上学习二元一次方程的解、二元一次方程组
的解的概念.
(三)情感态度与价值观：让同学们用已学过的一元一次方程的有关知识类比地学习本节的
新知识，体验“推陈出新”的哲学思想.
二、教学重点、难点
重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.
难点：二元一次方程、二元一次方程组的概念的准确理解.
三、教学过程
知识回顾
671.什么叫方程？含有未知数的等式叫做方程.如：2x+3=5，x+y=8.
2.什么叫一元一次方程？
在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫
做一元一次方程.如：2x+3=5，y+6=8.
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场
比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？
解：设胜的场数是x，则负的场数是(10-x)，根
据题意得：
2x+(10-x)=16
解得，x=6
负的场数：10-6=4
答：这个队胜6场，负4场.
思考
上述问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是 x ，负的场数是 y ，你能
用方程把这些条件表示出来吗？
胜的场数+负的场数=总场数 x+y=10
胜场积分+负场积分=总积分 2x+y=16
二元一次方程
x+y=10；2x+y=16
这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都
是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程组
上述问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程
x+y=10和2x+y=16.
把这两个方程合在一起，写成 ，就组成了一个方程组.这个方程组中有两
个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫
做二元一次方程组.
注：(1) 2个未知数；(2) 未知数的项的次数是1； (3) 方程的左右两边都是整式.
探究
满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中.
如果不考虑方程x+y=10与前面实际问题的联系，那么x=-1，y=11；x=0.5，y=9.5……
也都是这个方程的解.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
上表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=16.
x=6，y=4既满足方程x+y=10，又满足方程2x+y=16.也就是说，x=6，y=4是方程x+y=10
68与方程2x+y=16的公共解. 我们把x=6，y=4叫做二元一次方程组 的解，这个解
通常记作 .
联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场.
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
练习
对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义找出问题的解.
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每
天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一，第
二道工序所完成的件数相等？
解：设第一道工序每天安排x人，第二道工序每天安排y人，依题意，列方程组得
，解得
答：第一道工序每天安排4人，第二道工序每天安排3人，可使两道工序每天完成的
件数相等.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学
知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造
的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解.
代入消元法(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.体会消元思想；2.会用代入消元法解二元一次方程组.
(二)过程与方法：了解解二元一次方程组的消元思想，初步体现数学研究中“化未知为已
知”的化归思想，从而“变陌生为熟悉”.
(三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成
功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
重点：用代入法解二元一次方程组.
难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
三、教学过程
课前热身
691.把下列方程写成用含x的式子表示y的形式.
(1) 2x+y=6 → y=6-2x (2) y-3x-1=0 → y=3x+1
2.你能把上面两个方程写成用含y的式子表示x的形式.
(1) (2)
3.如何解这样的方程组 .
探究解法
所以原方程组的解是 . 求方程组解的过程叫做解方程组.
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，
简称代入法.
例1 用代入法解方程组
解：由①，得 x=3+y ③
把③代入②，得 3(3+y)-8y=14
解这个方程，得 y=-1
把y=-1代入③，得 x=2
所以这个方程组的解是
问：1.把③代入①可以吗？试试看；2.把y=-1代入①或②可以吗？
用代入法解方程组
解：由①，得 y=6-2x ③
70把③代入②，得 6-2x-3x-1=0
解这个方程，得 x=1
把x=1代入③，得 y=4
所以这个方程组的解是
练习
1.把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
(1) 2x-y=3 表示为：___________；(2) 3x+y-1=0 表示为：___________.
2.用代入法解下列方程组：
(1) (2)
解：(1)把①代入②，得 3x+2(2x-3)=8
解这个方程，得 x=2
把x=2代入①，得 y=1
所以这个方程组的解是
解：(2) 由①，得 y=2x-5 ③
把③代入②，得 3x+4(2x-5)=2
解这个方程，得 x=2
把x=2代入③，得 y=-1
所以这个方程组的解是
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好
的认知基础，探究显得十分自然流畅. 引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学
生的观察归纳能力，提高学生的学习能力.
代入消元法(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会用代入法解二元一次方程组；2.分析实际问题，列解二元一次方程
组解决实际问题.
(二)过程与方法：通过“找等量关系”和“列方程”解决问题的方法，感受方程是应用广
泛的数学工具；学会分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，渗透建
立方程模型的思想；使学生在解决问题的过程中进一步体验方程是刻画现实世界的一个有
效的模型，感受方程的作用.
(三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成
功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
71重点：分析问题，寻找等量关系，列解二元一次方程组解决实际问题.
难点：寻找实际问题中的两个等量关系.
三、教学过程
课前热身
1.将二元一次方程5x+2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y=________；化成用含有y
的式子表示x的形式是x=________.
2.已知方程组： ，指出下列方法中比较简捷的解法是( )
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②；
B.利用①，用含y的式子表示x，再代入②；
C.利用②，用含x的式子表示y，再代入①；
D.利用②，用含y的式子表示x，再代入①.
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量(按
瓶计算)比为2:5，某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种
产品各多少瓶？
分析：问题中包含两个条件：
大瓶数:小瓶数=2:5
大瓶所装的消毒液+小瓶所装的消毒液=总生产量
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.由题意，得
由①，得 ③
把③代入②，得 500x+250× x=22500000
解这个方程，得 x=20000
把x=20000代入③，得 y=50000
所以这个方程组的解是
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
思考
72解这个方程组时，可以先消去x吗？试试看.
解：由①，得 ③
把③代入②，得 500× y+250y=22500000
解这个方程，得 y=50000
把y=50000代入③，得 x=20000
所以这个方程组的解是
练习
1.有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，
每名运动员只能参加一项比赛.篮球、排球队各有多少支参赛？
解：设篮球队有x支、排球队有y支参赛，依题意，得
由①，得 x=48-y ③
把③代入②，得 10(48-y)+12y=520
解这个方程，得 y=20
把y=20代入③，得 x=28
所以这个方程组的解是
答：篮球队有28支、排球队有20支参赛.
2.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑
车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km.他骑车与步行各用多
少时间？
解：设他骑车用xh、步行用yh，依题意，得
由①，得 y=1.5-x ③
把③代入②，得 15x+5(1.5-x)=20
解这个方程，得 x=1.25
把x=1.25代入③，得 y=0.25
所以这个方程组的解是
答：他骑车用1.25h、步行用0.25h.
课堂小结
731.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，
在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主
体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
加减消元法(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会用加减消元法解简单的二元一次方程组；2.理解加减消元法的基本
思想，体会化未知为已知的化归思想.
(二)过程与方法：通过经历加减消元法解方程组，让学生体会消元思想的应用，经过引导、
和交流让学生理解加减消元法解二元一次方程组的步骤.
(三)情感态度与价值观：通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发
学生的学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：用加减消元法解二元一次方程组.
难点：灵活运用加减消元法的技巧，把二元转化为一元.
74三、教学过程
忆一忆
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元: 二元 → 一元
2.用代入法解二元一次方程组的主要步骤是什么？
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
思考
我们熟悉的方程组： ，这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关
系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
这两个方程中未知数y的系数相等，②-①可消去未知数y.
②左边-①左边=②右边-①右边
2x+y-(x+y)=16-10
解这个方程得 x=6
把x=6代入①，得 y=4
所以这个方程组的解是
①-②也能消去未知数y，求得x吗？
联系前面的解法，想一想怎样解方程组
解：①+②，得 18x=10.8
x=0.6
把x=0.6代入①，得 3×0.6+10y=2.8
y=0.1
所以这个方程组的解是
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两
边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消
元法，简称加减法.
例3 用加减法解方程组
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能
消元. 我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.
解：①×3，得 9x+12y=48 ③
②×2，得 10x-12y=66 ④
75③+④，得 19x=114
x=6 (把x=6代入②可以解得y吗？)
把x=6代入①，得 3×6+4y=16
y=-
所以这个方程组的解是
如果用加减法消去x应如何解？解得的结果一样吗？
解：①×5，得 15x+20y=80 ③
②×3，得 15x-18y=99 ④
③-④，得 38y=-19
y=-
把y=- 代入①，得 3x+4×(- )=16
x=6
所以这个方程组的解是
练习
1.用加减法解下列方程组：
(1) (2)
解：(1)①+②，得 4x=8
x=2
把x=2代入①，得 2+2y=9
y=3.5
所以这个方程组的解是
解：(2)①×2，得 10x+4y=50 ③
③-②，得 7x=35
x=5
把x=5代入②，得 3×5+4y=15
y=0
所以这个方程组的解是
(3) (4)
解：(3)①×3，得 6x+15y=24 ③
76②×2，得 6x+4y=10 ④
③-④，得 11y=14，解得 y=
把y= 代入①，得 2x+5× =8，解得 x=
所以这个方程组的解是
解：(4)①×2，得 4x+6y=12 ③
②×3，得 9x-6y=-6 ④
③+④，得 13x=6，解得 x=
把x= 代入①，得 2× +3y=6，解得 y=
所以这个方程组的解是
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，
在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主
体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
加减消元法(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会用加减法解二元一次方程组；2.分析实际问题，列解二元一次方程
组解决实际问题.
(二)过程与方法：通过“找等量关系”和“列方程”解决问题的方法，感受方程是应用广
泛的数学工具；学会分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，渗透建
立方程模型的思想；使学生在解决问题的过程中进一步体验方程是刻画现实世界的一个有
效的模型，感受方程的作用.
(三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成
77功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
重点：分析问题，寻找等量关系，列解二元一次方程组解决实际问题.
难点：寻找实际问题中的两个等量关系.
复习巩固
解下列几个方程组，你会选择用代入法还是加减法去求解？为什么？
(1) (2) (3)
(1)代入法 (2)加减法 (3)加减法
例4 2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小
收割机同时工作5h共收割小麦8hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少
公顷？
分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 x hm2和 y hm2，那么2台大
收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦________hm2，3台大收割机和2台小收割机
同时工作1小时共收割小麦________公顷.
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 x hm2和 y hm2.根据两种工作方式
中的相等关系，得方程组
去括号，得
②-①，得 11x=4.4
解这个方程，得 x=0.4
把x=0.4代入① ，得 y=0.2
因此，这个方程组的解是
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2.
练习
2.一条船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时行16km.求轮船在静水中的速度与
78水的流速.
解：设轮船在静水中的速度为 x km/h，水的流速为y km/h.列方程组得
①+②，得 2x=36，解得 x=18
①-②，得 2y=4，解得 y=2
所以这个方程组的解是
答：轮船在静水中的速度为18km/h，水的流速2km/h.
3.运输360t化肥，装载了6节火车车厢与15辆汽车；运输440t化肥，装载了8节火车车厢
与10辆汽车.每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
解：设每节火车车厢与每辆汽车平均各装 x t和 y t.列方程组得
①×2，得 12x+30y=720 ③
②×3，得 24x+30y=1320 ④
④-③，得 12x=600，解得 x=50
把x=50代入①，得 6×50+15y=360，解得 y=4
所以这个方程组的解是
答：每节火车车厢与每辆汽车平均各装50t和4t.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，
在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主
体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
和差倍分问题
一、教学目标
(一)知识与技能：使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二
元一次方程组与现实生活的联系和作用.
(二)过程与方法：通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量
关系，体会代数方法的优越性.
(三)情感态度与价值观：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决
问题的能力.
二、教学重点、难点
重点：根据题意找出等量关系，列二元一次方程组.
难点：正确找出问题中的两个等量关系.
79三、教学过程
忆一忆
1.方程组 的解是
2.列方程解应用题的一般步骤是什么？
一审：审题，弄清题意及题目中的数量关系；二设：设未知数，可直接设元，也可间接设
元；三列：根据题目中的等量关系，列出方程(组)；四解：解所列方程(组)，求出未知数
的值；五检：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意；六答：写出答案(包括单位名
称).
试一试
悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准.
分析：顺风速度=悟空行走速度+风速，逆风速度=悟空行走速度-风速.
解：设悟空行走速度为 x 里/分，风速为 y 里/分，依题意可列出方程组
解这个方程组，得
答：风速为50里/分.
探究
养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料675 kg；一周后又购进 12 头大
牛和 5 头小牛，这时一天约用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛 1 天约需饲
料 18～20 kg，每头小牛1天约需饲料 7～8 kg.你能够通过计算检验他的估计吗？
解：设每头大牛和每头小牛 1 天各约用饲料 x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，
找出相等关系，列方程组
解这个方程组，得
答：每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.因此，饲料员李大叔
对大牛的食量估计_______，对小牛的食量估计______.
练习
某班将举行“消防安全知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖
品时与班长的对话情境：
80请根据上面的信息，解决问题：(1)试计算两种笔记本各买了多少本；(2)请你解释：
小明为什么不可能找回68元？
解：(1)设单价5元和8元的笔记本各买 x 本和y 本.依题意可列出方程组
解这个方程组，得
(2)设单价5元和8元的笔记本各买 x 本和y 本.依题意可列出方程组
解这个方程组，得
答：(1)单价5元和8元的笔记本各买25本和15本；(2)因为本数要为整数，所以小
明不可能找回68元.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的
“趣”.进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精
神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
几何图形等问题
一、教学目标
(一)知识与技能：使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二
元一次方程组与现实生活的联系和作用.
(二)过程与方法：通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量
关系，体会代数方法的优越性.
(三)情感态度与价值观：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决
问题的能力.
二、教学重点、难点
重点：根据题意找出等量关系，列二元一次方程组.
81难点：正确找出问题中的两个等量关系.
三、教学过程
练一练
1.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，问蛐蛐几
只，蜘蛛几只？设蛐蛐x只，蜘蛛y只，则可列方程组
2.某一长方形的长为xcm，宽为ycm，若周长为40cm，且长比宽的2倍少3cm，下列方程
组满足上述关系是( )
A. B. C. D.
动动手
1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2.把长方形纸片折成面积之比为1:2的两个小长方形，又有哪些折法？
探究
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2，现要把一块长200m、宽
100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物
的总产量的比是3:4？
讨论
1.要把这块的土地分为两块小长方形，可以如何分？
2.如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量
有关系？
总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关.
3.①要表示种植面积需假设哪些量？②要表示单位面积产量呢？
①可假设这两块地的长分别为x m、y m，②可假设甲种作物每平
方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.
4.若假设这两块地的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量
为a，则乙种作物每平方米产量为2a.那么根据题意能找到哪些相
等关系列方程？
解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，设
AE、BE的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为
2a.根据题意可得，方程组
化简，得
解这个方程组，得
答：过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块
长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.
82若按如图所示的方式划分土地，请你算一算，如何划分？
解：如图，另一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DEFC和
ABFE，设CF、BF的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方
米产量为2a.根据题意可得，方程组
化简，得
解这个方程组，得
答：过长方形土地的短边上离一端60 m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块
长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.
练习
某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.
若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少
新校舍？(单位为m2)
新校舍面积=被拆除旧校舍面积×4
校舍总面积=20000×(1+30%)
解：设拆除旧校舍为x m2，新建校舍为y m2，根据题意，列出方程组
解这个方程组，得
答：拆除旧校舍为2000 m2，新建校舍为8000 m2.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中
的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识.
83行程等问题
一、教学目标
(一)知识与技能：使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二
元一次方程组与现实生活的联系和作用.
(二)过程与方法：通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量
关系，体会代数方法的优越性.
(三)情感态度与价值观：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决
问题的能力.
二、教学重点、难点
84重点：根据题意找出等量关系，列二元一次方程组.
难点：正确找出问题中的两个等量关系.
三、教学过程
试一试
一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次
租用这两种货车的情况如下表：
甲种货车(辆) 乙种货车(辆) 总量(吨)
第一次 4 5 28.5
第二次 3 6 27
问：甲、乙两种货车每辆各装货多少吨？
解：设甲、乙两种货车每辆分别装货x吨、y吨，根据题意，列得方程组
解这个方程组，得
答：甲种货车每辆装货4吨，乙种货车每辆装货2.5吨.
探究
如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000
元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.公路运价为1.5元/(t·km)，铁路
运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批
产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
(1)购进的原材料与制成的成品在质量上一样重吗？
(2)运费的单位“元/(t·km)”的含义.
(3)15000元的公路运费是如何算出来的？
(4)97200元的铁路运费是如何算出来的？
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产
品数量和原料数量都有关. 因此设_______________________.
产品xt 原料yt 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
解：设制成x t产品，购买y t原料.由上表，列得方程组
解这个方程组，得
销售款-(原料费+运输费)=8000x-(1000y+15000+97200)=1887800(元)
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
练习
小颖家离学校共1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她跑步去学校共用
了16分，已知小颖在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上平均速度是12
千米/时.小颖上坡、下坡各用了多长时间？
解：设小颖上坡用了x分，下坡用了y分，根据题意，列得方程组
解这个方程组，得
85答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中
的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识.
并且通过对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们节约和有效合理利用资
源的意识.
三元一次方程组的解法
一、教学目标
(一)知识与技能：知道三元一次方程组的概念，知道解三元一次方程组的基本思路，会解
三元一次方程组.
(二)过程与方法：学会用己学过的知识解诀新知识，学会转化的思想.
(三)情感态度与价值观：在知识的学习过程中，感受事物之间的相互联系.
二、教学重点、难点
重点：解三元一次方程组的基本思路，会解三元一次方程组.
难点：熟练解三元一次方程组.
86三、教学过程
知识回顾
解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？
二元一次方程组 一元一次方程
问题情境
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元纸币
的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
这个问题中包含有____个等量关系：
10元纸币张数+20元纸币张数+50元纸币张数=12张
10元纸币的张数=20元纸币的张数的4倍
10元的金额+20元的金额+50元的金额=220元
设10元、20元、50元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意，可以得到下面三个方
程：
x+y+z=12 ①
x=4y ②
10x+20y+50z=220 ③
观察方程①、③你能得出什么？
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次
方程.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三
个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
如何解三元一次方程组 ？
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
解：把②分别代入①③，得
解这个方程组，得
把y=2代入②，得 x=8
因此，这个三元一次方程组的解为
87例1 解三元一次方程组
解：②×3+③，得 11x+10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x=5，z=-2代入②，得 2×5+3y-2=9
所以，y=
因此，三元一次方程组的解为
你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，
c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
②-①得 a+b=1 ④；③-①得 4a+b=10 ⑤.
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得 c=-5. 因此，
即a，b，c的值分别为3，-2，-5.
练习
1.解下列三元一次方程组：
(1) (2)
88解：(1)由①得，x=2y-9 ④
把④代入③得，2z+2y=56 ⑤
②与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把y=12.5代入④得 x=22，因此
解：(2)由①+②与②+③得二元一次方程组
解这个方程组，得
把x=2，y=3代入③得 z=1，因此
2.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 . 求这三
个数.
解：设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.依题意得
解这个方程组，得
答：甲、乙、丙三个数分别为10、15、10.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转
化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想.感受数学知识之间
的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维
习惯.
89第8章二元一次方程组小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：复习巩固二元一次方程、方程组的概念及其解的意义；复习巩固二元一
次方程组的解法；复习巩固列二元一次方程组解应用题的一般步骤；通过复习，梳理知识
脉络，形成知识体系.
(二)过程与方法：通过二元一次方程组的解法复习，体会化二元为一元的消元思想；通过
二元一次方程特殊解的讨论，体会分类讨论思想；通过列二元一次方程组解决实际问题的
复习，体会建立方程组解决问题的建模思想；通过解决生活中的实际问题复习，体会化复
90杂为简单的化归思想.
(三)情感态度与价值观：利用方程组为工具进行一定深度的思考，增加运用方程组解决实
际问题的实践，把实际问题模型化的思想提到新的高度，进一步提高分析间题及解决问题
的综合能力.
二、教学重点、难点
重点：解二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题.
难点：如何找等量关系，并把它们转化成方程.
三、教学过程
知识网络
考点一 二元一次方程的概念
例1 若x2m-1＋5y3n-2m＝7是二元一次方程，则m＝____，n＝____.
针对训练
1.下列方程是二元一次方程的是( )
A.xy＋8＝0 B. C.x2－2x－4＝0 D.x＝y
2.已知方程x|n|-1＋(n＋2)ym+3＝0是关于x、y的二元一次方程，则m＝____，n＝____.
考点二 二元一次方程与二元一次方程组的解
例2 已知x＝1，y＝－2是二元一次方程组 的解，则a＝____，b＝____.
针对训练
3.已知x＝5，y＝－3是方程kx－y＝13的解，则k＝____.
4.x＝1，y＝－2满足(ax－2y－3)2＋|x－by＋4|＝0，求a＋b的值.
解：由题意可得： ，把x=1，y=-2代入方程组可得： ，解得：
，则a+b=-3.5.
考点三 代入消元法与加减消元法
例3 用代入消元法解方程组
91解：由①，得 y=2x+5 ③
把③代入②，得 3x-2(2x+5)=-7
解这个方程，得 x=-3
把x=2代入③，得 y=-1
所以这个方程组的解是
例4 用加减消元法解方程组
解：方程组整理得
③-④，得 y=7
把y=7代入③，得 3x-28=-13
x=5
所以这个方程组的解是
针对训练
5.已知方程x－2y＝4，用含x的式子表示y为________；用含y的式子表示x为________.
6.已知－4xm+nym-n与－2x7-my1+n是同类项，求m，n的值.
解：由题意得
由①，得 n=7-2m ③
把③代入②，得 m-(7-2m)=1+7-2m
解这个方程，得 m=3
把m=3代入③，得 n=1
所以，m=3，n=1.
7.已知方程组 的解为 ，求6a－3b的值.
解：将 代入原方程组得
①+②，得 4a=12
a=3
把a=3代入①，得 6-2b=4
b=1
所以这个方程组的解是
所以6a-3b=6×3-3×1=15
928.在方程组 中，x与y的和为12，求k的值.
解：①×3，得 6x+9y=3k ③
②×2，得 6x+10y=2k+4 ④
④-③，得 y=4-k
把y=4-k代入①，得 2x+3(4-k)=k
x=2k-6
∵ x+y=12
∴ 2k-6+4-k=12，解得 k=14
考点四 二元一次方程组的实际应用
例5 某汽车运输队要在规定的天数内运完一批货物，如果减少6辆汽车则要再运3天才能
完成任务；如果增加4辆汽车，则可提前一天完成任务.那么这个汽车运输队原有汽车多少
辆？原规定运输的天数是多少？
分析：等量关系：
①减少6辆汽车后运输的货物=原规定运输货物；
②增加4辆汽车后运输的货物=原规定运输货物.
解：设这个汽车运输队原有汽车x辆，原规定完成的天数为y天，每辆汽车每天的运输量
为1.根据题意可得
化简整理得
解这个方程组得
答：原有汽车16辆，原规定完成的天数为5天.
针对训练
9.某校七年级安排宿舍，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间
只住3人，且空余11间宿舍，求该年级寄宿学生有多少人？宿舍有多少间？
解：设该年级寄宿学生有x人，宿舍有y间.根据题意可得
解这个方程组，得
答：该年级寄宿学生有514人，宿舍有85间.
10.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地.两人同时
出发，4小时相遇，6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度.
解：设甲、乙两人的速度分别为x千米/时和y千米/时.根据题意可得
93解这个方程组，得
答：甲、乙的速度分别为4千米/时和5千米/时.
能力提升
1.小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相
邻的图形只有一条公共边.
(1)小红首先用m根小木棍摆出了p个小正方形，请你用等式表示m，p之间的关系：
__________；
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形，且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边
形多4个，请你求出摆放的正方形和六边形各多少个？
(3)小红重新用50根小木棍，摆出了s排，共t个小正方形.其中每排至少含有1个小正方
形，每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示s，t之间的关系，并写出所有
s，t可能的取值.
解：(2)设六边形有x个，正方形有y个.根据题意可得
解这个方程组，得
所以正方形有16个，六边形有12个.
(3)根据题意可得 3t+s=50
又根据题意可得，t≥s，且s，t均为正整数.
因此s，t可能的取值为：
， ， 或 .
2.方程组 的解是 ，求方程组 的解.
解：根据题意，把 代入 ，可得 ，把①和②分别乘以
5可得 ，和 比较，可知 ，因此所求方程组的
94解为 .
不等式及其解集
一、教学目标
(一)知识与技能：了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学
生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上.
(二)过程与方法：经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同
意义的过程，渗透数形结合思想.
(三)情感态度与价值观：通过对不等式、不等式解与解集的探究，让学生充分体会到生活
中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域.
95二、教学重点、难点
重点：会用不等式表示简单问题的数量关系，把不等式的解集正确的表示到数轴上.
难点：理解不等式解集的意义.
三、教学过程
看一看
你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？在古代，我们的祖先就懂得了
翘翘板的工作原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了实践当中.
问题 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速应满足
什么条件？
分析：设车速是 x km/h.
从时间上看，汽车要在12:00之前驶过A地，则以这个速度行驶50km所用的时间不到
h，即 ①
从路程上看，汽车要在12:00之前驶过A地，则以这个速度行驶 h的路程要超过
50km，即 ②
式子①和②从不同角度表示了车速应满足的条件.
不等式
像 和 这样用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式.
(1)像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
(2)不等式中可以含未知数，也可以不含未知数.例如：a+2＞5，4b＜6；3＜4，-1＞-2.
(3)“≥”读作“大于或等于”或“不小于”“≤”读作“小于或等于”或“不大于”
用不等号填空：
大于( ) 小于( ) 不大于( ) 不小于( ) 不超过( ) 至多( )
至少( ) 正数( ) 负数( ) 非负数( ) 非正数( ) ……
对于不等式 ，当x＝80时， ；当x＝78时， ；当x＝75时，
；当x＝72时， .
当x取某些值(如80，78)时，不等式 成立；当x取某些值(如75，72)时不等
式 不成立.
我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
思考
96除了80和78，不等式 还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？
可以发现，当x＞75时，不等式 总成立；而当x＜75或x=75时，不等式
不成立.这就是说，任何一个大于75的数都是不等式 的解，这样的解有无
数个；任何一个小于或等式75的数都不是不等式 的解.
因此，x＞75表示了能使不等式 成立的x的取值范围.
(包括这个数用实心圆点，不包括用空心圆圈)
由上可知，在前面问题中，汽车要在12:00之前驶过A地，车速必须大于75km/h.
由 能得出这个结果吗？
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.求不等式的解
集的过程叫做解不等式.
练习
1.用不等式表示：
(1) a是正数；______ (2) a是负数；______
(3) a与5的和小于7；_________ (4) a与2的差大于-1；_________
(5) a的4倍大于8；_________ (6) a的一半小于3. _________
2.下列数中哪些是不等式x+3＞6的解，哪些不是？
-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12
解：3.2，4.8，8，12是不等式x+3＞6的解；-4，-2.5，0，1，2.5，3不是不等式x+3＞6
的解.
3.直接说出不等式的解集：
(1) x+3＞6；(2) 2x＜8；(3) x-2＞0.
解：(1) x＞3；(2) x＜4；(3) x＞2.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系. 要注意常用的关键词的
含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过等，这些关键
词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方.
不等式的性质(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解并掌握不等式的性质；2.会利用不等式的性质解简单不等式.
(二)过程与方法：经历类比、猜测、验证发现不等式性质的过程，掌握不等式的性质.
(三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成
功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
97重点：理解并掌握不等式的性质.
难点：正确运用不等式的性质.
三、教学过程
复习启新
1.根据以下图形写出不等式解集.
大于向右，小于向左；有等号为实心，无等号为空心.
2.直接写出下列不等式的解集.
(1) x-4＞6；______ (2) 3x＜18. ______
，你能直接得出它的解集吗？
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果 a=b，那么 ac=bc 或 (c≠0).
观察归纳
用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律：
5＞3 -1＜3 8＞-5 -5＜-3
5+2___3+2 -1+2___3+2 8+(-2)___-5+(-2) -5+6___-3+6
5-2___3-2 -1-3___3-3 8-(-2)___-5-(-2) -5-7___-3-7
当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时，不等号的方向______.
不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c.
6＞2 -2＜3
6×5___2×5 (-2)×6___3×6
6×(-5)___2×(-5) (-2)×(-6)___3×(-6)
6＞2 -2＜3
6÷2___2÷2 (-2)÷5___3÷5
6÷(-1)___2÷(-1) (-2)÷(-2)___3÷(-2)
4＞-6 -12＜-9
4×3___(-6)×3 (-12)×(-2)___(-9)×(-2)
4÷(-2)___(-6)÷(-2) (-12)÷3___(-9)÷3
当不等式两边乘(或除以)同一个正数时，不等号的方向________；而乘(或除以)同一个负
数时，不等号的方向________.
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
98如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或 ＞ ).
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或 ＜ ).
比较上面的性质2和性质3，指出它们有什么区别.再比较等式的性质和不等式的性质，
它们有什么异同？
填一填
设 a＞b，用“＞”或“＜”填空，并说出根据哪条性质.
(1) a+4___b+4；________________ (2) a-1___b-1；________________
(3) -3a___-3b；________________ (4) ___ ；________________
(5) 2a-5___2b-5；_________________ (6) -3a+2___-3b+2；_________________
(7) +1___ +1；_________________
例题 利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
(1) x-5＞-1
解：根据不等式的性质1，不等式两边加5，不等号的方向不变，
所以 x-5+5＞-1+5
x＞4
(2) -2x＞4
解：根据不等式的性质3，不等式两边除以-2，不等号的方向改变，
所以 -2x÷(-2)＜4÷(-2)
x＜-2
(3) 7x＜6x+5
解：根据不等式的性质1，不等式两边减6x，不等号的方向不变，
所以 7x-6x＜6x+5-6x
x＜5
(4) 6x＜24
解：根据不等式的性质2，不等式两边除以6，不等号的方向不变，
所以 6x÷6＜24÷6
x＜4
练习
1.设 a＞b，用“＞”“＜”号填空：
(1) a+2___b+2； (2) a-3___b-3； (3) -4a___-4b； (4) ___ .
2.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
(1) -3x＞6-4x； (2) - x＜-6
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加4x，不等号的方向不变，
所以 -3x+4x＞6-4x+4x
x＞6
(2)根据不等式的性质3，不等式两边乘- ，不等号的方向改变，
99所以 - x×(- )＞-6×(- )
x＞10
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
在学习不等式的性质时，可与等式的性质进行类比学习. 在课堂中，让学生大胆质疑，
同时通过易错例题加深学生对不等式的性质3的理解和认识. 通过学习，还需要学生能独
立把不等式的三条性质用数学符号表示出来.
不等式的性质(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会根据“不等式性质”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示
其解集；2.理解“≤”“≥”的含义.
(二)过程与方法：学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力.
(三)情感态度与价值观：在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与
100合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯.
二、教学重点、难点
重点：根据“不等式性质”正确地解简单的一元一次不等式.
难点：解集在数轴上表示时，实心与空心的区别.
三、教学过程
忆一忆
不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c.
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或 ＞ ).
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或 ＜ ).
设 a＞b，用“＞”或“＜”填空，并说出根据哪条性质.
(1) a+5___b+5；________________ (2) a+2c-1___b+2c-1；________________
(3) -a___-b；________________ (4) ___ ；________________
例1 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1) x-7＞26 (2) 3x＜2x+1 (3) x＞50 (4) -4x＞3
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，
所以 x-7+7＞26+7
x＞33
解：(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，
所以 3x-2x＜2x+1-2x
x＜1
解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，
所以 × x＞ ×50
x＞75
解：(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，
所以 ＜
x＜-
像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系.
t≥19℃并且 t≤28℃或(19℃≤t≤28℃)
“≥”(读作大于或等于，也可说是不小于)
“≤”(读作小于或等于，也可说是不大于)
若a≥b，则：(1)a±c≥b±c；(2)ac≥bc(或 ≥ )(c＞
1010)；(3)ac≤bc(或 ≤ )(c＜0)
例2 某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm.容器内原有水的高度为3cm，现准备
向它继续注水.用V(单位:cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围.
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V+3×5×3≤3×5×10
V+45≤150
V≤105
又由于新注入水的体积V不能是负数，因此，V的取值范围是：V≥0
并且V≤105(或0≤V≤105).
练习
1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) x+5＞-1 (2) 4x＜3x-5 (3) x＜ (4) -8x＞10
解：(1) x+5-5＞-1-5 (不等式的性质1)
x＞-6
(2) 4x-3x＜3x-5-3x (不等式的性质1)
x＜-5
(3) 7× x＜7× (不等式的性质2)
x＜6
(4) ＜ (不等式的性质3)
x＜-
2.用不等式表示下列语句并写出解集，在数轴上表示解集：
(1) x的3倍大于或等于1； (2) x与3的和不小于6；
(3) y与1的差不大于0； (4) y的 小于或等于-2.
解：(1) 3x≥1，解得 x≥
(2) x+3≥6，解得 x≥3
(3) y-1≤0，解得 y≤1
(4) y≤-2，解得 y≤-8
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
利用数轴表示不等式的解集，能让学生直观形象地了解不等式的解集的特征：不等式
的解集中包括无限个解. 由于数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以大
102于向右画线，小于向左画线. 教学时要特别注意解集的四种情况在数轴上表示的区别，这
也是本节课中学生容易出错的地方.
解一元一次不等式
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解一元一次不等式的概念；2.会解一元一次不等式，并能将其解集
在数轴上表示出来.
(二)过程与方法：经历解一元一次方程和解一元一次不等式两种过程的比较，体会类比思
想，发展学生的思维水平.
103(三)情感态度与价值观：通过一元一次不等式的学习，培养学生认真、坚持等良好学习习
惯.
二、教学重点、难点
重点：1.一元一次不等式的概念；2.解一元一次不等式.
难点：掌握一元一次不等式的解法.
三、教学过程
思考
观察下面的不等式：
x-7＞26，3x＜2x+1， x＞50，-4x＞3.它们有哪些共同特征？
上述每个不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1.类似于一元一次方程，
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
探究
利用不等式的性质将下列不等式进行变形：
(1)在不等式x-7＞26的两边同时加7得______；
(2)在不等式3x＜2x+1的两边同时减去2x得______；
归纳：不等式两边同时加减一个数或式子，相当于将其改变符号后移到另一边.
x＞26+7，3x-2x＜1
(3)在不等式 x＞50的两边同时乘 得______；
(4)在不等式-4x＞3的两边同时除以-4得_______.
归纳：不等式两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，相当于系数化为1.注
意：当这个系数为负数时，不等号的方向要改变.
x＞50×
例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 2(1+x)＜3 (2)
解：(1)去括号，得 2+2x＜3
移项，得 2x＜3-2
合并同类顶，得 2x＜1
系数化为1，得 x＜
解：(2)去分母，得 3(2+x)≥2(2x-1)
去括号，得 6+3x≥4x-2
移项，得 3x-4x≥-2-6
合并同类顶，得 -x≥-8
系数化为1，得 x≤8
方法总结
1041.解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等
式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜a或x＞a的形式.
2.解一元一次不等式与解一元一次方程一样，都是通过“去分母、去括号、移项、合并同
类项、系数化为1”几个步骤确定答案.
3.如果未知数的系数为负数，那么在系数化为1时，要改变不等号的方向.
4.在数轴上表示不等式的解集，大于向右画线，小于向左画线，界点有等号画实心圆点，
无等号画空心圆圈.
练习
1.解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 5x+15＞4x-1 (2) 2(x+5)≤3(x-5) (3) (4)
解：(1)移项，得 5x-4x＞-1-15
合并同类项，得 x＞-16
解：(2)去括号，得 2x+10≤3x-15
移项，得 2x-3x≤-15-10
合并同类项，得 -x≤-25
系数化为1，得 x≥25
解：(3)去分母，得 3(x-1)＜7(2x+5)
去括号，得 3x-3＜14x+35
移项，得 3x-14x＜35+3
合并同类项，得 -11x＜38
系数化为1，得 x＞-
解：(4)去分母，得 2(x+1)≥3(2x-5)+12
去括号，得 2x+2≥6x-15+12
移项，得 2x-6x≥-15+12-2
合并同类项，得 -4x≥-5
系数化为1，得 x≤
2.当x或y满足什么条件时，下列关系成立？
(1) 2(x+1)大于或等于1；
解：2(x+1)≥1，解得 x≥-
(2) 4x与7的和不小于6；
105解：4x+7≥6，解得 x≥-
(3) y与1的差不大于2y与3的差；
解：y-1≤2y-3，解得 y≥2
(4) 3y与7的和的四分之一小于-2.
解： (3y+7)＜-2，解得 y＜-5
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一
元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同.如果这
个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变. 这也是这
节课学生容易出错的地方. 教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引
起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错.
一元一次不等式的应用
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握用一元一次不等式解决实际问题的步骤.
(二)过程与方法：培养将实际问题向数学模型转化的能力.
106(三)情感态度与价值观：初步认识一元一次不等式的应用价值，发展分析问题、解决问题
的能力.
二、教学重点、难点
重点：会用列一元一次不等式解决实际问题
难点：会找出简单的实际问题中的不等量关系.
三、教学过程
复习巩固
当x取何值时，代数式 不小于 ，并求出符合条件的正整数解.
解： ≥
去分母，得 3(x+1)≥2(3x-1)-6
去括号，得 3x+3≥6x-2-6
移项，得 3x-6x≥-8-3
合并同类项，得 -3x≥-11
系数化为1，得 x≤
因此，所有符合条件的正整数解有：x=1，2，3.
试一试
学校准备用2000元购买名著和辞典，其中每套名著65元，辞典每本40元，现已购买
名著20套，问最多还能购买辞典多少本？
解：设还能购买辞典x本，依题意得
65×20+40x≤2000
40x≤2000-1300
x≤17.5
∵ x只能取整数，∴ x≤17
答：最多还能购买17本辞典.
例2 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年
(365)天这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？
分析：“明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系，转化为不
等式，即
解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x.依题意得
去分母，得 x+219＞255.5
移项，合并同类项，得 x＞36.5
由x应为正整数，得 x≥37
答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天
数超过全年天数的70%.
例3 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商
场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，
超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？
107分析：在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠.因
此，我们需要分三种情况讨论：
(1)累计购物不超过50元；
(2)累计购物超过50元而不超过100元；
(3)累计购物超过100元.
解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以
同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样.
(2)当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场优惠，不享受甲商场优惠，
因此到乙商场购物花费少.
(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x元.(x＞100)依题意，得
①若到甲商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)＞100+0.9(x-100)
解得 x＞150
这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少.
②若到乙商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)＜100+0.9(x-100)
解得 x＜150
这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少.
③若50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)
解得 x=150
这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙商场购物花费一样.
应用一元一次不等式解实际问题的步骤：
练习
1.某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前
2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
解：设以后几天内平均每天修路xkm.依题意得
(10-2-2)x+1.2≥6
解得 x≥0.8
答：以后几天内平均每天至少要修路0.8km.
2.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过
10890分，他至少答对了多少道题？
解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有(20-x)道题.依题意得
10x-5(20-x)＞90
解得：x＞12
由x应为正整数，得 x≥13
答：小明至少答对了13道题.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生
找不等关系列不等式. 在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的应用题
来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.
解一元一次不等式组
一、教学目标
(一)知识与技能：了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，
109掌握求一元一次不等式组的解集的方法.
(二)过程与方法：经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性.
(三)情感态度与价值观：逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想.
二、教学重点、难点
重点：一元一次不等式组的解集和解法.
难点：解含有分母的一元一次不等式组.
三、教学过程
复习巩固
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 3(x+2)＜2(x-1) (2) ≥
解：(1)去括号，得 3x+6＜2x-2
移项，得 3x-2x＜-2-6
合并同类项，得 x＜-8
解：(2)去分母，得 2(x+1)≥3(2x-5)+9
去括号，得 2x+2≥6x-15+9
移项，得 2x-6x≥-15+9-2
合并同类项，得 -4x≥-8
系数化为1，得 x≤2
问题 用每分可抽30t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200t
而不足1500t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？
设用 x min将污水抽完，则 x 同时满足不等式
30x＞1200 ①
30x＜1500 ②
类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作
解：由不等式①，解得 x＞40
由不等式②，解得 x＜50
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
由图中容易看出，x取值的范围为40＜x＜50.
这就是说，将污水抽完所用的时间多于40min而少于50min.
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等
式组就是求它的解集.
例1 解下列不等式组：
110(1) (2)
解：(1)解不等式①，得 x＞2
解不等式②，得 x＞3
∴ 不等式组的解集是x＞3.
解：(2)解不等式①，得 x≥8
解不等式②，得 x＜
∴ 不等式组无解.
求下列不等式组的解集(在同一数轴上表示出两个不等式的解集，并写出不等式组的解
集)
同大取大
111同小取小
大小小大中间找
大大小小找不到
归纳
一元一次不等式组的解集图析(a＞b)
练习
1.解下列不等式组：
112(1) (2) (3)
解：(1)解不等式①，得 x＞
解不等式②，得 x＞1
∴ 不等式组的解集是 x＞1.
解：(2)解不等式①，得 x＜-6
解不等式②，得 x＞2
∴ 不等式组无解.
解：(3)解不等式①，得 x＞-2.4
解不等式②，得 x≤3.5
∴ 不等式组的解集是 -2.4＜x≤3.5
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的基础之上，解不等式组时，先解每
一个不等式，再确定各个不等式的解集的公共部分. 教学中可以把利用数轴与利用口诀确
定不等式组的解集结合起来，互相验证.
113一元一次不等式组的应用
一、教学目标
(一)知识与技能：熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的
实际问题.
(二)过程与方法：理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分析问题和解
决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：体验数学学习的乐趣，感受一元一次不等式组在解决实际问题中
的价值；培养学生学习数学应用数学的好习惯，培养学生的数学素养.
二、教学重点、难点
重点：正确分析实际问题中的不等关系，列出不等式组.
难点：建立不等式组解实际问题的数学模型.
三、教学过程
复习巩固
口答题(回答下列不等式组的解集)
_______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到
例2 x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3(x-1)与 x-1≤7- x都成立？
解：解不等式组
解不等式①，得 x＞-
解不等式②，得 x≤4
∴ 不等式组的解集是 - ＜x≤4
∴ x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4.
例3 3个小组计划在10天内生产500件产品(每天生产量相同)，按原先的生产速度，不能
完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务.每个小组原先每
天生产多少件产品？
分析：“不能完成任务”的意思是：按原先的生产速度，10天的产品数量_____500；“提
前完成任务”的意思是：提高生产速度后，10天的产品数量_____500.
解：设每个小组原先每天生产x件产品.依题意得
解这个不等式组得 15 ＜x＜16 .
∵ x的值应为正整数，∴ x=16.
答：每个小组原先每天生产16件产品.
114应用一元一次不等式组解实际问题的步骤：
练习
2.x取哪些正整数值时，不等式x+3＞6与2x-1＜10都成立？
解：解不等式组
解不等式①，得 x＞3
解不等式②，得 x＜5.5
∴ 不等式组的解集是 3＜x＜5.5
∴ x可取的正整数值是4，5.
3.一本英语书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完.李永平
均每天比张力多读3页，张力平均每天读多少页(答案取整数)？
解：设张力平均每天读x页.依题意得
解这个不等式组得 11＜x＜14
根据题意，x的值应是正整数，所以 x=12或13.
答：张力平均每天读12页或13页.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生
找不等关系列出不等式组，通过逐步引导，使学生明确直接的不等关系和一些隐含的不等
关系.在教学过程中，可通过类比列一元一次方程组解决实际问题，让学生认识到列方程组
与列不等式组的区别与联系.
115第9章不等式与不等式组小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.巩固运用不等式的性质；2.会运用不等式的基本性质，解一元一次不
等式(组)，并会借助数轴确定不等式(组)的解集；3.会巧用解集确定字母系数；4.应用一
元一次不等式(组)解决实际问题.
(二)过程与方法：1.通过学生解不等式，暴露易犯的错误，针对共性解决问题；2.注重渗
透知识形成中蕴涵的数学思想、方法和思维策略.
(三)情感态度与价值观：1.让学生领会数形结合、分类讨论等解题思想；2.感受数学与生
活密切相关，提高学习数学的积极性.
二、教学重点、难点
重点：一元一次不等式(组)的解法.
难点：应用一元一次不等式(组)解决实际问题.
三、教学过程
知识网络
考点一 不等式的性质
例1 若a＜b＜0，用“＞”或“＜”号填空：
(1) a＋2_____b＋2 (2) －3a_____－3b (3) ab_____b2 (4) _____
针对训练
1.若mx＞my，且x＞y，则m____0；若7b－5m＞7b－5n，则m____n.
2.下列四个判断：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，则a|c|＞b|c|；
③若a＞b，则 ＜1；④若a＞0，则b－a＜b.其中正确的是_______.(填序号)
考点二 一元一次不等式与不等式的解集
例2 下列式子中，一元一次不等式有( )
① 3x－1≥4；② 2＋3x＞6；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ x＋xy≥y2；⑦ x＞0.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
例3 若(m－1)x2m+1－1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是______.
针对训练
3.如果a＜b＜0，那么不等式ax＜b的解集是( )
116A. B. C. D.
4.关于x的不等式x－a≥3的解集如图所示，则a＝____.
5.若(m－1)x|m|＋2＜0是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是______.
考点三 解一元一次不等式
例3 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 3x－2(x－1)＞4－3(x＋2)
解：去括号，得 3x-2x+2＞4-3x-6
移项，得 3x-2x+3x＞4-6-2
合并同类项，得 4x＞-4
系数化为1，得 x＞-1
(2)
解：去分母，得 12(x+1)+2(x-2)≥21x-6
去括号，得 12x+12+2x-4≥21x-6
移项，得 12x+2x-21x≥-6-12+4
合并同类项，得 -7x≥-14
系数化为1，得 x≤2
针对训练
6.不等式4x－6≥7x－12的非负整数解为_________.
7.解不等式 ，并在数轴上表示解集：
解：去分母，得 3(x+5)＜12-2(2x+1)
去括号，得 3x+15＜12-4x-2
移项，得 3x+4x＜12-2-15
合并同类项，得 7x＜-5
系数化为1，得 x＜-
考点四 一元一次不等式组的解集
例4 不等式组 有解，则a的取值范围为( )
A.a＞－2 B.a≥－2 C.a＜2 D.a≥2
针对训练
8.下列说法中，正确的个数是( )
117①x＝7是不等式组 的解；②不等式组 的解集是－2≤x＜3；
③不等式组 的解集是x＝6；④关于x的不等式组 无解.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点四 解一元一次不等式组
例5 解下列不等式组，并在数轴上表示解集：
(1)
解：解不等式①，得 x＜3
解不等式②，得 x≥-1
∴ 不等式组的解集是 -1≤x＜3
(2)
解：解不等式①，得 x＞3
解不等式②，得 x＞6
∴ 不等式组的解集是 x＞6
针对训练
9.解不等式组 ，并在数轴上表示解集：
解：解不等式①，得 x＞-2
解不等式②，得 x≤4
∴ 不等式组的解集是 -2＜x≤4
10.解不等式组 的所有整数解的和是____.
考点五 用一元一次不等式(组)解决实际问题
例6 随着科技的发展，某快递公司为了提高分拣包裹的速度，使用机器人代替人工进行包
裹分拣，若甲机器人工作2h，乙机器人工作4h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工
作3h，乙机器人工作2h，一共可以分拣650件包裹.
(1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；
118(2)去年“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，为了让甲、乙两机器人每天分拣包裹的
总数量不低2250件，则它们每天至少要一起工作多少小时？
(1)解：设甲、乙两机器人每小时各分拣包裹x件、y件，由题意得
解得
答：甲、乙两机器人每小时各分拣包裹150件，100件.
(2)解：设它们每天至少要一起工作a小时，由题意得
(150+100)a≥2250
解得 a≥9
答：它们每天至少要一起工作9小时.
例7 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体参加校
外实践活动，为确保安全，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的
载客量和租金如右表所示：
(1)根据题干所提供的信息，确定共需租用多少辆汽车？
(2)请你给学校选择一种最节省费用的租车方案．
(1)解：由要保证240名师生都有座位，汽车总数不能小于 (取整为6)辆；由每辆汽车
上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆，综合起来共需租用6辆汽车.
(2)解：设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(6-x)辆.由题意得
解得
∵ x为整数，∴ x=4，或x=5
当x=4时，甲种客车4辆，乙种客车2辆，租车总费用为400×4+280×2=2160(元)
当x=5时，甲种客车5辆，乙种客车1辆，租车总费用为400×5+280×1=2280(元)
∴ 最节省费用的租车方案是甲种客车4辆，乙种客车2辆，总费用2160元.
能力提升
1.已知不等式ax＋b＜0的解集为 ，求不等式bx－a＜0的解集.
解：∵ 不等式ax+b＜0的解集为
∴ x＞-
∴ a＜0且- =- ，∴ b＜0， =2
∵ bx-a＜0，∴ bx＜a
∴ x＞
∴ x＞2
故不等式bx-a＜0的解集为x＞2
1192.一堆有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多.
若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为“60”，那么这两种球
各有多少个？
解：设白球有x个，红球有y个，由题意得
由①得 3x＜3y＜6x，由②得 3y=60-2x
则有 3x＜60-2x＜6x，解得 7.5＜x＜12
∵ x为整数，∴ x可取8，9，10，11
∵ 2x=60-3y=3(20-y)
∴ 2x应是3的倍数
∴ x只能取9，此时y=14
答：白球有9个，红球有14个.
120全面调查
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解数据的收集、整理、描述与分析；2.掌握全面调查的概念及意义，
能制表整理数据，并用统计图描述数据.
(二)过程与方法：经历数据的收案、整理、描述、与分析过程，提高自己的数据处理能力.
(三)情感态度与价值观：经历数据的收案、整理、描述、与分析过程，感悟数学与生活息
息相关.
二、教学重点、难点
重点：掌握全面调查的概念，全面调查的过程(数据的收集、整理、描述).
难点：能用统计图描述数据.
三、教学过程
北京申奥
北京笑到了最后(难看视频)
会场中一片沸腾！中国代表团的成员们欣喜得狂呼出声，尽情宣泄心中的快乐和喜悦.
在这次投票中，第一轮(获得主办权需要52票)北京
得44票，多伦多得20票，伊斯坦布尔得17票，巴黎得
15票，大阪得6票(被淘汰).第二轮(获得主办权需要52
票)北京得56票，多伦多得22票，巴黎得18票，伊斯坦
布尔得9票.
国际奥委会根据什么决定由中国承办2008年奥运会？
问题1 如果要了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，
你会怎么做？(统计调查)
步骤一：收集数据
设计调查问卷→填写调查问卷→收集调查问卷
如果想了解男、女生喜爱节目的差异，问卷中还应该包含什么内容？
调查问卷 年 月
在下面五类电视节目中，你最喜爱
的是( )(单选)
(A)新闻 (B)体育 (C)动画
(D)娱乐 (E)戏曲
填完后，请将问卷交给数学课代表.
利用调查问卷，可以收集到全班每位同学最喜爱的节目的编号(字母)，我们把它称为
数据.例如，某同学经调查，得到如下50个数据：
121CCADBCADCD CEABDDBCCC DBDCDDDCDC EBBDDCCEBD ABDDCBCBDD
从上边的数据中，你能看出全班同学喜爱各类节目的情况吗？
刚刚收集的数据是杂乱无序的，这样的数据不利于我们发现其中的规律，为了更加清
楚的了解数据所蕴含的规律，我们需要对收集来的数据进行整理.
步骤二：整理数据
设计统计表格→记录数据
全班同学最喜爱节目的人数统计表
节目类型 划记 人数 百分比
A新闻
B体育
C动画
D娱乐
E戏曲
合计
上表可以清楚地反映全班同学喜爱各类节目的情况.
步骤三：描述数据
为了更直观地看出表中的信息，还可以用条形图和扇形图来描述数据.
(1)根据表格，怎样画条形图？
(2)从条形图中你能获得什么信息？
(3)条形统计图有什么特点？
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.
(1)扇形图中，整个圆及每个扇形各表示什么？
(2)画扇形图，关键是什么？
(3)从扇形图中你能获得什么信息？
圆心角越大，扇
新闻：360°×8%=28.8°体育：360°×20%=72°
形在圆中占的比例就
动画：360°×30%=108°娱乐：360°×36%=129.6° 越大.
戏曲：360°×6%=21.6°
扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
在前面的调查中，我们利用调查问卷得到全班同学喜爱电视节目的数据，利用表格整
理数据，并用统计图进行直观形象的描述.通过分析表和图，了解到了全班同学喜爱电视节
目的情况.在这个调查中，全班同学是要考察的全体对象，我们对全体对象进行了调查.像
122这样考察全体对象的调查叫做全面调查.
例如，2010年我国进行了第六次人口普查，就是一次全面调查.
练习
1.小明为了解同学们的课余生活，设计了如下调查问题：你平时最喜欢的一项课余活动是(
) (A)看课外书 (B)体育活动 (C)看电视 (D)踢足球
你认为此问题的答案选项设计合理吗？为什么？如果不合理，请修改.
解：不合理，因为选项(B)体育活动包含了选项(D)踢足球.可以将选项(D)踢足球改为其它.
2.经调查，某班学生上学所用的交通工具中，自行车占60%，公交车占30%，其它占10%，
请画出扇形图描述以上统计数据.
解：各种上学所用的交通工具对应扇形的圆心角度数分别为：360°×60%=216°，
360°×30%=108°，360°×10%=36°.
画出扇形统计图.
3.请你举出一些生活中运用全面调查的例子.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，应鼓励学生积极参与教学活动，在活动中，体会数学的实用性，从而产
生对数学的好奇心和求知欲.
123查抽样调查
一、教学目标
(一)知识与技能：让学生经历数据的收集、整理和分析的模拟历程，从中了解抽样调查、
样本与总体等统计概念
(二)过程与方法：通过课堂上学生的讨论，初步感受抽样调查的必要性和可行性，初步体
会用样本来估计总体的思想.
(三)情感态度与价值观：鼓励学生自主探索、合作交流，意识到与同伴交流合作的重要性.
二、教学重点、难点
重点：抽样调查、样本、总体等概念以及用样本估计总体的思想，区分全面调查和抽样调
查.
难点：样本特征的观察与归纳.
三、教学过程
生活中的数学
品尝一勺汤，就可以知道一碗汤的味道，你知道其中蕴涵的道理吗？
一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴.临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴.儿子拿
着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家.
“火柴能划燃吗？”爸爸问.
“都能划燃.”
“你这么肯定？”
儿子递过一盒划过的火柴，兴奋地说：“我每根都试过啦.”
回顾与思考
在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？还可采用什么方
法调查？
问题2 某校有2000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电
视节目的喜爱情况，怎样进行调查？
(1)这道题与上一节问题1有什么区别？
(2)采用全面调查的方法对全校学生逐个进行调查可行吗？你认为是否有这个必要？能
否找到一种更简便的调查方法？
相关概念
抽样调查：采用调查部分对象的方式来收集数据，根据部分来估计整体的情况，叫做抽样
调查.
124总体：所要考察对象的全体叫做总体.
全校学生喜欢的电视节目
个体：组成总体的每一个考察对象称为个体.
每一个学生喜欢的电视节目
样本：总体中被抽取的一部分个体构成总体的一个样本.
被抽取调查的学生喜欢的电视节目
抽样调查是实际中应用非常广泛的一种调查方式，它是从总体中抽取样本进行调查，
根据样本来估计总体的一种调查.
问题2 某校有2000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电
视节目的喜爱情况，怎样进行调查？
(1)抽取多少名学生进行调查比较合适？
(2)被调查的学生如何抽取呢？说一说你的抽取方案.
这个问题中可以抽取100名学生作为样本进行调查.一个样本中包含的个体的数目称为
样本容量.上述抽取的样本容量为100.
上学时在学校门口随意调查100名学生；在全校学生的注册学号中，随意抽取100个
学号，调查这些学号对应的学生；等等.
从上表可以看出，样本中喜爱娱乐节目的学生最多，为38%.据此可以估计出，这个学
校的学生中，喜爱娱乐节目的最多，约为38%左右.类似地，由上表可以估计这个学校喜爱
其他节目的学生的百分比.
表格中的数据信息也可以用条形图和扇形图来描述.
直观，一目了然.不仅 可以看出喜欢
可以很快判断出哪个最多， 各类节目人数与总
哪个最少，还可比较出差 人数的百分比.
别是否悬殊很大.
125简单随机抽样：抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像
这样的抽样方法是一种简单随机抽样.
抽样调查是实际中经常采用的收集数据的方式.除了具有花费少、省时省力的特点外，
还适用一些不宜用全面调查的情况，例如，检测某批次灯泡的使用寿命、火柴的质量等具
有破坏性的调查.需要注意的是，在抽样调查中，如果抽取样本的方法得当，一般样本能客
观地反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总体的情况，否则抽样调查的结果往往
会偏离总体的情况.
注意：在抽样调查中抽取的样本要具有代表性.
归纳
全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式.全面调查收集到的数据全面、准确，但一
般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查.抽样调查具有花费少、省时的特点，但
抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度.
问题3 比较你所在学校三个年级同学的平均体重：
(1)制定调查方案，利用课余时间实施调查；
(2)根据收集到的数据，分析出每个年级同学的平均体重，并用折线图表示平均体重随
年级增加的变化趋势；
(3)每组安排一位代表向全班介绍本组完成上述问题的情况，并进行比较和评议.
练习
1.为了解全校同学的平均身高，小明调查了座位在自己旁边的3名同学，把它们身高的平
均值作为全校同学平均身高的估计.
(1)小明的调查是抽样调查吗？
(2)这个调查结果能较好地反映总体的情况吗？如果不能，请说明理由.
解：(1)小明的调查是抽样调查；(2)这个调查结果不能较好反映总体的情况.理由: 一是样
本容量太小，二是坐在一起的同学身高都比较接近，所以这样选取的样本缺乏代表性.
2.某班要选3名同学代表本班参加班级间的交流活动.现在按下面的办法抽取：把全班同学
的姓名分别写在没有明显差别的小纸片上，把纸片混放在一个盒子里，充分搅拌后，随意
抽取3张，按照纸片上所写的名字选取3名同学.你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？
为什么？
答: 上面的调查是简单随机抽样.理由: 因为把全班同学的姓名写在没有明显差别的纸片上，
充分搅拌说明了这些纸片是机会均等的，也就是被抽取的同学机会均等的.
3.以下调查中，哪些适宜全面调查，哪些适宜抽样调查？
(1)调查某批次汽车的抗撞击能力；
(2)了解某班学生的身高情况；
(3)调查春节联欢晚会的收视率；
(4)选出某校短跑最快的学生参加全市比赛.
解：(2)(4)适宜全面调查，(1)(3)适宜抽样调查.
4.请你举出一些不宜用全面调查的例子，并说明理由.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调学生自主探索与合作交流，经历收集、加工、整理等思维过程，培
养学生的探索精神以及分析问题、处理问题的能力.
126直方图(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解频数、频数分布的意义，学会制作频数分布表；2.学会画频数分
布直方图；3.能够利用直方图描述数据，能够从统计图中获取相关信息.
(二)过程与方法：经历描述数据的数学活动过程，体验统计与生活的联系，感受统计在实
际中的应用.
(三)情感态度与价值观：通过研究解决问题的过程，进一步提高学生的数据意识，体会数
学的应用价值，感受合作学习和运用所学知识解决问题的成功经验.
二、教学重点、难点
重点：学会画频数分布直方图.
难点：利用频数分布直方图解释数据中蕴含的信息.
三、教学过程
忆一忆
你还记得各个统计图的特点吗？
条形图 扇形图 折线图
想一想
某班一次数学测验成绩如下：
63，84，91，53，69，81，61，69
91，78，75，81，80，67，76，81
79，94，61，69，89，70，70，87
81，86，90，88，85，67，71，82
87，75，87，95，53，65，74，77
大部分同学处于哪个分数段？成绩的整体分布情况怎样？
问题 为了参加全校各年级之间的广播体操比赛，七年级准备从63名同学中挑出身高相差
不多的40名同学参加比赛.为此收集到这63名同学的身高(单位:cm)如下：
158 158 160 168 159 159 151 158 159
168 158 154 158 154 169 158 158 158
159 167 170 153 160 160 159 159 160
149 163 163 162 172 161 153 156 162
162 163 157 162 162 161 157 157 164
155 156 165 166 156 154 166 164 165
156 157 153 165 159 157 155 164 156
1.计算最大值与最小值的差(极差)
在上面的数据中，最小值是149，最大值是172，它们的差值为172-149=23，说明身
高的变化范围是23cm.
2.决定组距和组数
127把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为
组距.根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同.
本问题中我们作等距分组，即令各组的组距相同.如果从最小值起每隔3作为一组，那
么由于 ，所以要将数据分成8组：149≤x＜152，152≤x＜
155，…，170≤x＜173.这里组数和组距分别为8和3.
组距和组数的确定没有固定标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定.将一批数据
分组，一般数据越多分的组数也越多.当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5
～12组.
你能举出其他分组的例子吗？
3.列频数分布表
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据个数(叫做频数).整理可得
下面的频数分布表：
身高分组 划记 频数
149≤x＜152
152≤x＜155
155≤x＜158
158≤x＜161
161≤x＜164
164≤x＜167
167≤x＜170
170≤x＜173
从表中可以看出，身高在155≤x＜158，158≤x＜161，161≤x＜164三个组的人数最
多，一共有12+19+10=41(人).
因此可以从身高在155cm至164cm(不含164cm)的同学中挑选参加比赛的同学.
4.画频数分布直方图
为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据上表画出频数分布的直方图.
128小长方形面积=组距× =频数
可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，
小长方形的高是频数与组距的比值.
等距分组时，各小长方形的面积(频数)与高的比是常数(组距).因此，画等距分组的频
数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数.
归纳
画频数分布直方图的一般步骤：
(1)计算最大值与最小值的差(极差)
(2)决定组距与组数：
(3)列频数分布表：为了数据及不重复也不遗漏，可规定各小组包括最小值不包括最大值.
(4)画频数分布直方图：在纵轴表示频数的直方图中，每个小矩形的高表示相应小组的频数.
158 158 160 168 159 159 151 158 159
168 158 154 158 154 169 158 158 158
159 167 170 153 160 160 159 159 160
149 163 163 162 172 161 153 156 162
162 163 157 162 162 161 157 157 164
155 156 165 166 156 154 166 164 165
156 157 153 165 159 157 155 164 156
探究
上面对数据进行分组时，组距取3，把数据分成8组.如果组距取2或4或5，可将数
据分成几组？分别画出不同组距的频数分布直方图.并想一想，这样做能否选出需要的40
名队员呢？
练习
某班一次数学测验成绩如下：
63，84，91，53，69，81，61，69
91，78，75，81，80，67，76，81
79，94，61，69，89，70，70，87
81，86，90，88，85，67，71，82
12987，75，87，95，53，65，74，77
按10分的组距分段，列出频数分布表，画出频数分布直方图？并说明哪个分数段的学
生最多？哪个分数段的学生最少？
解：列频数分布表 画频数分布直方图
因此，在80分至90分(不含90分)的学生最多，有14人；在50分至60分(不含60
分)的学生最少，只有2人.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
在教学过程中，无论是复习旧知、新授学习，还是巩固训练都设置了学生熟悉的生活
情境，使学生感到亲切有趣，感受到直方图在描述数据方面的魅力和现实意义，使学生易
于接受和理解.
130直方图(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.进一步了解频数分布直方图，会用频数分布直方图描述数据；2.根据
具体问题，学生会选择用直方图描述数据，会确定适合组距、组数，会准确画直方图，并
能解释图中数据蕴含的信息.
(二)过程与方法：通过小组讨论、合作，经历动手操作，体验画频数分布直方图的步骤，
体验直方图在生活中的价值.
(三)情感态度与价值观：通过研究解决问题的过程，进一步提高学生的数据意识，体会数
学的应用价值，感受合作学习和运用所学知识解决问题的成功经验.
二、教学重点、难点
重点：会用频数分布直方图描述数据，会确定适合组距、组数.
难点：能解释图中蕴含的信息，解决实际问题.
三、教学过程
忆一忆
画频数分布直方图的一般步骤：
(1)计算最大值与最小值的差(极差)
(2)决定组距与组数：
(3)列频数分布表：为了数据及不重复也不遗漏，可规定各小组包括最小值不包括最大值.
(4)画频数分布直方图：在纵轴表示频数的直方图中，每个小矩形的高表示相应小组的频数.
练一练
某校24名男教师的年龄(岁)如下：
29 42 28 37 33 52 26 31 33 24 37 42
46 40 32 42 28 38 30 51 32 44 30 31
(1)填写下表：
年龄分组 划记 频数
24≤x＜29
29≤x＜34
34≤x＜39
39≤x＜44
44≤x＜49
49≤x＜54
(2)这组数据的最大值与最小值的差为___，所取组距是___，共分___组.
例 为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100个麦穗，量得它们的长
度如下表(单位:cm)：
131画出样本的频数分布表，画出频数分布直方图.
解：(1)计算最大值与最小值的差.在样本数据中，最大值是7.4，最小值是4.0，它们
的差是7.4-4.0=3.4
(2)决定组距和组数.
在本例中，最大值与最小值的差是3.4. 如果取组距为0.3cm，那么由于 ，
可分成12组，组数适合. 于是取组距为0.3cm，组数为12.
(3)列频数分布表
分组 划记 频数
4.0≤x＜4.3
4.3≤x＜4.6
4.6≤x＜4.9
4.9≤x＜5.2
5.2≤x＜5.5
5.5≤x＜5.8
5.8≤x＜6.1
6.1≤x＜6.4
6.4≤x＜6.7
6.7≤x＜7.0
7.0≤x＜7.3
7.3≤x＜7.6
合计
(4)画频数分布直方图
麦穗长度大部分落在5.2cm至7.0cm之间，其他区域较少.长度在5.8≤x＜6.1范围
内的麦穗个数最多，有28个，而长度在4.0≤x＜4.3，4.3≤x＜4.6，4.6≤x＜4.9，
7.0≤x＜7.3，7.3≤x＜7.6，范围内的麦穗个数很少，总共只有7个.
练习
下列数据是截止到2010年费尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36
13233 29 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40 36 36 37 40 31 38 38 40 40 37
请根据下面不同的分组方法列出频数分布表，
费尔兹奖是国际上享有崇高声
画出频数分布直方图，比较哪一种分组能更好 誉的一个数学奖项，每4年评
选一次，主要授予年轻的数学
地说明费尔兹奖得主获奖时的年龄分布：
家.美籍华人丘成桐(1949年
(1)组距是2，各组是28≤x＜30，30≤x＜32，…； 出生)1982年获费尔兹奖.
(2)组距是5，各组是25≤x＜30，30≤x＜35，…；
(3)组距是10，各组是20≤x＜30，30≤x＜40，….
解：(1)组距是2时：
频数分布表 频数分布直方图
(2)组距是5时：
频数分布表 频数分布直方图
频数分布表 频数分布直方图
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，
在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主
体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
133第10章数据的收集、整理与描述小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.复习统计调查的基本方法和过程，能分清全面调查和抽样调查的区别；
2.能根据实际情况画出统计图进行描述数据，并能区分各种统计图的适用范围.
(二)过程与方法：通过复习，进一步明确数据处理的一般过程，构建本章的知识框架，建
立知识网络，学会归纳解题的有效方法和技巧.
(三)情感态度与价值观：通过解决问题，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题
的能力.
二、教学重点、难点
重点：复习归纳本章的基本理论知识点.
难点：实际问题中数据的处理.
三、教学过程
知识网络
考点一 全面调查与抽样调查
例1 下列调查中，调查方式选择正确的是( )
A.为了了解一批洗衣机的使用寿命，选择抽样调查
B.为了了解某公园全年的游客流量，选择全面调查
C.为了了解某1000枚炮弹的杀伤半径，选择全面调查
D.为了了解一批袋装食品是否质量达标，选择全面调查
针对训练
1.下列调查中，适宜采用抽样调查的是( )
A.调查奥运会上运动员兴奋剂的使用情况 B.调查某班体育锻炼情况
C.调查某市居民对汽车废气污染环境的看法 D.调查游乐园一游乐设施座椅的稳固情况
1342.为了了解某县初中二年级9800名学生的视力情况，从中抽查了100名学生的视力情况，
就这个问题来说，下面说法中正确的是( )
A.9800名学生是总体 B.每个学生是个体
C.100名学生是所抽取的一个样本 D.样本容量是100
考点二 统计图及其应用
例2 小明把自己一周的支出情况，用如图所示的统计图来表示，下
面说法正确的是( )
A.可以直接看出具体消费数额
B.可以直接看出总消费额
C.可以直接看出各项消费额占总消费额的百分比
D.可以直接看出各项消费额在一周中的具体变化情况
针对训练
3.某学校为了调查学生对课改实验的满意度，随机抽取了部分学生作问卷调查：用“A”表
示“很满意”，“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”表示“不满意”. 工
作人员根据问卷调查数据绘制了两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以
下问题：
(1)本次问卷调查，共调查了多少名学生？
(2)将条形统计图中的B等级补完整；
(3)求出扇形统计图中，D等级所对应扇形的圆心
角
度数.
解：(1)40÷20%=200(人)，答：共调查了200名学生.
(2)B人数为200×50%=100(人)
(3)360°×(1-20%-50%-25%)=18°
答：D等级所对应扇形的圆心角度数为18°.
考点三 频数分布直方图及其应用
例3 对某班学生一次数学测验成绩(成绩为正数)进行各分数段人数的统计如图所示，根据
图示信息填空：
(1)该班有学生____人；
(2)成绩在69.5～79.5范围内的人数为_____.
(3)如果以大于或等于80分为优良，那么该班的优良率为_____.
4.为进一步加强中小学生近视眼的防控，某县教育主管部门对今年初中毕业生的视力进行
了一次抽样调查，并根据调查结果绘制如下频数分布表和频数分布直方图的一部分.请根据
图表信息回答下列问题：
(1)求表中a、b的值，并将频数分布直方图补充完整；
135(2)若视力在4.9以上(含4.9)均属正常，估计该县5600名初中毕业生视力正常的学生有多
少人？
解：(1)这次调查的人数是：15÷0.05=300(人)
∴ a=300×0.25=75，b=60÷300=0.2
(2)根据题意得：5600×(0.25+0.2)=2520(人)
答：估计该县初中毕业生视力正常的学生有2520人.
考点四 统计图的综合应用
例4 某学校为了了解学生课外参加体育锻炼的情况，对该校七八九年级共计 1600名学生
进行随机抽样调查，发现只有25%的学生课外参加体育锻炼.现将整理收集到的数据，绘制
成下图所示的统计图.请结合统计图及以上信息，解答下列问题：
(1)九年级共抽查了_____名学生，其圆心角为_____；
(2)九年级学生课外参加体育锻炼的占九年级人数比例为___；
(3)若该校七、八、九年级分别有600人、500人、500人，按各年级参加体育锻炼的比例
计算，则全校学生中课外参加体育锻炼的约有多少人？
解：∵ 被调查的学生人数为(40+20+15)÷25%=300(人)
∴ (人)
答：全校学生中课外参加体育锻炼的约有394人.
5.“校园手机”现象越来越受到社会的关注，寒假期间，某校小记者随机调查了某地区若
干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
(1)求这次调查的家长人数，并补全图1；
(2)求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
(3)若该地区共有10000名中学生，请估计在这些学生中，对中学生带手机现象持“无所
谓”态度的人数是多少？
解：(1)80÷20%=400(人)
家长“反对”的人数为400-40-80=280(人)
136(2)
答：(1)这次调查的家长人数为400人；(2)图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数是
36°.
课堂检测
1.要反映某市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用( )
A.条形统计图 B.扇形统计图
C.折线统计图 D.频数分布直方图
2.下列调查工作需采用全面调查方式的是( )
A.环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查
B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查
C.质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查
D.企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查
3.实验中学初三年级进行了一次数学测验，参考人数共540人，为了了解这次数学测验成
绩，下列所抽取的样本中较为合理的是( )
A.抽取前100名同学的数学成绩
B.抽取后100名同学的数学成绩
C.抽取(1)，(2)两班同学的数学成绩
D.抽取各班学号为3号的倍数的同学的数学成绩
4.统计得到的一组数据有80个，其中最大值为141，最小值为50，取组距为10，可以分成
( )
A.10组 B.9组 C.8组 D.7组
5.在频数分布直方图中，各小长方形的高等于相应组的( )
A.组距 B.组数 C.频数 D.频率
6.某单位有职工100名，按他们的年龄分成8组，在40～42(岁)组内有职工32名，那么这
个小组的频率是( )
A.0.12 B.0.38 C.0.32 D.32
7.某公司的生产量在七个月之内的增长变化情况如图所示，从图上看，下列结论不正确的
是( )
A.2～6月生产量增长率逐月减少 B.7月份生产量的增长率开始回升
C.这七个月中，每月生产量不断上涨 D.这七个月中，生产量有上涨有下跌
8.有一些乒乓球，不知其数量，先取6个作了标记，把它们放回袋中，混合均匀后又取了
20个，发现含有两个做标记，可估计袋中乒乓球有____个.
9.已知一组数据都是整数，其中最大值是242，最小数
据是198，若把这组数据分成9个小组，则组距是____.
10.新华中学制作了有关300名学生选择棋类、武术、摄影、刺绣四门
校本课程情况的扇形统计图，从图中可以看出选择刺绣的学生为____人.
11.某年级组织学生参加夏令营，分为甲、乙、丙三组进行活动.下面两幅统计图反映了学
生报名参加夏令营的情况.请你根据图中的信息回答下列问题：
137(1)求该年级报名参加本次活动的总人数；
(2)求该年级报名参加乙组的人数，并补全频数分布直方图；
(3)根据实际情况，需从甲组抽调部分同学到丙组，使丙组人数是甲组人数的 3倍，那么应
从甲组抽调多少名学生到丙组？
解：(1)该年级报名参加本次活动的总人数为：
15÷30%=50(人)
(2) 该 年 级 报 名 参 加 乙 组 的 人 数 ：
50×20%=10(人)
(3)设需从甲组抽调 x名同学到丙组，根据题意
得：
3(15-x)=25+x
解得 x=5
答：应从甲组抽调5名学生到丙组.
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