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第 21 章 一元二次方程过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x﹣y＝0 B．ax2+2x﹣3＝0
C．x2+2x+5＝x3 D．x2﹣1＝0
【答案】D
【解答】解：A、x2+x﹣y＝0是二元二次方程，不符合题意；
B、当a≠0时，ax2+2x﹣3＝0是一元二次方程，不符合题意；
C、方程整理得：x2+2x+5＝x3，是三元一次方程，不符合题意；
D、x2﹣1＝0是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．若x ，x 是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x x ﹣x ﹣x ＝﹣7且，则b
1 2 1 2 1 2
的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
【答案】A
【解答】解：由题意得，x +x ＝﹣b，x x ＝﹣4，
1 2 1 2
∴x x ﹣x ﹣x ＝x x ﹣（x +x ）＝﹣4+b＝﹣7，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴b＝﹣3，
故选：A．
3．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：由题意得：
把x＝2代入方程x2+bx﹣c＝0中，
22+2b﹣c＝0，
∴2b﹣c＝﹣4，
∴﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c）
＝﹣2×（﹣4）
＝8，故选：A．
4．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得：
1+k﹣6＝0，
k＝5，
故选：C．
5．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10
C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
【答案】A
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株
椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价
钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等
于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方
程是（ ）
A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210
【答案】D
【解答】解：根据题意得：
3（x﹣1）x＝6210．
故选：D．
7．某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平
均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A．50（1+x）2＝132
B．（50+x）2＝132C．50（1+x）+50（1+x）2＝132
D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132
【答案】C
【解答】解：根据题意得：明年生产零件为50（1+x）（万个）；后年生产零件为50
（1+x）2（万个），
则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝146，
故选：C．
8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值
为（ ）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．
故选：D．
9．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手 10次，有多少人参加
活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10
C． x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10
【答案】A
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）；
依题意，可列方程为： ＝10．
故选：A．
10．将一元二次方程3x2＝2+6x化为一般形式后，常数项为﹣2，则一次项系数是（ ）
A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵一元二次方程3x2＝2+6x化为一般形式后，常数项为﹣2，
∴一般形式为3x2﹣6x﹣2＝0，
∴一次项系数是﹣6，故选：A．
11．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取
值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m≥0
【答案】A
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）（﹣1）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故选：A．
12．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，
∴2a2＝6a﹣4，
∴2a2﹣6a＝﹣4，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 x ＝ 0 ， x ＝ 1 ．
1 2
【答案】x ＝0，x ＝1．
1 2
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝0，x ＝1，
1 2
故答案为：x ＝0，x ＝1．
1 2
14．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，
现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 20% ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2＝16，解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
15．已知x ，x 是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，则x +x ＝ 6 ．
1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，
1 2
∴ ．
故答案为：6．
16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角
形的周长是 1 3 ．
【答案】13．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x ＝2，x ＝4，
1 2
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
17．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 k ≤ 4 ．
【答案】k≤4．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k≥0，
解得k≤4，
故答案为：k≤4．
18．代数式a2﹣2a+5的最小值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：a2﹣2a+5
＝a2﹣2a+1+4
＝（a﹣1）2+4，
当a﹣1＝0，即a＝1时，代数式取得最小值，最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0．
【答案】（1） ；
（2）x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
，
解得： ；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0，
（x﹣3）（﹣3﹣x）＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
20．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当
△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵Δ＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
将x＝5代入原方程，得：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣9k+20＝0，
解得：k ＝4，k ＝5．
1 2
当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0，
∴x ＝4，x ＝5．
1 2
∵4、5、5能围成等腰三角形，
∴k＝4符合题意；当k＝5时，原方程为x2﹣11x+30＝0，
解得：x ＝5，x ＝6．
1 2
∵5、5、6能围成等腰三角形，
∴k＝5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
21．（8分）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投
入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每
个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可
以改造多少个老旧小区？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤ ，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
22．（10分）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长
和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路
的总面积为480m2．
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次
协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【答案】（1）小路的宽度为2m；
（2）每次降价的百分率为20%．
【解答】解：（1）设小路的宽度为x m，根据题意得：
（20+2x）（16+2x）＝480，
整理得：x2+18x﹣40＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣20（舍去），
1 2
答：小路的宽度为2m；
（2）设每次降价的百分率为y，
根据题意，得：200（1﹣y）2＝128，
解得：y ＝0.2，y ＝1.8（不合题意，舍去），
1 2
0.2＝20%，
答：每次降价的百分率为20%．
23．（10分下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并
完成任务．
2x2﹣3x﹣5＝0
解：x 第一步
第二步
第三步
第四步
x ＝ ，x ＝﹣1第五步
1 2
（1）任务一：①小颖解方程的方法是 B ．
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是 等式的基本性质 ；
（2）任务二：请你按要求解下列方程：①x2+2x﹣3＝0；（公式法）②3（x﹣2）2＝x2﹣4．（因式分解法）
【答案】（1）①B；
②等式的基本性质；
（2）①x ＝1，x ＝﹣3；
1 2
②x ＝2，x ＝4．
1 2
【解答】解：（1）①小颖解方程的方法为配方法；
故答案为：B；
②第二步变形的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
（2）①x2+2x﹣3＝0，
a＝1，b＝2，c＝﹣3，
Δ＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
x＝ ＝ ＝﹣1±2，
所以x ＝1，x ＝﹣3；
1 2
②3（x﹣2）2＝x2﹣4，
3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣6﹣x﹣2＝0，
所以x ＝2，x ＝4．
1 2
24．（10分）一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元
的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2
元，每天可多售出40千克．
（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式
表示）？
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店
需将每千克的售价降低多少元？
【答案】（1）每天的销售量是（100+200x）千克；
（2）水果店需将每千克的售价降低1元．
【解答】解：（1）每天的销售量是（100+200x）千克；
（2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x ＝0.5，x ＝1，
1 2
当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜230；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（千克）．
∵每天至少售出230千克，
∴x＝1．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
25．（10分）综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方
程x2+x＝0的两个根是x ＝0，x ＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
1 2
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2+x﹣6＝0；
② ．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
求m的值．
【答案】（1）x2+x﹣6＝0不是“邻根方程”； 是“邻根方程”；
（2）m＝﹣1或﹣3．
【解答】解：（1）①∵x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x ＝﹣3，x ＝2，
1 2
∵2≠﹣3+1，
∴x2+x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②∵a＝2，b＝﹣2 ，c＝2，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是“邻根方程”；（2）x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0，
（x﹣m）（x+2）＝0，
∴x ＝m，x ＝﹣2，
1 2
∵方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1，
∴m＝﹣1或﹣3．
26．（10分）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点
P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，
点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得： ×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t ＝ ，t ＝ （不合题意，舍去）．
1 2
答：P，Q两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
