文档内容
第 21 章 一元二次方程 重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：一元二次方程全章内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知 是一元二次方程，则 的值为
（ ）
A．2 B．1 C． D．1或
2．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜
爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月
至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于 的一元二次方程 满足
，则该一元二次方程的根是（ ）
A．1，2 B．1，0 C． ，0 D．15．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 和
，则 的值等于（ ）
A．16 B．9 C．6 D．4
6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知 是关于x的方程 的两个实数根，
已知等腰 的一边长为3，若 恰好是 另外两边长，则 周长为 （ ）
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范
围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
8．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）我们知道 ，利用这个性质可以求方程 的解．两边
平方，得 ，从而求出该方程的解为 ．若方程 的解为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 与 称为
“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二
次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取
的最大值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
10．（2025·河南·模拟预测）规定：对于任意实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如： ，则关于 的方程 的根的情况，
下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是 ；②有一个根为2．
这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可）
12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至 万元/辆，则
月平均降价率为 ．
13．（24-25八年级下·北京平谷·期末）有一块长 、宽 的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各
截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为 的无盖的盒子，设截去小正
方形的边长为 ，则可列方程为 ．
14．（2025·广东东莞·二模）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值
是 ．
15．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为
行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊
的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一
元二次方程 和一元一次方程 为“相伴方程”，则c的值为 ．16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于 的方程 的解为 ，则关于 的
方程 的解为 ．
17．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式 ．那么 的最小值是
．
18．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一
个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有
(填序号)．
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程：则 ；
③若 满足 ，则关于 的方程 是倍根方程；
④若关于 的一元二次方程 是倍根方程，则必有 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程：
(1) ； (2) ； (3) ．
20．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程
(1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根；
(2)若该方程的两根分别是 ，且 ，求k的值．21．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于 的一元二次方程 ，如果 ， ， 满足
，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程 是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于 的美妙方程 的一个根是 ，求这个美妙方程．
22．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店
统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，
则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌
头盔每个应涨价多少元？23．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车
车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为 ），另外的边利用学校现有总长 的铁栏
围成，其中平行于墙的 边开有两个长为1米的木质门．
(1)若围成的面积为 ，试求出自行车车棚的长和宽；
(2)能围成面积为 的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形 中， ， ，
，点P从A向点D以 的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以 的速度运
动，到点B即停止，直线 将四边形 截得两个四边形，分别为四边形 和四边形 ，
(1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
(2)若 ，当 时，直接写出经过______秒后， ．25．（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程 ，其中b、c
均为整数，且有一个根为 ，求b、c的值．
晨晨同学根据二次根式的性质： ，联想到了如下解法：由 得 ，则 ，
即 ，∴ ．故 ．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知一个关于x的方程 ，其中b、c均为整数，且有一个根为 ，求b、c的值．
(2)已知 ，求代数式 的值；
(3)已知 ，求代数式 的值．
26．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程
，如果 的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，
但是如果一元二次方程的根都为整数， 的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程 称为“友好方程”，代数式 的值为该
“友好方程”的“超强代码”，用 表示，即 ；若另一关于x的一元二次方程
也为“友好方程”，其“超强代码”记为 ，当满足时，则称一元二次方程 是一元二次方程
的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程” 的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程 （m为整数，且 ）是“友好方程”，请求出
该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程 是 （m，n均为正整数，且 ）的
“最佳搭子方程”，且 的一个根是 的一个根的2倍，求m和n的
值
