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第21 章 一元二次方程（单元测试·培优卷）
一、单选题
1．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
2．已知 是一元二次方程 的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
3．代数式 的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．定义运算：对任意实数 ， ，总有 ，例如： ，则方程
的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
7．若分式 的值为零，则 的值为（ ）
A．3或 B．3 C． D．1
8．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月
份为 万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．9．已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方
程 的两个根，则k的值等于（ ）
A．3 B．5或9 C．5 D．9
10．如图，在直角坐标系中，点 和点 在 轴上，点 在 轴负半轴上，
， 当线段 最长时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若 ，则式子 的值为 ．
12．已知正比例函数 ，那么它的图像经过 象限．
13．方程 的两个实数根互为相反数，则 的值是 ．
14．一元二次方程 的两根为 ，则 ．
15．已知一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，则此多边形的内角和为 ．
16．设 为整数，且 ，方程 有两个不相等的整数根，则
的值是 ．
17．一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程 的根，则这个三角形的周
长是 ．
18．《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，
竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿
与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分
别是 尺．
三、解答题
19．（1）用配方法解方程： ；
（2）用公式法解方程： ．
20．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 化简： ．21．实数k使关于x的方程 有两个实数根 , ．
(1) 求k的取值范围；
(2) 若 ，求k的值；
22．如图，一次函数 的图象与坐标轴相交于A、B两点，点C的坐标为 ，D是线段
上一点，直线 过点C和点D．
(1) 若 ，求直线 的函数关系式，并求出 的面积；
(2) 当 是以 为底边的等腰三角形时，求直线 的函数关系式．
23．阅读材料：各类方程的解法
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，
由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一
个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3﹣x 2﹣2 x =0，可以通
过因式分解把它转化为x（x 2﹣x﹣2）=0，解方程x =0和x 2﹣x﹣2=0，可得方程
x 3﹣x 2﹣2 x =0的解．
（1）问题：方程x 3﹣x 2﹣2 x =0的解是x=0，x=_____，x=_____；
1 2 3
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解.
24．温州某学校的学生进行综合实践活动时，探究每盆植株培育株数与市场销售价格之间的关系，通
过实验和市场调查发现，每盆植株在5株以内（含5株），植株的品质较高，单株售价3元，超过5
株后，每盆每多种1株，单株售价降低0.3元，当每盆种植株株数超过12株后，植株品质较低，市场
统一收购价单株0.8元，每盆最多可种植18株．
(1)设每盆种植 株，
①则单株售价___________元，每盆售价___________元（用含x的代数式表示）；
②当每盆售价为16.2元时，求x的值．
(2) 该学生实验小组共种植了40盆，每盆培育所需费用y（元）与每盆种植株数x（株）之间满足
，每盆植株除培育费用外无其他支出．该小组将其中10盆赠送给学校，其余放至市场
出售，全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100元，求每盆的种植株数．参考答案
1．C
【分析】将a代入方程得 ，然后整体代入得结果，最后根据 得范围确定结果的范围即可；
解：∵ 是方程 的一个根，
∴将a代入方程，得： ，
即： ，
将上式代入 中得： ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根，判断无理数的范围，整体代入等知识点，整体代入的运用是
解题关键．
2．B
【分析】设另一根是a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，则可求得答案．
解：设方程的另一根为a，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，解得， ．
故选：B．
【点拨】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于 、两根之积等于
是解题的关键．
3．C
【分析】利用配方法对代数式做适当变形即可解答．
解：
∵
∴
即代数式
故选：C．
【点拨】本题考查了完全平方公式、不等式等知识点，掌握运用配方法求最值是解题的关键．
4．B
【分析】根据方程有两个实数根，得出 且 ，求出k的取值范围，即可得出答案．
解：由题意知， 且 ，
解得： ，且
则k的取值范围是 ，且
故选：B．
【点拨】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式 的关系：① 方程有
两个不相等的实数根；② 方程有两个相等的实数根；③ 方程没有实数根．（2）一元二次
方程的二次项系数不为0．
5．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后将分式化简，代入 即可求
解．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ，∴
，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
6．B
【分析】先根据新定义得到 ，再方程化为一般式为 ，然后计算根的判别式的
值，从而得到方程根的情况．
解：方程 转化为 ，
方程化为一般式为 ，
，
方程无实数根．
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数
根．
7．B
【分析】分式值为零的条件：分子为0且分母不为0时，分式值为零，据此列方程求解即可．
解：由题意得解得：
∴
故选B．
【点拨】本题考查分式值为零的条件，根据分子为0分母不为0列出方程即可求解．
8．B
【分析】根据三月份为4万人，五月份为 万人，设平均每月增长率为x，即可列出一元二次方程．
解：设平均每月增长率为x，
根据题意得： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键．
9．B
【分析】当 或 时，即 ，代入方程即可得到结论，当 时，即 ，解方程即可得
到结论．
解：∵m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长
∴当 或 时，即
∴方程为
解得：
此时该方程为
解得： ，
此时三角形的三边为5，5，1，符合题意；
当 时，即
即
解得：
此时该方程为
解得：
此时三角形的三边为3，3，5，符合题意，
综上所述，k的值等于5或9
故选：B．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三
边关系，正确的理解题意是解本题的关键．
10．D
【分析】根据A、B点的坐标，表示出 的长，再根据配方法确定出 的最小值；然后再根据三角
形的面积可得 的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答．
解：∵点 和点 ，
∴ ，
∴ 的最小值为1，此时 最长，
∴ ，
解得 ．
又∵点M在x轴负半轴，
∴点M的坐标为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出 最小时， 最长．
11．2024
【分析】先将 配方，然后将 代入即可．
解：∵ ， ，
∴原式 ，
故答案为：2024．
【点拨】本题考查了代数式求值，配方法的应用，将原式变形为 是解题关键．
12．一、三
【分析】根据正比例函数的定义及解一元二次方程确定 ，再由正比例函数的性质求解即可．
解：∵ ，
∴ 或 ，
又∵ ，
∴ ．∴图像过一、三象限．
故答案为：一、三
【点拨】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质，解一元二次方程，熟练掌握正比例函数的性
质是解题关键．
13．
【分析】设方程的两根分别为 ，根据根与系数的关系得到 ，解得 ，然后
分别计算 ，最后确定 ．
解：设方程的两根分别为 ，
∵方程 的两个实数根互为相反数，，
∴ ，解得 ，
当 ，方程变为： ， ，方程没有实数根，所以 舍去；
当 ，方程变为： ， ，方程有两个不相等的实数根；
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程 （ 为常数）根与系数的关系：若方程
的两根分别为 ，则 ； ．也考查了一元二次方程的根的判别式 ：当
，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
14．11
【分析】根据 ， 计算即可．
解：∵一元二次方程 的两根为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：11．
【点拨】本题考查了根与系数关系定理，完全平方公式的变形计算，熟练掌握定理是解题的关键．
15． /540度【分析】根据n边形的对角线条数 ，以及多边形的内角和公式求解即可．
解：设多边形有n条边，
则 ，
解得 或 （应舍去）．
∴这个多边形的内角和为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多边形的内角和与对角线，解一元二次方程，解题的关键是能够根据n边形的对
角线条数公式列方程，熟练运用因式分解法解方程．
16．
【分析】将方程化为 ，根据 为整数，且方程有两个不相等的整数根即可求解．
解： ，
，
，
，
，
，
为整数，且方程有两个不相等的整数根，
当 时，符合题意，
解得： ；
故答案： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的配方法，求参数的整数问题，掌握方法是解题的关键．
17．
【分析】先利用因式分解法解方程得到 ，然后根据三角形三边的关系确定三角形第三边
长为9，从而得到这个三角形的周长．解： ，
∴
∴ ，
∵一个三角形的两边长为3和8，
∴第三边的长
所以三角形第三边长为9，
所以这个三角形的周长是 ．
故答案为20．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
18．8，6，10
【分析】设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，利用勾股定理求解即可．
解：设竿的长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，
根据题意可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ （尺）， （尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，
故答案为：8，6，10．
【点拨】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键．
19．（1） ， （2） ，
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
解：（1） ，
，
，，
得 ，
解得 或 ；
（2） ，
变形得 ，
其中， ， ， ，
，
， ．
【点拨】本题考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，熟知计算法则是解题的关
键．
20．(1) ；(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出 ，然后求解即可；
（2）利用（1）的结论，结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可．
解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，绝对值的性质等知识，掌握一元二
次方程 的根的判别式 时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
21．(1)k的取值范围为 ；(2)k的值为0或
【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到
，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得 ， ，再把 变形为
，则 ，接着解关于k的方程，然后利用k的取值范围确定
k的值即可．
解：方程化为一般式为 ，
根据题意得 ，解得 ，
即k的取值范围为 ；
（2）解：根据根与系数的关系得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，整理得 ，解得 ， ，
∵ ，
∴k的值为0或 ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，
解答关键是熟练掌握根的情况与根的判别式的关系以及熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方
程 的两个根为 、 ，则 ， ．
22．(1) ，3；(2)
【分析】（1）将 代入 中，求出 ： ，再分别求出点A和点B的坐标，再利
用三角形面积公式计算；
（2）分析得出 ，设 ，求出 和 ，得出方程，解之可得点D坐标，再利用待
定系数法求解即可．
解：当 时， ： ，
将 代入中，得 ，
解得： ，
∴ ： ，
在 中，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
联立： ，解得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 是以 为底边的等腰三角形，∴ ，
∵直线 过点D，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： （舍）或 ，
∴ ，
将C，D代入 中，
得： ，解得： ，
∴直线 的函数关系式为 ．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数解析式，三角形面积，等腰三角形的性质，勾股定
理，解题的关键是注意根据图象进行分析，将点的坐标与线段长度联系起来．
23．（1）2；-1；（2）x=4；
【分析】（1）解一元二次方程x 2﹣x﹣2=0即可得答案；（2）两边同时平分，解一元二次方程并需要
检验二次根式是否有解.
解：x 2﹣x﹣2=0
(x-2)(x+1)=0，
x =2，x =-1，
1 2
故答案为2；-1；
（2） ，
3x+4=x2，
（x-4）(x+1)=0，
x =4，x =-1，
1 2经检验：x =-1为增根，
2
原方程的解为：x =4，
1
【点拨】本题考查解一元二次方程，有二次根式时需要检验是解题关键.
24．(1)① ，② ；(2)12株或15株
【分析】（1）①根据盆植株在5株以内（含5株），植株的品质较高，单株售价3元，超过5株后，
每盆每多种1株，单株售价降低0.3元列代数式即可确定弹珠售价；然后再根据单珠售价再乘以数量x即可；
②令 ，然后解一元二次方程即可解答；
（2）分 和 两种情况，分别根据“全部售出后销售所得扣除培育费用后还剩余100
元”列方程求解即可．
解：①设每盆种植 株,
单株售价为
每盆售价
故答案为： ；
②令 的值为16.2，则
解得 ．
答：当每盆售价为16.2元时，x=6或9．
（2）解：当 时，
化简，整理得 （舍去）
当 时， ，解得
综上所述，每盆种植12株或15株时，还剩余100元．
【点拨】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类
讨论思想成为解答本题的关键．
