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全等三角形综合训练（五）
1．如图， 中，点D在 上， ，点E是 的中点，连接
，则 ______________．
2．如图，在 中， ， ，求 边上中线 的范围为_____．
3．如图， ， ， ， ，点M为 的中点， ，
______．
4．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，
∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：
①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有
______．
5．如图， ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB
△
＝CD，BF＝ ，则AD的长为________．6．在 中， ， ， ，点 是 内一点，则点 到
三个顶点的距离和的最小值是_______．
7．如图， ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若
∠BPC＝50 ，∠CAP＝______．
△
8．如图，平行四边形 中， 于 ，点 为边 中点， ，
，则 _________
9．已知，如图1，四边形 是正方形， ， 分别在边 、 上，且 ，
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)在图1中，连接 ，为了证明结论“ ”，小亮将 绕点 顺时针旋转 后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当 绕点 旋转到图2位置时，试探究 与 、 之间有怎样的数量
关系？
10．已知 为等腰三角形， ，直线 过点 （不经过点 ），过点
作 于点 ，过点 作 于点 ．
(1)如图1，当点 位于直线 的同侧时，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，若点 位于直线 的两侧，
①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；
②设 与 交于点 ，当 时，判断 与 是否相等，并说明理由．
11．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证：
，小明的方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造
全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段
构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在 的内部， 分别平分 ，且
．求证： ．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在 中， ，点D在边 上， ，那么 平分
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个
命题进行证明．
12．在 中， 且 ．(1)如图（1），若 分别平分 ，交 于点C、B，连接 ．请你
判断 是否相等，并说明理由；
(2) 的位置保持不变，将（1）中的 绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，
相交于O，请你判断线段 与 的位置关系及数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ，试求四边形 的面积．
13．在 中， ，点D是直线BC上一点（不与 重合），以 为一边在
的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
(1)如图1，当点D在线段 上，如果 ，则 为多少？说明理由；
(2)设 ， ．
①如图2，当点D在线段 上移动，则 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线 上移动，则 之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，画出图形，
简要证明．
14．如图，在 中， ，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若 ，求DE的长．
15．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝
AE．
(1)判断CE与BE的关系是 ．
(2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD
＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
