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全等三角形综合训练（二）
1．在 中， ，中线 ，则 边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ ．
故选：B．
2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且
∠EDF＝45°，则DE的长为 _____．
【答案】2【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF，
∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，
∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，
∵DE＝DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴GE＝EF，
∵F是BC的中点，
∴AG=CF=BF=3，
设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3，
由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
∴DE＝ ，
故答案为：2 ．
3．已知：如图， 中，E在 上，D在 上，过E作 于F，
， ， ，则 的长为 ___________．
【答案】
【详解】解：在 上取一点T，使得 ，连接 ，在 上取一点K，使得，连接 ．
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
故答案为： ．
4．（1）观察理解：
如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂
足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：
如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的
高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：
①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；
②如图4，直角梯形ABCD中， ，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆
时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1
【详解】（1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC＝∠BDC＝90°，
又∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，
在△AEC和△CDB中，∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，
由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，
∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，
∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中点；
（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD，
∵ED=CD-CE，∴ED=EA－BD ；
故答案为：ED=EA－BD
②如图，过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q，
根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE，
由（1）得：△CDP≌△DEQ，∴DP=EQ，
直角梯形ABCD中， ，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴AB∥CP，∴BC⊥CP，
∵BC=3，∴AP=BC=3，
∵AD=2，∴DP=AP-AD=1，∴EQ=1，
∴△ADE的面积为 ．
故答案为：1
5．如图，AD是 的中线，点E在BC的延长线上， ，试说明：
．【答案】见解析
【详解】证明：如图，延长 至 ，使得 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
， ,
在 与 中，
，
∴ （SAS）， ，
∵ ，
∴ ．
6．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，
且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
△ △
根据定理，可证： AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
△
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写
出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在 ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S ABC＝14，
S ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
△ △
【答案】(1)45；(2)DF＝BE+EF，证明见解析；(3)2
△
【解析】（1）
解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ，
△
则F、D、 在一条直线上， ≌△ABE，
∴ ＝BE，∠ ＝∠BAE， ＝AE，
∴∠ ＝∠EAD+∠ ＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠ ＝∠ ﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠ ，∴△AEF≌△ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：45；
（2）
解：DF＝BE+EF 理由如下：
将 ABE绕点A逆时针旋转90°得到 ，
△ △
∴△ ≌△ABE，
∴AE＝ ，BE＝ ，∠ ＝∠BAE，
∴∠ ＝∠BAE+∠ ＝∠ +∠ ＝∠BAD＝90°，
则∠ ＝∠ ﹣∠EAF＝45°，
∴∠ ＝∠EAF＝45°，
在 AEF和 中，
△ △
，
∴△AEF≌△ （SAS），
∴ ，
∵ ，
∴DF＝BE+EF；
（3）
解：将 ABD绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，
△ △则 ≌△ABD，
∴CD'＝BD，
△
∴ ，
同（2）得： ADE≌△ （SAS），
∴ △， ，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为 、 、EC围成的三角形面积
．
7．（1）如图1， ABC与 CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：
线段AE、BD的数量关系和位置关系．
△ △
（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为 DCE中DE边上的高，请
判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．
△
【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见
解析
【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，
∵△ACB和 DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，CD=CE，
△
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，
∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，
∴AE⊥BD．
故答案为AE=BD，AE⊥BD；
（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，
理由如下：如图2中，
∵△ACB和 DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，
△
由（2）可知：△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，
∴AD=DE+AE=2CM+BD．
8．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于
E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；
(2)DE=3
【解析】（1）
①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴ ，
∵ ，
，∴ ，
在 和 中，
，
∴ （AAS）；
②证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 和 中，
，
（AAS），
∴ ， ，
∴ ．
9．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°． E、F分别是BC、CD
上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探
究此问题的方法：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证
△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
【灵活运用】
（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°， F、F分别是BC、CD上
的点．且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【延伸拓展】
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．若点E在CB的延长线
上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，
并给出证明过程．【答案】∠BAE+∠FAD=∠EAF；仍成立，理由见详解；
【详解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：
如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，
∴∠B=∠ADG=90°，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3） ．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴ ．
10．（1）如图1，在四边形 中， ， ，E、F分别是 、
上的点，且 ，探究图中 、 、 之间的数量关系．
小芮同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ．连接 ，先证明
，再证明 ，可得出结论，他的结论应是__________；
（2）如图2，若在四边形 中， ， ，E、F分别是 、
上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）已知在四边形 中， ， ，若点E在 的延长线上，
点F在 的延长线上，如图3所示，仍然满足 ，请直接写出 与
的数量关系．
【答案】（1） ；（2）成立；理由见解析；（3）
【详解】解：（1） ．理由如下：
如图1，延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3） ．
证明：如图3，在 延长线上取一点G，使得 ，连接 ，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
11．已知，在 中， ， 三点都在直线m上，且
．
(1)如图①，若 ，则 与 的数量关系为 ___________， 与 的数量关系
为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段 ， 与 的数量关系；
(3)如图③，若只保持 ，点A在线段 上以 的速度
由点D向点E运动，同时，点C在线段 上以 的速度由点E向点F运动，它们运
动的时间为 ．是否存在x，使得 与 全等？若存在，求出相应的t的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，
由（1）同理可得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）存在，当 时，
∴ ，
∴ ，此时 ；
当 时，
∴
∴ ， ，
综上： 或 ．
12．如图，过边长为4的等边△ABC的顶点A作直线l∥BC，点D在直线l上（不与点A重
合），作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转60°后交直线AC于点E．
(1)如图1，点D在点A的左侧，点E在边AC上，请直接写出AB，AD，AE间的关系
(2)如图2，点D在点A的右侧，点E在边AC的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？
若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，再证明．
(3)如图3，点E在边AC的反向延长线上，若∠ABE=15°，请直接写出线段AD的长．
【答案】(1)AB=AD+AE
(2)AB=AE-AD，证明见解析
(3)
【解析】（1）
解：AB=AE+AD，理由如下：
由已知可得∠DBE=∠ABC=∠ACB=60°，l∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=∠ACB，∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE即∠DBA=∠EBC，又∵BA=BC，
∴△ADB≌△CEB（ABA），
∴AD=EC，
∴AB=AC=AE+EC=AE+AD；
（2）
解：不成立，理由如下：
由已知可得∠DBE=∠ABC=∠ACB=60°，l∥BC，
∴∠DBE-∠DBC=∠ABC-∠DBC即∠DBA=∠EBC，
∵∠DAB=180°-∠ABC=120°，∠ECB=180°-∠ACB=120°，
∴∠DAB=∠ECB，
又∵BA=BC，
∴△ADB≌△CEB（ASA），
∴AD=EC，
∴AB=AC=AE-EC=AE-AD；
（3）
如图，
由已知可得∠DBE=∠ABC=∠ACB=60°，l∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=∠ACB，∠DBE+∠ABE=∠ABC+∠ABE即∠DBA=∠EBC，
又∵BA=BC，∴△ADB≌△CEB（ASA），∴AD=EC，
过B作BF⊥AC于F，则∠ABF=30°，CF=FA= ，
∴∠EBF=∠EBA+∠ABF=45°，∠BEF=45°，∴EF=BF= ，
∴AD=EF+FC= +2．
13．如图，在锐角 中， ，点D，E分别是边 上一动点，连接BE交直
线 于点F．(1)如图1，若 ，且 ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点C顺时针方向旋转60°得到线
段 ，连接 ，点N是 的中点，连接 ．在点D，E运动过程中，猜想线段
之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1) ；(2) ，理由见解析
【详解】（1）解：如图1中，在射线 上取一点K，使得 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）结论： ．理由：如图2中，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图2中，延长 到Q，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
延长 到 ，使得 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
14．（1）如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点
O．求证：OA=2DO；（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE，∠BGF=60°，GF交CE所在直
线于点F．求证：GB=GF．
（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在BG下方作
∠BGF=60°边GF交CE所在直线于点F．猜想：OG、OF、OA三条线段之间的数量关系，
并证明．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3） ，理由见解答．
【详解】证明：（1） 为等边三角形，
， ，
， ，
平分 ， 平分 ，
，
，
在 中， ， ，
，
；
（2）证明： ， ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
；
（3）解： ．理由如下：
连接 ，在 上截取 ，连接 ，
， ，
，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，．
15．（1）已知如图1，在 中， ，求 边上的中线 的取值范围．
（2）思考：已知如图2， 是 的中线， ，
试探究线段 与 的数量和位置关系，并加以证明．
【答案】（1） ；（2） 且
【详解】解：（1）如下图，延长 ，使得 ，则 ，
∵D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，可得： ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 边上的中线 的取值范围为： ；
（2） 且 ，证明如下：
如下图，延长 ，使得 ，延长 与 交于点H，由（1）可易证 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 且 ．
