文档内容
第 4 讲 勾股定理（5 个知识点+5 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平
方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝ ，b＝ 及c＝ ．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形
中的每一条直角边．
知识点2．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，
然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的
面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
知识点3．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足
较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合
其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的
两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
知识点4．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以
它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
知识点5．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，
关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的
应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关
线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边
为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个
正整数的直角三角形的斜边．
知识复习
一．勾股定理（共9小题）
1．（2023秋•高安市期末）已知 的边 ，周长为16，当 为等腰三角形时，则边 的长度是 ．
2．（2024•宝安区校级开学）如图， 中， ， 平分 ，交 于点
，延长 至点 ，使 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，求 的面积．
3．（2023秋•漳州期末）如图，在 中， ，若 ， ，则 的长
是
A．1 B． C．2 D．
4．（2023秋•姜堰区期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 、 ，点 在
轴的负半轴上，连接 ， ．若 ， 是 的高，则点 的坐标是
．
5．（2023秋•新乡期末）如图，在 中， ， ， ，点 从
点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 运动．设点 的运动时间为．
（1） ；
（2）求斜边 上的高线长；
（3）①当 在 上时， 的长为 ， 的取值范围是 ；（用含 的代数式表
示）
②若点 在 的平分线上，则 的值为 ．
6．（2023秋•兴平市期末）如图、在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧
作正方形、面积分别记为 ， ， ．若 ．则图中阴影部分的面积为
A．6 B． C．5 D．
7．（2023秋•海陵区校级期末）在 中， ， ， ，则
．
8．（2024•碑林区校级开学）已知：如图，在 中， ， ，
，动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时间为
秒．（1） ， 边上的高 ；
（2）当 为直角三角形时，求 的值．
9．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在 中，过点 作 的垂线交 的延长线
于点 ，已知 ， ， ，则 的长度为
A．15 B．16 C．18 D．20
二．勾股定理的证明（共8小题）
10．（2023秋•高青县期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ，中
间阴影部分是一个小正方形 ，这样就组成一个“赵爽弦图”．若 ， ，
则正方形 的面积为
A．4 B．8 C．12 D．16
11．（2023秋•黔江区期末）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角
三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积
是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是 和 ，那么 的值为
．12．（2023秋•桥西区期末）课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积
验证勾股定理 的是
A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行
13．（2023秋•碑林区校级期末） 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之
间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法
来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理
．
（2）如图2，在 中， ， 是 边上的高， ， ，求
的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求 的值 ．
14．（2023秋•射洪市期末）勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小
正方形和 构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”
长方形 ，则该长方形的面积为
A．120 B．110 C．100 D．90
15．（2023秋•东明县期末）数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如
图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角
形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的面积为 ．
16．（2023•海淀区校级开学）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等
式，观察下图，你能写出的等式是 ．
17．（2023秋•镇江期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图 1，已知直角三角形三边长为 ， ， 为斜边），由勾股定理： ，得
， 则 ， 得 到 ：
．
从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为 ， ， 为斜边），则
【问题解决】如图 2，已知 的三边长分别为 ，如何计算
的面积？据记载，古人是这样计算的：作 边上的高 ．以 ， 的长为斜
边和直角边作 （如图 ，其中 ， ．
（1）用古人的方法计算 的值，完成下面的填空：
．
（2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成 面积的计算过程；
（3）你还有其他计算 的面积的方法吗？写出解答过程．
三．勾股定理的逆定理（共8小题）
18．（2023秋•海陵区校级期末）已知 中， 、 、 分别是 、 、 的对边，下列条件不能判断 是直角三角形的是
A． B．
C． D．
19．（2023秋•钟山区期末）下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三
角形的是
A．2，3，4 B．6，7，8 C．6，8，10 D．10，12，13
20．（2023秋•仪征市期末）在 中， 、 、 对边是 、 、 ，哪个条件不
能判断 是直角三角形
A． B．
C． D．
21．（2023秋•广平县期末）下列各组数中，能作为直角三角形边长的是
A．1，2，3 B．6，7，8 C．1，1， D．5，12，13
22．（2023秋•邹平市期末）若一个三角形的三边长为3、 、5，则使此三角形是直角三
角形的 的值是 ．
23．（2023秋•峡江县期末）先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点 ， ， ， ，这两点间的距离 ．
同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公
式可简化为 或 ．
（1）已知点 ， ，试求 ， 两点间的距离；
（2）已知点 ， 所在的直线平行于 轴，点 的纵坐标为2， ， 两点间的距离为
4，求点 的纵坐标；
（3）已知 各顶点的坐标分别为 ， ， ，你能判断 的形状吗？说明理由．
24．（2023秋•遂川县期末）如图，在四边形 中， ， 平分 ，
， 为 上一点， ， ，求证： ．
25．（2023 秋•滨州期末）已知 中， ， ，
．
（1）求证： 是直角三角形；
（2）当 时，求 ， 满足的关系式．
四．勾股数（共7小题）
26．（2023秋•盐都区期末）观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
请你写出以上规律的第④组勾股数： ．
27．（2023春•邻水县期末）观察下列各组勾股数有哪些规律：
3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ， ，
请解答：
（1）当 时，求 ， 的值；
（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
28．（2023秋•高邮市期末）下列各组数中是勾股数的是
A． ， ， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41
29．（2023秋•衡阳期末）勾股定理 本身就是一个关于 ， ， 的方程，满足
这个方程的正整数解 ， ， 通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ，4， ， ，12， ， ，
24， ， ．分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，
分析上面规律，第5个勾股数组为 ．
30．（2023秋•翠屏区期末）若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是
A．13 B． C．13或 D．不确定
31．（2023春•岑溪市期末）有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是
．
32．（2023春•遵义期中）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数
组，记为 ，4， ，类似地，还可得到下列勾股数组： ，6， ， ，8， ，
，10， 等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含 且 为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
五．勾股定理的应用（共8小题）
33．（2023秋•鹤壁期末）如图，小华爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，
爸爸让小明计算这块土地的面积以便估算产量．小明测得 ， ，
，又已知 ，求这块土地的面积．34．（2023秋•环江县期末）如图，货车车高 ，卸货时后面挡板 折落在地
面 处，已知点 、 、 在一条直线上， ，经过测量 ，则
．
35．（2023秋•邹平市期末）如图，钓鱼竿 的长为5.4米，露在水面上的鱼线 长为
1.8米．当钓鱼者把钓鱼竿 转到 的位置时，露在水面上的鱼线 长为4.2米，则
的长为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
36．（2023秋•淅川县期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活
动．如图，当张角为 时，顶部边缘 处离桌面的高度 为 ，此时底部边缘
处与 处间的距离 为 ，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为
时 是 的对应点），顶部边缘 处到桌面的距离 为 ，则底部边缘 处
与 之间的距离 为A． B． C． D．
37．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉
到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端 处，发现此时绳子
底端距离打结处 ，则旗杆的高度为 ．
38．（2023秋•翠屏区期末）在一次“通关”游戏中，其中一个游戏是每名队员必须从如
图所示的平台 处荡秋千到平台 处，平台 距地面 ， 垂直于地面，点 为秋
千静止时在 上的位置，平台 、 到 的水平距离 、 分别为 和 ，
于点 ， 于点 ，且 ．
（1）求秋千 的长度；
（2）求秋千离地面的最小距离．
39．（2023秋•漳州期末）某医院为了方便病人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，
感应门上方装有一个感应范围2.6米的感应器 ．如图，一个身高1.6米的病人 走到离
感应门2.4米处时，感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的高度 ．40．（2023秋•金东区期末）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉
树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转 前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就
在洞穴中．”若赤石标记为点“ ”，杉树标记为点“ ”，洞穴标记为点“ ”．
（1）根据这段记载，应用数学知识描述点 与线段 之间的关系．
（2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点 、 的坐标分别为 、 ，点
到线段 之间的距离为5（单位长度），求出洞穴到赤石的距离．
强化训练
一、单选题
1．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，一棵大树在离地面 处折断，树的
顶端落在离树干底部 处，那么这棵树折断部分的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
2．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）等腰三角形腰长为 ，底边长为 ，则底边
上的高为（ ）A． B． C． D．
3．（2024下·八年级单元测试）已知，如图长方形 中， ， ，将此长方
形折叠，使点B与点D重合，折痕为 ，则 的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
4．（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，
C，D都在格点上，则图中线段长度为 的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·八年级竞赛）如图是一个长为 ，宽为 ，高为 的仓库，在其内壁
的点 （长的四等分点）处有一只壁虎．在点 （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎
爬到蚊子处的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023下·广西贺州·八年级统考期中）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地
毯，则地毯至少需要（ ）．A．3米 B．4米 C．5米 D．7米
7．（2023下·广东中山·八年级统考期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与 方向成
角的 方向上的点B处测得 ， ，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，一轮船以每小时 的速度从港口 出发
向西北方向航行，另一轮船以每小时 的速度同时从港口 出发向东北方向航行．
离开港口 后，两轮船相距（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·河南漯河·八年级校考阶段练习）一个圆桶底面直径为10cm，高24cm，则桶
内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．124cm C．26cm D．30cm
10．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点 到原
点的距离是（ ）
A．1 B．5 C． D．
二、填空题11．（2023下·河南信阳·八年级统考期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角
形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为 ，较长的直角边长为
，大正方形的边长是 ，那么 ．
12．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高
15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞
米．
13．（2023下·重庆开州·八年级校联考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三
角形都是直角三角形，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
14．（2023下·河南漯河·八年级统考期末）如图，在四边形 中，
，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是 ，
， ， ，在 ， ，则 的值是 ．15．（2024·全国·八年级竞赛）如图，长方形恰好被分割成8个完全相同的小正方形，现将
外围的交点从1号到12号按顺序进行编号，点 、 分别在2号、6号和10号交点上，
如果按顺时针方向同时移动 三点，各点每次只移动到下一个交点，这样绕长方形
外围一周回到原先的位置，在这个过程中， 有 次成为直角三角形．
16．（2022上·陕西西安·八年级统考期末）已知一个三角形的三边长分别为 ， ，
．则这个三角形的面积为 ．
17．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者
是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，
踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高
士素好奇，算出索长有几？”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示．已知：秋千
静止时，踏板离地1尺，将它推送2步（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的曾
记一样高，秋千的绳索始终拉得很直．若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺，
则文中“两步”是 尺．
18．（2023下·云南昆明·八年级统考期中）如图，一架长 的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 ，如果梯子向外平移 ，那么梯子的顶端将下滑
．
三、解答题
19．（2024下·八年级课前预习）若 的三边长分别是a、b、c，且a、b、c满足
，判断 的形状．
20．（2023下·湖北十堰·八年级校考期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空
地，已知 米， 米， ， 米， 米．小区为美化
环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
21．（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）今日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城
的正西方向240千米的B处，以每时12千米的速度向北偏东60度方向移动，距沙尘暴中
心150千米的范围为受影响区域．(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
(2)若A城受这次沙尘暴的影响，遭受影响的时间有多长？
22．（2022下·湖北咸宁·八年级校考期末）一辆装满货物的卡车，高 米，宽 米，要
开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为 ，长方形的另
一条边长是 ．
(1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
(2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为 ，高为 的卡车能安
全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？
23．（2023下·安徽亳州·八年级统考期中）一条东西走向的公路上有A， 两个站点（视为
直线上的两点）相距 ， ， 为两村庄（视为两个点）， 于点 ，
于点 （如图），已知 ， ，现在要在公路 上建一个土特产储藏仓库 ，使得 ， 两村庄到储藏仓库 的直线距离相等，请求出储藏仓库 到A
站点的距离．（精确到 ）
24．（2023下·安徽蚌埠·八年级统考期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、
弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，
41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下
问题让学生解决．
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______；
(2)若第一个数用字母 （ 为奇数，且 ）表示，那么后两个数用含 的代数式分别怎
么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律： ， ， ，
…，则用含 的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______；
(3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母 表示的勾股数的规律．
25．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条
长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路 （点D在l上），使得学生从公路l走到学校
路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路 长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B
的北侧，且距A中学170米．一辆车经过 区间用时5秒，若公路l限速为 （约
），请判断该车是否超速，并说明理由．
26．（2024下·全国·八年级假期作业）如图， 为数轴原点， ， 两点表示的数分别为
，3，作腰长为4的等腰三角形 ，连接 ．以点 为圆心、 的长为半径画弧，
交数轴正半轴于点 ．求点 表示的数．
