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培优专题 02 有理数混合运算的六种技巧
【专题精讲】
有理数的混合运算是加、减、乘、除乘方的综合应用,学会运算法则是基础,运算
的关键是运算的顺序,为了提高运算速度,要灵活运用运算律,还要能创造条件利
用运算律,如拆数,移动小数点等,对于复杂的有理数运算,要善于观察、分析、类
比与联想,从中发现可以简算的地方从而达到算得准、算得快的目的。计算复杂
算式,应遵循以下几个原则：
-1
❑
2021
(1)分段同时性原则:例如在计算一 0.25²÷（- ）-（ ） +(-2)²×(-3)²的过
1 4，
程中,应在第一步中计算0.25²，-（ ） ，（-1）2021，（-2）²,（-3）²以达
2
到高效的目的;
(2)整体性原则:例如乘除混合运算统一化为乘法,统一进行约分;
(3)简明性原则:计算步骤尽可能简明,能够一步计算出来的就同时算出来,不要拖
沓;
(4)心算原则:计算过程中,能用心算的都尽量运用心算,心算是提高运算速度的重
要方法。
有理数计算常用的技巧与方法有
①应用运算律;②裂项相消;③分解相约;
④巧用公式;⑤利用倒数;⑥借用图形面积
◎类型一：巧用凑整法计算
解题方法：多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形
式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方
法简称凑整法。
1．（2020·安徽·马鞍山市雨山实验学校七年级阶段练习）计算
(1)
(2)2．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
(1)
(2)
3．（2022·全国·七年级）计算下列各小题，能用简便方法的使用简便方法．
(1) ；
(2) ．
4．（2022·全国·七年级专题练习）（- 4 ）-（- 5 ）+（- 4 ）-3
◎类型二：运用拆项法计算
解题方解答此类问题,先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分
数部分分别结合在一起,利用交换律，结合律得出答案。
5．（2022·全国·七年级课时练习）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）；
(2) ；
(3)
(4) ．
6．（2021·河南周口·七年级阶段练习）计算：
7．（2022·全国·七年级课时练习）简便计算：
（1） ；
（2）8．（2022·全国·七年级课时练习）用较为简便的方法计算下列各题：
（1） ；
（2）－8721＋53 －1279＋4 ；
（3） ．
◎类型三：巧用组合法计算
解题方解答此类问题,直接计算比较麻烦,观察算式,找出算式分布规律,然后适当
分组,利用结合律将相加和为0的结合在一起简化计算。
9．（2020·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8+…﹣2001+2002
﹣2003+2004
10．（2021·全国·七年级课时练习）
．
11．（2022·全国·七年级课时练习）计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
12．（2020·山东泰安·课时练习）计算 … ．
◎类型四：巧用裂项相消法计算
解题方法解答此类题目,根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两
项相加,只剩下首项和末项,相加得出结果。
13．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列各式： ， ，（1）猜想：
（2）你发现的规律是： ；（n 为正整数）
（3）用规律计算：
.
14．（2022·全国·七年级课时练习）观察下面的变形规律：
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
（2）计算：
（3）计算：
15．（2022·湖南·羊角塘镇中心中学七年级阶段练习）计算题．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
16．（2021·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）观察下列有规律的数
…．根据其规律，则
（1）第7个数是________；
（2）第n个数是________；
（3） 是第 个数；
（4）计算： ．◎类型五：逆用分配律计算
分配律a(b+c)=ab+ac，在运算中可简化计算;反过来,ab+aca(b+c)同样成立,适当
运用也可使运算简便。
17．（2022·全国·七年级）计算：
（1） ；
（2） ．
18．（2020·上海市民办华育中学期中）99 ×91＋8×99 ＋99.75
19．（2022·全国·七年级专题练习）利用适当的方法计算： ．
20．（2021·上海普陀·期中）计算： ．
◎类型六：巧用倒数法计算
解答此类题目,交换被除数和除数的位置得到原式的倒数,先计算出倒数的值,然
后求出原数即可。
21．（2021·陕西·岚皋县城关九年制学校七年级期中）认真阅读材料后，解决问题：
计算： ．
分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数是
＝
＝
＝20﹣3+5﹣12＝10，
故原式＝ ．
仿照阅读材料计算： ．22．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算 ．
解法一：原式＝ ＝550．
解法二：原式＝ ＝50÷ ＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为
＝ ．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的
解法解答下列问题：
计算： ．
23．（2021·广西南宁·七年级期中）阅读下列材料，根据材料计算：
计算：
解：原式的倒数为
所以原式
根据以上材料计算：
24．（2022·全国·七年级）想一想：
下面两种计算正确吗?请说明理由：
(1)解：原式=
；
(2)解：原式=．
【巩固训练】
1．（2022·全国·七年级课时练习）计算：
(1)4 ＋[8.6－ ＋ ＋ ]；
(2)－2－ ＋ － － ＋ ．
2．（2022·全国·七年级专题练习） ．
3．（2022·全国·七年级课时练习）计算 的值．
4．（2022·全国·七年级课时练习）阅读下面的计算方法：
计算：
解：原式=
=
=
=2
上面的解法叫拆项法．请你运用这种方法计算：
．
5．（2012·江苏扬州·七年级阶段练习）阅读下题的计算方法．
计算 ．
解：原式=
==
=
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
6．（2022·全国·七年级课时练习）综合与实践
阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：
解：原式
启发应用：
用上面的方法完成下列计算．
（1） ；
（2） ．
7．（2020·安徽·阜南县中岗中学七年级阶段练习）观察分析：
（1）写出第四个式子和第五个式子；
（2）写出第2017个式子和第n个式子；
（3）结合上式所反映的规律，计算
8．（2017·全国·七年级课时练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子：
， ， ，…，
你发现规律了吗？下一个式子应该是： ．
利用你发现的规律，计算：.
9．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级期中）6.868×（－5）＋6.868×（－12）＋
6.868×17
10．（2021·全国·七年级专题练习）
11．（2022·全国·七年级课时练习）数学老师布置了一道思考题“计算：
”．小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题．
小明的解答：原式的倒数为 ，所以
．
(1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正
确，请说明理由．
(2)计算： ．
12．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
计算：50÷（ ）．
解法一：原式＝ ＝50×3﹣50×4＋50×12＝550
解法二：原式＝50÷（ ）＝50÷ ＝50×6＝300
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为 解法是错误的，在学习正确的解
法后，请你解答下列问题：
（1）计算：（﹣ ）÷（ ）；
（2）在材料中，原式的倒数为（ ）÷50，你能仿照这个做法求出（﹣ ）÷（
）的解吗？请写出具体解题过程．
