文档内容
第七章相交线与平行线大单元教学设计
主备人 课型 新授 时间
课程标准 课题 第7章 相交线与平行线 课时 12课时
（一）教材地位与作用
本章是人教版七年级上册的重要几何内容，承接小学阶段对简单图形的认识，是
初中几何体系的基础章节，更是培养学生空间观念、几何直观和逻辑推理的关键载体.
教材通过“相交线—平行线—平移”的逻辑链条，逐步引导学生从具体情境中抽象几
何概念，探究图形位置关系的性质与判定，为后续学习三角形、四边形奠定重要基础.
其中，相交线的对顶角、垂线性质，平行线的判定与性质，以及平移变换，不仅是解
决几何问题的核心工具，更蕴含着“数形结合”“转化化归”等重要数学思想.
（二）新课标衔接与核心素养
依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本章聚焦“图形与几何”领域，
重点培养学生的“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”.例如，从剪刀、铁轨等生
大单元主
活实例抽象出相交线、平行线模型，体现数学抽象；通过“同位角相等→两直线平
题背景分
行”的推导，强化演绎推理意识；利用平移设计图案，培养几何应用与创新意识.教材
析（教材
内容紧密联系实际，如测量跳远成绩（点到直线的距离）、台球反弹路径（对顶角性
分析）
质），充分体现“数学源于生活，服务生活”的理念.
（三）学情分析
七年级学生已具备简单的几何直观能力，但逻辑推理尚处于起步阶段.教学中需关
注：
1.认知难点：三线八角的位置关系辨析（如同位角、内错角的识别）、平行线判定与
性质的混淆、几何语言的规范表达.
2.兴趣点：生活中的几何现象（如建筑中的垂直与平行）、动手操作活动（如折纸、
木条实验）、开放性问题（如平移设计图案）.
3.易错点：对“在同一平面内”“垂线段最短”等概念的忽略，证明过程中条件与结
论的逻辑衔接不严谨.
（一）知识与技能
1.概念建构：通过生活实例抽象相交线、平行线、垂线、平移等概念，理解邻补
角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义及本质特征.
2.性质探究：掌握对顶角相等、垂线的唯一性与最短性、平行线的判定与性质
（同位角/内错角相等、同旁内角互补）、平移的“两不变一对应”性质（形状大小不
变、对应点连线平行且相等）.
3.技能提升：能熟练运用三角尺、直尺画垂线和平行线，规范书写几何推理过
程，利用平移性质进行图案设计与计算.
（二）数学思考
1.抽象与建模：经历“生活原型→几何模型→符号表达”的抽象过程，如将剪刀
抽象为相交线模型，铁轨抽象为平行线模型，提升数学抽象能力.
单元教学 2.推理与论证：通过“观察猜想→实验验证→逻辑证明”的探究路径（如通过木
的目标 条转动实验猜想平行线判定条件，再用几何语言证明），发展合情推理与演绎推理能
力，体会数学思维的严谨性.
3.数形结合：借助图形分析角的位置关系（如用“F”“Z”“U”型识别同位
角、内错角、同旁内角），用代数方法解决几何问题（如通过角度计算证明直线平
行），感悟数形结合思想.
（三）问题解决
1.生活应用：能运用本章知识解决实际问题，如测量点到直线的距离（确定最短
路径）、利用平移设计轴对称图案、判断建筑中的垂直与平行关系.
2.几何推理：掌握“条件→结论”的几何问题分析方法，能从复杂图形中分离基
本模型（如三线八角），逐步学会写规范的推理过程（如“∵∠1=∠2，∴AB∥CD
（同位角相等，两直线平行）”）.
3.合作探究：通过小组合作完成剪纸、拼图、几何画板动态演示等活动，共同解决开放性问题（如设计满足条件的平移路径），培养团队协作与语言表达能力.
（四）情感态度
1.数学价值：通过“垂线段最短”在灌溉水渠设计中的应用、平移在美术与建筑
中的实例，体会数学的实用性与美学价值，激发学习兴趣.
2.学习品质：在“对顶角相等”的证明、平行线判定定理的推导中，感受数学知
识的逻辑性与严密性，培养严谨的学习态度.
3.文化意识：了解几何发展历史（如欧几里得《几何原本》中的平行公理），体
会数学知识的传承与发展，增强文化自信.
活动一 相交线
活动二 平行线的概念及其判定
学习活动
活动三 平行线的性质
设计
活动四 定义、命题、定理
活动五 平移
（一）过程性评价（40%）
1.课堂表现（20%）：包括参与小组讨论的积极性、几何模型抽象的准确性、课堂提
问与回答的逻辑性（如能否清晰区分同位角与内错角的定义）.
2.探究活动（10%）：评价动手操作能力（如用三角尺画垂线的规范性）、实验记录
的完整性（如平行线判定实验中能否记录角度变化与直线位置关系）.
3.作业质量（10%）：分层次评价基础题（概念辨析）、综合题（几何推理）、开放
学习评价 题（平移图案设计）的完成情况，关注解题步骤的规范性与创新性.
设计 （二）终结性评价（60%）
1.单元测试（80%）：
2.项目化学习（20%）：小组合作完成《生活中的相交线与平行线》调查报告，包
含：
生活实例收集（如桥梁、家具中的几何模型）.
数学原理分析（如解释电梯平移的性质）.
创意应用设计（如用平移设计班级文化墙图案）.
相交线的教学通过剪刀、栅栏等生活实例引入，学生能快速感知相交线的几何模
型，尤其在邻补角与对顶角的概念辨析中，通过动手拼图、标注公共边与反向延长
线，多数学生能抓住“位置关系”这一本质特征.但在三线八角的识别中，部分学生因
图形复杂度提升出现混淆，暴露出对“截线与被截线”定位的模糊.例如，在复杂图形
中识别同位角时，学生常忽略“同侧同旁”的核心要素.后续可增加“动态标注截线”
的环节，用不同颜色区分截线与被截线，并设计“快速配对”游戏强化位置关系记忆.
此外，对顶角性质的推导中，学生能理解“同角的补角相等”的逻辑，但几何语言书
写仍存在步骤跳跃问题，需通过“填空式推理模板”逐步规范.
平行线的判定与性质是本章逻辑推理的核心，但学生常因“因果关系”混淆导致
错误，如将“同位角相等”直接作为性质应用于未证明平行的直线.教学中通过“判定
（角→线）”与“性质（线→角）”的对比表格，结合木条转动实验与几何画板动态
演示，学生能直观理解两者的互逆关系，但在综合应用中（如“已知∠1=∠2，证明
反思性教
AB∥CD”），仍有部分学生无法准确选择判定定理，暴露出对“三线八角”模型的分
学改进
离能力不足.后续可增加“拆解复杂图形→标注基本模型”的专项训练，如用不同形状
的贴纸标记同位角、内错角，强化“先定位截线，再判断位置关系”的分析步骤.此
外，平行公理的探究中，学生通过画图归纳“过直线外一点有且只有一条平行线”，
但对“在同一平面内”的前提条件理解不深，可结合长方体模型演示空间中不相交也
不平行的直线，帮助学生突破平面思维的局限.
定义、命题与定理的教学中，学生对“命题是判断性语句”的理解较为顺利，但
在“改写命题为‘如果…那么…’形式”时，常因条件与结论提炼不准确导致错误，
如将“垂线段最短”改写为“如果垂线段，那么最短”，忽略“连接直线外一点与直
线上各点”的前提条件.对此，可通过“生活命题→数学命题”的对比分析，帮助学生
掌握“条件是已知事项，结论是由已知推出的事项”.在真假命题的辨析中，学生能举
出“相等的角是对顶角”的反例（如同位角），但对定理的“证明必要性”认识不
足，认为“直观正确的命题无需证明”.后续需增加“简单定理的微证明”活动，如小组合作证明“内错角相等，两直线平行”，通过“画图—猜想—推理”的完整过程，
让学生体会逻辑证明的严谨性，避免依赖直观经验.
本章大单元设计通过“生活抽象—模型构建—推理应用”的逻辑链条，有效落实
了抽象能力、推理意识等核心素养，但在以下方面仍需优化：
分层教学落实：基础薄弱学生在几何语言规范上进步较慢，需增加“一对一推理纠
错”环节，用不同颜色笔标注错误步骤并注明依据；能力提升学生可拓展“非欧几何
中的平行公理”等数学史内容，满足探究需求.
评价多元化：过程性评价中，除课堂观察外，可增加“几何推理录音日记”，让学生
口述解题思路，暴露逻辑漏洞；终结性评价的项目化学习中，可引入“几何应用短视
频”创作，提升知识整合能力.
跨学科融合深化：在平移教学中，可结合信息技术课用Python编程实现图形平移，在
美术课中用平移设计班徽，真正实现“做中学”“用中学”.
单元教学
结构图
教学设计
课题 相交线与平行线
学习活动 教师活动 学生活动 设计意图
设计 观察下列图片，说一说直线与直线的 学生看图片回答问题. 数学来源于
位置关系. 生活，通过
引导学生从
身边熟悉的
图形出发，
体会数学与
生 活 的 联
系，总结出
同一平面内
两条直线的
基本位置关
系，体会本
章内容的重
活动一： 要性和在生
相交线 活中的广泛
应用，为引
入新课做好
准备.学生回忆并
回答，为本
课的学习提
供迁移或类
比方法.
两条直线的位置关系有相交和
平行.
生：两条直线只有一个公共 让学生借助
点，就称这两条直线为相交线. 已有的几何
在同一平面内，不相交的两条 知识从现实
直线叫平行线. 生活中发现
【思考】同一平面内，两条直线的位
生：D 数学问题，
置关系有哪几种？
能由实物的
形状想象出
师：我们知道，在同一平面内，两条
相交线、平
直线的位置关系有相交或平行两种.
行线的几何
想一下什么叫相交线，什么叫平行
图形，使新
线？
学生举手回答 知识的产生
建立在对周
围环境的直
接感知的基
础上，让学
生增强对生
活中的相交
知识点一：邻补角与对顶角的概念
线、平行线
探究 1：用剪刀剪开提前准备好的
的认识，建
纸，在剪纸过程中，观察其中蕴含的
立直观的、
数学知识.
观察思考 形象化的数
学模型.
师生活动：教师做示范，提醒学生注
意安全.学生动手操作，
从现实生活
教师追问：请将剪刀的构造抽象成几
中发现并提
何模型，并观察剪刀夹角的变化.
出简单的数
学问题吸引
学 生 的 注
意，同时为
得出两条直
线相交所成
合作探究：
角的关系提
把四个角两两组合，按照两个角的位
供 生 活 背
置关系将角分类.
景.
师生活动：教师出示几何模型的图片
通过动手操
并提问，学生讨论，教师巡堂，预测
作与观察，
会发现有不同的组合，教师请他们分
帮助学生构
别发言说出这么组合的缘由，并整理
根据教师提示回答 建相交线的
为板书，预测分组情况如下：
几何模型，
∠1和∠2，∠1和∠4；
握 紧 把 手
∠2和∠3，∠3和∠4.
时，两个把
有一条公共边，另一条边互为反向延
手之间的角
长线.
不断变化，
∠1和∠3；∠2和∠4.
两条相交线
顶点相同，角的两边互为反向延长线. 形成的角也
在 不 断 变
定义总结 化，但是这
师生活动：教师引导学生总结并填空. 些角之间存在不变的位
置关系，这
就引出了邻
补角和对顶
角.在学生
教师追问：∠1的邻补角有哪些？
阐 述 观 点
预测学生能看图回答出来∠2，∠3.
时，引导学
生用几何语
言 规 范 表
达，帮助学
生更好的学
习概念与运
用 几 何 语
学生先独立思考，然后请学生 言.
代表回答，教师引导学生说出
判断的理由，并给予恰当评
教师追问：∠1的对顶角是哪个角？
析，帮助他们形成正确认知.
预测学生能根据图答出∠2.
学生先独立思考，然后请学生
代表回答，教师引导学生说出
判断的理由，并总结：遇到角
的辨析，需要抓住定义做题.
例题精析
例1下列各图中，∠1与∠2是对顶角
的是( )
学生先独立解答，然后请学生 结合图形描
回答，教师给予恰当评析，肯 述邻补角和
定学生的成绩，对出现的疑问 对顶角的概
给予鼓励，帮助他们形成正确 念，这样描
认知. 述，便于学
例2下列各图中，∠1与∠2是邻补角
生在图形中
的是( )
辨认，教学
时要引导学
生抓住概念
的本质，教
会学生如何
学生画图. 在图形中辨
认它们.再
练习：如图所示，三条直线两两相
通过追问巩
交，你能说出图中所有的对顶角、邻
固概念，纠
补角吗？
正错误.
通过辨别，
进一步巩固
对顶角的知
识，起到查
位置关系： 漏补缺的作
1.∠1和∠2有公共顶点O 用.
2.两边互为反向延长线.
通过练习，
进一步巩固
师：【画一画】请动手画出两条直
邻补角的知
线，直线AB和直线CD，交于点O.
识，总结角
生：∠3与∠4 的辨析题的
做题方法，
生：∠1=∠2 让学生加深1.可以用度量法度量. 对定义的把
握.
通过三条直
线相交这种
较为复杂的
模型，提高
学 生 思 维
思考:观察你所画图形,其中∠1和∠2
度，加深对
的位置有什么关系？
学生在教师的引导下总结归纳. 顶角、邻补
角的概念的
师：直线AB与CD相交于点O，∠1
理解.
与∠2有公共顶点O，它们的两边互
为反向延长线，这样的两个角叫做对
顶角.
思考:图中还有其它的角构成对顶角
学生思考回答
吗？
∠1+∠3=180°
思考:观察你所画图形,其中∠1和∠2
的大小有什么关系？为什么？
师：我们也可以用推理法
因为∠AOB和∠COD都是平角，
让学生学习
所以∠2+∠3=180°，∠1+∠3=180°，
补交和余角
所以∠2=180-∠3，∠1=180-∠3， 的概念，同
所以∠2=∠1. 时对两个概
师：对顶角有什么性质？ 念 进 行 辨
析，从位置
【总结归纳】判断对顶角方法：1.有 生：∠2与∠3，∠2与∠4， 和大小的关
公共的顶点.2.角的两边互为反向延长 ∠1与∠4 系入手.
线.
理解对顶角需要注意的三点： 如果两个角的和是90°，
1.对顶角是成对出现的，不能单独说 那么称这两个角互为余角.
一个角是对顶角. 让学生用自
2.对顶角反映两角相等的数量关系. 己的语言表
达性质，培
3.对顶角还反映两角的位置关系.
养学生的归
思考:观察你所画图形,其中∠1和∠3
纳能力，最
的大小有什么关系？
后渗透对几
何语言的应
用，培养学
生的推理能
力.
通过生活实
师：如果两个角的和是180°，那么称
例，增强学
这两个角互为补角. 生的学习兴
图中还有其他的角也构成互为补角的 趣.
关系吗？
【思考】如果两个角的和是90°，那么
这两角有什么关系？
进一步理解
余角和补角
的关系。概学生思考回答问题. 括归纳得到
猜 想 和 规
律，并加以
验证，是创
∠3=∠4 新的重要方
因为∠1=∠2，∠1+∠3=90°, 法.通过生
注意： ∠2+∠4=90°，所以∠3=∠4. 动有趣的活
互余与互补是指两个角之间的数量关 动情景，为
系，与它们的位置无关. 学生提供了
观 察 、 操
如图，打台球时，选择适当的方向用 作、推理、
白球击打红球，反弹后的红球会直接 交流等丰富
入袋，此时∠1=∠2. 的 数 学 活
动，使学生
在自主学习
的过程中，
掌握“同角
或者等角的
补 角 相
等.”“同
将上图简化成下图，ON与DC交于点 角或者等角
O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2. 的 余 角 相
等.”并能
够用自己的
语言说出简
单推理.同
学生在教师的引导下总结归纳. 时发散学生
思维，让学
生尽可能用
小组合作交流，解决下列问题： 多种方法来
问题1：哪些角互为补角？哪些角互 说明自己猜
为余角？ 测 的 正 确
∠NOD 与∠NOC 互为补角，∠1 与 性，培养学
∠AOC互为补角， 生合情说理
∠2 与∠BOD 互为补角，∠2 与 的能力.
∠AOC互为补角， 紧扣本节课
∠3与∠1互为余角，∠4与∠2互为 主线，让学
生熟练的发
余角，
现剪刀中的
∠3与∠2互为余角，∠4与∠1互为
数学模型，
余角，
并经历“观
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什
学生动手操作，观察并小组讨 察——猜想
么？
论，然后小组代表发言，汇报 — — 验 证
讨论结果.预测学生可得出： ——总结”
问题 3：∠AOC 与∠BOD 有什么关
∠1=∠3，∠1+∠2=180°. 的 研 究 过
系？为什么？
程，提高学
∠AOC=∠BOD
生的探索能
因为∠1=∠2，∠1+∠AOC=180°,
力与精神.
∠2+∠BOD=180°，
基于以上证明，教师引导学生
所以∠AOC=∠BOD.
总结：对顶角相等.
你能得到什么结论？
让学生了解
同角(等角)的补角相等
几何语言的
【总结归纳】 书写要求，
文字语言：同角或等角的余角相等 综合提升学
几何语言： 生 对 邻 补
∵∠1+∠3=90º∠2+∠4=90º 角、对顶角
且∠1=∠2∴∠3=∠4 概 念 的 理解，以及对
文字语言：同角或等角的补角相等 对顶角相等
几何语言： 的性质的掌
∵∠1+∠AOC=180º， 握.通过分
∠2+∠DOB=180º，∠1=∠2 析与总结，
∴∠AOC=∠DOB 学生独立思考与解答，学生代 教会学生方
表发言，教师根据学生发言完 法，帮助学
成板书： 生理清解题
解：由邻补角的定义，得 思路.
思考：紧握这把剪刀的把手去剪纸， ∠2=180°-∠1=180°-40°=140°；
就能剪开纸片，在此过程中，剪刀的 由对顶角相等，得
张角发生了改变，而在改变过程中又 ∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.
有什么是不变的？
教师追问：如何证明猜想是否成立？
学生思考并发言说出自己的方法，教
师可适时点拨学生：运用量角器测量
或几何推导证明.
学生小组合作，分别用这两种方法验
证猜想，在教师的指导下填写表格并
完成几何推导证明（如下）：
方法一：量角器测量各个角的度数： 学生看图回答
方法二：几何推导证明：
因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补
（邻补角的定义），
所以∠1=∠3（同角的补角相等）.
例3如图所示，直线a，b相交，
∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数.
通过动手测
学生观察图片，思考两条直线 量得到数量
的位置关系。 关系。
师生活动：
教师以此例题为例引导学生分析这类
题目的解题思路：
思考：相交还会有哪些情况？ 通过例题巩
在我们的身边随处可见“直线”的形 师生活动：学生独立思考解答 固邻补角和
象,其中有一些直线之间还具有特殊的 问题(1)； 对顶角的性
位置关系,请同学们观察下面三幅图片, 质，从而求
你能找出其中相交的直线吗?它们有什 观察木条位置关系，经过独立 解。
么特殊的位置关系?说说看. 思考和小组讨论，选派代表解
情境1：生活中的直线 答问题(2)，
预设：当∠α为90°的位置关系
只有一个；学生在教师的引导下共同总结
此时两根木条的位置关系——a
与b垂直，记作a⊥b.
通过生活实
情境2：全红婵跳水
际场景理解
我们用直线a表示水平线，用另一条
两条直线的
直线b表示运动员入水时人体所在的
位置关系。
直线
通过三个情
外国 外国 中国 教师讲解垂直的概念和数学语 境，引入两
选手 选手 选手 言，学生理解。 条直线相交
的 位 置 关
系。
b b b
a a a 让学生用自
图1 图2 图3 己的语言表
情境3：取两根木条a、b，将它们钉 达性质，培
在一起，固定木条 a，转动木条 b， 养学生的归
a、b所成的夹角α. 纳能力，最
后渗透对几
何语言的应
用，培养学
学生独立思考后，在教师的引 生的推理能
导下，学习垂线的画法(把直尺 力.
放在直线l的位置，再把直角
三角尺的一条直角边靠在直尺
转动木条的同时观察其夹角的变化. 上，最后沿着直角三角尺的另 紧扣本节课
师生活动：教师做示范，这里只让学 一条边画出直线)，作图后回答 主线，让学
生作图中，
生拿出事先准备好的木架，保证课堂 问题.
并经历“观
安全；学生跟随教师一起拨动木架，
察——猜想
转动木条的同时观察其夹角的变化.
— — 验 证
探究1
——总结”
(1)当∠α分别为35°、90°时，其余的
的 研 究 过
角分别是多少？
程，提高学
(2)当∠α为90°的位置关系有几个？此
生的探索能
时，木条a和木条b所在的直线有什
力和归纳总
么样的位置关系？
结能力.
学生回答：无数条.
通过解决实
际问题，培
养学生的抽
象能力，感
受所学在实
际生活中的
总结：两条直线互相垂直，其中的一
应用，发展
条直线叫做另外一条直线的垂线.
应用意识和
学生回答：一条.
实践能力.
这里设置了
一些实践问
题，探究活
注意：1.“过一点”中的点，
动二中相同
可以在已知直线上，也可以在
的问题可以
记法：AB⊥CD，垂足为O. 已知直线外；
借助不同的
2.“有且只有”中，“有”指
工具，不同符号语言： 存在，“只有”指唯一性. 的方法来解
因为∠AOC=90°， 决，让学生
所以AB⊥CD. 的思维得到
学生回答：一条. 充分发散，
探究2 引导学生透
(1)画已知直线l的垂线能画几条? 过现象看本
质 ． 通 过
(2)过直线l上的一点A画l的垂线，这
画、折等活
样的垂线能画几条?
动，进一步
(3)过直线l外的一点B画l的垂线，这
学生动手画图 丰富对两条
样的垂线能画几条?
直线互相垂
直的认识，
掌握有关的
(1)如图，已知直线l，画l的垂线.
符号表示．
让学生在经
历思考、实
践、猜想，
动手验证等
过程时，不
仅 加 深 对
“垂直”的
追问1问题：这样画l的垂线可以画几
理解，而且
条？
拓展垂线的画法 感受到“做
数学“的乐
(2)如图，已知直线l和l上的一点A，
趣，从而享
过点A画l的垂线.
受到成功的
学生独立思考并完成作图；对 喜悦．
题(2)有困难的学生，教师可适
当提示——线段的垂线，垂足
可能落在线段的延长线上.
追问2问题：这样画l的垂线可以画几
条？
(3)如图，已知直线l和l外的一点M，
过点M画l的垂线.
学生在教师的引导下，根据实
通过动手实
际问题，转化成点到直线的距
践，理解垂
离问题；学生独立思考完成画
线的画法和
图，并用直尺测量；小组讨
条数，理解
论，选代表回答讨论的发现，
垂线段最短
师生共同完成总结.
追问3问题：这样画l的垂线可以画几 的事实。
条？
基本事实：在同一平面内，过一点有
且只有一条直线与已知直线垂直.
你能借助三角尺在一张白纸上画出两
条互相垂直的直线吗？
预设1：运用直尺测量发现，
用数学知识
线段PO的长度最短.
解释生活中
预设2：这样的线段PO只有一
的实际问题
条.
(2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
对知识进行
巩固练习，
使学生对知
识 加 深 理
解，以便于
教师及时了
(3)你能用折纸的方法折出互相垂直的 解学生对本
直线吗？试试看！ 节课内容的
掌握情况.
分辨距离的概念，学会找点到
直线的距离。
例4过点P画出射线AB或线段AB的
垂线．
思考：在灌溉时，要把河中的水引到
农田P处，如何挖掘能使渠道最短？
请转化成数学问题并找出最短的位置.
形成对“三
线八角”图
形的基本认
识。
通过画图，
进一步巩固
学生独立思考，自己完成一遍 对同位角位
作图，仔细观察得出结果. 置关系的理
总结：连接直线外一点与直线上各点 预设：三条线共构成 8 个角 解，并总结
的所有线段中，垂线段最短． （教师总结，这简称“三线八 出 图 形 特
简单说成：垂线段最短． 角”）. 征，提高解
线段PO的长度叫做点到直线的距离. 题技巧.通
过 动 手 画
思考：你知道体育课上老师是怎样测 图，可以加
量跳远成绩的吗？你能说说其中的道 深学生对知
理吗? 识的理解，
能更好的关
学生独立思考并作答，教师顺 注知识的形
势指出，有这类位置关系的两 成过程，这
个角，互为同位角； 也是促使学
教师在黑板上画出仅含∠1与 生认真审题
∠5的图形，并让学生指出图 的 重 要 策
中的同位角还有哪些； 略.比较线
学生独立思考，小组讨论后， 段的大小，
因为直线外一点到这条直线的垂线段
总结答案. 是学生能轻
的长度才是点到直线的距离.
松解决的问
题，他们在
练习：如图，下列说法正确的是（）
动 手 操 作
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
学生独立思考完成作图，选几 中，很容易
B.线段AB的长度叫做点A到直线BC 得出结论，的距离 名学生板书他们认为的同位 轻而易举地
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC 角，教师从旁指点纠正，顺势 掌握这一重
的距离 引导学生观察这些同位角的共 要性质.
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC 同点.
的距离
第 一 个 图
形 ： 同 位
角，利用字
母F让学生
对三条直线相交分为两种情况： 进行形象记
（1）三条直线交于一点； 学生独立思考，选学生回答问 忆。
（2）两条直线被第三条直线所截．
题，其他学生判断正误.
截线：l被截直线：a，b
l
l
a a
b b 学生独立思考回答填空，教师 第 二 个 图
顺势指出，有这类位置关系的 形 ： 内 错
两个角，互为内错角； 角，利用字
若再添加一条直线，即直线 EF被第 教师在黑板上画出仅含∠3与 母Z让学生
三条直线CD所截，构成了几个角？ ∠5的图形，并让学生指出图 进行形象记
有什么特点？ 中的内错角还有哪些； 忆。
学生独立思考，小组讨论后，
总结答案.
培养学生自
主学习的习
学生独立思考完成作图，选几 惯，在动手
名学生板书他们认为的同位 实践中得出
角，教师从旁指点纠正，顺势 探究答案；
探究1 引导学生观察这些同位角的共 提高作图能
观察∠1与∠5的位置关系：
同点. 力、发展实
践能力.
①在直线AB、CD的（同一方/上方）
通过画图，
②在直线EF的（同侧/右侧）
进一步巩固
学生独立思考，选学生回答问 对内错角位
题，其他学生判断正误. 置关系的理
解，并总结
出 图 形 特
学生独立思考回答填空，教师 征，提高解
自己动手画一画几组同位角. 顺势指出，有这类位置关系的 题技巧.
两个角，互为同旁内角；
教师在黑板上画出仅含∠4与 第 三 个 图
∠5的图形，并让学生指出图 形：同旁内
角，利用字
中的同旁内角还有哪些；
学生独立思考，小组讨论后， 母 U 让 学
总结答案. 生进行形象
记忆。
图形特征：在形如字母“F”的图形
中有同位角.
学生独立思考完成作图，选几
名学生板书他们认为的同旁内
角，教师从旁指点纠正，顺势
引导学生观察这些同位角的共例5下列图形中，∠1和∠2是同位角 同点.
的有( )
通过图表，
1 1
1 帮助学生梳
2 2 理同位角、
2
内错角、同
(1) (2) (3) 学生思考回答 旁内角的位
A.(1)，(2) B.(3)，(4) 置关系及其
C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3)，(4) 图形特征
探究2
观察∠3与∠5的位置关系：
学生独立思考，共同完成表格.
①在直线AB、CD（之间）
②在直线EF的（两侧）
自己动手画一画几组内错角.
学生独立思考解答问题.
在教师的引
导下，学生
图形特征：在形如字母“Z”的图形中 自主对本节
有内错角. 课的所学内
容进行归纳
例6如图，与∠1是内错角的是（ ） 小结，使所
学的知识及
时的纳入学
1 生的认知结
2 3
构.
4 5
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5 学生回顾总结学习收获，归纳 对知识进行
本节课所学知识，教师系统归 巩固练习，
探究3 纳. 使学生对知
观察∠4与∠5的位置关系： 识 加 深 理
①在直线AB、CD（之间） 解，以便于
②在直线EF的（同一旁/右侧） 教师及时了
解学生对本
节课内容的
掌握情况.
自己动手画一画几组同旁内角.
学生认真做课堂练习.通过课堂
习题练习，进一步理解并掌握
新知.
图形特征：在形如字母“U”的图形
中有同旁内角.
例7下列图形中，∠1和∠2是同旁内
角的有（ ）归纳总结
例8如图，直线DE，BC被直线AB所
截.
A
F 4
D E
2 3
B 1 C
(1)∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4
各是什么关系的角？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等
吗？∠1与∠3互补吗？为什么？
课堂总结
这节课你学到了什么？
1.邻补角、对顶角的定义和性质
2余角、补角及其性质
(1)如果两个角的和为 90°，那么称这
两个角互为余角；如果两个角的和为
180°，那么称这两个角互为补角.
(2)性质：同角或等角的补角相等，同
角或等角的补角相等.
3.垂线的定义和性质
4.垂线的画法
5.点到直线的距离
6.同位角、内错角、同旁内角的定义
和识别
课后练习
1.下列说法正确的是( D )
A.互补的两个角是邻补角
B.相等的角是对顶角
C.有公共边的两个角互为邻补角
D.两边互为反向延长线的角是对顶角
2.下面四个图形中，∠1＝∠2一定成
立的是( B )
3.如图，直线AB与CD相交于点O，
∠AOE＝90°，则∠1和∠2的关系是(
C )A．相等 B．互补
C．互余 D．无法判断
4.在下列条件中：①两直线相交所成
的四个角都是直角；②两直线相交，
对顶角互补；③两直线相交所成的四
个角都相等，可以判定两条直线互相
垂直的是（ ）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
5.如图，下列说法错误的是( )
2
1
3
5
4 6
A.∠2和∠6是同位角
B.∠3和∠4是内错角
C.∠1和∠3是对顶角
D.∠3和∠5是同旁内角
6.如图，直线AB和CD交于点O，OD
平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为O，
∠AOC=40°，则∠EOF=_____.
7.结合下图，请你回答下列问题：
（1）∠2和∠5是直线a和直线b被
直线___所截得到的一对______角.
（2）∠4和∠8是直线__和直线__被
直线___所截得到的一对______角.
（3）∠6的同位角有______,
∠6的内错角有：_______,
∠6的同旁内角有：_______.
（4）直线a、直线b被直线c所截得
到的同位角有：_____________,内错
角有______________,同旁内角有
_________________8.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数
比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的
度数．
解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B
＝90°.
又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还
多30°，∴设∠B＝x，
∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，
∴3x＋30°＋x＝90°，
解得x＝15°，故∠B的度数为15°.
9.如图，∠1与∠2、∠3与∠4各是哪
两条直线被一条直线所截而形成的什
么角？
A A
B B
2 1 3
1 3 4 4 2
D （1） C D （2） C
10.在下图中，花坛转角（红色标注的
角）按图纸要求为 135°，施工结束
后，要求你检测它是否合格？请你设
计检测的方法.
11.如图，平原上有A，B，C，D四个
村庄，为解决当地缺水问题，政府准
备修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄
水池M点的位置，使它到四个村庄距
离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池M中，怎样
开渠最短并说明根据.
观察下列图片，你有什么发现？ 通过图片引
入，提高学
生学习的积
活动二：
极性.
平行线的
概念及其
判定学生观察，思考问题
思考：分别将木条a、b与木条c钉在
一起，并想象成两端可以无限延伸的
学生通过动
三条直线.转动a，直线a从在c的左侧
手操作，激
与直线b相交逐步变为在右侧与b相
发学习的积
交.在这个过程中，有没有直线a与直
极性，更好
线b不相交的位置呢？
的 进 入 课
堂.
学生理解平行线的定义和符号
平行线定义:在木条转动过程中，存在 语言
一条直线a与直线b不相交的情形，
这时我们说直线a与b互相平行，记
作“a∥b”.在同一平面内，不相交的
两条直线叫做平行线. 解：线段不相交，延长后不一
定不相交，(1)错误；
同一平面内，直线只有平行和
相交两种位置关系，(2)(4)正
确，(5)错误；
线段是有长度的，不平行也可
思考：下列说法中正确的有：
以不相交，(3)错误.
．
正确的有：（2）（4）
(1) 在同一平面内，不相交的两条线
段必平行；
(2) 在同一平面内，不相交的两条直
线必平行；
(3) 在同一平面内，不平行的两条线
段必相交；
(4) 在同一平面内，不平行的两条直
线必相交；
(5) 在同一平面内，两条直线的位置 学生通过自
关系有三种：平行、相交和垂直. 己 解 决 问
学生根据提示画平行线，并总
题，充分发
结出画法.
挥学习的主
动性，同时
也培养了学
生归纳问题
的能力.
我们可以借助三角尺和直尺画平行
线，如上图，保持直尺不懂，沿直尺
推动三角尺，分别画直线a,b，则 学生通过自
学生动手画平行线，教师指导
a∥b. 己 解 决 问
你能总结以上画图的主要步骤吗？ 题，充分发
放：将三角尺放在直线上 挥学习的主
靠：将直尺靠在三角尺上 动性，同时
推：将三角尺紧靠直尺上下推动 也培养了学
画：沿三角尺画出直线 生归纳问题
的能力.例1.如图，过P点作PQ∥AB交BC
于Q，作PM∥AC交AB于M. 充分发挥学
习 的 主 动
性，同时也
培养了学生
归纳问题的
能力
学生解答，教师给予提示，归
纳出平行公理推论.
思考：过点B画直线a的平行线，你
能画出几条？过点C呢？ 让学生体验
过点B画直线a的平行线c，过点C 学有所用，
提高学习的
画直线a的平行线d，则直线c与d有
兴趣
什么位置关系？
一般地，过直线外一点有且仅有一条
直线与这条直线平行.
如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行.
平行公理：经过直线外一点，有且只
有一条直线与这条直线平行.
让学生体验
学有所用，
平行公理中强调“直线外一点”，因 提高学习的
为若点在直线上， 兴趣
不可能有平行线；“有且只有”强调
这样的直线是存在的，
也是唯一的.
平行公理的推论(平行线的传递性)：
如果两条直线都与第三条直线平行，
培养学生解
那么这两条直线互相平行.
决问题的能
力.
学生回答，教师订正：B
练习1.a，b，c是平面内任意三条直
线，交点可以有( ) 让学生体会
A．1个或2个或3个 学有所用，
B．0个或1个或2个或3个 增强其成就
C．1个或2个
感.培养了
学生归纳问
D．以上都不对
题的能力.练习2.过点M画PQ∥AB.
学生思考回答：
当木条a与墙壁的边缘所夹的
角为90°时，才能使木条a与木
条b平行.
如图,装修工人正在向墙上钉木条，如
果木条b与墙壁的边缘垂直，那么木
条a与墙壁的边缘所夹的角为多少度
时，才能使木条a与木条b平行？
b b
墙壁 墙壁
a a
通过木条的
转动，观察
∠1和∠2
的大小关
系，猜想平
行的判定方
通过转动的木条探究同位角满足什么 学生活动：学生通过转动手中
法。
关系时，可以得出两直线平行的结论. 的教具，感受动态的过程，在
如图，三根木条相交成∠1，∠2，固 动态的过程中进行分析.
定木条b，c，转动木条a
学生观察并回答：
当∠1＞∠2时,a和b不平行.
当∠1＝∠2时,a∥b.
当∠1＜∠2时,a和b不平行.
学以致用，
转动木条a的过程中∠2的大小发生变
理解通过同
化，会出现三种状态，分析可以得出
位角判定直
结果.
线平行的方
法。
理解平行的判定定理1，学会
符号语言的书写。
归纳总结
两条直线被第三条直线所截，如果同
位角相等，那么两直线平行.
简称为：同位角相等，两直线平行.
语言和几何语言.
教师讲解，学生理解
几何语言：
12(已知)
a//b(同位角相等，两直线平行)例 1. 如 图 所 示 , 已 知 直 线
CE,∠1=130°,∠A=50°,求证AB∥CD.
证明:∵CE是一条直线(已知),
∴∠1+∠2=180°( 平角的定义).
∵∠1=130°(已知),
∴∠2=50°(等式的性质).
又∵∠A=50°(已知),
∴∠2=∠A(等量代换).
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
学生解答
锻炼学生的
例2.如图所示,∠1和∠D互余,CF⊥DF
逻辑思维能
于F,则AB与CD平行吗?说明理由.
力以及对于
解:AB∥CD.
注意括号内判定定理的书写 几何证明的
理由如下:∵CF⊥DF,
书写格式。
∴∠CFD=90°.
∵∠1+∠CFD+∠2=180°,
∴∠1+∠2=90°,
∵∠1与∠D互余,
∴∠1+∠D=90°, 证明:∵∠1与∠2互补(已知),
∴∠2=∠D, ∴∠1+∠2=180°(互补的定义),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). ∴∠1=180°-∠2(等式的性质).
∵∠3+∠2=180°(平角的定义),
∴∠3=180°-∠2(等式的性质),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平
行).
练习1.如图如果∠1=∠2，那么哪两条 应用格式：
直线平行？为什么？ ∵∠1+∠2=180°(已知)
E ∴a∥b（同旁内角互补，两直
线平行）
1
A B
3
4 可 用 上 图 来 表 示 ：
C D
2 ∠CFE=45°，∠BEF=45°．
F 因为∠BEF与∠FEA组成一个
平角，
练习2.已知:如图所示,∠1和∠2是直
所 以 ∠ FEA=180° －
线a,b被直线c截出的同旁内角,
∠ BEF=180° － 45°=135° ． 而
且∠1与∠2互补.求证:a∥b.
∠CFE与∠FEA是同旁内角．
且这两个角的和为180°，因此
可知：CD∥AB．
思考：我们可以用右图的方法作出平
行线，你能说说其中的道理吗？解：当1=2时，a//b.理由如
下： 理解利用转
如图，∵1=2(已知)， 化思想，将
2=4(对顶角相等)， 内错角转化
∴1=4(等量代换). 为同位角，
从而得到平
∴a//b(同位角相等，两直线平
行线的判定
行）.
定理2.
抛出问题，
引导学生合
作交流，运
用已学的知
识去推导出
思考：两条直线被第三条直线所截， 平行线的判
同时得到同位角、内错角和同旁内 定方法二，
角，由同位角相等，可以判定两条直 让学生说出
线平行，能否利用内错角或同旁内角 学生思考并解答问题.引导学生 自 己 的 想
来判定两条直线平行呢？ 说出推理的依据正是平行线的 法，教师指
问题：如图，直线a，b被直线c所截. 判定方法1和判定方法2. 导学生形成
内错角1与2满足什么条件时，能 答：解：当1与3互补时， 数学语言，
得出a//b？ a//b. 培养学生的
理由如下： 逻辑推理思
∵如图，1与3互补(已知)， 维.
4与3互补(邻补角互补)，
∴1=4(同角的补角相等).
∴a//b(同位角相等，两直线平
教师再次提出问题，学生思考并解答 行).
问题.引导学生说出推理的依据正是判
定方法1.
归纳：平行线的判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内
错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
几何语言： 答：当1与3互补时，a//b.
通过一题多
∵∠1=∠2(已知)， 理由如下：
证,多种思
∴a∥b(内错角相等，两直线平行). ∵如图，1与3互补(已知)，
路 分 析 事
2与3互补(邻补角互补)，
物,培养学
∴1=2(同角的补角相等).
生思维的多
∴a//b(内错角相等，两直线平
样性.让学
行).
生在这个过
程中深刻理
解运用转化
思考：如图，直线a，b被直线c所截.
解决问题的
同旁内角1与3满足什么条件时， 教师引导学生先根据条件和结
思想,进一
能得出a//b？ 论画出几何图形，学生踊跃回
步培养学生
答结论之后，引导学生运用多
逻辑推理能
种方法解决问题的同时，鼓励
力.
学生写出像如下的推理过程.
尝试书写证明过程,然后相互交
流各自的做法,教师巡视检查,适
时点拨,帮助后进学生完成,学生
本题意渗透
追问：还有其他证明方法吗？ 完成后及时点评,再把学生中典 简单逻辑推
型的问题收集投影展示: 理的思想，归纳：平行线的判定方法3 可以有效的
两条直线被第三条直线所截，如果同 巩固学生对
旁内角互补，那么这两条直线平行. 平行线三种
简单说成：同旁内角互补，两直线平 判定方法的
行. 认识,增强
几何语言： 方法二： 三种判定方
∵∠1+∠3=180°(已知)， 这两条直线平行.理由如下: 法的联系，
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行). 如图,.∵b⊥a， 让学生在交
∴∠1=90°. 流中逐步培
同理∠2=90°, 养学生的逻
∴∠1+∠2=180°. 辑 推 理 能
∵∠1和∠2是同旁内角,
力.
∴b∥c(同旁内角互补，两直线
平行).
思考：在同一平面内，如果两条直线
都垂直于同一条直线，那么这两条直
线平行吗?为什么?
分析：垂直总与直角联系在一起，进
而可以用相应角的关系来判断两条直
线是否平行.
方法三：
方法一：解:这两条直线平行.理由如 这两条直线平行.理由如下: 回顾学过的
下: 知识，总结
如图,∵b⊥a，
如图,∵b⊥a， 本节内容，
∴∠1=90°.
∴∠1=90°. 提高学生的
同理∠2=90°，
同理∠2=90°， 归纳以及语
∴∠1=∠2.
∴∠1=∠2. 言 表 达 能
∵∠1和∠2是内错角，
又∠1和∠2是同位角， 力.
∴b∥c(内错角相等，两直线平
∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
行).
在教师的引
导下，学生
自主对本节
课的所学内
容进行归纳
小结，使所
学的知识及
时的纳入学
追问：还有其他证明方法吗？
生的认知结
教师和学生一起回顾本节课所 构.
讲的内容.
例3.如图，下列说法错误的是( )
通过这几道
题目来反馈
学生对本节
所学知识的
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
掌握程度，
B．若∠1＝∠2，则a∥c
落实基础.
C．若∠3＝∠2，则b∥c
学生刚刚接
D．若∠3＋∠4＝180°，则a∥c
触到新的知
解：根据平行线的判定方法进行 学生自主解答，教师讲解答案.
识需要一个
推理论证．A 选项中，若 a∥b，
过程，也就
b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正 答案：B 是对新知识
确；B选项中，若∠1＝∠2，则a∥c， 从不熟悉到
利用了“内错角相等，两直线平 熟 练 的 过
行”，正确；C选项中，∠3＝∠2， 程，无论是
不能判断b∥c，错误；D选项中，若 基 础 的 习
∠3＋∠4＝180°，则 a∥c，利用了 题，还是变“同旁内角互补，两直线平行”，正 式强化，都
确．故选C. 要以学生理
方法总结：解决此类问题的关键是识 答案：B 解透彻为最
别截线和被截线，找准同位角、内错 终目标.
角和同旁内角，从而判断出哪两条直
线是平行的．
课堂小结
1. 本节课你学到了什么？
2. 平行线的定义是什么？
3. 如何画平行线？
4. 如何判定两条直线是平行线？
当堂练习
1.在同一平面内，下列说法中，错误
的是( )
A．过两点有且只有一条直线
答案：B
B．过一点有无数条直线与已知直线
平行
C．过直线外一点有且只有一条直线
与已知直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直
答案：C
2.如图，直线a，b被直线c所截，∠1
与∠2的位置关系是( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．对顶角
答案：C
3.如图，直线AD、BE被直线BF和
AC所截，则∠1的同位角和∠5的内
错角分别是( )
答：解：再度量∠3 或∠4 或
∠5的度数，就可以判断两条
钢轨是否平行.理由：
当∠3是直角时，∵∠2=90°，
∴∠2+∠3=180°，
A.∠4，∠2B.∠2，∠6
∴两条钢轨平行（同旁内角互
C.∠5，∠4D.∠2，∠4
补，两直线平行）；
4.如图所示,点E在AC的延长线上,下 当∠4是直角时，∵∠2=90°，
列条件中能判断AB∥CD的是 ∴∠2=∠4，
( ) ∴两条钢轨平行（同位角相
等，两直线平行）；
当∠5是直角时，∵∠2=90°，
∴∠2=∠5，
∴两条钢轨平行（内错角相等，两直线平行）.
A.∠3=∠4
B.∠D=∠DCE
C.∠1=∠2
D.∠D+∠ACD=180°
5. 如 图 所 示 , 已 知 ∠ 1=70°, 要 使
AB∥CD,则需具备另一个条件 (
)
A. ∠2=70° B.∠2=100°
C.∠2=110° D.∠3=110°
6.在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互
相平行的.如图，已知∠2是直角，要
判断两条钢轨是否平行，只需要再度
量图中标出的哪个角?为什么?
世界著名的意大利比萨斜塔，建于公元 学生思考回答问题. 通过趣味题
1173年，为８层圆柱形建筑，全部用白 导入,激发
色大理石砌成塔高54.5米．目前，它与 学生的探究
地面所成的较小的角为∠1=85º，它与地 知 识 的 欲
面所成的较大的角是多少度？ 望,点燃学
生思维的火
花,使其进
入最佳的学
习状态.
活动三：
平行线的
性质
学生在自学
的过程中,
理解平行线
学生回答
的性质,并
明确两直线
平行的性质
思考：平行线的判定方法是什么？
定理“两直
1.同位角相等，两直线平行 启发学生思考
线平行,同2.内错角相等，两直线平行 位角相等”
3.同旁内角互补，两直线平行 是推理论证
想一想：反过来,如果两条直线平行,同位 后面两个性
角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 质定理的基
础;“同位
角相等”是
在“两直线
平行”的前
提下才成立
的,是平行
线特有的性
如图，直线a与直线b平行. 质.要避免
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它 一提到同位
们有什么关系？图中还有其他同位角 角就以为其
吗？它们的大小有什么关系？ 相 等 的 错
（2）图中有几对内错角？它们的大小有 误.
什么关系？为什么？
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小
有什么关系？为什么？
（4）换另一组平行线试试，你能得到相
学生测量填表，猜想结论
同的结论吗？
活动1、先测量角的度数,把结果填入表 在前面复习
内. 引入的基础
上,通过学
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠
已知:如图所示,直线a∥b,∠1和
生的观察、
度数 ∠2是直线a,b被直线c所截出
分 析 、 讨
的同位角.求证:∠1=∠2. 论,此时学
生已能够进
同位角相等，两直线平行反过来你能得
行推理,在
到什么？
这里教师不
两直线平行，同位角相等
必 包 办 代
你能否发现定理的条件是什么?
替,而应充
两条平行直线被第三条直线所截.
分调动学生
结论是什么?
的主动性和
同位角相等.
积极性,进
证明命题,要先把命题的文字语言转化成
而培养学生
几何图形和符号语言.
分析问题的
所以根据题意,可以把这个文字证明题转 能力,在学
化为下列形式. 在完成“两直线平行,同位角相 生有成就感
等”的证明后,要求学生自主证
的同时也激
如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会 明“两直线平行,内错角相等” 励了学生的
怎样呢？ “两直线平行,同旁内角互补”, 学习兴趣.
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过 然后将学生的证明过程整理出
点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图 来,与教材中的进行对比,感受证
2所示. 明的过程和规范格式.通过对平 在教师的引
根据“同位角相等，两直线平行”，可 行线性质的探索,使学生对证明 导下，学生
知GH//CD. 的步骤、格式有更进一步的认 自主对本节
又因为AB//CD，这样经过点M存在两 识,认识证明的必要性.引导学生 课的所学内
条直线AB和GH都与直线CD平行. 使用符号语言,充分调动学生的 容进行归纳
这与基本事实“过直线外一点有且只有 主动性和积极性,发展学生的符 小结，使所
学的知识及
一条直线与这条直线平行”相矛盾. 号感.
时的纳入学
这说明∠1≠∠2 的假设不成立，所以
生的认知结
∠1=∠2.
构.使学生对本
节课所学知
识的结构有
一个清晰的
认识，能抓
住重点进行
性质1：两条平行直线被第三条直线所 引导学生分组探究,并明确平行 课后复习．
截，同位角相等． 线的性质定理和判定定理的条 以及通过对
简称：两直线平行，同位角相等． 件和结论正好相反.性质是由条 学习过程的
符号语言： 件“平行”得到结论“角的关 反思，掌握
如图，因为a∥b，(已知) 系”;判定是由条件“角的关 学习与研究
所以∠1＝∠2.(两直线平行，同位角相 系”得到结论“平行”. 的方法，学
会学习，学
等)
会思考．
学生自行尝试解答,小组合作探
两条平行直线被第三条直线所截,同位角
究后,对比不同的解法,并推荐一
是相等的,那么内错角、同旁内角之间有
人回答问题,这样的氛围,激发了
什么关系呢?
学生强烈的学习兴趣.
学生完成证明过程，教师订正
证明：∵l1//l2（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位
怎样利用两直线平行，同位角相等证明 角相等）.
内错角相等. 又∵∠2=∠3（对顶角相等），
已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是 ∴∠l=∠2(等量代换）.
直线l1，l2被直线l截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
性质2：两条平行直线被第三条直线所
截，内错角相等．
简称：两直线平行，内错角相等．
符号语言：
如图，因为a∥b(已知)，
所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相
等).
要点精析：两直线平行是前提，只有在
这个前提下才有内错角相等．
证明：∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角 初步建立平
相等). 行线的性质
∵∠1+∠4=180°(邻补角的定 定理和判定
义), 定理之间的
∴∠2+∠4=180°(等量代换),
联系,初步
怎样利用两直线平行，同位角相等证明 感受互逆的
内错角相等. 思维过程.
（1）已知：如图，直线 l1//l2，∠2和 具体为:在∠4是直线l1，l2被直线l截出的同旁内 判定中,把
角. 角相等或互
求证：∠2+∠4=180°. 补作为判断
两直线是否
平 行 的 前
提,角相等
或互补是已
知,结论是
两 直 线 平
行,则判定
性质3：两条平行直线被第三条直线所 是由“角相
等或互补”
截，同旁内角互补．
比较三个判定定理的异同，注
推 理 论 证
简称：两直线平行，同旁内角互补．
意符号语言的书写
“两直线平
符号语言：
如图，因为a∥b(已知)，
行”.在性
所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内
质中,两直
线平行是条
角互补).
件,结论是
角相等或互
补,性质是
用来说明两
个角相等或
互补的,即
由“两直线
平行”推理
学生板演
论证“角相
等 或 互
解：
补”.
∵a∥b（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，内错
角相等）.
两类定理的比较
∵∠1=46°（已知），
两条直线被第三条直线所截. 对学生中出
∴∠2=46°（等量代换）.
现的不同解
平行线的判定 平行线的性质
条件 结论 条件 结论 法 给 予 肯
解：
同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 定,培养学
法一：∵AB//CD，
内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等 生的解题能
同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 同旁内角互补
∴∠A=∠1=50°.
力.
∵BC//AE，
典例精析 ∴∠C=∠1=50°，
例1.如图，已知直线a∥b，∠1=46°，求 ∠A+∠B=180°
∠2的度数. ∴∠B=180°-∠A=130°.
l
法二：∵BC//AE，
∴∠C=∠1=50°.
a
2 ∵AB//CD，
∴∠A=∠1=50°，
1
b ∠C+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠C=130°.
例 2. 如 图 ， AB//CD ， BC//AE ，
练习是为了
∠1=50°，求∠A，∠B，∠C的度数.
巩固学生所
学生回顾总结学习收获，归纳
学的新知，
本节课所学知识，教师系统归
并让学生学
纳.
会对新知识
的正用、逆
学生独立交流，教师对学生总
用、变形用
结的知识点给予重现．及时解
的能力，加答学生困惑． 强学生的计
1．平行线的三个性质： 算能力和解
两直线平行，同位角相等． 决问题能力
两直线平行，内错角相等． 的培养，同
两直线平行，同旁内角互 时实现了优
补． 等 生 有 事
2．平行线的性质与平行线的 做，学困生
判定的区别． 跟着做的隐
判定：角的关系→平行的关 性 分 层 教
系 学.
课堂总结 性质：平行的关系→角的关
这节课你学到了什么？ 系
从图形中得出结论是图形的性质；而从 3．①公理的得出需要大胆的猜
具备什么条件推理出图形是图形的判
想多形式的验证（度量法、叠
定；特别说明，图形的定义既是图形的
合法、几何证明）.②体会了分
判定，也是图形的性质；
类的数学思想.
课后练习
1.如图所示,由AB∥CD能得到∠1=∠2
学生认真做课堂练习.通过课堂
的是 ( B )
习题练习，进一步理解并掌握
新知.
解:(1)因为 BF,DE 分别平分
∠ABD和∠BDC,
所 以
∠ABD=2∠1,∠BDC=2∠2.
因 为 AB∥ CD, 所 以
∠ABD+∠BDC=180°,
2.如图所示,已知AB∥CD,E是AB上一
即 2∠ 1+2∠ 2=180°, 所 以
点 ,ED 平 分 ∠ BEC 交 CD 于
∠1+∠2=90°.
D,∠BEC=100°,则∠D的度数是 ( D )
(2)因为∠2=40°,
A.100° B.80° C.60° D.50°
由(1)知∠1+∠2=90°,
所以∠1=90°-∠2=50°.
因 为 AB∥ CD, 所 以
∠1+∠3=180°,
所以∠3=180°-∠1=130°.
3. 如 图 所 示 ,AB∥ CD,DB⊥ BC 于
B,∠2=50°,则∠1的度数 ( D )
A.40°B.50° C.60° D.140°
4.如图,已知 AB∥CD,∠ABD 的平分线
BF和∠BDC的平分线 DE交于点 E,BF
交CD于点F.
(1)求∠1+∠2的度数;
(2)若∠2=40°,求∠3的度数.情境引入： 学生理解，思考上述语句的特 让学生初步
2024年春节期间，DeepSeek遭受国家 点。 认识命题,
级网络攻击，服务器多次崩溃或卡 再引导学生
顿，妄图盗取数据和隐私，中国红客 以回答问题
经过83小时建立稳固防御系统. 的形式对命
甲:360安全响应中心第一时间拉响警 题的定义进
报. 行总结,从
乙:岂曰无衣，与子同袍. 感性思维上
丙:DDOS即分布式拒绝服务攻击. 升到理性思
丁:最终以拦截97.2%的美国攻击流量
维,培养学
生自我学习
获胜.
的能力.
戊:我们成功守住了我国AI产业的新
高地.
思考：以上句子各有什么特点？
通过学生对
前面，我们在学习一些新的数学对象
定 义 的 举
时，对它们进行了清晰、明确的描述.
例,加强学
例如：
生对“什么
(1)规定了原点、正方向和单位长度的
是定义”的
直线叫作数轴；
理解.让学
(2)使方程左、右两边的值相等的未知
生从句子特
数的值，叫作方程的解；
点与形式上
(3)从一个角的顶点出发，把这个角分
观察,认识
成两个相等的角的射线，叫作这个角
活动四： 定义.
的平分线；
定义、命
(4)直线外一点到这条直线的垂线段的
题、定理
长度，叫作点到直线的距离.
学习定义的含义
这样的描述称为数学对象的定义.一个
数学对象的定义揭示了它的本质特
征，能够帮助我们准确地理解它，并
作出准确的判断.例如，“数轴”指的
通过对命题
是一条直线，而且这条直线上有规定
与非命题的
的原点、正方向和单位长度；x=2根
辨析,让学
据方程的解的定义，可以判断是方程
生理解命题
2x=3的解.
的特点,进
定义是交流的基础.定义即具有确定含
一步培养学
以上语句都是对一件事情作出
义的语句，它反映了事物最本质的意
“是”或“不是”的判断.
生的能力.
义.
教师强化对
命题特点的
思考：下列语句有什么共同点？ 掌握,也为
1.如果两条直线都与第三条直线平
真、假命题
行，那么这两条直线也互相平行. 的判断打下
2.等式两边加同一个数，结果仍是等 基础.最后
式. 老师提出的
3.对顶角相等. 问题让学生
将本课时所
思考：下列语句有什么共同点？ 学的两个知
1.画线段AB=CD. 识点进行联
2.点P在直线AB外.. 系与拓广.3.对顶角相等吗?
以上语句没有对事情作出“是”或
“不是”的判断，只是对事情进行了描
述. 对命题的结
构 进 行 分
像“对顶角相等”这样判断一件事情 析,让学生
的语句，叫做命题. 会区分一个
注意： 命题的条件
1.只要对一件事情作出了判断，不管 和结论.引
正确与否，都是命题.如：相等的角是 导学生,当
对顶角. 一个命题不
好区分条件
2.如果一个句子没有对某一件事情作
和结论时,
可以先改写
出任何判断，那么它就不是命题.如：
成 “ 如
画线段AB=CD.
果 … … 那
么……”的
思考：下列语句在表述形式上，哪些
形式;但改
是对事情作了判断？
写时不要机
械 地 添 上
哪些没有对事情作出判断？
“如果”和
1、对顶角相等；
“那么”,
2、画一个角等于已知角；
应适当地调
3、两直线平行，同位角相等；
整顺序或补
4、a、b两条直线平行吗？
充 修 饰 词
5、温柔的李明明； (1)指出命题的条件和结论;
语,使改写
6、玫瑰花是动物； (2)命题中哪些是正确的?哪些是
后的语句通
7、若a2＝4，求a的值； 不正确的?你怎么知道它们是不
顺、完整.
8、若a2＝b2，则a＝b. 正确的?在学生回答的基础上进
行总结,给出真命题、假命题的
思考：观察下列命题，他们有何特 概念,以及如何判断一个命题是
征？ 假命题的方法——举出反例.
1、如果两个角是对顶角，那么这两个 学生小组讨论并回答问题，然
角相等. 后仔细听其他同学的发言和老
2、如果a﹥b，b﹥c，那么a=c. 师的讲评.
3、如果等式两边加同一个数，那么结
果仍是等式.
“如果两个角是对顶角，那么这两个
角相等.”此命题分成两部分：
在老师提出问题后，仔细观
察，认真思考，并理解互逆命
题的相关概念.
命题是由题设(或条件)和结论两部分
组成.题设是已知事项，结论是由已知
事项推出的事项.
命题一般都写成“如果…，那么…”
的形式.“如果”后接的部分是题设，
“那么”后接的部分是结论.
如命题：熊猫没有翅膀.改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有
翅膀.
注意：添加“如果”、“那么”后，
命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和 学生在判断
结论更明朗，易于分辨，改写过程 命题的正误
中，要适当增加词语，切不可生搬硬 时主要依据
套. 过 去 的 经
验,教师可
进 一 步 追
问,对于一
个不正确的
命题,还能
怎样判断其
错误呢?教
师应让学生
充分表达自
有些命题如果题设成立，那么结论一
己的判断方
定成立；而有些命题题设成立时，结
法,进而引
论不一定成立.
导 学 生 体
如命题：“如果一个数能被4整除，
会:要说明
那么它也能被2整除”就是一个正确
一个命题是
的命题.如命题：“如果两个角互补，
假命题,通
那么它们是邻补角”就是一个错误的
常举出一个
命题.
反例就可以
正确的命题叫真命题，错误的命题叫
了.
假命题.
确定一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、
推理、举反例等方法. 学生思考作答
×××√√√√
判断下列命题的真假.真的用“√”，
假的用“×表示.
（1）同旁内角互补（）
（2）一个角的补角大于这个角（）
（3）相等的两个角是对顶角（）
（4）两点可以确定一条直线（）
（5）两点之间线段最短（）
（6）同角的余角相等（）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互
相垂直（）
1.真命题必须用推理的方法进行证明.
2.要证明一个假命题，或者说明假命
题是错误的，只需要举出一个具有命
题的条件，而不具有命题的结论的一
个例子，就可以了.简单地说就是举反
例.
数学中有些命题的正确性是人们在长
期实践中总结出来的，并把它们作为
判断其他命题真假的原始依据，这样 同角或等角的补角相等.
的真命题叫做基本事实.
同角或等角的余角相等.
关于直线的基本事实：
对顶角相等.如：两点确定一条直线. 在同一平面内过一点有且只有
关于线段的基本事实： 一条直线与已知直线垂直；
如：两点之间，线段最短. 垂线段最短.
平行公理(基本事实)：
如：经过直线外的一点有且仅有一条
直线与已知直线平行.
有些命题的正确性是经过推理证实
的，这样得到的真命题叫做定理.
通过例题的
定理也可以作为继续推理的依据.
讲解，强化
你能举出几个学过的定理吗？
所学。
1.数学中有些命题的正确性是人们在
长期实践中总结出来的，并把它们作
为判断其他命题真假的原始依据，这
样的真命题叫做公理.
2.公理和定理都可作为判断其他命题
（1）如果几个角是直角，那么
真假的依据.
这几个角都相等
公理和定理的最大区别就是前者不必
（2）如果两条直线都垂直于同
证明，后者必须证明.
一条直线，那么这两条直线平
公理和定理的共同之处：
行
①都是真命题，②都可以作为证明命
（3）如果两个角是同一个角的
题的根据.
余角,那么这两个角相等
典例精析
例1.把下列命题写成“如果…，那
么…”的形式：
(1)直角都相等.
(2)同垂直于一条直线的两条直线平行. 在教师的引
(3)同角的余角相等. 导下，学生
学生回顾总结学习收获，归纳
自主对本节
本节课所学知识，教师系统归
例2.判断下列命题的真假性： 课的所学内
纳.
1.过一点有且只有一条直线与已知直 容进行归纳
小结，使所
线平行.
学的知识及
2.互补的角是邻补角. 学生认真做课堂练习.通过课堂
时的纳入学
3.内错角相等.. 习题练习，进一步理解并掌握
生的认知结
4.两条平行线被第三条直线所截，同 新知.
构.
旁内角的平分线互相垂直. D
这节课你学到了什么？
练习是为了
巩固学生所
B
学的新知，
课后练习
并让学生学
1.下列命题中真命题是（） （1）题设:两条平行线被第三
会对新知识
A.同位角的平分线互相平行B.内错角 条直线所截，结论:同旁内角互 的正用、逆
的平分线互相平行 补 用、变形用
C.同旁内角的平分线互相垂直 （2）题设:a﹥b，b﹥c，结 的能力，加
D.对顶角的平分线互为反向延长线 论:a=c 强学生的计
2.下列关于定理的说法中，正确的是 （3）题设:等式两边加同一个 算能力和解
（） 数，结论:结果仍是等式 决问题能力
A.真命题都是定理B.假命题不是定理 的培养，同
C.真命题不是定理就是公理 时实现了优
D.定理不一定是真命题 等 生 有 事
3.指出下列命题的题设和结论 做，学困生
（1）如果两条平行线被第三条直线所 跟着做的隐
性 分 层 教
截，那么同旁内角互补.
学.
（2）如果a﹥b，b﹥c，那么a=c.（3）如果等式两边加同一个数，那么
结果仍是等式.
4.如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，
CD⊥AB，试说明FG⊥AB的理由.
情境引入： 通过生活中
观察生活中现象，它们是怎么运动 的实例，为
的？ 探究平移的
相关知识做
学生仔细观察，在老师的引导 好铺垫.
归纳出平移的定义.
认识平移的
定义.
学生根据老师的提问回答问题.
什么叫做平移？平移有什么特点？
在同一平面内，将一个图形沿某个方
向移动一定的距离，这样的运动叫做
图形的平移.
平移不改变图形的大小和形状，只是
图形的位置发生变化.
活动五： 讨论：如何判断一个图形变换是不是
答案：一变三不变
平移 平移呢？
一变：位置改变
思考：判断下面几组图形运动是不是
三不变：形状、大小、方向都
平移：
不变．
你还发现生活中的哪些现象是平移运 提高学生对
动？ 平移的理解
学生举例说明，教师点评思考：下面的小船图和金鱼图分别是
怎样运动的？
学生独立完成练习.
它们的运动有什么相同点和不同点？
小船图平移的距离比金鱼图远
一些.
小船图和金鱼图都是向右平移.
理解平移变
先数一数小船图向右平移了几格，再 换中的对应
和同学说说你是怎样数的. 选定小船上的一条线段，数一 点、对应线
画出平行四边形向下平移3格后的图 数线段向右平移了9格，所以 段、对应角
形. 小船图向右平移了9格. 等概念.
选定小船上的一个点，数一数
这个点向右平移了9格，所以
典例精析 小船向右平移了9格.
例1.将图中的平行四边形向下平移3
个单位. 学生作图
总结：在方格纸上画平移图形的方
通过例题理
法：
解在网格纸
（1）找出原图形的关键点（如顶点或
中平移作图
端点）.
的方法。
（2）按要求分别描出各关键点平移后
的对应点.
（3）按原图将各对应点顺次连接.
（4）图形平移后，位置发生了变化，
图形大小、形状和方向没有变化.
例2.如图，平移三角形ABC，使点A
移动到点A，画出平移后的三角形
ABC.
解：如图，连接AA,过点B作
AA的平行线，在线上截取
BB=AA，则点B就是点B的对
应点.类似地，作出点C的对应
点C.最后，连接A、B、C，
得三角形ABC.
（1）在图中任意选一组对应线段，这
两条线段之间有怎样的关系？
答案：平行（或在一条直线上）且相等
（2）在图中任意选一组对应角，这两
个角之间有怎样的关系？
答案：相等
（3）线段AE，BF，CG，DH分别是 归纳平移的
对应点所连成的线段，它们之间有怎 性质.
样的关系？
答案：平行（或在一条直线上）且相 学生认真观察，并理解对应
等 点、对应线段、对应角等相关
追问：你能说一说平移的性质吗？ 概念.
归纳：平移的性质：
一个图形和它经过平移所得的图形
中，对应点所连的线段平行(或在同一
直线上)且相等；对应线段平行(或在
同一直线上)且相等，对应角相等.
学生认真操作，并思考，在老
师的引导下归纳平移的性质.
掌握平移的
要素和平移
的画图步
骤.
例3.下面这个图形的面积是多少？
学生在老师的引导下完成例题
和练习题.
利用平移，人们可以设计出美丽的图
案，许多装饰图案就是利用平移设计
的.
平移后变成一个长方形，面积
不变.
6×4=24（平方厘米）
答：这个图形的面积是24平方 帮助学生加
厘米. 强记忆知
识.
课堂总结
跟着老师回忆知识，并记忆本
在课堂的最后，我们一起来回忆总结 节课的知识.
我们这节课所学的知识点：
1.什么是平移？
答案：在平面内，将一个图形沿某个
方向移动一定的距离，这样的图形运
动称为平移.
2.说一说平移的性质？答案：（1）一个图形和它经过平移所
得的图形中，对应点所连的线段平行
(或在同一直线上)且相等；对应线段
平行(或在同一直线上)且相等，对应
角相等.
（2）平移不改变图形的形状和大小. 借助练习，
检测学生的
3.平移的要素有哪些？
知识掌握程
答案：平移方向和平移距离
度，同时便
4.平移作图的步骤有哪些？
于学生巩固
答案：一定方向；二定距离；三找对
知识.
应点；四连线段
学生自主完成课堂练习，做完
之后班级内交流.
当堂练习
1．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在
答案：D
的直线向右平移得到△DEF，下列结
论中错误的是( )
A．△ABC≌△DEF
B．∠DEF＝90°
C．AC＝DF
D．EC＝CF
答案：B
2．图中的小船通过平移后可以得到的
图案是( )
3.如图，将△ABC平移到△DEF的位
答案：B
置，则下列说法：①AB//DE，AD＝
CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移
的方向是点C到点E的方向；④平移
距离为线段BE的长．其中说法正确 解：（1）如图所示，连接
的有( ) AD，平移的方向是点A到点D
的方向，平移的距离是线段AD
的长度.
（2）如图所示，过点B，C分
别作线段BE，CF，使得它们
与线段AD平行且相等，连接
A．1个B．2个C．3个D．4个
DE，DF，EF，△DEF就是
4.如图所示，经过平移，△ABC的顶
△ABC平移后的图形.
点A移到了点D.
（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）画出平移后的三角形.A组
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．两个锐角的和是钝角
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了命题和定理，熟练掌握平行线的性质，对顶角的定义，锐角和的
范围，平行公理是解题的关键．
根据平行线的性质，对顶角的定义，锐角和的范围，平行公理逐项判断即可．
【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，故A选项命题是假命题，不符合题意；
B.对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故B选项命题是假命题，不符合题意；
C. 两个锐角的和可能为锐角、直角、钝角，故C选项命题是假命题，不符合题意；
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项D符合题意；
故选：D．
2．如图，将三角形 沿着射线 方向平移 得到三角形 ，点 ， ，
单元作业
设计
的对应点分别为点 ， ， ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到 ，再根据线段的和
差关系进行计算即可．
【详解】解：∵将三角形 沿着射线 方向平移 得到三角形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选B．
3．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂线段最短，依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断
能否用“垂线段最短”来解释，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符
合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，与“垂线段最短”无
关，故选项不符合；
C、弯河道改直，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，故选
项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到
起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原
理，故选项符合．
故选：D．
4．如图，直线 与直线 相交于点 ，过 上的一点 作 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角的定义等知识点，熟练掌握平行线的性
质是解题的关键；由题意易得 ，然后问题即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∴ ；
故选：D．
5．如图，烧杯内液体表面 与烧杯下底部 平行，光线 从液体中射向空气时
发生折射，变为 ，点G在射线 上，已知 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出 ，再根据
即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
，
．
故选：C．
6．如图，若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．由内错角相等两直线平行求得 ，
再由平行线的性质即可求得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
7．如图，将一个含 角的直角三角尺与直尺如图放置，若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平角，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由平行线的性质得到 ，继而得到 ，
即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题得 ，
，
，
，
故选：B．
8．如图，在 的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列
各种平移过程，不正确的是（ ）
A．将 先向右平移3格，再向上平移2格得到
B．将 先向上平移2格，再向右平移3格得到
C．将 先向右平移3格，再向下平移2格得到
D．将 先向下平移2格，再向左平移3格得到
【答案】C
【分析】本题考查图形变换−平移．根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解．【详解】解：由图可得，
将 先向右平移3格，再向上平移2格得到 ，
或将 先向上平移2格，再向右平移3格得到 ；
将 先向下平移2格，再向左平移3格得到 ，
或将 先向左平移3格，再向下平移2格得到 ；
综上所述，只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
9．下列图形中， 与 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，解题的关键是熟练的掌握对顶角的定义．有一个
公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关
系的两个角，互为对顶角，据此判断即可．
【详解】解：∵两个角没有公共顶点，
∴选项A不正确；
∵有公共顶点，其中一个角的一边不是另一个角的一边的反向延长线，
∴选项B不正确；
∵两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项C正确；
∵有公共顶点，其中一个角的一边不是另一个角的一边的反向延长线，
∴选项D不正确．
故选：C．
10．下列图形中，由 ，能得到 的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据
平行线的判定，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、如图，
， ，
，
，符合题意；
B、由 ，不能得到 ，不符合题意；
C、由 ，能得到 ，不能得到 ，不符合题意；
D、由 ，不能得到 ，不符合题意；
故选：A．
11．下列命题是假命题的是（ ）
A．同角的余角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段 叫作点A到直线l的距离
【答案】D
【分析】本题主要考查了判断真假命题，同角（或等角）的余角相等，平行线的判
定，垂线性质，点到直线的距离，根据同角（或等角）的余角相等，平行线的判定，
垂线性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，故该选项不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故该选项
不符合题意；
D、过点 作直线 的垂线，垂足为 ，线段 的长度叫作点 到直线 的距离，原命
题是假命题，故该选项符合题意；
故选：D．12．如图， 的同位角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了同位角的定义，正确理解定义及图形特征是解题的关键．在两条
直线的同一侧，在截线的同一旁，所得的两个角是同位角，根据定义判断．
【详解】解：根据同位角的定义，图中 的同位角是 ，
故选：D．
13．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图， ，
，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质
是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，在一块长为 ，宽为 的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部
分为绿化区，道路的左边线向右平移 就是它的右边线，则绿化区的面积是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了长方形面积，平移．解决问题的关键是熟练掌握长方形的面
积公式，平移性质．
根据平移性质得到绿化区的总长，再根据长方形的面积公式计算即可．【详解】解：绿化区的面积是 ，
故答案为： ．
15．已知： 及 内部一点 ．
(1)①过点 作直线 于点 ；
②过点 作直线 交 于点 ；
(2)比较线段 与线段 的大小： ______ ，理由是______．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2) ；垂线段最短
【分析】本题考查了画垂线、画平行线、垂线段最短，理解题意正确作出图形是解题
的关键．
（1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据平行线的定义画出图形即可；
（2）利用垂线段最短即可解答．
【详解】（1）解：①如图所示，直线 即为所求：
②如图所示，直线 即为所求：
（2）解：根据垂线段最短可知， ．
故答案为： ；垂线段最短．
16．如图，点 ， ， 分在 ， ， 上，且 ， ，下面写
出了证明“ ”的过程，请补充完整（括号内填上推理依据）：证明： ， ，
， ．（ ）
，
．（ ）
，
．（ ）
．（ ）
，（ ）
．（ ）
【答案】 ； ；两直线平行，同位角相等； ；两直线平行，内错角相等； ；两
直线平行，同位角相等；等量代换；平角的定义；等量代换
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平
行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行
线的性质进行推理即可．
【详解】证明： ， ，
， ．（两直线平行，同位角相等）
，
．（两直线平行，内错角相等）
，
．（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
，（平角的定义）
．（等量代换）
故答案为： ； ；两直线平行，同位角相等； ；两直线平行，内错角相等； ；
两直线平行，同位角相等；等量代换；平角的定义；等量代换
17．如图，直线 ， 被直线 所截，连接 ，过点 作 于点 ，延
长 交 于点 ，点 在线段 上，过点 作 于点 ，延长 交
于点 ， ．(1)求证： ；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的定义等知识．
（1）根据 ， ，易证 ，得到 ，由 ，等量代
换推出 ，依据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）由 得 ，可得 ，根据角平分线的定义得
，据此即可求解．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
平分 ，
，
，
．
18．如图， ，连接 ， 平分 交 于点 ，点 在 上，连接
，过点 作 交 于点 ， ， ，求 的度
数．【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出
的度数，角平分线求出 的度数，再根据角的和差关系进行计算即
可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 交 于点 ，
∴ ，
∴ ．
19．如图，在四边形 中，点 在边 上，连接 并延长交 的延长线于点
，已知 ， ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定．根据 ，可得 ，进而
得到 ，结合已知条件 ，通过等量代换，得到 ，即可
证明 ．
【详解】证明： ，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又 ，
，
（同位角相等，两直线平行）．
20．在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线 上，用三角尺
画 ，使 ；作射线 ，使 平分 ”为问题背景，展开研
究．(1)如图1，当 时，求 的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关
系成为解题的关键．
（1）分别求得 、 ，再由角平分线的性质得
，再根据 即可解答；
（2）由邻补角的性质可得 ；根据角平分线的定义可得
，设 ，所以 ，然后用x表示出分别
求得 、 ，然后比较即可解答；
【详解】（1）解：由图1可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：由图2知：
∵ 平分 ，
∴ ，
设 ，所以 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ；21．如图，在四边形 中，点E，F分别在 ， 上， ， ，
，G为 的延长线上一点，试说明 ．请将下面的过程
补充完整．
解：因为 ， （已知），
所以 （①______）．
所以②______ ______（③______）．
因为 （已知）， ，
所以④______（⑤______）．
所以⑥______ ______（⑦______）．
所以 （⑧______）．
所以 （⑨______）．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步
完善推理依据与推理过程即可．
【详解】解：因为 ， （已知），
所以 （①垂直的定义）．
所以② （③同位角相等，两直线平行）．
因为 （已知）， ，
所以④ （⑤同角的补角相等）．
所以⑥ （⑦内错角相等，两直线平行）．
所以 （⑧平行于同一直线的两直线平行）．
所以 （⑨两直线平行，同位角相等）．
B组
1．如图， 与 交于点 ，点 在直线 上， ，
， ．下列四个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的结
论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点 作 ， ，分别
表示出 、 ，即可分析出答案．
【详解】解：
①正确；
过点 作 ， ，
，
，
设 ， ，则 ，
，
②正确；
，
，
而
③错误；
，
∴④正确．综上所述，正确答案为①②④．
故选：C．
2．如图（1），已知 ， 与 的角平分线相交于点F，下列结论：
① ；②若 ，则 ；③如图（2）中，若
， ， ，则 ；④如图（2）中，
若 ， ， ，则 ．其中正
确的是 （填正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解
题关键．分别过 、 、 作 ， ， ，再根据平行线的性质
可以得到解答．
【详解】解：分别过 、 、 作 ， ， ，
，
，
， ，
，即 ，①正确；
， ，
，
与 的角平分线相交于点F，
， ，
，
， ，
，②正确；
， ，
，
与 的角平分线相交于点F，， ，
， ，
， ，
，
， ，
，③错误；
同理可得：若 ， ， ，则
，故④正确；
故选：①②④．
3．如图，平面上有两条直线 ， ， ，P是平面上这两直线间的一点．
【问题提出】（1）如图1，若 ， ，则 的度数为
__________．
【问题探究】（2）如图2， __________，写出推理
过程．
【问题解决】（3）如图3，若 ， ， ，求 的度
数．（用含x，y，z的式子表示）
【答案】（1） ；（2） ，过程见解析；（3）
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行线的性质
进行角度的转化与计算．（1）通过过点 作 ，构造平行关系 ，利用平行线性质求
；
（2）如图，过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线同旁内角互补的性
质求角度和；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，构造平行关系，
依据平行线性质找出角度间的数量关系求解．
【详解】解：（1）过点 作 ，
，
．
，
，
故答案为： ；
（2）如图，过点P作 ，过点Q作 ，
， ， ，
，
， ， ，
，
故答案为： ；
（3）如图，过点P作 ，过点Q作 ，
， ， ，，
， ， ，
，
即 ，
．
4．【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要
的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都
分布在“第三条直线”的两侧．例如：如图，已知 ，点 在直线 、 之
间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”
转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．请解决下面的问题．
【学以致用】
(1)如图，已知 ，当 ，求出 的度数．
(2)如图1，若 ，则 ___________ ；
(3)①如图2，若 、 分别平分 和 ，直接写出 与 的数量关
系为___________；
②如图3，设 ，则 ___________
．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理的推论，角平分线的性质及角的和差等
知识，作出必要的辅助线是解题的关键．
（1）过点E作 ，则得 ；再由 ，得 ，有
，则由 即可求解；（2）过点E作 ，则得 ；再由 ，得 ，
有 ，则由 即可求解；
（3）①利用（1）（2）的结论，结合角平分线的性质即可求解；
②利用（1）（2）的结论，结合 即可求解；
【详解】（1）解：如图，过点E作 ，
则 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点E作 ，
则 ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
故答案为： ；
（3）解：①由（2）知， ；
由（1）知， ；∵ 、 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ；
故答案为： ；
②由（2）知， ；
由（1）知， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
∴ ；
故答案为： ．
C组
1．【基础情境】
如图1，已知直线 ，将一个含 角的直角三角尺ABC中 角的顶点B放
在PQ上，边AB，AC与MN分别交于点D，E．
（1）若 ，则 ________；
【探究发现】
（2）如图2，请你写出 与 之间的数量关系，并说明理由；
【延伸拓展】
（3）把三角尺 从图3的位置开始绕点B顺时针旋转 （ ），当直线
与 相交所成的锐角是 时，请直接写出 的度数．
【答案】（1） ，（2） ，（3） 或 ．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．
（1）过点C作 ，得到 ，推出 ，根
据 ， ，即可得到 ，即可求解；
（2）过点C作 ，同（1）可证 ，根据邻补角的
定义即可求解；
（3）①过点C作 ，则 ，有
，求得 ，利用
即可；②过点A作 ， 与 交于点 ，
同理有 ，利用
即可．
【详解】解：（1）如图1，过点C作 ，
，
，
，
， ，
；
（2）如图2，过点C作 ，
，
，
，
，，
；
（3）①如图3，过点C作 ，
，
，
，
， ，
，
则 ；
②如图，过点A作 ，直线 与 交于点 ，
∵ 与 交于 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
故 的度数为 或 ．
2．如图，已知 ，直线 交 ， 于 ， ．(1)如图1，点 在直线 与直线 之间，证明： ；
(2)如图2，点 在直线 上， 位于 点右侧，点 在直线 上，且在直线 上
方，点 在直线 与直线 之间， ， ，若
，求 ．
(3)如图3， ，点 在直线 上（ 在 点左侧），点 在直线 与直
线 之间， 与 的角平分线交于点 ，请直接写出 与 的数
量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或 或
【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质
是解题的关键；
（1）过点 作 ，进而得出 ， 则 ，即可得
证；
（2）过点 作 ，设 ， ，根据平行线的性质可得
， ，根据 可得 ，
由（1）可得 ，根据已知 即可得出
，进而即可求解；
（3）根据平行线的性质可得 ， ，设
，根据角平分线的定义可得
，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可
求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点 作∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：如图所示，过点 作 ，
设 ，
∵
∴
设
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴
由（1）可得
∵∴
∴
∴
（3）解：∵ ，
∴ ，
设
∵ 与 的角平分线交于点 ，
设
如图所示，
∵
由（1）可得 ，
∴
；
如图所示，
由（1）可得 ，
∴如图所示，
由（1）可得 ，
∴
综上所述， 或 或
3．已知直线 ，直线 分别与 、 相交于 、 ．
【阅读理解】
（1）如图1， 、 分别平分 和 ，求证： ．请在下面的括
号里填写相应的依据．
解： 、 分别平分 和 ，
可设 ， （ ），
，
（ ），
．
又 ，．
，即 ．
【推广应用】
（2）如图2，点 在射线 上，点 在射线 上， 、 分别平分 和
，若 ， ，请模仿（1）设元的方法，求 和
的度数．
【拓展提升】
（3）如图3，点 在线段 上，点 是直线 上的动点（不与 重合）， 、
分别平分 和 ，设 ，请直接用含 的代数式表示
的度数．
【答案】（1）角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补
（2） ，
（3） 或
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定
理．
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案；
（2）先由外角的性质得 ，由角平分线的定义得 ，
再由平行线的性质得 ，由外角的性质得
，最后由角平分线的定义得 ；
（3）分两种情况讨论：当点 在点 的右边时；当点 在点 的左边时，画出图形
分别求解即可．
【详解】解：（1） 、 分别平分 和 ，
可设 ， （角平分线的定义），
，
（两直线平行，同旁内角互补），
．
又 ，
，
，即 ．
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
（3）分以下两种情况：
当点 在点 的右边时，如图3所示：
∵ 、 分别平分 和 ，
∴可设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当点 在点 的左边时，如图所示：
∵ 、 分别平分 和 ，
∴可设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
综上所述： 的度数为 或 ．
4．综合与实践：
如图1， ， ．
(1)如图1，设 ， ，求 、 之间的数量关系；
(2)如图2， 、 的角平分线交于点P，当 的度数发生变化时，
的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 的度
数；
(3)在（2）的条件下，若 ，点E为射线 上的一个动点，过点E作
交直线 于点F，连接 ．已知 ，直接写出 的度数．
【答案】(1)
(2)不发生变化，
(3) 或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点 作 ，则有 ， ，再
根据直角得到结论；
（2）由（1）可得 ， ，然后根据角平分线的定义得到
， ，然后利用同（1）的
推导过程得到结论；
（3）由（2）可得 ， ，
，然后分点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，，
，
， ，
，
，
；
（2）解：不发生变化， ，理由为：
由（1）可得 ， ，
、 的角平分线交于点 ，
， ，
如图，过点 作 ，
， ，
，
， ，
；
（3）解：由（2）得 ， ，由（1）得
，
，
，
如图，过点 作 ，
，，
， ，
，
当点 在点 的左侧时，如图，
则 ，
，
，
当点 在点 的右侧时，如图，
则 ，
，
．
综上， 的读数为 或
5．如图， ，现将一块含 的三角板 按如图1放置， ，
，使点 、 分别在直线 、 上，设 ．
(1)求 的度数；
(2)如果 的角平分线 交直线 于点 ，如图2．
①当 时，求 的度数；②在①的条件下，如果点 是射线 上的一点，将三角板 绕着点 以每秒 的
速度进行顺时针旋转，同时射线 绕着点 以每秒 的速度进行顺时针旋转，射线
旋转一周后停止转动，同时三角板 也停止转动．当旋转多少时间时， 与
的一边平行？
【答案】(1)
(2)① ；②当旋转20秒或40秒或60秒或80秒时， 与 的一边平行．
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关
键，第3问是动点问题，找到模型即可解答．
（1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答；
（2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然
后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t．
【详解】（1）解：如图1，过点G，作 ，
，
，
， ，
，
；
（2）解：① ，
，
平分 ，
，
又 ，
， ，
，
解得 ；
【点睛】②如图2，当 时，延长 至点Q，，
，
，
，
由题意知， ，
由①得 ，
，
解得： ；
当 时，
，
由题意知得 ，
∴ ，
解得 ；
如图4，当 时，延长 交 于点T，过点 作 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
如图4，当 （第二次）时，
则 ，
∴ ，
解得： ；
综上，当旋转20秒或40秒或60秒或80秒时， 与 的一边平行．
