第9章平面直角坐标系（大单元教学设计）-（人教版2024）_初中数学_七年级数学下册（人教版）_大单元教学课件+教学设计-U42

第九章 平面直角坐标系 大单元教学设计 主备人 课型 新授 时间 课程标准 课题 第9章 平面直角坐标系 课时 课时 1. 教材地位与作用 平面直角坐标系是初中数学数形结合的核心工具，是数轴的二维拓展，也是后续学习 函数、几何变换及解析几何的基础。本章通过建立坐标系实现点与坐标的一一对应， 将几何图形转化为代数表达，体现了 “以数解形” 的数学思想。人教版教材以 “确定位置” 的生活需求为切入点，通过天安门广场表演点位、公园地图等实例引 导学生抽象出坐标系概念，符合新课标 “从生活走向数学” 的理念。 2. 新课标核心要求 大单元主 2022 年新课标在 “图形与坐标” 主题中明确要求： 题背景分 理解坐标系概念，能根据坐标描点、由点写坐标，并建立适当坐标系描述物体位置； 析（教材 探索图形变换（平移、对称）的坐标规律，体会代数与几何的关联； 分析） 发展数学抽象、几何直观、模型观念等核心素养，增强应用意识。 3. 学情与教学难点 七年级学生已具备数轴知识和空间感知能力，但对抽象概念的理解仍需直观支撑。常 见难点包括： 混淆坐标轴与数轴，象限边界归属不清； 坐标读写时颠倒横纵坐标顺序，符号判断困难； 难以将实际问题转化为坐标模型。 一、知识与技能 掌握平面直角坐标系的构成要素（横轴、纵轴、原点、象限），能规范绘制坐标系并 标注点的坐标； 理解坐标与点的一一对应关系，能根据坐标描点、由点的位置写出坐标，归纳坐标轴 及象限内点的坐标特征； 能建立适当坐标系描述物体位置，探索图形平移、对称后的坐标变化规律。 二、数学思考 通过类比数轴到坐标系的拓展，体会从一维到二维的数学抽象过程，发展空间观念； 经历观察、猜想、验证的探究过程，归纳坐标规律，培养逻辑推理和归纳总结能力； 借助坐标分析图形位置关系，感悟数形结合思想，提升几何直观和模型观念。 单元教学 三、问题解决 的目标 能运用坐标系解决生活中的位置确定问题（如地图导航、方阵表演设计），形成数学 建模能力； 通过小组合作完成 “校园地图设计” 项目，综合运用坐标知识解决实际问题，增强 团队协作与创新意识； 经历 “提出问题 — 建立模型 — 求解验证” 的完整过程，发展问题解决与反思能 力。 四、情感态度 通过天安门广场表演、公园景点定位等实例，感受数学在现实生活中的广泛应用，激 发学习兴趣； 在探究活动中体验成功，增强自信心，培养严谨的数学态度和科学精神； 通过跨学科项目（如结合地理方位角），体会数学与其他学科的联系，提升综合素 养。 活动一 平面直角坐标系的概念 学习活动 设计 活动二 平面直角坐标系的应用 学习评价 1. 过程性评价（40%） 设计课堂表现（20%）：观察学生参与讨论、回答问题、操作实践的积极性，重点关注坐 标系绘制规范性、坐标读写准确性； 小组合作（10%）：评价 “方阵表演设计” 项目中团队分工、沟通协作及问题解决 能力； 作业与反思（10%）：通过分层作业（基础巩固、拓展应用）和错题分析，诊断知识 漏洞，培养反思习惯。 2. 终结性评价（60%） 单元测试（40%）：涵盖坐标系概念、坐标读写、图形变换规律等核心知识点，设置 情境应用题考查建模能力； 项目式学习成果（20%）：以 “校园地图设计” 为任务，要求学生标注建筑坐标、 设计路径，并进行成果展示与互评，重点评价创新性和实用性。 3. 核心素养评价 通过 “坐标规律探究”“生活情境建模” 等任务，评价学生数学抽象、几何直观、 模型观念的发展水平； 结合课堂表现和项目成果，记录学生应用意识、创新意识及合作能力的提升情况。 反思教学，发现学生对平面直角坐标系的概念理解存在坐标顺序混淆、象限边界 误判等问题，根源在于抽象概念与生活经验的衔接不足。改进时应强化 “生活原型 — 数学抽象 — 实践应用” 的认知链条，例如通过教室座位 “列数 + 排数” 对 应坐标 “横 + 纵” 的类比，让学生在标注校园建筑坐标的活动中，自然理解 “先 横后纵” 的规则；利用几何画板动态演示点在坐标轴上的移动，直观呈现 “轴上点 不属于任何象限” 的特征，结合错误案例对比分析，帮助学生建立清晰的概念边 界。 针对数形结合思想渗透不足的问题，需重构探究活动的情境设计。将 “图形平 反思性教 移与坐标变化” 融入 “机器人路线规划”“消防疏散路径设计” 等真实任务，让 学改进 学生在解决 “从教室 (2,-1) 到操场 (5,3) 如何移动” 的问题中，自主发现 “左 减右加横坐标，上加下减纵坐标” 的规律；通过逆向任务（已知平移前后坐标反推 移动路径）和几何画板动态验证，避免机械记忆，真正理解坐标变化与图形变换的对 应关系。 此外，充分利用 GeoGebra 等数字化工具，开发 “坐标寻宝”“点的舞蹈” 等 互动游戏，让学生在动态操作中感受 “数生形、形代数” 的过程，提升学习趣味 性。通过以上改进，力求让坐标系从书本上的抽象工具转化为学生解决现实问题的思 维载体，真正落实新课标对 “几何直观”“模型观念” 等核心素养的培养要求。 单元教学 结构图 教学设计 课题 平面直角坐标系 学习活动 教师活动 学生活动 设计意图 设计情景引入 学生理解情景并作答． 通过实际情 思考：生活中如何确定一个具体位 景，提出问 题引导学生 置？在庆祝中华人民共和国成立70周 回顾旧知， 年联欢活动中，天安门广场上出现了 为引入平面 “祖国万岁”等壮观的图案，你知道 直角坐标系 它们是怎么组成的吗? 做铺垫.同 时做好爱国 教育. 表演现场设置了由有序数对标识 的点位，3 000多名表演者手举光影 屏，根据预先编排的流程，不停地变 换所在的点位，就拼出了不同的图案. 类似于生活中用有序数对确定位置， 在数学中可以通过建立平面直角坐标 系，用坐标来刻画平面内点的位置. 通过跨学科 知识和学生 例如，在地球上有横线和竖线，连接 感兴趣的热 两极点的竖线叫经线，垂直于经线的 点话题来具 活动一： 横线圈为纬线.根据经纬线可以确定地 体，增加学 平面直角 球上任何一点的准确位置. 生的学习兴 坐标系的 学生思考思考作答 趣，让学生 概念 理解学习数 学是为了解 决生活中的 实际问题. 果果父子俩周末去电影院看《哪 吒》，买了两张票去观看，座位号分 别是 3 排 6 号和 6 排 3 号.怎样才 能既快又准地找到座位？ 学生举手回答 点A的坐标为-4，点B的坐标 通过与数轴 数轴上的点与实数是一一对应的，数 为2. 类比的实例 轴上每个点都对应一个实数，这个实 进行引入， 数叫作这个点在数轴上的坐标. 在此基础上 抽象出平面 直角坐标系 思考：在图中的数轴上，点A、点B 教师引导学生自主思考，可以 的概念． 的坐标分别是多少？ 进行讨论交流，注意引导学生 学会利用有序数对表示出点的 反过来，利用数轴上点的坐标，可以 坐标． 确定直线上点的位置. 思考：坐标为5的点在哪？学习平面直角坐标系的概念、 理解其组成要素，并会画平面 直角坐标系. 学生辨析作答 进一步加深 对平面直角 坐标系的理 思考：类似于上面利用数轴确定直线 解. 上点的位置，能不能找到一种办法来 确定平面内的点的位置呢(例如图中 A，B，C，D，E各点)? 理解用一个有序数对来表示点 的坐标的方法. 让学生能够 在平面直角 坐标系中正 确 的 认 识 点，并且能 够表示出来 如图，我们可以在平面内画两条 点. 互相垂直、原点重合的数轴，组成平 面直角坐标系．水平的数轴称为x轴 或横轴，习惯上取向右为正方向；竖学生思考作答 B(－3，－4)，C(0，2)，D(0， －3)，E(－2，0). 学生回答，教师讲解订正 直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取 向上为正方向；两坐标轴的交点O称 为平面直角坐标系的原点． 例1.下列四个选项中,关于平面直角坐 标系的画法正确的是（ ）通过认识点 的坐标，理 解各个象限 学生先独立思考，再小组交 内点的坐标 流，最后以小组为代表汇报展 的特征. 示． 在熟悉中提 出新问题, 激发学生的 求知欲,通 过写出直角 坐标系中点 的坐标,复 习所学知识 并启发学生 学生先独立思考，再小组交流 的思维,为 下面的学习 解：∵M(m-3,m+1)在x轴上, 做好铺垫. ∴点M的纵坐标为0， ∴m+1=0， m=-1 有了平面直角坐标系，平面内的 P(m-1,1-m)=P(-2,2)在 第二象 点就可以用一个有序数对来表示了． 限. 如图②，由点A分别向x轴和y轴作 垂线，垂足M在x轴上的坐标是3， 垂足N在y轴上, 的坐标是4，我们说 点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序 数对(3，4)就叫作点A的坐标，记作 A(3，4). 有了平面直角坐标系，平面内的点就 可以用一个有序数对来表示. 解：①点M位于第四象限；② 点M位于第一象限(a＞0，b＞ 体会同一图 0)或者第三象限(a＜0，b＜0)； 形在不同坐③点M位于第三象限(a＜0，b 标系中的位 ＜0)或者第四象限(a＞0，b＜0) 置不同,关 或者y轴负半轴上． 键点的坐标 当题目涉及平面直角坐标系的 也不同.培 各个象限内的点的符号特征 养学生综合 时，注意不要混淆正负号，如 例3中ab>0可得同正或同负， 应用知识解 注意不要漏掉后一种情况．而 决问题的能 根据点到坐标轴的距离解题 时，若不确定点所在的象限， 力. 则绝对值符号不可省略，于是 不可忽视分类讨论． 教师引导学生思考，对于回答 不完善的地方予以补充，注意 引导学生学会画出用坐标表示 的点的位置，对于各象限的点 的坐标特点有清晰的了解．注 意强调表示坐标时横、纵坐标 顺序不可颠倒，及位于坐标轴 通过小组 上的点不属于任何象限． 讨论活动, 让学生理解 解：如图，以 AB 中点为原 点，AB 所在直线为 x 轴， 坐标系的特 过AB 中点且与AB垂直的直 点,并能应 线为 y 轴，规定 1 个单位长 用特点解决 度为 1，建立平面直角坐标 系． 问题.培养 此时，正方形四个顶点 A， 学生逆向思 B，C，D 的坐标分别为： A(-2，0)， B(2，0)，C(2， 维的习惯以 4)， D(-2，4). 及 勇 于 探 索、团结协 作的精神. 解：如图，以正方形中心 为原 通过了解坐 点，以过 BC中点且与 BC垂 标系的历史 直的直线为 x 轴，以过AB 中 文化，加深 点且与 AB 垂直的直线为 y 对数学知识 思考：结合图和上面的知识，请你写 轴，规定 1 个单位长度为 1， 的理解. 出B，C，D，E的坐标. 建立平面直角坐标系． 此时，正方形四个顶点 A， 归纳总结 B，C，D 的坐标分别为 A(-2，-2)， B(2，-2)，C(2， 2)， D(2，-2). 使学生进一步了解平面 直 角 坐 标 系，加深理 解. 在教师的引 导下，学生 自主对本节 课的所学内 容进行归纳 小结，使所 学的知识及 时的纳入学 建立平面直角坐标系的步骤 生的认知结 ① 选原点； 构. ② 作两轴；（画 x，y 坐标 轴） ③ 定坐标系.（x轴和y轴的正 方向和单位长度） 针对平面直 建立平面直角坐标系的原则 角坐标系中 ① 运算简单； 的点的坐标 ② 所得的坐标简单. 特征出题， 加深学生对 于概念的理 解和相应的 运用能力. 部分练习是 为了巩固学 生所学的新 例2.在如图所示的平面直角坐标系 中， 知，并让学 (1)写出A,B,C三点的坐标; 生学会对新 (2)描出D(2,-3),E(-2,4),F(0,-2); 知 识 的 正 (3)分别写出点A,B,C到x轴、y轴的 解：如图，在平面直角坐标系 用、逆用、 距离. 中 变形用的能 标出 A,B,C三点. 因为A,B两点的纵坐标相等 ， 力，加强学 所以 AB//x轴 ，AB=|9-0|=9. 生的计算能 因为点 C(1,-1), 所以点 C到边 AB 的距离 是 力和解决问 |3-(-1) |= 4. 题能力的培 所以三角形 ABC的边AB = 9, 边 AB上的高为4, 养，同时实 所以三角形 ABC 的面积为 现了优等生 1/2×9×4 =18. 原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的 有事做，学 点的坐标有什么特点？ 困生跟着做 的隐性分层教学. 学生回顾总结学习收获，归纳 本节课所学知识，教师系统归 纳. 学生认真做课堂练习.通过课堂 习题练习，进一步理解并掌握 新知. 原点O的坐标为(0，0)；x轴上的点的 纵坐标为0，例如(1，0)，(－1， 0)，…；y轴上的点的横坐标为0，例 5.解：(1)因为点(5－a，a－3)在 如(0，1)，(0，－1)，….如图①， 第一、第三象限的角平分线 A(3，0)，B(－2，0)，C(0，2)，D(0， 上，所以5－a＝a－3，所以a －3)． ＝4. (2)设点P的坐标为(x， y)，由已知条件得|y|＝3，|x|＝ 4，所以y＝±3，x＝±4， 所以点P的坐标为(4，3)或 (－4，3)或(4，－3)或(－4，－ 3)． 6.解：(2)因为a＋b＝10，所以| 建立平面直角坐标系以后，坐标平面 m|＋|m－4|＝10. 就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ ①当m＜0时，－m－m＋ 四个部分，每个部分称为象限. 4＝10，解得m＝－3，所以 P(－3，－7)； ②当0≤m≤4时，m－m＋4 ＝10，无解 ，舍去； ③当m>4时，m＋m－4＝ 10，解得m＝7，所以P(7， 3)． 综上所述，点P的坐标为(－3，－7)或(7，3)． (3)因为点P在第三象限， 所以m＜0，m－4＜0， 所以a＝|m－4|＝4－m，b ＝|m|＝－m. 因为3a＋kb＝12，所以3(4－ m)－km＝12，所以－3m－km ＝0，所以k＝－3. 思考：坐标轴上的点属于哪个象限？ 思考：各部分及坐标轴上的点的坐标 有什么特点？例3.在平面直角坐标系中,点 M(m-3,m+1)在x轴上,则点P(m-1,1-m) 在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 对于坐标平面内任意一点M，都有唯 一的一个有序实数对(x，y) (即点M的坐标)和它对应； 反过来，对于任意一个有序实数对 (x，y)，在坐标平面内都有唯一的一 点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应.例4.若点P到x轴的距离是3，到y轴 的距离是2，且点P在第一象限，请 写出点P的坐标. 例5.(1)如果点M(－5，2＋b)在x轴 上，那么b＝ － 2. (2)如果点N(a－3，2a)在y轴上， 那么点N的坐标是 (0 ， 6) ． (3)平面直角坐标系中有点M(a， b)． ①当a＞0，b＜0时，点M位于 第几象限？ ②当ab＞0时，点M位于第几象 限？ ③当a为任意有理数，且b＜0 时，点M位于第几象限？ 思考：正方形 ABCD 的边长为 4， 请建立一个平面直角坐标系，并写出 正方形的四个顶点 A，B，C，D 在这个平面直角坐标系中的坐标. 解：如图，以顶点 A 为原点，AB 所 在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，规定 1 个单位长度为 1，建立平 面直角坐标系． 此时，正方形四个顶点 A，B，C，D 的坐标分别为：A(0，0)， B(4，0)， C(4，4)， D(0，4). 思考：你还有其他的方法吗？ 思考：怎样建立平面直角坐标系比较 适当？ (1) 以特殊线段所在直线为坐标轴， 充分利用图形的特点，如垂直关系、 对称关系、平行关系、中点等; (2) 图形上的点尽可能地在坐标轴上； (3) 所得坐标简单，运算简便. 建立的平面直角坐标系不同，图形上 点的坐标也不同 .一般地，可以建立平面直角坐标系来 描述一些简单几何图形. 在用坐标描述简单几何图形时，只需 用坐标描述这些图形上关键点的位置. 建立的平面直角坐标系不同，图形上 点的坐标也不同. 在规则的几何图形中一般优先考虑顶 点、边长等建立直角坐标系.思考： 你能归纳出建立平面直角坐标系的步 骤和原则吗？ 【溯源】 17世纪，法国数学家笛卡儿 （Descartes，1596 -1650）引入坐标 系，用方程表示曲线，开了用代数方 法解决几何问题的先河，从那以后， 数学的面貌发生了划时代的变化，代 数和几何两大领域更加密切地联系起 来.例6.在平面直角坐标系中，长方形 ABCD的顶点坐标分别为A (-3，2 )，B (-3，-2 )，C (3，-2 )，D (3，2 )，画出长方形ABCD . 例7.已知三角形 ABC 三个顶点的坐 标分别为 A (0,3) , B (9,3), C (1,- 1), 求三角形 ABC的面积. 本课小结师生一起回顾本节课所学主要内容， 并请学生回答以下问题： 1.什么是平面直角坐标系？平面直角 坐标系中的点具有哪些坐标特征？ 2.平面直角坐标系和象限的划分及点 的表示是什么？ 3.如何表示出一个点或根据一个点判 断出来它的象限？ 4.在坐标平面内如何求一个点的坐 标？已知点的坐标，如何在坐标平面 内描出这个点？ 当堂练习1.如图所示的是 A,B,C,D四位同学的 家所在位置,若以A同学家的位置为坐 标原点建立平面直角坐标系,那么C同 学家的位置的坐标为(1,5),则B,D两同 学家的坐标分别为 (D) A.(2,3),(3,2) B.(3,2),(2,3) C.(2,3),(-3,2) D.(3,2),(-2,3) 2.如图所示,若“帅”位于点(1,-2)上, “相”位于点(3,-2)上,则“炮”位于点 (-2，1).3.已知点A在第二象限，且到x轴的距 离为2，到y轴的距离为4，则A点坐 标为( ) A. (−4,2) B. (4,−2) C. (−2,4) D. (2,−4) 4.在平面直角坐标系中，点A(2，−3) 位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 情景引入 学生理解情景，进入学习状态. 通过实际问 平面直角坐标系建立了平面内的 题引入课 点与它的坐标的一一对应关系，这样 程，激发学 就可以利用坐标方法数形结合地研究 生的学习热 一些问题.在实际生活中，经常需要准 情.通过回 确描述一些地点的位置，这时可以通 顾上节内 活动二： 过建立平面直角坐标系，用坐标来表 容，引导学 平面直角 示地理位置． 生复习巩固 坐标系的 前面学习的 应用 知识为本节 课服务；通 过设计的问 题提高学生 的兴趣，激 发学生的兴 趣和学习的欲望. 学生观察并思考 根据以下条件画一幅示意图，画出天 安门、国家体育场、中国人民抗日战 争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑 雪大跳台、颐和园的位置. 国家体育场:在天安门以北约9 km处. 中国人民抗日战争纪念馆:在天安门以 西约14.5 km，再往南约6 km处. 可以通过自 北京朝阳火车站:在天安门以东约9.5 学的方式让 km，再往北约4 km处. 选取天安门所在的位置为原 首钢滑雪大跳台:在天安门以西约21 学生掌握这 点，并分别以正东、正北方向 km处. 些知识,培 颐和园:在天安门以西约11 km，再往 为x轴，y轴的正方向. 养学生自学 北约10 km 处. 能力、合作 交流能力, 体现学生主 动学习的理 念,对学生 进行数学文 化方面的熏 思考：能建立平面直角坐标系用坐标 来表示它们的位置吗? 陶和理想教 育.培养作 思考：类似地，你能标出北京朝阳火 车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位 图能力和对 置吗? 概念的进一 并写出它们的坐标. 步认识,强 思考:选取天安门所在的位置为原点， 化理解. 并分别以正东、正北方向为x轴，y轴 的正方向，有什么优点? 让学生经历 由实际问题抽象出数学 问题，通过 对数学问题 的研究解决 利用平面直角坐标系描述地理位置时 实际问题的 应注意哪些问题? 过程.这种 ①注意选择适当的位置为坐标原点， 这里所说的适当， 方式密切联 通常是比较明显的地点或是所要绘制 系 生 活 实 的区域内较居中的位置； ②坐标轴的方向通常是以正北为纵轴 际，从实际 的正方向， 的需要出发 这样可以使东西南北的方向与地理位 置的方向一致； 学习直角坐 ③要注意标明适当的单位长度. 标系，让学 ④有时，由于地点比较集中，坐标平 面又较小，各地点的名称在图上可以 生充分感受 用代号标出，在图外另附名称. 平面直角坐 标系在解决 例1.中国象棋棋盘中隐藏着直角坐标 系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋 解：(2)建立如图所示的坐标 实际问题中 子“马”走的规则是沿“日”形的对 系，则A，B，C，D四点的坐标 的作用. 角线走．例如：图中“马”所在的位 置可以直接走到B，A等处． 分别为A(3，－1)，B(2，0)， (1)若“马”的位置在点C处，为了到 C(6，2)，D(7，－1)． 通过学习如 达点D，请按“马”走的规则，在图 何用坐标表 中用虚线画出一种你认为合理的行走 路线； 通过实际案例，利用所学知识 示 地 理 位 (2)如果图中“马”位于(1，－2)上， 解决实际问题. 置，让学生 试写出A，B，C，D四点的坐标． 初步感知数 解：建立如图所示的平面直角 学的建模思 坐标系， 想，发展学 沁芳园的坐标为(1,1), 生的空间观 足球场的坐标为(-1,4), 念，能从多 图书馆的坐标为(-1,2), 个角度思考 游泳馆的坐标为(-3,1), 多种方法解 例2.黑龙江科技大学的学生正在参加 一项定向越野的趣味活动，起点为沁 理学院的坐标为(-4，-1)， 决问题的思 芳园，终点为学生风味餐厅，路径路 经济管理学院的坐标为(-5，- 想 线图如所示，请根据黑龙江科技大学 的平面手绘地图，建立适当的平面直 4)， 角坐标系,并写出以下各点的坐标. 安全学院的坐标为(3,-5)， 学生风味餐厅的坐标为(2，- 1), 通过用坐标 系表示实际 生活中的一 救生船(B)在遇险船(A)的 些 地 理 位 北偏东 60°，35 n mile 置，让学生认识数学与 人类生活的 密切联系， 培养学生解 决实际问题 的能力；初 步形成认真 遇险船(A)在救生船(B)的 参与、积极 南偏西 60° 35 n mile 交流的主体 意识，提高 学生思考总结 他们学习数 学的兴趣. 学习用方位角和距离表示位置 如图，一艘船在A处遇险后向相距 （第2种方法） 35n mile位于B处的救生船报警，如 采用独立、 何用方向和距离描述救生船(B)相对于 遇险船(A)的位置? 对学、小组 小组合作探究，教师指导 合作学习等 多种形式相 解：(1)图中距果果家距离相同 结合的学习 的是A与C； 方式,提高 解：(2)商场B在果果家的北偏 学生的学习 西30°方向；学校A在果果家 提示：先写方向，后写距离. 兴趣,并及 的东北方向；公园C、停车场P 时 地 做 练 思考：反过来如何用方向和距离描述 在果果家的南偏东60°方向； 遇险船(A)相对于救生船(B)的位置? 习,让学生 解 ： (3) 学 校 距 离 果 果 家 将知识转化 一般地，可以建立平面直角坐标系， 400m，而 OA＝2cm，故比例尺 用坐标表示地理位置.此外，还可以用 为1∶20000. 成自身的技 方向和距离表示平面内物体的位置.用 能,注意到 故 商 场 距 离 果 果 家 方向和距离表示物体位置的步骤： 自己独立做 2.5×20000÷100＝500(m)； 题时所出现 停 车 场 距 离 果 果 家 的错误,从 4×20000÷100＝800(m)． 而更好地实 例3.如图是果果家O和新纪元学校A 现本节课的 所在地的简单地图．已知OA＝2cm， 教学目标. OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中 点．(1)图中距果果家距离相同的是哪些地 方？ (2)商场B、学校A、公园C、停车场P 分别在果果家的什么方向？ (3)若学校距离果果家400m，那么商 场和停车场分别距离果果家多少米？ 探究1：如图，将点 A(－2，－3) 向 引导学生猜想、探索,鼓励学生 右平移 5 个单位长度，得到点 A1， 积极思考,调动学习积极性,并 通过例题进 在图上标出这个点，并写出它的坐标. 在活动中培养学生的探究、合 一步加强对 作、交流的能力. 知识的理 解，并规范 解题格式. 通过一题多 解，提高学 生思维能 力. 问题1：观察点 A 和点 A1 坐标的变 化，你能从中发现什么规律吗? 问题 2：试着将点 A 分别向左、向 上、向下移动一定距离，写出移动后 的点的坐标，你能从中发现什么规律? 思考：在平面直角坐标系中如何平移 点？ 探究2：如图，将点 A(－2，－3) 向 上平移4 个单位长度，得到点 A3， 向下平移2 个单位长度，得到点 A4，在图上标出点 A3， A4，并写出 它的坐标. 思考：观察上述坐标的变化，你能从 其中发现什么规律? 归纳总结： 点的平移的规律：右加左减，上加下 减. 在平面直角坐标系中，将点进行平 移，点的位置发生了变化，坐标也会发生变化，具体情况如下(其中 a>0， b>0)： 通过问题串的形式，让学生在 自主探究和合作学习的氛围中 收获新知. 在归纳过程 中，让学生 例4.平面直角坐标系中，将点 A(－ 充分活动起 3，－5)向上平移 3 个单位，再向左 平移4 个单位到点 B，则点 B 的坐 来，通过前 标为( ) 面的观察、 A.(1，－7) B.(1，－2) 探究来进行 C.(－7，－2) D.(0，－2) 思考： 总结，不要 从上述的讨论和例题中，你们能总结 让学生死记 出点平移的坐标的变化规律吗? 硬背，重点 例5.在平面直角坐标系中，有一点P 在理解，会 （-2，5），若将点P： 灵活运用. (1)向左平移2个单位长度，所得点的 坐标为__________； (2)向右平移5个单位长度，所得点的 坐标为__________； (3)向下平移3个单位长度，所得点的 坐标为__________； (4)向上平移4个单位长度，所得点的 坐标为_________； 探究3：如图，线段 AB 的两个端点 坐标分别为：A(1，1)，B(4，4)，将线 段 AB 向上平移 2 个单位，作出平 移后的线段 A′B′. 问题3：各点坐标有什么变化？ 探究4：正方形 ABCD 的四个顶点位 置如图所示，将正方形 ABCD 向下平 移 7 个单位长度，再向右平移 8 个 单位长度，请画出平移后的图形.学生谈收获 和注意的问 题，使所学 知 识 条 理 化 、 系 统 化；让学生 在交流中共 享，在反思 学生思考作答 中提升.在 教师的引导 问题 4：如果直接平移正方形 下，学生自 ABCD，使点 A 移动到点 E，它和我 主对本节课 们前面得到的正方形位置相同吗? 的所学内容 进行归纳小 问题5：平移后四个顶点相应地变为 结，使所学 点 E,F,G,H，它们的坐标分别是什么？ 的知识及时 问题6：正方形 ABCD 到正方形 的纳入学生 EFGH 可以通过怎样的平移方式的得 的 认 知 结 到？ 构. 问题 7：图中正方形ABCD和正方形 EFGH 对应点的坐标有什么变化? 问题 8：图中正方形 A'B'C'D' 可以由 通过题组训 正方形 ABCD经过怎样的平移得到?对 练，不断增 应点的坐标有什么变化? 问题9：在问题8的基础下，点 P(a， 强学生对知 b) 是正方形ABCD 内一点，你能写出 识的理解， 点 P 的对应点 P' 的坐标吗? 提高学生运 问题10：将正方形 ABCD 四个顶点的 横坐标都加上6，纵坐标不变，得到 用所学知识 A1，B₁ ，C₁ ，D₁ 四个点，顺次连接 解决实际问 各点，所得的正方形与正方形 ABCD 的大小、形状和位置有什么关系? 题的能力. 问题11：重复类似操作，保持横坐标 提高练习是 不变，纵坐标减 4，你有什么发现? 为了巩固学 问题12：将正方形 ABCD 平移后，其 中任意一点 P(a，b) 平移后对应的点 生所学的新 为 P′(a＋5，b＋2)，你能否描述正 知，并让学 方形 ABCD 的平移方式，并写出平移 生学会对新 后的正方形A′B′C′D′的各顶点坐 标. 知 识 的 正 思考：通过上述问题的讨论，你能总 用、逆用、 结出坐标与图形平移的规律吗? 学生回顾总结学习收获，归纳 用自己的语言总结一下. 本节课所学知识，教师系统归 变形用的能 力，加强学 纳. 对一个图形进行平移，这个图形上所 生的计算能 有点的坐标都要发生相应的变化. 力和解决问 题能力的培 养，同时实 学生认真做课堂练习.通过课堂 现了优等生 习题练习，进一步理解并掌握 有事做，学 新知. 例6.如图，将平行四边形 ABCD 向左 困生跟着做 平移 2 个单位长度，然后再向上平移 的隐性分层3 个单位长度，可以得到平行四边形 教学. A′B′C′D′，画出平移后的图形， 并指出其各个顶点的坐标. 课堂小结 1. 通过本节课，你学习了哪些知识？ 2. 学习本节内容时需要注意哪些？ 当堂练习 1.从车站向东走400m，再向北走 500m到小红家;从车站向北走500m， 再向西走200m到小强家，若以车站 为原点，一个单位长度代表1m长， 分别以正东、正北方向为x轴、y轴正 方向，建立平面直角坐标系，则小红 家、小强家的坐标分别为（ ） A. (400，500)，(500，200) B. (400，500)，(200，500) C. (400，500)，(-200，500) D. (500，400)，(500，-200) 2.如图，已知四艘船M，N，P，Q与 灯塔О的距离均为50 n mile，则在灯 塔О南偏西20°方向上的船是( ) A.M B.N C.P D.Q 3. 在平面直角坐标系中，将点 A(1，-2) 向上平移 3 个单位长度， 再向左平移 2 个单位长度，得到点 A′，则点 A′ 的坐标是( ) A. (-1，1)B. (-1，-2) C. (-1，2) D. (1，2) 4.如图所示,在10×6的网格中,每个 小方格的边长都是1个单位,将△ABC 平移到△DEF的位置,下面正确的平移 步骤是( ) A. 先向左平移5个单位， 再向下平移2个单位 B. 先向右平移5个单位， 再向下平移2个单位 C. 先向左平移5个单位， 再向上平移2个单位 D. 先向右平移5个单位， 再向上平移2个单位 5.如图，将△ PQR向右平移2个单位 长度，再向下平移3个单位长度，则 顶点P平移后的坐标是( ) A.(－2，－4) B．(－2，4) C.(2，－3 ) D.(－1,－3) 6.右图为某公园门口看到的平面示意 图，若按图建立坐标系，则各景点的 坐标分别为多少?A组 1．如图，一艘船在 处遇险后向相距 ，位于 处的救生船报警求助．船员应 用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置为（ ） A．南偏西 方向 B．南偏西 方向，距离为 C．北偏东 方向 D．北偏东 方向，距离为 【答案】B 【分析】本题考查了坐标确定地理位置，正确理解方向角的定义是解题关键． 直接根据题意得出 的长以及 的度数，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， 故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西 方向，距离为 ， 故选：B． 单元作业 设计 2．如图，这是一所学校的平面示意图，若建立适当的平面直角坐标系后国旗杆、教 学楼的位置坐标分别是 ，则图书馆的位置坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，以国旗杆所在位置为原点，以国旗杆、教学 楼这两个点所在的直线为 轴，进而写出图书馆的位置坐标即可．【详解】解：依题意，以国旗杆所在位置为原点，以国旗杆、教学楼这两个点所在的 直线为 轴，建立如图所示的坐标系： ∴图书馆的坐标为 ． 故选：A 3．如图，A，B两点的坐标分别为 ，若将线段 平移至 ，则 的值 为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平 移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右 加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将线段 平移至 ， ， ， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴ ， ∴ ， 故选D． 4．平面直角坐标系中，线段 经过平移得到线段 ，若点 的对应点 的坐 标为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内线段的平移， 根据点A平移的特点：横坐标加上2，纵坐标减去3，结合点A的平移特点得出答 案． 【详解】解：∵点 的对应点 的坐标为 ， ∴点B的对应点 的坐标是 ． 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，点 的横坐标是 ，且点 到 轴的距离为 ，则点 的坐 标是( ) A． 或 B． 或 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点到坐标轴的距离，注意：点到 轴的距离为点的纵坐标的 绝对值，到 轴的距离为点的横坐标的绝对值．根据点到坐标轴的距离求解即可． 【详解】解：点 的横坐标是 ，点 到 轴的距离为 ，所以点 的纵坐标为 或 ， 所以点 的坐标为 或 ， 故选：A． 6．如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜 方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的象限，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关 键．在图中找出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结 论． 【详解】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方， 由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限． 故选：B．7．在平面直角坐标系中，点 一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点的横纵坐标的符号即可得 解． 【详解】解：∵ ， ∴ ∵ ， ∴点 一定在第四象限． 故选：D． 8．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其 放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为 ，则 叶杆“底部”点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题 的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．根据 ， 两点的坐标分别为 ，可以判断原点的位置，然后确定 点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴ ， 故答案为： ． 9．在平面直角坐标系中，点 先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点 ，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐 标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加是解题的关键． 利用点平移的坐标规律，把 点的横坐标加 3 ，纵坐标减5即可得到点 的坐标，求 出 ，即可解答． 【详解】解：∵点 先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点 ， ∴ ，即 ， ∵点 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 故答案为： ． 10．在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，直线 轴，则线 段 的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，掌握平面直角坐标系中两点之间的线段与 x轴平行，两点之间距离为横坐标差的绝对值，两点之间的线段与y轴平行，两点之 间距离为纵坐标差的绝对值成为解题的关键． 由直线 轴，则P、Q两点横坐标相等，据此列方程求得a的值，进而求得P点 坐标为，然后求出线段 的长即可． 【详解】解：∵直线 轴， ∴ ，解得： ∴P点坐标为 ， ∴PQ= ． 故答案为4． 11．若点 在 轴上，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握 轴上的点纵坐标为0是解题的关键．根据【详解】解：∵点 在 轴上， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 12． 公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准 确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点： 表示起点， 表示终点．如 果软件需要在线段 之间设置一个中转站，且中转站到点 和点 的距离相等，则 中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设 中转站的坐标为 ，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为 ， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为 的中点， ∴ ， ∴中转站的坐标为 ． 故答案为： ． 13．杜甫，河南巩义人，唐代著名现实主义诗人，对中国文学产生了深远的影响．如 图是杜甫的古诗《绝句》，建立如图所示的平面直角坐标系（每小格边长为一个单位 长度），那么在经过“千”字且与 轴平行的直线上，距离“千”字2个单位长度的 字为 ． 【答案】“西”和“雪” 【分析】该题考查了平面直角坐标系在生活中的应用，根据图象可解答． 【详解】解：根据图象可得，在经过“千”字且与 轴平行的直线上，距离“千”字 2个单位长度的字为“西”和“雪”，故答案为：“西”和“雪”． 14．在平面直角坐标系中，已知点 的坐标是 ，则点 到 轴的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离公式是解题的关 键．根据点到 轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解． 【详解】解： 点 的坐标是 ， 点 到 轴的距离是 ． 故答案为：8． 15．在平面直角坐标系中，若点 在 轴上，则 在第 象 限． 【答案】二 【分析】此题主要考查根据点坐标判定其所在象限，熟练掌握各象限的点的坐标特征 是解题关键．根据点 在 轴上，可得横坐标为 ，即可得出 ，进而得 出点 的坐标，即可判定其在第二象限． 【详解】解：∵点 在 轴上， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 在第二象限． 故答案为：二 16．如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十 字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南 的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角 坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为 ，则魁星楼的坐标 为 ．【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据县衙和城隍庙的坐标可确 定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则魁星楼的坐标为 ， 故答案为： ． 17．小明到中山市各中学找工作，他提前绘制了如下地图，可是他忘记了在图中标出 原点和x轴、y轴．只知道中山一中铁城中学（铁中）的坐标为 ，请你找到适当 的点作为坐标原点，建立平面直角坐标系，并求出其他各个中学的坐标． 【答案】图见解析；二中 ；一中 ；侨中 ；纪中 【分析】本题考查了坐标确定位置：记住平面内特殊位置的点的坐标特征．先利用铁 中的坐标为 的坐标画出直角坐标系，然后写出其他各中学的坐标． 【详解】解：如图，根据坐标系可得：二中 ；一中 ；侨中 ；纪中 B组 18．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 ，将 先向上平移2个单位长度，再向右平移6个 单位长度得到 ，点A、B、C的对应点分别为 ． (1)请在图中画出 ； (2)写出点 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) ， ， 【分析】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把 这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移 后的图形是解题的关键． （1）依据平移规律，得出 ， ， 的位置，然后顺次连接，画出平移后的 即可； （2）依据平移规律，得出 ， ， 的坐标即可．【详解】（1）解： 为所求作的三角形，如图所示： （2）解：根据图形可知：点 ， ， ． 19．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．将 先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到 ，点A、 、 的对应点分别为点 、 、 ． (1)在图中画出 ； (2)写出点 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查图形与坐标—平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键； （1）先根据平移方式得出对应点的坐标，然后再进行作图即可； （2）根据（1）中的图形可进行求解 【详解】（1）解： 如图所示．（2）解：由（1）中图可知：点 的坐标为 ． 20．已知点 ，解答下列各题： (1)若点 在 轴上，求出点 的坐标； (2)若点 的坐标为 ，直线 轴，求出点 的坐标； (3)若点 在第二象限，且它到 轴， 轴的距离相等，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得：点 在 轴上，得到 ，解出 的值，由此得到答 案． （2）根据直线 轴，得到 ，解出 的值，由此得到答案． （3）根据点 在第二象限，且它到 轴、 轴的距离相等，得到 ， ，故 ，解出 的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特 征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点 在 轴上， ， 解得： ， 则 ， 点 的坐标为： ； （2）解： 直线 轴， 直线 上所有点的纵坐标都相等， ， 解得： ， 则 ，即点 的坐标为 ； （3）解： 点 在第二象限，且它到 轴、 轴的距离相等， ， ， ， 即 ， 解得： 21．在平面直角坐标系中，三角形 各顶点的坐标分别为 ， ， ，若将三角形 平移后得到三角形 ，点 的对应点 的坐标是 ，点 的对应点 的坐标是 ． (1)直接写出 ， 的值及点 的坐标； (2)画出平移后的三角形 ； (3)若点 在 轴上，且三角形 的面积等于三角形 面积，请直接写出点 的 坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标得 到平移方式是解题的关键． （1）由点A， 可得左右平移方式，由点C， 可得上下平移方式，据此求解即 可； （2）根据（1）所求先描出 ，再顺次连接 即可； （3）计算出三角形 的面积，进而得到三角形 的面积，据此可得答案．【详解】（1）解：由题意得：由三角形 得到三角形 的平移方式为向右平 移： 个单位长度；向下平移： 个单位长度 ∴ ，即 ； （2）解：如图所示，三角形 即为所求； （3）解： ， ， ∵三角形 的面积等于三角形 面积， ∴ 解得： 或 故点 的坐标为： 或 ． 【点睛】本题考查了平移、坐标与图形等知识点．根据对应点确定平移规律是解题关 键． C组 1．如图1，在平面直角坐标系中， ， ，将线段 沿 轴向右平移 个单位得到线段 ，点 为射线 上一动点．(1)填空：点 的坐标为__________，点 的坐标为__________． (2)如图1，点 是线段 上一点（不与点 、 重合），当点 在射线 上运动 时（点 不与点 重合），连接 ，请用等式表示 ， ， 之间 满足的数量关系，直接写出答案； (3)如图2，点 在 轴上，且 ，连接 ， ， ，当 的面积等 于 的面积时，请求出点 的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3) 或 ， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论 是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）根据点 为射线 上一动点，当点 在点 右边时，当点 在点 左边时，利 用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点 在 轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点 在点A左边或者右边， 利用 的面积等于 的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解： ， ，将线段 沿 轴向右平移12个单位得到线段 ， ， 故答案为： ； （2）解：当点 在点 右边时，如图， 过点 作 ∴ ∵平移，∴ ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ∵ ∴ 即 当点 在点 左边时，如图， 同理可得 ， ， ∴ 即 综上所述， 或 （3）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ∴ ， ， ∵ ∴ ①点 在点 右边， 在正半轴时，如图，可得 ， 设 ，则 可得方程 ， 解得 ， ； 在负半轴时，点 在 的下方时，如图， 可得 ， 设 ， 可列方程 ， 解得 ， ∴ ④点 在点 右边，点 在 的上方时如图，连接 ， 可得 ， 设 ， 可列方程 ， 解得 ， ， 综上， 点的坐标为 或 ， ．2．在平面直角坐标系 中，对于 ， 两点给出如下定义：若点 到两条坐标轴的 距离之和等于点 到两条坐标轴的距离之和，则称 ， 两点为轴距等点．例如，图 中的 ， 两点即为轴距等点． (1)已知点 ，在点 ， ， 中，点 的轴距等点是 _____； (2)若点 在第三象限，点 与点 为轴距等点． ①点 的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点 向右平移5个单位得到点 ，若点 与点 仍为轴距等点，则点 的坐标是 _____； (3)已知点 ，点 ，连接 ． ①点 为线段 上一点且满足 ，经过点 且垂直于 轴的直线 记作直线 ，若在直线 上存在点 ，使得 ， 两点为轴距等点，则 的最小值是 _____； ②将线段 平移得到线段 （ 与 不重合），若线段 上的任意一点与 点 为轴距等点，线段 可以由线段 经过怎样的平移得到？ 【答案】(1) (2)①满足等式 的值即可，答案不唯一，② (3)① ②左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度 【分析】本题考查新的定义，线段的平移，正确理解轴距等点是解题的关键． （1）正确理解轴距等点，逐个计算，即可解答； （2）①根据轴距等点即可列出等式，再找一组满足等式的值，即可解答；②求出平移后的 的坐标，再轴距等点即可列出等式，即可解答； （3）①设 ，可得 ，且 ，再根据轴距等点即可列出 等式，即可判断出 的最小值；②依据数形结合，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解∶ 到两条坐标轴的距离之和为 ，点 到两 条坐标轴的距离之和为 ， 到两条坐标轴的距离之和为 ， 到两条坐标轴的距离之和为 ， 故点 的轴距等点是 ． 答案为C． （2）①设点 的坐标为 ， ∵点 在第三象限，点 与点 为轴距等点， ∴ ， ， ， 即 ，满足该等式的值不唯一， 如 ， ． ②由①得 ， ， ∴ ， ∵点 与点 仍为轴距等点， ∴ ，即 ， ∴ ， 即 ， ∴ 或 （不合题意，舍去） 解得 ， ∴ ∴E ， 故答案为 ． （3）①设 ， 由 ，可得 ，且 ， ∵ ， 两点为轴距等点，∴ ， ∴ ， 即当 时， ， ∴当 时为最小值． 故答案 ． ②如图所示，点 ， ，设线段 与 交点为E ， ∵线段 平移得到线段 （ 与 不重合），若线段 上的任意一点与点 为轴距等点，且 ∴ 当 时，点E在 左侧，有 ∴ ，不符合题意，舍去． 当 时，点E在 右侧，有 ， ∴ ，不符合题意，舍去． 当 时，点E在 、 之间（不包括A、B）， ， ∴ ，不符合题意，舍去． 当 时，点E在与点A重合，有 ，此时符合条件． 故线段 向左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度得到线段 ． 3．在平面直角坐标系中 、 ，a、b满足 ．(1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E， 的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段 沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的 垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且 与 的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若 不存在，请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 或 (3) 或 【分析】（1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线 上方时；②当E在直线 下方时；分别根 据 的面积是6，列方程求解； （3）由 与 的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即 可求解． 【详解】（1）解：∵ ，且 ， 又∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ； （2）解：设E为 ， 分以下两咱情况讨论： ①如图，当E在直线 上方时，作 轴，作 连接 ，则 ， ∴ ， ， ②当E在直线 下方时，同样可得 ， ∴ ， ， ∴点E的坐标为 或 ； （3）解：存在，设点P的坐标为 ，由平移得 、 ，则 、 ， 依题意知点P不可能在梯形 的上方或线段 的右上方或线段 左方，故分以 下两种情形： ①如图，当点P在梯形 的内部时， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ，解得 ， ∴ ； ②如图，当点P在梯形 的下方时， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴点 在x轴上， 如图，作 轴于G，连接 ， ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 综上所述，P点的坐标为 或 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思 想解决问题是解题的关键． 4．若点 的坐标满足 ，我们称点 为“横和点”． (1)已知点 为“横和点”，求 的值；(2)在平面直角坐标系中，将三角形 平移得到三角形 ，点 的对应点分 别是点 ，已知点 ，点 ，点 ，点 为“横和点”，点 的 横坐标为 ． ①若点 为“横和点”，且三角形 的面积为8，求点 的坐标； ②若点 的坐标是 ，点 在 轴上，判断点 是否为“横和 点”，并说明理由． 【答案】(1)q的值为4 (2)① 或 ；②点 是“横和点”，理由见解析 【分析】本题主要考查坐标系中点的平移变换、三角形面积计算以及方程的应用．解 题的关键在于理解“横和点”的定义，并结合平移的性质进行坐标变换． （1）直接代入“横和点”的定义方程求解． （2）①利用平移向量确定点 的坐标，结合三角形面积公式建立方程求解． ②通过平移确定点 的坐标，验证是否满足“横和点”的条件． 【详解】（1）∵点 是“横和点”， ， ． ∴q的值为4． （2）①∵点 和点 是“横和点”， ， ， ， ， ， 点 和点 的纵坐标相同， 轴 ， 点 的横坐标为 点 ，点 分别对应点 和点 ， ， ，解得： ，当 时， 当 时， 或 ． ②点 是“横和点”， 理由： 点 ，点 分别对应点 和点 ， ， ， ， 点 的对应点 ， ， ， ， 点 是“横和点”． 5．已知点 ，解答下列各题： (1)若点P在y轴上．求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为 ，直线 轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求点的坐标，熟练掌握坐标系中不同位置的点的特征，是解题的关 键： （1）根据 轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （2）根据平行于 轴上的点的纵坐标相同，进行求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，结合第二象限内的点的符号特 征，进行求解即可． 【详解】（1）解： P在y轴上，； （2）点Q的坐标为 ，直线 轴 ， ∴ ， ； （3） 点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等 ， ， ．