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培优专题 26 解直角三角形模型
类型一：背靠背型
1．（2022·山东聊城·二模）从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强
疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外
体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他
常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角
∠PBO＝30°．（参考数据： ＝1.414， ＝1.732， ＝2.236）
(1)若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到
0.1m）
(2)若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m）
2．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系
式： ．（1）如图1，若 ，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 中建一座小型景观桥 （如图2所示），若
米， 米， ，求景观桥 的长度．
3．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），
是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔
“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 两处分别测得 和 的度数（
在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上 两点的距离为 ．
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）．
参考数据： ， ．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
4．（2021·云南·模拟预测）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条
笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东 方向与包装公司北偏西 方向的交点，住宅小区
在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据： ，）
5．（2021·湖北武汉·一模）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，
求证：BA2＝BD•BC；
【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB
的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为
H，若 ，请直接写出 的值________．
类型二：子母型
6．（2022·辽宁鞍山·二模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，
在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到
达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：
sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）7．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾
器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为
50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结
果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
8．（2021·北京市第十二中学八年级阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，
AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
9．（2020·山东青岛·九年级期末）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌 ，小明在斜坡的坡脚 处测得
宣传牌底部 的仰角为 ，沿斜坡 向上走到 处测得宣传牌顶部 的仰角为 ，已知斜坡 的坡
度 ， 米， 米，求宣传牌 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：
， ，10．（2020·四川凉山·九年级阶段练习）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16
日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小
组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测
量，测得结果如下表：
课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
如图，雕塑的最高点B到地面的高度为 ，
在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一
测量示意图 段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰
角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖
直平面内，点A，C，E在同一条直线上．
仪器 （ ）
的度数 的度数 的长度
的高
测量数据
31° 42° 3米 1.65米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分
位）．（参考数据： ， ， ， ， ，
）类型三：拥抱型
11．（2020·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为 米的
发射塔 ，如图所示，在山脚平地上的 处测得塔底 的仰角为 ，向小山前进 米到达点 处，测
得塔顶 的仰角为 ，求小山 的高度．
12．（2020·山西太原·模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山
西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像
高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二
次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两
次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．
课
题
成
员 测量毛主席塑像的高度组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
测倾器，皮尺等
测
量
工
具
测 说明：线段 的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，
量 为测点，线段 ， 表示测倾器（点 在 上），点
示 ， ， ， ， 都在同一竖直平面内，且 ，
意
； 、 表示两次测量的仰角，点 ，
图
在 上．
测量项目 第一次 第二次 平均值
测
量
数 的度数据 的度数
测倾器 的高
测倾器 的高
任务：
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：
， ， ， ， ，
）
（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器 测出仰角 ，再测出 的长
来计算塑像高度 ”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
13．（2021·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸
父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC
方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到
0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，
tan59.1°≈1.67）
14．（2018·北京四中九年级期中）如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面
上选择了在条直线上的三点 为楼底)， ，她在 处测得广告牌顶端 的仰角为 ，在 处测得商
场大楼楼顶 的仰角为 米.已知广告牌的高度 米，求这座商场大楼的高度 (，小红的身高不计，结果保留整数)．
15．（2018·四川眉山·九年级期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如
图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1 m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的
底部B的仰角为 ，然后向教学楼正方向走了4 m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为 ．
已知教学楼高 ，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据： ，
， ， ）
类型四：12345型
16．（2018·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点A（ ，
0），B（0，2），点C在第一象限，∠ABC=135°，AC交 轴于D，CD=3AD，反比例函数 的图象
经过点C，则 的值为_______．17．（2018·江苏无锡·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得
到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．
18．（2018·山东滨州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若
AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为_____．
19．（2018·山东泰安·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折叠，
点 落在 处，若 的延长线恰好过点 ，则 的值为__________．
20．（2017·浙江丽水·中考真题）（2017丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是____；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是________．
