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第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
重点：掌握二次根式的两个性质： .
难点：会利用二次根式的性质解题.
自主学习
一、知识回顾
1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？
2.使式子 有意义的条件是_______________.
课堂探究
一、要点探究
探究点1： 的性质
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为 a，求它的边长，并用所求得的边
长表示出面积，你发现了什么？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，
你又发现了什么？
a(a≥0) 算术平方根 平方运算
0 _____ _____
2 _____ _____
4
_____ _____
_____ _____
... ...
...
... ...
...
观察两者有什么关系？根据活动 2 直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：
要点归纳：一般地， (a____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.
典例精析
例1 计算：
例2 在实数范围内分解因式：
方法总结:本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，
原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
针对训练
计算：
探究点2： 的性质
填一填：
a(a≥0)
2 _____ _____
0.1 _____ _____
平方运算 _ _ _ _ _ 算术平方根 _ ____
_____ _____
4
... ...
... ...
...
观察两者有什么关系？思考：当 a＜0 时，
a(a≥0)
-2 _____ _____
-0.1 _____ _____
平方运算 _ _ _ _ _ 算术平方根 _ ____
... ...
...
观察两者有什么关系？
要点归纳： 的性质：
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典例精析
例3 化简：
方法总结:利用 化简求值时，而 3.14＜π，要注意a的正负性.
练一练
1.计算：
辩一辩：请同学们快速分辨下列各题的对错：例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .
【变式题】
方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内
式子的符号.
例5 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
三边长均为正数，a+b+c＞0
分析：
利用三
角形三
b+c-a＞0，c-b-a＜0
两边之和大于第三边，
探究点3：代数式的定义
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起
来的式子，我们称这样的式子为代数式.
想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？典例精析
例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示
船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示
出它的长.
方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如
和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算
顺序；③牢记一些概念和公式．
针对训练
1.在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A.7 B.3＞2 C. D.
2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.
二、课堂小结当堂检测
1.化简 得（ ）
A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
2.当1<x<3时， 的值为（ ）
A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ; ② ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.化简：
（1） ＝_______ ; （2） ＝_______;
（3） ; （4） .
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是_________.
6.利用a ＝ （a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5) ；(6)0 .
能力提升
7.(1)已知a为实数，求代数式 的值.
(2)已知a为实数，求代数式 的值.参考答案
自主学习
一、知识链接
1.一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.
2. a≥0
课堂探究
一、要点探究
探究点1： 的性质
活动1：正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ，
又∵面积为 a，即 .
活动2：
根据活动 2：0,2,4，
要点归纳：≥，它本身
例1： 解：
例2：解：
针对训练
解：探究点2： 的性质
填一填：
思考：
典例精析
例3：解：
练一练
1：解：
辨一辨：（1）×（2）×（3）√（4）√
议一议：
例4：解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a -b＜0，
∴ 原式 = | a | - | b | + | a - b |= - a - b -（a - b）= -2a.
【变式题】解：根据数轴可知 b＜a＜0，
∴ a + 2b＜0，a - b＞0，则 = | a + 2b | + | a - b |
= - a - 2b + a - b = - 3b．
例5 解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长，
∴ a + b + c＞0，b + c＞a，b + a＞c，∴ 原式 = | a + b + c| - | b + c - a | + | c - b - a | = a + b + c - ( b + c - a ) +
( b + a - c)
= a + b + c - b - c + a + b + a - c = 3a + b - c．
探究点3：代数式的定义
概念学习：数 ， 表示数的字母
代数式：整式，分式，二次根式
例6 解：
(1) 船在这条河中顺水行驶的速度是 (v+2.5) km/h，逆水行驶的速度是
(v - 2.5)km/h．
(2) 设贺卡的长为 5x ，则宽为 3x. 依题意得 15x2 = S，
所以 所以它的长为
针对训练
1.B 2.
当堂检测
1.C 2.D 3.C 4. 3,4,7,8 5. 1
(1) (2) (3) (4)
6.
5) (6)
(
7. 解：(1) 由题意得 a + 2≥0，-4 - 2a≥0，∴ a = -2.(1) 解：由题意得 -a2≥0，又∵a2≥0，∴ a2 = 0，∴ a = 0，
