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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
学习目标：1.掌握二次根式的混合运算的运算法则；
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
重点：二次根式的混合运算的运算法则.
难点：运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
自主学习
一、知识回顾
1.二次根式的乘、除法则是什么？
2.怎样进行二次根式的加减运算？
3.填空：m(a+b+c)= ；(m+n)(a+b)= ；(ma+mb+mc)÷m= .
课堂探究
一、要点探究
探究点1：二次根式的混合运算及应用
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、
乘法法则仍然适用.
典例精析
例1 计算：
变式 计算：
方法总结:有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该
为正数.
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方
(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
针对训练
计算：
探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
典例精析
例3 计算：
方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题
目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算.
【变式题】计算：
针对训练
计算：探究点3：求代数式的值
例4 已知 试求x2+2xy+y2的值.
【变式题】 已知 ，求x3y+xy3.
方法总结:用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位
置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成只
含x+y,xy,x-y, 等式子，再代入求值.
5 计算:
例
方法总结:分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平
方差公式，可以使分母不含根号.
【变式题】 已知 ,求
.
【练一练】 已知 的整数部分是 a,小数部分是 b,求 a2 - b2 的值.
二、课堂小结当堂检测
1.下列计算中正确的是（ ）
2.计算
3.设 则a b(填“>”“ < ”或“= ”）.
4.计算：
5. 在一个边长为 cm 的正方形内部，挖去一个边长为
cm的正方形，求剩余部分的面积.6.(1) 已知 ，求 的值；
(2) 已知 ，求 的值.
能力提升
7.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
参考答案自主学习
一、知识回顾
1.二次根式的乘、除法则：
，
2.
3.m(a + b + c) = ma + mb + mc；(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb
(ma + mb + mc)÷m = a + b + c
课堂探究
一、要点探究
探究点1：二次根式的混合运算及应用
典例精析
例1
变式
例2 解：路基的土石方等于路基横断面面积乘路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为
针对训练
解：
探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 平方差公式：(a + b)(a - b) = a2- b2；
完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2；(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.问题2 整式的乘法公式就是多项式×多项式，前面我们已经知道二次根式运算类比整式
运算，所以适用
典例精析
例3
【变式题】计算：
针对训练
探究点3：求代数式的值
例4 解： x2 + 2xy + y2 = (x + y)2，把 代入上式得
原式=
【变式题】 解：∵
，∴
∴ x3y + xy3 = xy(x2 + y2 ) = xy[(x + y)2－2xy]
例5 解：【变式题】 解：∵
练一练
解：
当堂检测
1. B 2.5 3. =
4. 解：
5.解：由题意得即剩余部分的面积是
6.解：(1)
(2)
7. 解：(1)①
②
