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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
学习目标：1.了解二次根式的加、减运算法则；
2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
重点：了解二次根式的加、减运算法则.
难点：会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
自主学习
一、知识回顾
1.满足什么条件的二次根式是最简二次根式?
2.化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?
课堂探究
一、要点探究
探究点1：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式
类比探究 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考：
(1)由左图，易得2a+3a= ；
(2)当a= 时，分别代入左、右得 ；
(3)当a= 时，分别代入左、右得 ；......
(4)根据右图，你能否直接得出当a= ，b= 时，2a+3b的值？结果能进行化简吗？
.
要点归纳：（1）判断几个二次根式是否可以合并（加减运算），一定都要化为最简二次根
式再判断.（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开
方数(式)不变.如：典例精析
例1 若最简根式 与 可以合并，求 的值.
方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为
2，列关于待定字母的方程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意
义，求x的取值范围.
针对训练
1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 与最简二次根式 能合并，则m=_____.
3.下列二次根式，不能与 合并的是________(填序号）.
探究点2：二次根式的加减及其应用
思考 现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两
个分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?
问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根
式后，再试一试(说出每步运算的依据）.
要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简
二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.典例精析
例2 计算：
例3 计算：
例4 已知a,b,c满足
.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来
判断.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.
二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大
小.
针对训练
.下列计算正确的是（ ）
1
A. B.
C. D.2.已知一个矩形的长为 ，宽为 ，则其周长为________.
二、课堂小结
当堂检测
1.二次根式： 中，与 能进行合并的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列运算中错误的是 （ ）
A. B. C. D.
3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为________.
4.计算:
5.计算:6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别
为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（π取3.14）.
能力提升
7.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，求(2*3)－(27*32)的值．参考答案
自主学习
一、知识回顾
1.满足如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
2.
每组化简后，被开方数相同.
课堂探究
一、要点探究
探究点1：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式
类比探究 （1）5a （2） （3）
（4）2a + 3b =
典例精析
例1 解：由题意得
解得
【变式题】解：由题意得 3a - 8 = 17 - 2a，∴ a = 5.
∴ 20 - 2x≥0，x - 5＞0.∴ 5＜x≤10.
针对训练
1. D 2.1 3. ②⑤
探究点2：二次根式的加减及其应用
问题1
问题2 解：列式如下：
∴在这块木板上可以截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板．典例精析
例2 解：
例3 计算：
例4 解：(1)由题意得
(2) 能. 理由如下：∵ 即 a＜c＜b，又∵
∴ a + c＞b，∴ 能构成三角形，周长为
解：当腰长为 时，∵
【变式题】
当 腰 长 为 时 ， ∵
∴ 此 时 能 构 成 三 角 形 ， 周 长 为
∴ 此时能构成三角形，周长为
针对训练
1.C 2.
当堂检测
1.C 2.A 3.
4.
5. 解：6. 解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别为 S，S，由 可知
1 2
则
答：圆环的宽度为
7. 解：∵a*b= ，∴（2*3）－（27*32）
