文档内容
秘籍 11 初等数论
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】整数与整除
【题型二】 同余与孙子定理
【题型三】 素数和合数
【题型四】 算数基本定理
【题型五】 费马小定理及欧拉定理
【题型六】 拉格朗日定理及威尔逊定理
【题型七】 平方数
【题型八】 高斯函数
【题型九】不定方程
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 初等数论
在新结构试卷中，压轴题出现了初等数论的相关问题，这类问题大多属于阅读理解题，学生不需要对
数论知识点进行掌握，但是需要对题干所给的信息进行理解分析，利用高中的方法解决相应问题，一般都
出现在压轴题，虽然属于阅读理解题，但基本数论的思维的拓展和应用在短时间内要想完全梳理明白也并
非简单的事情，所以平时还是需要多锻炼这类相关的试题。
【题型一】整数与整除【例1】（2024·河北·一模）若一个两位正整数 的个位数为4，则称 为“好数”，若 ，且 ，
为正整数，则称数对 为“友好数对”，规定： ，例如 ，称数对 为“友好
数对”， ，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的 的最大值为 ．
【例2】一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“可爱数”.比如 ，16
就是一个“可爱数”.在自然数列中从1开始数起，第2023个“可爱数”是 .
【变式1】（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设p为素数，对任意的非负整数n，记
， ，其中 ，如果非负整数
n满足 能被p整除，则称n对p“协调”．
(1)分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；
(2)判断并证明在 ， ， ，…， 这 个数中，有多少个数对p“协调”；
(3)计算前 个对p“协调”的非负整数之和．
【变式2】（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数 都可以
被唯一表示为有限个质数的乘积形式： （ 为 的质因数个数， 为质数，
），例如： ，对应 ．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求 ；
(2)若正整数 互质，证明： ；
(3)若 且 ，记 的所有真因数（除了1和 以外的因数）依次为 ，证明：
．
【题型二】 同余与孙子定理【例1】已知正整数 满足 ，且 与 有相同的个位数字，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．前三个答案都不对
【例2】“ ”表示实数 整除实数 ，例如： ，已知数列 满足： ，若
，则 ，否则 ，那么下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．对任意 ，都有 D．存在
【变式1】已知正整数 满足 ，且 与 有相同的个位数字，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．前三个答案都不对
【变式2】（2024·河南·模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设 是素数，集合
，若 ，记 为 除以 的余数， 为 除以 的余数；设 ，
两两不同，若 ，则称 是以 为底 的离散对数，记为
．
(1)若 ，求 ；
(2)对 ，记 为 除以 的余数（当 能被 整除时，
）．证明： ，其中 ；
(3)已知 ．对 ，令 ．证明： ．
【题型三】 素数和合数
【例1】（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知点集 ．
设非空点集 ，若对 中任意一点 ，在 中存在一点 （ 与 不重合），使得线段 上除了点
外没有 中的点，则 中的元素个数最小值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】设整数a，m，n满足 ，则这样的整数组 的个数为（ ）
A．无穷多个 B．4个 C．2个 D．前三个答案都不对
【变式1】（2023高三上·全国·竞赛）求最小的实数 ，使得对任意的正整数 ，可以将其表示成2023个
正整数之积，即 ，且满足对任意的 ，均有 是素数或者 ．
【变式2】（2023高二·全国·竞赛）正整数 称为“好数”，如果对任意不同于 的正整数 ，均有
，这里， 表示实数 的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
【题型四】 算数基本定理
【例1】（高三·北京·强基计划）设 是正2016边形，从这2016个顶点中选出若干个使之能作为
正多边形的顶点，则不同的选法共有（ ）
A．2520种 B．3528种 C．4536种 D．6552种
【例2】（高三上·北京·强基计划）设 ，集合T是S的n元子集，且其中任意两个元素互
质，对任意符合要求的集合T，均至少包含一个质数，则n的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式1】（高三·上海·竞赛）若a、b、c、d为整数，且 ，则有序数组
（a，b，c，d）= .
【变式2】四位数 和 互为反序的正整数，且 ， 、 分别有16个、12个正因数
（包括1和本身）， 的质因数也是 的质因数，但 的质因数比 的质因数少1个，求 的所有可能值.【题型五】 费马小定理及欧拉定理
【例1】（2024·河北沧州·一模）设 为非负整数， 为正整数，若 和 被 除得的余数相同，则称
和 对模 同余，记为 ．若 为质数， 为不能被 整除的正整数，则 ，这个
定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：
① ；
②对于任意正整数 ；
③对于任意正整数 ；
④对于任意正整数 ．
则所有的真命题为（ ）
A．①④ B．② C．①②③ D．①②④
【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知素数 证明： 为整数，其中
．
【变式1】（23-24高三下·河北·开学考试）设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相
同，则称a和b对模m同余，记为 ．
(1)求证： ；
(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则 ，这个定理称之为费马小定理．应用费马小
定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有 ；
②求方程 的正整数解的个数．
【变式2】（2023高三·全国·专题练习）已知数列 满足 .
(1)证明： 是正整数数列；(2)是否存在 ，使得 ？并说明理由.
【题型六】 拉格朗日定理及威尔逊定理
【例1】（2024高三上·全国·专题练习）已知 ， ，
(1)若 在 处取得极值，试求 的值和 的单调增区间；
(2)如图所示，若函数 的图象在 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在 ，
使得 ，利用这条性质证明：函数 图象上任意两点的连线斜率不小于 ．
【变式1】对于正整数n，记 与 的最大公因子为 ，若 ，则称n是奇异
的．证明：若n是奇异的，则 也是奇异的．
【题型七】 平方数
【例1】（23-24高二上·辽宁·期末）已知 与 均为完全平方数，且 的正整数 共有 （
）个
A．1 B．12
C．13 D．以上都不对
【例2】（2024高三上·全国·竞赛）对于各数位均不为0的三位数 ，若两位数 和 均为完全平方数，
则称 具有“ 性质”，则具有“ 性质”的三位数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【变式1】（2024高三上·全国·竞赛）设双曲线Γ: ， ，B，C在Γ上且直线 经过A.设
分别为Γ在B，C处的切线，点D满足 ，则D的轨迹方程是 ;若D的横纵
坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是 .(写出1个即可).
【变式2】（2023高三·全国·专题练习）求所有的正整数 ，使得 为完全平方数．
【题型八】 高斯函数
【例1】（多选）（2024·全国·模拟预测）积性函数 指对于所有互质的整数 和 有
的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有（ ）
A．高斯函数 表示不大于实数 的最大整数
B．最大公约数函数 表示正整数 与 的最大公约数（ 是常数）
C．幂次函数 表示正整数 质因数分解后含 的幂次数（ 是常数）
D．欧拉函数 表示小于正整数 的正整数中满足与 互质的数的数目
【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知 ，则数列 中整数项
的个数为 ．
【变式1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）设 ，我们常用 来表示不超过 的最大整数.如：
.
(1)求证： ；
(2)解方程： ；
(3)已知 ，若对 ，使不等式成立，求实数 的取值范围.
【变式2】60支球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率均为0.5，设没有两队赢相同场数的概率为 ，
其中p，q为互质的正整数，则使得 可整除p的最大正整数n是（ ）
A．1768 B．1746 C．1714 D．1702
【题型九】不定方程
【例1】（2023高三·北京·竞赛）正整数 满足： ，则 的可能值
有（ ）
A．0个 B．3个 C．4个 D．无穷多个
【例2】设 ， ， 和 均为正整数，则 的最大值和最小值之差为（ ）
A．9 B．15 C．22 D．前三个答案都不对
【变式1】（多选）（2023高三·北京·竞赛）已知 是完全平方数，则（ ）
A． 的取值有无数个 B． 的最小值小于15
C． 为奇数 D．
【变式2】（2023高三·北京·竞赛） 有几个正实数解？
