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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用
面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；
2.会用勾股定理进行简单的计算.
重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
难点：会用勾股定理进行简单的计算.
自主学习
一、知识回顾
1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想
到什么方法算出正方形C的面积呢？
C
C
A
A
B
B
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成
各
边都在网格线上的正方形）：
左图：S=__________________________;
c
右图：S=__________________________.
c
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割
成
易求出面积的三角形和四边形）：
左图：S=__________________________;
c
右图：S=__________________________.
c课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理的认识及验证
想一想 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到
他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形 A、B、C 面积之间有什么样的数量关系？
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也
有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
C
A C
A
B
B
思考 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.
活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.
证法 利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”
证明：∵S ＝________，
大正方形
S ＝________,
小正方形
S ＝___·S ＋S ，
大正方形 三角形 小正方形
∴________=________+__________.
要点归纳：
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
探究点2：利用勾股定理进行计算
典例精析
例1如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，
方法总结
根据勾股定理列方程求解.
变式题2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是
直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，
它常与勾股定理联合使用．
针对训练
求下列图中未知数x、y的值：二、课堂小结
内 容
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有
勾股定理
a2+b2=c2.
1.在直角三角形中
2.看清哪个角是直角
注 意
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
当堂检测
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c=_______.
（2）若c=13，b=12，则a=_______.
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．能力提升：
7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求
△ABE及阴影部分的面积.
参考答案
自主学习
一、知识回顾
方法1：
方法2：
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理的认识及验证
猜测：a2+b2=c2
证法： c2 (b - a)2 4
探究点2：利用勾股定理进行计算
典例精析
例1 解：(1) 据勾股定理得
(2) 据勾股定理得
变式题1 解：(1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得x2 + (2x)2 = 52，解得
(2) ∵∠A=30°，b=15，∴c = 2a.
因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得 (2x)2 - x2 = 152，
解得
变式题2 解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当 AB 为斜边时，如图①，
当 BC 为斜边时，如图②，
例2 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25， 即 AB = 5.
根据三角形面积公式，∴ AC×BC = AB×CD. ∴CD = .
针对训练
1. 解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， 解得 x = 15.
2. 解：由勾股定理可得y2 + 144 = 169，解得 y = 5.
当堂检测
1. C 2. 36 cm² 3. 17 5 4. 74 或 24
5. 解：设另一条直角边长是 x cm. 由勾股定理得 152 + x2 = 172，
即 x2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64，∴ x =±8 (负值舍去)， ∴ 另一直角边长为 8
cm，
直角三角形的面积是 ×8×15 = 60(cm2).
6. 解：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°． 在Rt△ADB 中，∵∠B +∠BAD =
90°，∠B = 45°，∴ ∠B = ∠BAD = 45°，∴ BD = AD = 1，∴ AB = ．
在 Rt△ADC 中，∵∠C = 30°，∴ AC = 2AD = 2，∴ CD = ，
∴ BC = BD + CD = 1+ ，∴ △ABC 的周长 = AB + AC + BC = ．
+ +37.解：∵AE＝BE，∴ S ＝ AE·BE＝ AE2. 又∵ AE2＋BE2＝AB2，∴ 2AE2＝AB2.
△ABE
∴S ＝ AB2＝ . 同理可得 S ＋S ＝ AC2 ＋ BC2.
△ABE △AHC △BCF
又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为 AB2＝ .
