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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边
与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知
边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
自主学习
一、知识回顾
1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.
勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________.
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理的简单实际应用
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾某和胡某的做法，
对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
典例精析
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内
通过?为什么?例2 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m.
如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗?
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离
树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的
关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.
针对训练
1. 湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点
C测得CA=130米,CB=120米,则 AB为 ( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角
走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
典例精析
例4 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
方 法 总 结 : 两 点 之 间 的 距 离 公 式 ： 一 般 地 ， 设 平 面 上 任 意 两 点
思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直
角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
证明:如图,在Rt△ABC 和Rt△A’ B’ C’中,∠C=∠C’=90°, AB=A’ B’,AC=A’ C’．
求证：△ABC≌△A’ B’ C’ ．
证明：在Rt△ABC 和Rt△A’ B’ C’中，∠C=∠C’=90°，
根据勾股定理得BC=_______________,B’ C’=_________________.
∵AB=A’ B’，AC=A’ C’，∴_______=________.
∴____________≌____________ (________)．
探究点3：利用勾股定理求最短距离
问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择A→B路线，而不选择
A→C→B 路线，难道小狗也懂数学？
思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
问题 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁
捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近(在以下三条路线中选
择一条)？
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，请求出最短路线的长度.
要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，
根据两点之间线段最短确定最短路线.
典例精析
例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯
子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）?
变式题 看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁
放在了点 A 处，并在点 B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路
程么？
例6 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km
处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多
少？
方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一
点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与
另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
针对训练
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面
到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少
二、课堂小结
用勾股定理解决实际问题
勾股定理
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题
的应用用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
当堂检测
1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到
电线杆底部B的距离是（ ）
A.24m B.12m C. m D. m
第1题图 第2题图
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只
铅笔的长度可能是（ ）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢
飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和
B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁
从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
能力提升
6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油
纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，
应裁剪多长的油纸？参考答案
自主学习
一、知识回顾
1. a2+b2=c2 2.
3. 5 12
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理的简单实际应用
问题： 这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题
典例精析
例1 解：解：在Rt△ABC 中，根据勾股定理，AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5.
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过.
例2 解：在 Rt 中，根据勾股定理得 OB2 = AB2 - OA2 =2.62 - 2.42 =1，
△AOB
∴OB = 1. 在 Rt 中，根据勾股定理得 OD2 =CD2 - OC2 = 2.62-(2.4-0.5)2=3.15，
△COD
∴ 梯子的顶端沿墙下滑 0.5 m 时，梯子底端并不是也外移 0.5 m，而是外移约 0.77 m.
例3 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中，
AC = 6 米，BC = 8 米，由勾股定理得
∴ 这棵树在折断之前的高度是 10 + 6 = 16 (米).
针对训练
1.A
2.解：(1) 在Rt 中，根据勾股定理得
△ABC
∴这条“径路”的长为5米.
(2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4(步).
例4 解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作x,y轴的垂线.相交于点C，连接AB.
∴ AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4，在Rt 中，由勾股定理得
△ABC
∴ A，B 两点间的距离为 5.
思考 证明：在Rt 和Rt 中，∠C =∠C′ = 90°，
△ABC △A′B′C′
根据勾股定理得探究点3：利用勾股定理求最短距离
想一想: 根据两点之间线段最短易知第三个路线最近.
解：在Rt 中，由勾股定理得
△ABA′
例5 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离.
∵ AA' = 2×3×2=12， A'B'= 5，∴ AB' = 13. 即梯子最短需 13 米.
变式题 解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得
AB2 =102 +（6+8）2 = 296，AB 2= 82 +（10+6）2 =320，
1 2
AB 2= 62 +（10+8）2 =360，∴AB＜AB＜AB.
3 1 2 3
∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为
.
例6 解：如图，作出点 A 关于河岸的对称点 A′，连接 A′B 则 A′B 就是最短路线.
由题意得 A′C = 4 + 4 + 7 = 15 (km)，BC = 8 km.
在 Rt 中，由勾股定理得
△A′CB
针对训练
解：由题意得 AC = 2，BC = 1，在 Rt 中，由勾股定理得 AB²= AC²+ BC²= 2²+
△ABC
1²= 5，
∴ AB = ，即最短路程为 .
当堂检测
1. D 2. D 3. 10
4.解：如图，过点A作AC⊥BC 于点 C. 由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)，
答：小鸟至少飞行 10 米.
5.解：台阶的展开图如图，连接 AB. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得
AB2＝BC2＋AC2＝552＋482＝5329，∴ AB = 73 cm.
6.解：如右下图，在Rt△ABC 中，∵AC＝36 cm，BC＝108÷4＝27 (cm)．
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，
∴ AB＝45 cm，∴ 整个油纸的长为45×4＝180 (cm)．
