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第十七章 勾股定理
课 题 时间
§17.1勾股定理（一）
知识与技
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.
能
教
过程与方 通过观察、 归纳、 猜想和验证勾股定理，体验由特殊到一般的探
学
法 索数学问题的方法和数形结合的思想.
目
1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情.
的 情感态度
2．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生
与价值观
进行爱国主义教育.
教学重点 探索和证明勾股定理.
教学难点
用拼图的方法证明勾股定理.
教学手段 用多媒体课件
教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问
1、三角形的三边关系是什么？
2、直角三角形的三边有什么关系？
A
①两边之和大于第三边；
弦
②斜边大于任何一条直角边； 勾
③30°角所对的直角边等于斜边的一半等.
3、介绍直角三角形各边的古代名： C 股 B
勾：较短的直角边；股：较长的直角边；弦：斜边
c
二、引入
c
1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会， b
这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它
a
的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？
2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地
砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请同学们也观察一
下，看看能发现什么？
(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；
(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.
结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？（书P65探究）
B
A
C
C'
1
A'
B'4、计算机演示
(1) 如图：在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，改变a、b、c的长度，但始终保持
∠ACB=90°， 在运动过程中，测算 ， ， ，
的值. 取其中几组测算值，让学生观察这几个数值之间的关系？
提问：哪些量是不变的？（∠ACB=90°）
哪些关系是不变的？（ ）
(2) 演示锐角三角形、钝角三角形三边的平方是否存在这种关系？
因此这个结论只适用于是直角三角形.
三、新课
让学生叙述猜想、画图，并说出已知、求证.
命题 1：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么
A
.
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， c
b
a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
求证： C a B
到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种. 下面，我们就来看一看我国
数学家赵爽是怎样证明这个命题的
c
b c
a b c c
a
a b
提问：拼接后的图形是否是由原4个直角a 三角形
b
和小正方形没有重叠、没有空
隙地拼成的？拼接后的图形是什么图形？
由此得到：
小结：这种证法是面积证法．图形割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积不会
改变．
下面介绍另一种拼图的证法：（选讲）
做八个全等的直角三角形和分别以a、b、c为边长的三个正方形. 拼成如下两个
2图形：
a b a b
a
a a
b
b b b
a
提问：①这
a
两个图
b
形分别是什么图形？
b
（正方a 形，四条边都相等，四个角都为直
角）
② 这 两 个 图 形 的 面 积 相 等 吗 ？ （ 相 等 ， 都 等 于
）
③如何利用这两个图形证明： ？
勾股定理：(P65)
如 果 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 分 别 为 a ， b ， 斜 边 长 为 c ， 那 么
A
.
c
几何语言：∵Rt△ABC中，∠C=90° b
∴ （勾股定理）
C a B
（ 或 ， ，
等.）
注：①勾股定理存在于直角三角形中，运用勾股定理必须具备“直角”的条件；
②勾股定理说明了直角三角形中三边之间的关系．在直角三角形中，已知任
意两边的长，就可以求出第三边的长.
③运用勾股定理要注意哪个角是直角，由此确定哪条边是斜边，抓住“斜
边的平方等于两直角边的平方和”；
④无论求斜边，还是求直角边，最后都要开平方. 开平方时，由于边长为正，
所以取算术平方根；
⑤勾股定理是直角三角形的一条重要性质，它由一个角是直角作“因”，三
边的数量关系作“果”，体现了由“形”到“数”的转化，是数形结合思
想的一个典范.
⑥勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定
理. 目前世界上已有几百种证法，就连美国第20届总统加菲尔德也提供了
一种面积证法.请同学们课下阅读书上P71~72.
例、(1) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB.
(2) 已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求AC.
(3) 已知 Rt△ABC 中，∠B=90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，
c∶a=3∶4，b=15，求a，c及斜边高线h.
解：先画图
(1) ∵Rt△ABC中，∠C=90°
∴ （勾股定理）
A
∴ = =
=10
(2)
C B
3(3) ∵c∶a=3∶4
∴设a=4k，c=3k
∵Rt△ABC中，∠B=90°
∴ （勾股定理）
A
∴
b
c
h
（舍负） B a C
∴a=4k=12，c=3k=9
∵∠ABC=90°，h是斜边高线
∴ac=bh
∴h= = =
∴a=12，c=9，h=
四、课堂小结
1、勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征；
2、勾股定理把直角三角形“形”的特征，即一角为90°，转化为数量关系，体现了
数形结合的思想.
五、课堂练习
如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小
正方形A、B、C、D的面积之和是 . （ ）
六、作业 B
A
见素材
C
D
课
后
a
反
思
课题 §17.1勾股定理（二） 时间
1、利用勾股定理解决实际问题.
知识与技
2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模
能
教 思想和数形结合思想和方程思想.
学 过程与方
运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
目 法
的 1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合
情感态度
作的意识和品质．
与价值观
2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.
教学重点 勾股定理的应用．
4教学难点 勾股定理在实际生活中的应用．
教学手段 讲练结合
教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问
D C
1、勾股定理？应用条件？
2、证明方法？（面积法）
3、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长． 2m
答：AC的长为 ．
A 1m B
二、新课
D C
例1、一个门框的尺寸如图所示：
(1) 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否从门框内通过？
(2) 若有一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否从门框内通过？ 2m
(3) 若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？
分析：(3) 木板的宽2.2米大于1米，所以横着不能从门框内通过．
木板的宽2.2米大于2米，所以竖着不能从门框内通过．A 1m B
因为对角线AC的长度最大，所以只能试试斜着能否通过．
所以将实际问题转化为数学问题．
解：(3) ∵在Rt△ABC中，∠B=90°
∴AC2=AB2 +BC2 (勾股定理)
∴AC= = ≈2.236
∵AC≈2.236>2.2
∴木板能从门框内通过（书上P67填空）
小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的
长.
例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5
米．
如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
（计算结果保留两位小数）
分析：要求出梯子的底端 B是否也外移 0.5米，实际就是求 BD的长，而
BD=OD-OB
解：∵在Rt△ABO中，∠AOB=90°
∴OB2=AB2-AO2 (勾股定理)
∴OB= = = ≈1.658
A
∵OC=AO-AC
C
∴OC= 2.5-0.5=2
∵在Rt△COD中，∠COD=90°
∴OD2=CD2-CO2 (勾股定理)
O B D
∴OD= = = ≈2.236
∴BD=OD -OB≈2.236 -1.658≈0.58
5答：梯的顶端A沿墙下滑0.5米时，梯子的底端B外移约0.58米．
例3、一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高
度是多少？
分析：方程思想
解：设AB= x m，则AC= (8-x) m
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90° A
∴AB2+BC2=AC2
∴
x=3.75
∴折断处离地面的高度是3.75 m.
B C
小结：1、方程思想.
2、勾股定理是此题的等量关系.
三、课堂练习
1、已知：△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D，AD=6. 求AC的长.
解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC
∵AD⊥BC
∴DC= BC
A
∴DC= AC
设DC=x，则AC=2x
∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°
∴AD2+DC2=AC2 (勾股定理)
∴
B D C
（舍负）
∴
2、如图，要修建一个蔬菜大棚，大棚的截面是直角三角形，棚宽m=4米，高n=2
米，长d=15米，求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米？（结果保留小数点后
1位）
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°
∴AB2 =m2+n2 (勾股定理)
∴AB= = =
∴S=AB•d
= ×15≈4.472×15=67.08≈68（平方米）
注意：这里要取过剩近似值.
d
A
四、课堂小结 n
1、勾股定理的作用——它把直角三角形的图形特
C
征转m化为
B
边的数量关系.
2、会用勾股定理进行有关计算和证明，要注意利用方程的思想求有关三角形的边
6长.
3、会从实际问题中抽象出数学模型，从而解决实际问题.
五、作业
见素材
课
后
反
思
课题 §17.1勾股定理（三） 时间
1、会在数轴上表示 （n为正整数）.
知识与技
2、利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合
能
教 思想.
学 过程与方
运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
目 法
的 1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合
情感态度
作的意识和品质．
与价值观
2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.
教学重点 勾股定理的应用.
教学难点 利用勾股定理建立方程.
教学手段 讲练结合
教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问
1、勾股定理？
2、解决有关直角三角形问题常用方程思想.
二、新课
例1、（书P68）我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴
上画出表示 的点吗？
分析：(1)若能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示 的点.
(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为 ．因此在数轴上能
表示 的点．那么长为 的线段能否是直角边为正整数的直角
三角形的斜边呢？
B
解：∵在Rt△ABC中，∠OAB=90°，OA=3，AB=2
∴OB= =
A C
∴在数轴上取点A，使OA=3，过点A作AB⊥OA于A， O 1 2 3 13
使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示 的点.
7思考：怎样在数轴上画出表示 （n为正整数）的点？
利用勾股定理，可以做出长为 （n为正整数）的线段，进而可以在
数轴上画出表示 （n为正整数）的点.
（P69 ）
1 1
1 1
1
14 13 12 1
1
15 11
10 1
1 16 9
17 8 1
1 1
18 7
1 2 1
1 19 3 6
1 4 5 1
1 1
0 1 2 3 2 5 6 3
1 4
结论：利用勾股定理，可以做出长为 （n为正整数）的线段，进而在
数轴上可画出表示
（n是正整数）的点.
练 习 ： 书 P69 练 习 1 ， （ 再 练 ，
等）
例2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°, ∠B=∠D=90°. 求四边
形ABCD的面积.
解：延长BC与AD交于点E
∵∠A=60°，∠B=90°
A
∴∠E=30°
60
∵在Rt△ABE中，∠E=30°
2 D
∴AE=2AB=4
∵在Rt△ABE中，∠B=90° 1
∴
B C E
∴
∵在Rt△DCE中，∠E=30°
∴CE=2CD=2
∵在Rt△DCE中，∠CDE=90°
∴
∴
∴
小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
8例3、已知：如图，在△ABC中，AD BC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.
解：设BD=x，则CD=8-x
∵AD BC
∴∠1=∠2=90°
∵在Rt△ABD中，∠1=90°
A
∴
∵在Rt△ADC中，∠2=90° 6 4
∴
1 2
∴ （双勾股） B x D 8-x C
∴
∴BD= ，CD=8-x=
小结：当两个直角三角形有公共边时，可以利用公共边作桥梁，建立方程，这种方法
称为双勾股.
三、课堂练习
已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C’处，BC’与AD交于
点E，
AD=6，AB=4，求DE的长. C'
解：∵矩形ABCD
A E D
∴BC=AD=6，CD=AB=4，∠C=90°，AD∥BC 3
∵矩形ABCD沿直线BD折叠
∴△BC’D≌△BCD 1
2
∴BC’=BC=6，C’D=CD=4，∠C’=∠C=90°，∠1=∠2 B C
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴BE=DE
设DE=BE=x，则C’E=6-x
∵在Rt△DC’E中，∠C’=90°
∴
∴
∴
四、课堂小结
1、在数轴上画出表示 （n为正整数）的点的方法.
2、利用辅助线构造Rt△.
93、利用直角三角形的公共边构造方程，简称“双勾股”.
五、作业
见素材
课
后
反
思
课题 §17.1勾股定理（四） 时间
知识与技 利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合思
能 想.
教
过程与方 运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
学
法
目
情感态度 1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合
的
与价值观 作的意识和品质．
2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.
教学重点 勾股定理的应用.
教学难点 利用勾股定理建立方程.
教学手段 讲练结合
教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问
1、直角三角形的性质：
(1)直角三角形两锐角互余.
(2)斜边大于直角边.
(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边一半.
(4)勾股定理
2、在数轴上画出表示 （n为正整数）的点的方法.
二、新课
例1、(1) 已知直角三角形有一个锐角为30°，求这个直角三角形三边的比值.
(2) 已知等腰直角三角形，求其三边的比值. （此题让学生练习）
解：(1) 设BC=k
A
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
30
∴AB=2BC=2k
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2=AB2-BC2 (勾股定理)
∴AC= = C B
∴BC∶AC∶AB=1∶ ∶2
(2) 设BC=k
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45° A
∴AC=BC=k
45
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
10
C B∴AB2=AC2+BC2 (勾股定理)
∴AB= =
∴BC∶AC∶AB=1∶1∶
小结：记住以上结论.
例2、某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵树B，小明想测量A、B之间
的距离，他从湖边C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东30°方
向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮助小明计
算A、B之间的距离是多少？（只分析，不板书）
A B
解：过C作CD⊥AB于D
∵在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠1=30°
北
∴
C 东
∵在Rt△BCD中，∠CDB=90° A D B
∴
∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠2=45°
∴AD=CD= 2 1 北
东
∴ 米.
C
例3、△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动，猜想 的值是否随点P
位置的变化而变化，并证明你的猜想.
A
结论：不变
证明：过A作AD⊥BC于D
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD B P D C
∴BP=BD-PD，PC=CD+PD=BD+PD
∴
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴
∵在Rt△APD中，∠ADP=90°，
∴
∴
∵AB =4
∴
∴ 的值不随点P位置的变化而变化.
小结：利用代数计算来证明几何问题.
例4、已知：如图，AB=AC=20，BC=32，∠DAC=90°，求BD的长.
解：作AE BC于E
∵AB=AC，AE BC
A
∴BE=EC= BC=16
20 20
11 B x D E C设BD=x，则DE=16-x DC=32-x
∵在Rt△AEC中，∠AEC=90°
∴ =144
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°
∴
∴
∵在Rt△ADC中，∠DAC=90°
∴
∴
∴
x=7
∴ BD=7
小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用方程思想和勾股定理求边长. 由于在
不同的Rt△中用勾股定理，故要分清每个Rt△中的直角边，斜边，正确使用勾
股定理.
三、课堂练习
1、如图：∠C=90°，图中有阴影的三个正方形的面积S ，S ，S 有什么关系？
1 2 3
2、如图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积S ，S ，S 有什么关系？（P71 /
1 2 3
11）
3、如图：∠C=90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径
作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为 2 0 . （P71 /
12）
B C
B
S
S 3 S S 3
1 1
A
C
A
S C S 2 A 第3题图 B
2
4、直线l上依次摆放着七个正方形 (如第图2所题示图)．已知斜放置的三个正方形的面积
第1题图
分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 、S 、S 、S ，则S +S +S
1 2 3 4 1 2 3
+S = 4 .
4
3
1 2 S
S S S
1 2 4 l
四、课堂小结 3
1、30°、45°直角三角形三边关系.
1、利用辅助线构造Rt△.
2、利用勾股定理构造方程.
五、作业
12见素材
课
后
反
思
13
