文档内容
第 16 讲 点和圆的位置关系 （3 个知识点+6 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r ⊙
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以⇔确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
⇔ ⇔
知识点2．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
知识点3．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
题型强化
题型一．点与圆的位置关系
1．（2024秋•江宁区校级月考） 以原点为圆心，5为半径，点 的坐标为 ，则点 与 的位置
关系是
A．点 在 内 B．点 在 上
C．点 在 外 D．点 在 上或 外
【分析】画出图形，求出 的长，再根据点与圆的位置关系得出即可．
【解答】解：过 作 轴于 ，
点 的坐标为 ，
， ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
是以原点为圆心，5为半径的圆，
点 和 的位置关系是点 在 内，
故选： ．
【点评】本题考查了点的坐标、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，能求出 的长是解此题的关键．
2．（2024秋•南京月考）平面上一点 与 上的点的最短距离为2，最长距离为10，则 的半径为
．【分析】分点 在圆内或圆外进行讨论．
【解答】解：当点 在圆内时， 的直径长为 ，半径为6；
当点 在圆外时， 的直径长为 ，半径为4；
即 的半径长为 6或4．
故答案为：6或4．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
3．（2024秋•灌云县月考）如图，点 表示一座风景秀美的小山，市政府计划以点 为中心，修建一个半
径为 的“桃园山庄”．因此，在此范围内的其他建筑物将被拆除．从点 出发向东走 ，再向南
走 有一砖厂 ，砖厂的正东 处有一古塔 ，问砖厂和古塔是否需要拆除？
【分析】先求出 、 两点的坐标，现利用勾股定理求出 、 的长与半径作比较判断点与圆的位
置，即可解答．
【解答】解：由题意，得 点坐标为 ， 点坐标为 由勾股定理，得 ，
，
，砖厂在圆内，砖厂需要拆除，
，古塔在圆外，不需要拆除．
【点评】本题是点与圆的位置关系的应用，解决问题的关键是求出点到圆的距离．
题型二．确定圆的条件
4．（2023秋•柳河县期末）下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧
相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；
⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．
故选： ．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性
质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
5．（2024秋•建邺区校级月考）若过平面直角坐标系中的三个点 、 、 能确定一个圆，
则 ．
【分析】根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点 不在直线 上，三个点确定一个圆，进行
求解即可．
【解答】解： 、 ，
设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ，
，
当 时， ，
当 时，平面直角坐标系中的三个点 、 、 能确定一个圆，
故答案为：4．
【点评】本题考查确定圆的条件，坐标与图形性质，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
6．（2022秋•乌兰浩特市校级期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 、 、 的横、纵坐标都为
整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆的圆心坐标是 ．
【分析】作出线段 ， 的垂直平分线的交点 ，可得结论．【解答】解：如图，点 即为圆心， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查确定圆的条件，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
题型三．三角形的外接圆与外心
7．（2024秋•沭阳县校级月考）在 △ 中， ， ， ，则这个三角形的外接圆
的直径是
A．5 B．10 C．4 D．3
【分析】先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解．
【解答】解： ， ， ，
，
这个三角形的外接圆的直径是10，
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关
键．
8．（2024秋•泰兴市校级月考）在△ 中， ， 是△ 的外接圆，点 是 上一动点
（不与 、 重合），过点 作 的垂线，交直线 于点 ，若 ，则 的度数是
．【分析】由圆周角定理可知 ，再由等边对等角的性质，得到 ，然后结合
三角形内角和定理求解即可．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，
一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．
9．（2024秋•秦淮区校级月考）如图，△ 内接于 ， 为 的中点， 在 上，连接 ，
，垂足为 ，直线 分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【分析】（1）连接 、 ，根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，再根据线段垂直平分线的判定
定理证明；
（2）连接 ，根据直角三角形的性质得到 ，根据圆周角定理得到 ，得到
，根据等腰三角形的判定得到 ，再根据等腰三角形的性质证明即可．
【解答】证明：（1）如图，连接 、 ，
为 的中点，
，，
，
直线 是线段 的垂直平分线，
；
（2）如图，连接 ，
，
，
由（1）可知： ，
，
，
，
，
由圆周角定理得： ，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查三角形外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判
定和性质是解题的关键．
题型四、判断点与圆的位置关系
10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知 的半径是 ， 是 外一点，则 的长可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（ 为圆半径， 为点到圆心距离）当 ，点在圆内；当 ，点在圆外；当 ，点在圆上；据此作答即可．
【详解】解：∵ 的半径为 ， 是 外一点，
∴线段 的长度 ．
故选：D．
11．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习） 的半径为4，点 与点 距离为2，则点 与 的位置关
系是 ．
【答案】点A在 内
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设 的半径为r，点A到圆心的距离
，则有：当 时，点P在圆外；当 点P在圆上；当 点P在圆内．据此判断即可．
【详解】解：∵ 的半径为4，点 与点 的距离为2，
∴点A 到圆心O的距离小于圆半径，
∴点A在 内．
故答案为：点A在 内．
12．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 是 上的三个点，
、 、 ．
(1)在图上标出圆心 ，圆心 的坐标为____；
(2)求 的半径，并判断点 与 的位置关系．
【答案】(1)见解析，
(2) 的半径为 ，点 在 上
【知识点】判断点与圆的位置关系、利用垂径定理求同心圆问题、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形【分析】本题考查了垂径定理的推论、点与圆的位置关系、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
（1）作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心，结合图形即可得出圆心 的坐标；
（2）求出 的半径和 的长，即可得解．
【详解】（1）解：如图，圆心 即为所作，
，
圆心 的坐标为(2,0)；
（2）解：∵ ，
∴ 的半径为 ，
∵ ，
∴点 在 上．
题型五、利用点与圆的位置关系求半径
13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在半径为r的 内，且 ，则r的值可能为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】利用点与圆的位置关系求半径
【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆
的位置关系求解即可．
【详解】解：∵点P在半径为r的 内，且 ，
∴ ，
比较四个选项，只有 ，
故选：D．14．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内， 的半径是8，点 不在 上，若点 到 上
的点的最小距离是 ，则点 到 上的点最大距离是 ．
【答案】13或19
【知识点】利用点与圆的位置关系求半径
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
由题意知，分点 在 内，点 在 外两种情况求解即可．
【详解】解：由题意知，分点 在 内，点 在 外两种情况求解；
当点 在 内，如图1，
∴ ， ，
∴ ，
∴最大距离是13；
当点 在 外，如图2，
∴ ， ，
∴ ，
∴最大距离是19；
综上所述， 的半径是13或19；
故答案为：13或19．
15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形 中， ， ， ，
是高线， 是中线．(1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点 ， ， 与圆A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作圆A，使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径
的取值范围？
【答案】(1)点 在圆A上，点 在圆A内， 在圆A外
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、利用点与圆的位置关系求半径
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与
圆的位置关系是解题的关键；
（1）先利用勾股定理计算出 ，再利用等面积法求出 ，然后根据点与圆的位置关系进行判断
即可；
（2）使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据 ， ， 可知，
C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
，
半径 ，
， ， ，
点 在圆A上，点 在圆A内， 在圆A外；
（2）解： 使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ， ， ，
，即 ，
圆A的半径 的取值范围为 ．题型六、判断确定圆的条件
16．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；
③以 长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】判断确定圆的条件、圆的基本概念辨析
【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】解：①半径相等的圆是等圆，故①正确；
②同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②不正确；
③以 长为半径的圆有无数个，没有指定圆心，故③正确；
④平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确；
故选：B．
17．（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点 ， ，
确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【知识点】坐标与图形、判断确定圆的条件
【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即
可．
【详解】解：∵ ， ， ，在 这条直线上，
∴三个点 ， ， 不能确定一个圆．
故答案为：不能．
18．（22-23九年级上·广东广州·期末）在正方形 中，点 在射线 上（不与A、 重合），连接
，以 为对角线作正方形 （ 、 、 、 按逆时针排列），连接 、 ．
(1)如图，当点 在线段 上时，求证： ；(2)由正方形的性质可知 ，即 ， 两点均在以 为直径的同一个圆上，请直接回答：
_________ ；
(3)如备用图，当点 在线段 上时，判断 、 、 三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)45
(3) ，理由见详解
【知识点】判断确定圆的条件、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）证明 ，从而命题得证；
（2）证得点 、 、 、 共圆，从而得出结论；
（3）作 交 于 ， ，进一步命题得证；
【详解】（1）证明： 四边形 和四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，
点 、 、 、 共圆，
；
故答案为：45；
（3）解：如图1，，理由如下：
作 交 于 ，
，
，
，
由（1）（2）知： ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作
辅助线，构造全等三角形．
分层练习
一、单选题
1．已知 的半径为2，点P在 外，则 的长不可能是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点与圆心的距离 大于半径r时，点在圆外；当点与圆心的距离 等于半径r时，点在圆上；当点与圆心的距离 小于半径r时，点在圆内，由此可解．
【详解】解：A， 时， ，点P在 内，与已知矛盾，符合题意；
B， 时， ，点P在 外；
C， 时， ，点P在 外；
D， 时， ，点P在 外；
故选：A．
2．用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（ ）
A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个
C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个
【答案】A
【知识点】反证法证明中的假设
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解：用反证法证明“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设多边形的内角中锐角的
个数最少有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，
要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定．
3．用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
【答案】B
【知识点】反证法证明中的假设
【分析】熟记反证法的步骤，直接选择得出即可．
【详解】解：用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”，
第一步应假设三角形中至少有两个直角或钝角，故选：B．
【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设
结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考
虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否
定．
4． 的直径为 ，如果点P到圆心O的距离是d，则（ ）
A．当 时，点P在 内 B．当 时，点P在 上
C．当 时，点P在 上 D．当 时，点P在 外
【答案】C
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为 ，根据点与圆的位置关系的判定方法得到
当 时，点P在 外；当 时，点P在 上；当 时，点P在 内，然后对各选项
进行判断．
【详解】∵ 的直径为 ，
∴圆的半径为 ，
∴当 时，点P在 外；当 时，点P在 上；当 时，点P在 内，
故符合条件的只有C，
故选：C．
5．一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程 的两根，则这个三角形外接圆
的半径是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径
【分析】先求出方程的解，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半作答．
【详解】解： ，
因式分解得 ，解得 ，
∵ ，
∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13，
∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即 ，
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圆的半径，熟记直角三角形外
接圆的半径等于斜边的一半是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，以A为圆心R为半径作圆，使得点C在圆内，点B在
圆外，则R的值可以是（ ）
A．4 B．4.6 C．5 D．5.6
【答案】B
【分析】根据点于园的位置关系，可以得到半径的取值范围．
【详解】解：∵在 ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝5， △
当点C在圆内时点C到点A的距离小于圆的半径，即：R＞4；
点B在圆外时点B到圆心的距离应该大于圆的半径，即：R＜5；
∴4＜R＜5
故选B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与园心得距离与半径之间的位置关系．
7．如图，在 中， ， ， ， 是斜边 上的中线，以 为直径作
，设线段 的中点为P，则点P与 的位置关系是（ ）A．点P在 内 B．点P在 上
C．点P在 外 D．点P不在 内
【答案】A
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，再由中位线的性质得 ，最后根
据点和圆的位置关系即可解答．
【详解】解：如图：连接
∵在 中， ， ， ， 是斜边 上的中线，
∴
∵点以 为直径作
∴
∵点 是 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴点 在 内．
故选A．
【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质等知识点，，
求出点到圆心的距离是关键．
8．在Rt ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（）
A．10△0πcm² B．15πcm² C．25πcm² D．50πcm²
【答案】C
【知识点】求特殊三角形外接圆的半径
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，可得出外接圆的
半径，进而得出其面积【详解】如图所示：
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=
∴外接圆的半径r=
∴外接圆的面积为25πcm²
故选C.
【点睛】考查了直角三角形外接圆的半径与斜边的关系，解题关键是由题意画出图形，再运用直角三角形
外接圆的半径等于斜边的一半求解.
9．下列说法正确的是( )
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的圆心角相等
【答案】D
【知识点】垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求解、同弧或等弧所对的圆周角相等、 三角形
外接圆的说法辨析
【分析】根据垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
B．三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故错误；
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D．等弧所对的圆心角相等，故正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，
过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、利用点与圆的位置关系求半径
【分析】取BC的中点E，连接AE、AC．在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，当E、
M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM，利用勾股定理求出AE即可解决问题．
【详解】解：如图，取BC的中点E，连接AE、AC．
∵CM⊥BD，
∴∠BMC=90°，
∴在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，
∴CE= BC=8，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=16，AB=2OA=20，
∴AC= 12，在Rt△ACE中，AE= ，
∵EM+AM≥AE，
∴当E、M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM=4 -8，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点M的运动轨
迹是以BC为直径的圆上运动．
二、填空题
11．在平面内，⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是 ．
【答案】点在圆外
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】根据点与圆的位置关系判定法则d、r法则计算判断即可．
【详解】解：∵OP=3＞2，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故答案为：点在圆外．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系．点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
12．点P到 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则 的半径为 ．
【答案】3或2/2或3
【知识点】利用点与圆的位置关系求半径
【分析】当点 在圆内时，最大距离与最小距离之和就是圆的直径，可以求出圆的半径．当点 在圆外时，
最大距离与最小距离之差就是圆的直径，可以求出圆的半径．
【详解】解：当点 在圆内时，因为点 到圆上各点的最大距离是5，最小距离是1，所以圆的直径为6，
半径为3．
当点 在圆外时，因为点 到圆上各点的最大距离是5，最小距离是1，所以圆的直径为4，半径为2．
故答案为：3或2．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，
然后确定半径的值．
13．用反证法证明命题“已知 的三边长 满足 ．求证： 不是直角
三角形．”时，第一步应先假设 ．
【答案】 为直角三角形【知识点】反证法证明中的假设
【分析】此题考查了反证法，根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可，解题的关
键是正确理解反证法的意义及步骤．
【详解】反证法证明命题“已知 的三边长 满足 ，则这个三角形不是直
角三角形”，第一步要先假设“ 是直角三角形”，
故答案为： 为直角三角形．
14． ABC的三边分别是3，4，5，则 ABC的外接圆的半径是 ．
△ △
【答案】
【知识点】求特殊三角形外接圆的半径
【分析】根据勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆的半径为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题关键．
15．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个 ABC的工作面，使得∠ACB=60°，CD是AB边上的高，且
CD=6，则 ABC的面积最小值是 ．△
△
【答案】
【知识点】利用垂径定理求值、求特殊三角形外接圆的半径
【分析】作ΔABC的外接圆 ，连接 、 、 ，作 于 ，设 ．根据圆周角
和等腰三角形的性质得 ， ，再由三角形三边关系可得最小值，最后根据三角形面积公式答案．
【详解】解：作ΔABC的外接圆 ，连接 、 、 ，作 于 ，设 ．
， ，
， ， ， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
的最小值为2．
为 中点，
，
的最小值为 ，
的最小值 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等三角形面积最小值，涉及的知识多，不等式性质，等腰三角形性质，圆的性质，三边
关系，难度较大，利用辅助线准确作出图形是解题关键．
16．如图，矩形 中， ， ，以A为圆心，r为半径作 ，使得点D在圆内，点C在圆
外，则半径r的取值范围是 ．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用点与圆的位置关系求半径
【分析】首先利用勾股定理得出 的长，利用以A为圆心，r为半径作 ，使得点D在圆内，点C在圆
外，得出r的取值范围即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵矩形矩形 中， ， ，
∴ ，
∵以A为圆心，r为半径作 ，使得点D在圆内，点C在圆外，
∴半径r的取值范围是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键．
17．如图，正方形 中， ，以B为圆心， 为半径画圆，点P是 上一个动点，连接
，并将 绕点A逆时针旋转 至 ，连接 ，在点P移动的过程中， 长度的取值范围是
．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求线段长、判断点与圆的位置关系、根据旋转的性质求解【分析】通过画图发现，点 的运动路线为以D为圆心，以 为半径的圆，可知：当 在对角线 上
时， 最小；当 在对角线 的延长线上时， 最大．先证明 ，则 ，再
利用勾股定理求对角线 的长，则得出 的长度的取值范围．
【详解】解：如图，当 在对角线 上时， 最小；当 在对角线 的延长线上时， 最大．
连接 ，
①当 在对角线 上时，
由旋转得： ， ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
即 长度的最小值为 ．
②当 在对角线 的延长线上时，
同理可得 ，
∴ ，
即 长度的最大值为 ．
∴ 长度的取值范围是 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、点与圆的位置关系和最值问题，寻找点 的运动轨迹是
本题的关键．
18．如图，分别以 的边 所在直线为对称轴作 的对称图形 和 ，
，线段 与 相交于点O，连接 ． 有如下结论：① ；②
；③ 平分 ；④ ；⑤ ．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用反证法证明命题、折叠问题
【分析】①由轴对称的性质得 ，结合周角可求出 ；②先求出
，利用“8”字三角形可求出 ；③利用三角形三条角平分线相较于一点可得出
平分 ；④利用30度角的性质判断即可；⑤用反证法判断即可．
【详解】解：∵ 和 是 的轴对称图形，
∴ ， ， ，
∴ ，故①正确．
∴ ，
由翻折的性质得， ，
又∵ ，
∴ ，故②正确．
由翻折的性质得， ， ，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ 平分 ，故③正确．
∵ ，∴只有当 时， 才成立，而 不一定成立，故④不正确；
若 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，这与 ， 相矛盾，所以 ，故⑤不正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和，三角形角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性
质，反证法，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在 中， ，D是 的中点，以A为圆心，r为半径作 ，若
点B，D，C均在 外，求r的取值范围．
【答案】0＜r＜5
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用点与圆的位置关系求半径
【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求
解．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵5＜6＜8，
∴AD＜AB＜AC，
∵A为圆心，r为半径，点B，D，C均在 外，∴0＜r＜5．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点
与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d
＞r时，点在圆外．
20．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【知识点】确定圆心(尺规作图)
【分析】（1）分别作出AB与AC的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离
为半径得出圆O即可；
（2）连接BD．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角
形外角的性质即可求出∠DEC．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接BD．
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，
又∵∠D=∠ACB=40°，
∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是
解题关键．
21．操作与计算：（1）用尺规作出 ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=AC=5，△BC=6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【知识点】利用垂径定理求值、画圆(尺规作图)、求特殊三角形外接圆的半径
【分析】（1）画出线段AB和线段BC的垂直平分线，垂直平分线的交点就是外接圆的圆心；
（2）延长AO交BC于点D，根据垂径定理得到D是BC中点，设圆的半径是x，再利用勾股定理列式求出x
的值．
【详解】解：（1）如图，以A为圆心大于AB一半的长度为半径画弧，再以B为圆心，同样的长度为半径
画弧，连接弧的交点，作出线段AB的垂直平分线，再用同样的方法作出线段BC的垂直平分线，垂直平分
线的交点就是外接圆的圆心O，再以OB为半径画圆可以得到 的外接圆；
（2）如图，延长AO交BC于点D，
∵AB=AC，
∴D是BC中点，
∴BD=3，
∵AB=5，
∴根据勾股定理求出AD=4，
设圆的半径AO=BO=x，则 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，∴ 的半径是 ．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和垂径定理，解题的关键是掌握三角形外接圆的画法和利用垂径定理求
半径的方法．
22．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外
侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小．
(1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹）
(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，
并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离 为22
米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．
【答案】(1)见解析
(2)圆弧形水道外侧的半径为483米
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、确定圆心(尺规作图)
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图：
（1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点
即为点O；
（2）如图所示，连接 ，由垂径定理可得 ， 米，则
四点共线，设 米，则 米，由勾股定理得 ，解得，则 米．
【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，
二者的交点即为点O；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵C为 的中点，点D为圆弧形道路内侧中点，
∴ ， 米，
∴ 四点共线，
设 米，则 米，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 米．
答：圆弧形水道外侧的半径为483米．
23．某班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 天的售价与销量的相关信息如下
表：
观察表格：根据表格解答下列问题：
0 1 2
1-3 -3
（1） __________. _____________. ___________.
（2）在下图的直角坐标系中画出函数 的图象，并根据图象，直接写出当 取什么实数时，
不等式 成立；
（3）该图象与 轴两交点从左到右依次分别为 、 ，与 轴交点为 ，求过这三个点的外接圆的半径.
【答案】（1） ， ， ；（2） 或 ；（3）
【知识点】根据交点确定不等式的解集、求特殊三角形外接圆的半径
【分析】(1)直接将(1，1)代入求出a即可，进而将x=2代入求出y，再分别将(0, -3) ，(2， -3)代入求出
b，c的值;
(2)再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集.
(3)根据题意求得外接圆的圆心的坐标为(1，1)，进而求得圆的半径,即可求得圆的面积.
【详解】解：(1)∵ 过(1,1)
∴
当x=2时，
∵ 过 ， ， ，
∴
解得
故答案为 ， ， ；
（2）如图所示：当 或 时， .
（3）由（2）可知 ,则作 、 的垂直平分线的交点 ,
∴外接圆的半径 ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、抛物线与 轴交点、三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识.
24．下面是小晶设计的“作互相垂直的两条直线”的尺规作图过程．
作法：如图，
①在平面内任选一点O，作射线OA，OB；
②以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
③分别以C，D为圆心，以大于 CD的同样长为半径作弧，两弧交于∠AOB内部一点P；
④连接CP、PD；
⑤作直线OP，作直线CD，两直线相交于点E；则直线CD与OP就是所求作的互相垂直的两条直线．根据
小晶设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝ ，CP＝ ，OP＝OP
∴△OPC≌△OPD
∴∠AOP＝∠BOP．
∴OE是△COD的高线（ ）（填推理的依据）
即OE⊥CD．
∴CD与OP互相垂直【答案】（1）详见解析；（2）OD，DP，等腰三角形三线合一．
【知识点】作已知线段的垂直平分线、根据三线合一证明、画圆(尺规作图)
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）由△OPC≌△OPD（SSS），推出∠AOP＝∠BOP，推出OE是△COD的高线即可解决问题；
【详解】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：∵OC＝OD，CP＝PD，OP＝OP，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴OE是△COD的高线（等腰三角形三线合一），
即OE⊥CD，
∴CD与OP互相垂直．
故答案为OD，DP，等腰三角形三线合一．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题.
25．如图 (1)所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点
G．
(1)求证阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的 ；
(2)如图 (2)所示，若∠DOE保持120°角度不变，求证当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两
条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的 ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用垂径定理求值、已知外心的位置判断三
角形的形状
【详解】试题分析：(1)本题要依靠辅助线的帮助．连接OA，OC，证明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求
得 S OAC= S ABC ，易证 SOFCG= S ABC ．
Δ Δ
△
(2)本题有多种解法．连接OA，OB和OC，证明 AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之间的关系
即可. △
解：(1)连接OA，OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S ＝2S ＝
四边形OFCG OFC
△
S ．∵S ＝ S ，∴S ＝ S ．
OAC OAC ABC 四边形OFCG ABC
△ △ △ △
(2)证法1：如图 (1)所示，连接OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2．不妨设OD交BC于点
F，OE交AC于点G，∠AOC＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE＝∠5＋∠4＝120°，∴∠3＝∠5．在△OAG和△OCF
中， ∴△OAG≌△OCF，∴S ＝S ＝ S ．证法2：如图 (2)所示，不妨设OD交BC于
四边形OFCG AOC ABC
△ △
点F，OE交AC于点G，作DH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为点H，K．在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝
90°，∠C＝60°，∴∠HOK＝360°－90°－90°－60°＝120°，即∠1＋∠2＝120°．又∵∠GOF＝∠2＋∠3＝
120°∴∠1＝∠3．∵AC＝BC，∴OH＝OK．又∠OHF＝∠OKG＝90°．∴△OFH≌△OGK，∴S ＝S
四边形OFCG 四边形OHCK
＝ S ．
ABC
△点睛：本题涉及三角形的外接圆知识及全等三角形的判定，认真观察图形，等边三角形的外接圆的圆心即
为等边三角形的中心，图中的角的度数，线段间的关系要熟练掌握.
26．（1）如图1，在四边形 中， ，对角线 ，若 ，求
的长．
（2）陕北羊肉在全国远近闻名，某养殖场准备在以 ， 为围档的旧农场中，建设一个新的山羊养殖
基地，如图2，六边形 为新养殖基地的鸟瞰图，点A位于点B的正北方，已知 米，
，且点C位于点B的东边，设计要求将点B，E分别设为入口，点E位于点C的正北方向，点A
的正东方向， ．根据设计要求，求六边形 的面积
的最小值及此时 的长．
【答案】（1） ；（2）当 为 米时，六边形 的面积的最小值为
平方米
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质与判定求线段长、判断三角形外接圆的圆心位置、
根据旋转的性质求解
【分析】（1）将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ．先证明 三点共线，再根据勾股定理求出 ，得出 ，即可得出 的值；
（2）连接 ， ．证明四边形 为正方形，得出 ，将 绕点 按逆时针方向旋转
得到 ，点 对应点为 ，点 对应点为 ．由旋转性质，得 ， ，
．求出 ，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，
点 对应点为 ．由旋转性质，得 ， ， ，连接 ，得到等边
，作 的外接 ，圆心为点 ，半径为20米，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
根据 ，得出当 与 重合时， 存在最大值，
最大值为20米，然后求出结果即可．
【详解】解：（1）如图1，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ．
，
，
，
三点共线，
由旋转性质，可得 ， ，
在 中， ，
，
，
．
（2）如图2，连接 ， ．∵点E位于点C的正北方向，点A的正东方向，
∴ ， ，
∵
∴四边形 为矩形，
，
四边形 为正方形，
．
将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，点 对应点为 ，点 对应点为 ．
由旋转性质，得 ， ， ．
，
，
，
，
又 ，
，
将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，点 对应点为 ．
由旋转性质，得 ， ， ，
， ，
连接 ，得到等边 ， 米，
作 的外接 ，圆心为点 ，半径为20米，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
∵ 米，
∴ ，
∴ 米，，
，
当 与 重合时， 存在最大值，最大值为20米，
此时 为等腰直角三角形， 米，
的最小值为 平方米， 平方米，
当 为 米时，六边形 的面积的最小值为 平方米．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外接圆，等边三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，
等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.
