文档内容
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题 6.2 考前必做 30 题之勾股定理小题培优提升（压轴篇，八下人
教）
本套试题主要针对期中期末考试的选择填空压轴题，所选题目典型性和代表性强，均为
中等偏上和较难的题目，具有一定的综合性，适合学生的培优拔高训练.试题共30题，选择
20道，每题3分，填空10道，每题4分，总分100分.涉及的考点主要有以下方面：
1. 勾股定理：用勾股定理求线段长度、勾股定理与面积、勾股定理与网格问题、勾股定理求
线段之间的平方关系、勾股定理与分类讨论、勾股定理的证明方法、勾股定理与弦图问题、
勾股定理与数轴、勾股树问题、翻折问题、最短路径问题
2. 勾股定理的逆定理：勾股数、直角三角形的判断、勾股定理的逆定理的应用、勾股定理的
逆定理与网格问题
3. 勾股定理的应用：梯子问题、旗杆高度问题、航海问题、超速问题、选址问题、动点问题
等.
一、单选题
1．（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的
是（ ）
A．AB:BC:AC=3:4:5 B．AB:BC:AC=5:12:13
C．∠A−∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D
【分析】根据用勾股定理的逆定理判断A、B，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选
项C和选项D．
【详解】解：A.∵AB:BC:AC=3:4:5，
∴可设AB=3k，BC=4k，AC=5k ，
∴AB2+BC2=25k2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B.∵AB:BC:AC=5:12:13，
∴可设AB=5k，BC=12k，AC=13k，
∴AB2+BC2=169k2=AC2 ，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
C.∵∠A−∠B=∠C，
∴∠A=∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
D.∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定
理和三角形内角和定理是解题的关键．
2．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图所示，小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，
他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AB上，且C点与E点重合，小宇经过测量得知两
直角边AC=6cm，BC=8cm，求出CD的长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．3cm
【答案】D
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再根据折叠的性质可以得到CD=DE，AC=AE，最后利用勾股定
理列方程即可求出CD的长．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10cm，
设CD=xcm，
∵△ADE由△ADC折叠而成，
∴CD=DE=xcm，AC=AE=6cm，
∴BD=(8−x)cm，BE=AB−AE=4cm，
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，
即(8−x) 2=x2+42，解得x=3，
∴CD=3cm．
故选：D．【点睛】本题考查了折叠问题和勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数−1
的点重合，点D与数轴上表示数−4的点重合，AB=1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴
负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A．−√10 B．1−√10 C．√10−1 D．−1−√10
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为−1，可得
该点表示的数．
【详解】解：∵在长方形ABCD中，AD=−1−(−4)=3，AB=CD=1，
∴AC=√AD2+CD2=√32+12=√10，
则点A到该交点的距离为√10，
∵点A表示的数为−1，
∴该点表示的数为：−1−√10，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，
两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
4．（2023春·全国·八年级阶段练习）为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光
测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB=2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温
并报告人体体温．当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到离门1.2米处时（即BC=1.2米），测温仪自
动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（ ）A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.2米，BE=CD=1.7米，ED=BC=1.2米，
∴AE=AB−BE=2.2−1.7=0.5（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=√AE2+DE2=√0.52+1.22=1.3（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线
段AD的长度．
5．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折
叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10，8)．则点E的
坐标为（ ）
A．(10，3) B．(10，4) C．(10，5) D．(10，6)
【答案】A
【分析】先根据点D的坐标得到AD=OC=10，OA=CD=8，再由折叠的性质得到
DE=EF，AF=AD=10，利用勾股定理求出OF=6，则CF=4，设CE=x，则DE=EF=8−x，由勾
股定理得(8−x) 2=x2+42，解方程即可得到答案．【详解】解：∵四边形AOCD是长方形，点D的坐标为(10，8)，
∴AD=OC=10，OA=CD=8，
由折叠的性质可得DE=EF，AF=AD=10，
∴OF=√AF2−OA2=6，
∴CF=OC−OF=4，
设CE=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2=CE2+CF2，
∴(8−x) 2=x2+42，
解得x=3，
∴CE=3，
∴E(10，3)，
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键．
6．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代
数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长
为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a−b；结合题意可得ab=24， a2+b2=129，
结合完全平方公式即可求出小正方形的边长．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，
∵ab=24， a2+b2=129，
∴(a−b) 2=a2+b2−2ab=129−2×24=81，而a−b>0，
∴a−b=9，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾
股定理以及完全平方公式．
7．（2022秋·河南开封·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当的长为
1
半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
2
点E，作射线AE交BC于点D，若BD=5，AB=15，△ABD的面积30，则AC+CD的值是（ ）
A．19 B．16 C．14 D．12
【答案】B
【分析】过D点作DF⊥AB，垂足为F，利用三角形ABD的面积和角平分线的性质求出CD=DF=4，
得到BC=9，再利用勾股定理求出AC，最后即可得答案．
【详解】解：如图所示，过D点作DF⊥AB，垂足为F
∵S =30，
△ABD
1
∴ AB⋅DF=30，
2
∴DF=4，
根据作图得到AD是∠CAB的角平分线，
又∵∠C=90°
∴CD=DF=4，
∵BD=5，
∴BC=5+4=9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC=√AB2−BC2=12，
∴AC+CD=12+4=16，故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线性质与勾股定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
8．（2023秋·江苏南通·八年级统考期末）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，
末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹
梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2−3=(10−x) 2 B．x2+3=(10−x) 2
C．x2+32=(10−x) 2 D．x2−32=(10−x) 2
【答案】C
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为(10−x)尺，根据勾股定理可得，
x2+32=(10−x) 2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾
股定理是解题关键．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾
股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算
经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A、大正方形的面积为：c2；
1
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+(b−a) 2=a2+b2 ，
2
∴a2+b2=c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：(a+b) 2；
1
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：
ab×4+c2=2ab+c2
，
2
∴(a+b) 2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2，故B选项能证明勾股定理；
1 1
C、梯形的面积为： (a+b)(a+b)= (a2+b2)+ab；
2 2
1 1 1
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为： ab×2+ c2=ab+ c2 ，
2 2 2
1 1
∴ab+ c2= (a2+b2)+ab，
2 2
∴a2+b2=c2 ，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：(a+b) 2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴(a+b) 2=a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意
义是解题的关键．10．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB−AC=2，
BC=3，则AC的长为（ ）
5
A．3 B．4 C．5 D．
4
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB−AC=2，BC=3，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC2+32=(AC+2) 2，
5
解得：AC= ，
4
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
11．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点
A，B，C均在正方形格点上，则下列结论错误的是 （ ）
A．AB²=20 B．∠BAC=90°
C．S =10 D．点A到直线BC的距离是2
△ABC
【答案】C
【分析】利用勾股定理即可判断A；利用勾股定理的逆定理即可判断B；利用割补法求出△ABC的面积进
而求出点A到直线BC的距离即可判断C、D．
【详解】解：由题意得，AC2=12+22=5，BC2=32+42=25，AB2=22+42=20，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°，
1 1 1
∵S =4×4− ×1×2− ×2×4− ×3×4=5，
△ABC 2 2 25
=2
∴点A到直线BC的距离是1 ，
×√25
2
∴四个选项中，只有C选项结论错误，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，点到直线的距离，灵活运用所学知
识是解题的关键．
12．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角
形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形
ABCD的面积为S ，四边形DCEI的面积为S ，四边形CEFG的面积为S ，△EHI的面积为S ．若知道
1 2 3 4
图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．S B．S C．S D．S
1 2 3 4
【答案】D
【分析】设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，根据图可得
1 1
S +S = (c−a)，又由图可知S +S = b，且c=b+a可得S =S ，进而得到答案．
阴影 四边形IHPQ 2 4 四边形IHPQ 2 4 阴影
【详解】解：如图所示，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，1 1
∵S +S = (c−a)，S +S = b
阴影 四边形IHPQ 2 4 四边形IHPQ 2
1 1 1 1
解得S + b−S = (c−a)，即S −S = (c−a)− b
阴影 2 4 2 阴影 4 2 2
∵c=a+b ，
1 1
∴S −S = (c−a)− b=0，
阴影 4 2 2
∴S =S ，
4 阴影
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S ．
4
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2023秋·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂
直，点P在墙面上，若PA=AB=10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最
短行程是（ ）米．
A．20 B．8√5 C．24 D．6√10
【答案】D
【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求
解即可．
【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵ AG=8（米），AP=AB=10（米），
∴ PG=√AP2−AG2=6（米），
∴ BG=8+10=18（米），
∴ PB=√GB2+GP2=√62+182=6√10（米）
∴这只蚂蚁的最短行程应该是6√10米，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面
图形的两点间的线段长来进行解决．
14．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，
且周长为36 m，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒
2m的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，点B到PQ的距离为（ ）m．
A．3√2m B．6m C．3m D．6√2m
【答案】A
【分析】先求出AB,BC,CA的长，利用勾股定理逆定理得到∠ABC=90°，根据题意，求出BP,BQ的
长，勾股定理求出PQ的长，利用等积法进行求解即可．
【详解】解：∵AB:BC:CA=3:4:5，
设：AB=3x,BC=4x,CA=5x，
则：AB+BC+CA=3x+4x+5x=36，
∴x=3，
∴AB=9m,BC=12m,CA=15m，∴AB2+BC2=C A2，
∴∠ABC=90°，
∵点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2m的速度移
动，
则：运动3秒后，AP=3m,BQ=6m，
∴BP=AB−AP=6m，
∴PQ=√62+62=6√2，
设点B到PQ的距离为ℎ，
1 1
∵S = BP⋅BQ= PQ⋅ℎ，即：BP⋅BQ=PQ⋅ℎ
△PBQ 2 2
∴6×6=6√2⋅ℎ，
∴ℎ =3√2m；
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，以及等积法求线段的长．通过勾股定理逆定理得到△ABC是直角
三角形，是解题的关键．
15．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，将等腰Rt△ABC按图示方式依次翻折，若
DE=a，则下列说法正确的个数有（ ）
①DC′平分∠BDE；②BC长为(√2+2)a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由翻折变换的性质和等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别对各个说法进行判断即可．
【详解】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠C=45°，
由折叠的性质得：
1
AD=DE=a，∠DBE= ∠ABC=22.5°，∠DEB=∠A=90°，∠C′DE=∠CDE，
2
∴∠BDE=90°−22.5°=67.5°，∵∠DEC=180°−90°=90°，∠C=45°，
∴∠C′DE=∠CDE=90°−45°=45°，
∴∠BDC′=∠BDE−∠C′DE=22.5°，
∴∠BDC′≠∠C′DE， 即DC′不平分∠BDE，故①不符合题意；
②由折叠的性质知，△C′ED≌△CED，且都是等腰直角三角形，
∴∠DC′E=∠DCE=45°，C′E=CE=DE=AD=a，
∴CD=C′D=√2a，
∴AC=a+√2a，
∴BC=√2AC=(√2+2)a，故②符合题意；
③由①可知，∠DBC′=∠BDC′=22.5°，
∴BC′=DC′， 即△BC′D是等腰三角形，故③符合题意；
④∵△CED的周长DE+EC+DC=a+a+√2a=(2+√2)a，BC=(√2+2)a，
∴△CED的周长等于BC的长，故④符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的判
定，勾股定理的应用等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
16．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图, 在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相
交于点P，BQ⊥AD于Q．则下列数量关系正确的为( )
A．BP2=2PQ2 B．3BP2=4BQ2 C．4BP2=3PQ2 D．2BQ2=3PQ2
【答案】B
【分析】根据已知条件得出△ABC是等边三角形，证明△ADC≌△BEA，进而证明∠BPQ=60°，则
∠PBQ=30°，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵AB=BC=AC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°．∵AB=AC，AE=CD，
∴△ADC≌△BEA．
∴∠DAC=∠EBA，
∵∠BPQ=∠EBA+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°,BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
1
∴PQ= PB，
2
设PQ=a，则BP=2a，
∴BQ=√3a
BQ √3
∴ = ，
BP 2
∴3BP2=4BQ2，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，
勾股定理，证明∠BPQ=60°是解题的关键．
17．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=√57，
BC=18，点D为BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△AED，连接BE．若BE=DE，
S =2S ，则AD的长度为（ ）
△ACD △AED
A．7√3 B．12 C．7√5 D．18
【答案】A
【分析】过点A作AF⊥CB的延长线于点F，设AD与BE交于点G，根据翻折性质可以证明△BDE是等
边三角形，根据S =2S =2S ，可得CD=2BD，所以BD=6，然后利用勾股定理即可解决问
△ACD △AED △ABD
题．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥CB的延长线于点F，设AD与BE交于点G，由翻折可知：△AED≅△ABD，
∴BD=DE，∠ADB=∠ADE，
∵BE=DE，
∴BE=DE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠EDB=60°，
∴∠ADB=∠ADE=30°，
∵△AED≅△ABD，
∵S =2S =2S ，
△ACD △AED △ABD
1 1
∴ ×CD·AF=2× ×BD·AF，
2 2
∴CD=2BD，
∴3BD=BC=18，
∴BD=6，
由翻折可知：AD⊥BE，
1
∴BG= BD=3，
2
∴DG=√3BG=3√3，
∵AB=√57，
∴AG=√AB2−BG2=4√3，
∴AD=AG+DG=4√3+3√3=7√3．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
18．（2021秋·河南驻马店·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到
△AB C 的位置，点B、O分别落在点B 、C 处，点B 在x轴上，再将△AB C 绕点B 顺时针旋转到
1 1 1 1 1 1 1 1
△AB C 的位置，点C 在x轴上，将△A B C 绕点C 顺时针旋转到△A B C 的位置，点A 在x轴上，
1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2
(3 )
依次进行下去……，若点A ,0 ，B(0,2)．则点B 的坐标是（ ）
2 2019A．(6052,0) B．(6054,2) C．(6058,0) D．(6060,2)
【答案】C
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B 、B …，由图象可知点B 在
1 3 5 2019
x轴上，B B =6，根据这个规律可以求得B 的坐标．
1 3 2019
【详解】解：由图象可知点B 在x轴上，
2019
3
∵ OA= ,OB=2,∠AOB=90°，
2
∴AB=√OA2+OB2=
√ (3) 2
+22=
5
，
2 2
∴ B B =OB+OA+AB=6，B (4,0)
1 3 1
∵2019÷2=1009⋯1，
∴1009×6=6054，6054+4=6058，
∴ B (6058,0)．
2019
故选C．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现
规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
19．（2022春·贵州遵义·八年级统考期中）已知△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是AB边的中
点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE=CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△≝¿是
等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
【答案】B【分析】证明△ADE≌△CDF(SAS)，进一步可得ED=DF，∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，所以可
知△DFE是等腰直角三角形．故①正确；根据由于△DFE是等腰直角三角形，可知当DF⊥BC时，DF
1
最小，此时DF= BC=2，EF=√2DF=2√2．故③错误；利用△ADE≌△CDF，推出
2
S =S ，当△CEF面积最大时，此时△≝¿的面积最小，求出此时
四边形CEDF △ADC
S =S −S ，故②正确；
△CEF 四边形CEDF △≝¿=S △ADC −S △≝¿=2¿ ¿
【详解】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中，
¿
∴△ADE≌△CDF(SAS)；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③由于△DFE是等腰直角三角形，因此当DF最小时，FE也最小；
1
即当DF⊥BC时，DF最小，此时DF= BC=2．
2
∴EF=√2DF=2√2．故此选项错误；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S =S ，
△CDF △ADE
∴S =S ，
四边形CEDF △ADC
当△CEF面积最大时，此时△≝¿的面积最小，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=√42+42=4√2，
∴AD=CD=2√2，
S =S −S
此时 △CEF 四边形CEDF △≝¿=S −S ¿，故此选项正确；
△ADC △≝¿=1 2×2√2×2√2−1 2×2×2=4−2=2¿
故正确的有①②，
故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是熟
练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
20．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期末）将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，
得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线．若BD=6，则AB的长为（ ）
22 15
A． B． C．√50 D．7
3 2
【答案】B
1
【分析】利用等腰三角形的性质可以得到AB=AD+ CD，设AB为x，再运用勾股定理得AD=√x2−36，
2
代入解方程即可解题．
【详解】解：如图，设∠B为∠1，∠C为∠2，∠CDE为∠3，图2中∠1的余角为∠4，
∵ΔABC为等腰三角形，BD=6，
∴∠1=∠2，CD=6，
∵∠2+∠3=∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
1
结合两图，可得AB=AD+ CD，
2
设AB为x，
根据勾股定理得AD=√x2−62=√x2−36，
1
∴ x=√x2−36+ ×6，
2
15
解得：x= ，
2
15
∴AB= ，
2
故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．
二、填空题(共0分)
21．（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=3，
AC=5，AD是BC边上的中线，且AD=2，则BC的长为______．
【答案】2√13
【分析】首先证明△ABD≌△ECD，推出EC=AB=3，DE=AD=2，由AE2+EC2=AC2，推出
△AEC是直角三角形，在Rt△DEC中，求出CD，根据BC=2CD即可解决问题．
【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
在△ADB和△EDC中，
¿，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴EC=AB=3，DE=AD=2，
∵AE=2AD=4，AC=5，
∴AE2+EC2=AC2，
∴△AEC是直角三角形，∠E=90°，
在Rt△DEC中，CD=√CE2+DE2=√32+22=√13，
∴BC=2CD=2√13．故答案为：2√13．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，过点C作
CD⊥AB交AB于点D．已知CD=5，BD=2，则△ABC的面积是______．
145
【答案】
8
【分析】设AB=AC=x，则AD=x−2，在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设AB=AC=x，则AD=AB−BD=x−2，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AD2=AC2，
即52+(x−2) 2=x2，
29
解得：x= ，
4
29
即AB的长为 ，
4
1 1 29 145
∴S = AB·CD= × ×5=
△ABC 2 2 4 8
145
故答案为： ．
8
【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
23．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=12，
AC=10√2，BC=14√2，点D在边BC上，连接AD．将△ACD沿AD翻折后得到△AED，若AE⊥BC，
则线段CD的长为______．【答案】5√2
【分析】AE与BC交于点F，设AF=x，则CF=14√2−x，根据勾股定理得出CF=8√2，AF=6√2，
再由翻折的性质得出E=AC=10√2，CD=ED，设CD=ED= y，则DF=8√2−y，继续利用勾股定理
求解即可．
【详解】解：AE与BC交于点F，设AF=x，则CF=14√2−x，
∵AB=12，AC=10√2，BC=14√2，AE⊥BC，
∴AB2−BF2=AC2−CF2即122−x2=(10√2) 2 −(14√2−x) 2 ，
解得：x=6√2，
∴CF=14√2−6√2=8√2，
∴AF=√AB2−BF2=6√2，
∵将△ACD沿AD翻折后得到△AED，
∴AE=AC=10√2，CD=ED，
∴EF=10√2−6√2=4√2，
设CD=ED= y，则DF=8√2−y，
∴DF2+EF2=DE2即(8√2−y) 2+(4√2) 2= y2，
解得：y=5√2
线段CD的长为5√2
故答案为：5√2
【点睛】本题考翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用勾股定理进行求解，属中考常考题型．
24．（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上
的点E处．若∠C=45°，∠B=30°，AD=2，则AB2−AC2的值是_________ ．
【答案】8
【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得
AC=√2AD，AB=2AD=4，可求AB2−AC2的值．
【详解】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠C=45°，AD=2，
∴AC=√2AD=2√2，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=2×2=4，
∴AB2−AC2=42−(2√2) 2=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
25．（2022春·江西南昌·八年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图，在△ABC中，已知：
∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动的
时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为___________．
25 5
【答案】 或 或4
16 2
【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再分三类：当AB=AP时，当BA=BP时，当PA=PB时，分别进行讨论即可得到答案．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√102−62=8cm，
∵ △ABP为等腰三角形，
当AB=AP时，如图所示，
，
则BP=2BC=16cm，
即t=16÷4=4s，
当BA=BP=10cm时，如图所示，
，
5
则t=10÷4= s，
2
当PA=PB时，如图所示，设PA=PB=x，则PC=8−x，
，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2=AP2，
即(8−x) 2+62=x2，
25
解得x= ，
425 25
∴t= ÷4= s，
4 16
25 5
综上所述：t的值为 s或 s或4s，
16 2
25 5
故答案为： 或 或4．
16 2
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸
和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最
短路线长度是__________寸．
【答案】25
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最
短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：将台阶展开矩形，线段AB恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，
由勾股定理得AB=√72+242=25寸．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
27．（2023春·八年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S ，以CD为斜边作等腰
1
直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ，…，按照此规律继
2
续下去，则S 的值为___________．
20221
【答案】
22019
1 1 1
【分析】根据勾股定理可得DE2+CE2=DC2，从而得到S = S ，依次类推，即可得到S = S = S ，
2 2 1 3 2 2 4 1
找出规律，进而得到S 的值．
2022
【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，
则CE=DE，DE2+CE2=DC2，
∴2DE2=CD2，
1 1
即S = S = ×22=2，
2 2 1 2
1 1 1 1 1 1
同理可得：S = S = S =1，S = S = S = S = ，
3 2 2 4 1 4 2 3 8 1 23 1 2
1 1 1
∴S = S = ×4= ．
2022 22021 1 22021 22019
1
故答案为： ．
22019
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．
28．（2023春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB−BC=2，AC=4，以三边分别向外作三个正方形，连接DE，FG，HI，得到六
边形DEFGHI，则六边形DEFGHI的面积为___________．
【答案】74
【分析】如图，作DJ⊥EA交EA的延长线于J，CH⊥AB于H．证明△ADJ≌△ACH，得到DJ=CH，
进而证明S =S =S ，同理可证S =S ，再利用勾股定理求出AC=4，BC=3，AB=5，
△CIH △BFG △ABC △AED △ABC
由此即可得到答案．
【详解】解：如图，作DJ⊥EA交EA的延长线于J，CH⊥AB于H．
∵∠DAC=∠JAB=90°，
∴∠DAJ=∠CAB，
∵AD=AC，∠J=∠AHC=90，
∴△ADJ≌△ACH(AAS)，
∴DJ=CH，
1 1
∵S = AE⋅DJ，S = AB⋅CH，AE=AB，
△ADE 2 △ABC 2
∴S =S ，
△AED △ABC
同理可证S =S =S ，
△CIH △BFG △ABC
∵AB−BC=2，AC=4，
∴可以设BC=x，则AB=x+2，
∴由勾股定理得(x+2) 2=x2+42，
解得x=3，
∴AC=4，BC=3，AB=5，
1
∴六边形DEFGHI的面积=4× ×3×4+4×4+3×3+5×5=74，
2
故答案为：74．【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的
关键．
29．（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，
BC=8，D是边AC上的一点，且CD=1.5，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒3个单位的速度向右运
动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为______时，能使
DE=CD．
5 11
【答案】t= 或t=
3 3
【分析】根据动点运动的不同位置：①点P在线段BC上时，②点P在线段BC的延长线上时，过点D作
DE⊥AP于E，先证明△PDE≅△PDC，利用全等三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED=∠PED=90°，
∴∠PED=∠ACB=90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD=∠CPD，又∵PD=PD，
∴△PDE≅△PDC（AAS）,
∴ED=CD=1.5，PE=PC=8−3t，
∴AD=AC−CD=4−1.5=2.5，
∵DE⊥AP，
∴∠AED=90°，
∴AE=√AD2−DE2=√2.52−1.52=2，
∴AP=AE+PE=2+8−3t=10−3t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：42+(8−3t) 2=(10−3t) 2，
5
解得：t= ；
3
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≅△PDC(AAS)，
∴ED=CD=1.5，PE=PC=3t−8，
∴AD=AC−CD=4−1.5=2.5，
∵DE⊥AP，
∴∠AED=90°，
∴AE=√AD2−DE2=√2.52−1.52=2，
∴AE=2，
∴AP=AE+PE=2+3t−8=3t−6，
在Rt△APC中，由勾股定理得：42+(3t−8) 2=(3t−6) 2，
11
解得：t= ．
3
5 11
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为t= 或t= 时，能使DE=CD．
3 35 11
故答案为：t= 或t= ．
3 3
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的直角三角形．
30．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校仙林分校校考开学考试）为了探索代数式
√x2+1+√(8−x) 2+25的最小值，小明巧妙地运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为
线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，
BD=8，设BC=x．则AC=√x2+1，CE=√(8−x) 2+25则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得√x2+1+√(8−x) 2+25的最
小值等于___________，此时x=___________；
（2）请你根据上述的方法和结论，代数式√x2+4+√(12−x) 2+9的最小值等于___________．
4
【答案】 10 13
3
【分析】（1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度．过点E作EF∥BD，
交AB的延长线于F点．在Rt△AEF中运用勾股定理计算求解．
（2）由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连
接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是
代数式√x2+4+√(12−x) 2+9的最小值．
【详解】解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，根据题意，四边形BDEF为矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴AE=√62+82=10．
即AC+CE的最小值是10．
√x2+1+√(8−x) 2+25=10，
∵EF∥BD，
∴AB AF=BC EF，
1 x
∴ = ，
6 8
4
解得：x= ．
3
（2）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，
根据题意，四边形ABDF为矩形．
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．
∴AE=√52+122=13．
即AC+CE的最小值是13．
4
故答案为10， ，13．
3
【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，
利用勾股定理求解是解题关键．
