文档内容
★秘密·2022年9月28日16：00前
重庆市 2022-2023 学年（上）9 月月度质量检测
高三数学
2022.09
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为偶函数，则实数 （ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
3．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为2 B． 的图像关于y轴对称
C． 的图像关于直线 对称 D． 的最小正周期为
4．西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建
都．图为唐长安（西安古称）城示意图，城中南北向共有9条街道，
东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长
安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是
（ ）
A．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条．
B．甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若二人选择互不影响，则二人从同一城门进城的概率为 ．
C．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色（街道忽略），要求有公共边的两个区域不能
用同一种颜色，共有60种不同的染色方法．
D．若将街道看成直线，则图中矩形 区域中共有不同矩形150个．
5．已知 ，函数 有四个不同的零点 ，且满足：
.则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知曲线 与 的两条公切线所成角的正切值为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
7．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为 ，则该圆锥的表面积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
8．若x， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．类比三角函数的定义，把角 的终边与双曲线 交点的纵坐标和横坐标分别叫做 的双曲正弦
函数 、双曲余弦函数 ．已知 ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．C．
D．若直线 （c为常数）与曲线 共有三个交点，横坐标分别为 ，则
10．已知函数 则（ ）
A． 是 的切线 B． 是 的切线
C． 是 的切线 D． 是 的切线
11．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式 ，实际上类似的还有三倍角公式，则下列
说法中正确的有（ ）
A．
B．存在 时，使得
C．给定正整数 ，若 ， ，且 ，则
D．设方程 的三个实数根为 ， ， ，并且 ，则
12．已知点P为正方体 内及表面一点，若 ，则（ ）
A．若 平面 时，则点P位于正方体的表面
B．若点P位于正方体的表面，则三棱锥 的体积不变
C．存在点P，使得 平面
D． ， 的夹角
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设非空集合 ，当 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称 是 的偶
子集，若集合 ，则其偶子集 的个数为___________.
14．设函数 ，若函数 存在最小值，则 的一个取值为 的最大值为
___________.
15．写出一个与向量 的夹角为75°的向量 ___________.（答案不唯一，写出一个即可）
16．已知矩形 中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为 ，点P在边
上，点A关于 的对称点为 ，若点 到直线 的距离为4，则点 的坐标可能为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知函数 .
(1)求 的周期；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数 的图象，求 在 上的值域.
18．从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几
年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者
18000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市
教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照
， ， ， ， 分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样
本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生
上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；
(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该
市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名
学生中达到“预期合格”的人数为 ，求 的分布列并求数学期望 ；
(3)用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在 的数据组成新样本组A，
其方差记为 ，把时间段在 的数据组成新样本组B，其方差记为 ，原来600个样本数据的方差
记为 ，试比较 ， ， 的大小（结论不要求证明）.
19．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l
的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处， ，现要在河
岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，
以便建立水陆交通网．(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码
头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
20．在直角坐标系 中，椭圆 与直线 交于M，N两点，P为MN的中点．
(1)若 ，且N在x轴下方，求 的最大值；
(2)设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．
21．如图， ，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆
O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D， ， ， 为圆台的母线， ．(1)证明； 平面 ；
(2)若二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
22．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若不等式 在区间 上有解，求实数 的取值范围．下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君
