文档内容
22.1 二次函数的图像和性质
教学目标：1．熟练掌握二次函数的有关概念．
2．熟练掌握二次函数y＝ax2的性质和图象．
3．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的性质及图象．
4．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象．
5．能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．
教学重难点：图形和性质的应用，及两种形式的转化，解析式求解
知识点一：二次函数的概念
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中
x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是
常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然
后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
例题．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=﹣4x+5B．y=x（2x﹣3）C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=
变式1．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
变式2．下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）A．y=x3+2x2+3 B．y=﹣ C．y=x2+x D．y=mx2+x+1
知识点二：二次函数y＝ax2的性质和图象
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各
取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．
画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称
性画另一侧．
例题．下列图象中，是二次函数y=x2的图象的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y=ax2；②y=ax2；③y=ax2，则a ，a ，a 的
1 2 3 1 2 3
大小关系是（ ）
A．a＞a＞a B．a＞a＞a C．a＞a＞a D．a＞a＞a
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
变式2．下列图象中，当ab＞0时，函数y=ax2与y=ax+b的图象是（ ）A． B． C． D．
知识点三：二次函数y＝ax2＋k的性质和图象
例题．函数y= +1与y= 的图象的不同之处是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
变式1．在直角坐标系中，函数y=3x与y=﹣x2+1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
变式2．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
知识点四：二次函数y＝a(x－h)2的性质及图象
例题．与函数y=2（x﹣2）2形状相同的抛物线解析式是（ ）
变式1．在平面直角坐标系中，函数y=﹣x+1与y=﹣ （x﹣1）2的图象大致是（ ）A． B． C． D．
变式2．同一坐标系中，抛物线y=（x﹣a）2与直线y=a+ax的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
变式3．函数y=a（x﹣1）2，y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
知识点五：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质及图象
例题．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
变式2．二次函数y=（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）A． B． C． D．
知识点六：二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 b
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|
2a
个单位，再向上或向下平 移|
4ac−b2
|个单位得到的
4a
例题．用配方法将二次函数 y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25
变式1．将二次函数y= x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（ ）
A．y= B．y= （x﹣2）2﹣2 C．y= （x+2）2﹣2 D．y= （x﹣2）2+2
变式2．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是
（ ）
A．有最大值 2，有最小值﹣2.5
B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5
D．有最大值 2，无最小值变式3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．c＜0
C．当﹣1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜ 时，y随x的增大而减小
变式4．当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
变式5．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7
时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24
知识点七：二次函数的系数与抛物线的特征之间的关系
例题．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线
x=1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
变式1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：① abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三
个字母的等式或不等式：① =﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y），（1，y）都在抛物线上，则有y＞y．
1 2 1 2
其中正确的结论有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下
列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数
是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①b2﹣4ac＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3b+2c＜0；
④m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知识点八：用待定系数法确定二次函数的解析式
例题．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．
变式1．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．
变式2．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．
变式3．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2，1），（0，1）．
（1）求该二次函数的表达式及函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若点P（3+a2，y），Q（4+a2，y）在抛物线上，试判断y 与y 的大小．（写出判断的理由）
1 2 1 2
变式4．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，
求这个函数解析式以及点C的坐标．变式5．已知抛物线y=﹣x2+mx+n，直线y=kx+b，y 的对称轴与y 交于点A（﹣1，5），点A与y 的顶
1 2 1 2 1
点B的距离是4．
（1）求y 的解析式；
1
（2）若y 随着x的增大而增大，且y 与y 都经过x轴上的同一点，求y 的解析式．
2 1 2 2
拓展点一：二次函数的概念求字母系数的值
例题．若函数y=（m+1）x 是二次函数，求m的值．
变式1．已知函数y=（m2+m）x ．
（1）当函数是二次函数时，求m的值；
（2）当函数是一次函数时，求m的值．变式2．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
拓展点二：二次函数的图像问题
例题．画函数y= 的图象．
变式1．使用五点法画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．变式2．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
变式3．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
﹣
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m= ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数
图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有 个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是 ．
拓展点三：二次函数的性质的应用
例题．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）A．函数有最小值
B．c＜0
C．当﹣1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜ 时，y随x的增大而减小
变式1．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，则下列说法：
①当0＜x＜2时，y＞y；
1 2
②y 随x的增大而增大的取值范围是x＜2；
1
③使得y 大于4的x值不存在；
2
④若y=2，则x=2﹣ 或x=1．
1
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标 ；（2）对称轴为 ；
（3）当x= 时，y有最大值是 ；
（4）当 时，y随着x得增大而增大．
（5）当 时，y＞0．
变式3．（1）已知二次函数y=﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y=﹣（x
1 1
﹣2）2+1的图象．
（2）平行于x轴的直线y=k在抛物线y=﹣（x﹣2）2+1上截得线段AB=4，求抛物线y=﹣（x﹣2）2+1的
2 2
顶点到线段AB的距离．
（3）当﹣1＜x＜2时，利用函数图象比较y 与y 的大小．
1 2
拓展点四：二次函数图像的平移问题
例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
变式1．将抛物线 y=﹣5x2+1向左平移 1个单位长度，再向下平移 2个单位长度，所得到的抛物线为
（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
变式2．将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y= （x﹣8）2+5 B．y= （x﹣4）2+5 C．y= （x﹣8）2+3 D．y= （x﹣4）2+3
变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 ．
拓展点五：确定二次函数的解析式
例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
变式1．将抛物线 y=﹣5x2+1向左平移 1个单位长度，再向下平移 2个单位长度，所得到的抛物线为
（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
变式2．将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y= （x﹣8）2+5 B．y= （x﹣4）2+5 C．y= （x﹣8）2+3 D．y= （x﹣4）2+3
变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 ．易错点一：用配方法求抛物线的顶点坐标时易与用配方法解一元二次方程混淆
例题．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25
变式1．将二次函数y= x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（ ）
A．y= B．y= （x﹣2）2﹣2 C．y= （x+2）2﹣2 D．y= （x﹣2）2+2
变式2．解方程：
（1）x2﹣2x﹣4=0
（2）用配方法解方程：2x2+1=3x
