文档内容
第七章相交线与平行线单元测试（能力提升卷）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）观察下列四幅图案，通过平移可以得到左图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
利用平移的性质即可得出答案．
【详解】
解：观察各选项中的图案可以发现，在A、B、C、D中，通过平移可以得到 的是B，
故选：B．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于命题的是（ ）
A．作线段的垂直平分线
B．等角的补角相等吗
C．三角形是轴对称图形
D．用三条线段去拼成一个三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真
假的陈述句叫做命题．
分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
【详解】解：A、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合；
B、是问句，未做判断，故本选项不符合；
C、符合命题的概念，故本选项符合；
D、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合；
故选：C．
3．（24-25七年级上·北京·期末）如图，点O是直线AB上一点，若∠AOC=124°42'，则∠BOC=
（ ）A．34°42' B．45°18' C．55°18' D．55°58'
【答案】C
【分析】本题主要考查了角的有关计算，关键是利用角的和差关系进行计算及掌握角的单位间的换算，用
180°-∠AOC即可得解．
【详解】解：∠BOC=180°-∠AOC
=180°-124°42'
=55°18'，
故选C．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）点P为直线MN外一点，点A、B、C为直线MN上三点，
PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm，则点P到直线MN的距离为（ ）
A．4cm B．2cm C．小于2cm D．不大于2cm
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．根据点到直线的距离是直线外的点与直
线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】解：当PC⊥MN时，PC是点P到直线MN的距离，即点P到直线MN的距离2cm，
当PC不垂直直线MN时，点P到直线MN的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线MN的距离不大于2cm，
故选：D．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（ ）
①对顶角相等；
②互补的两个角是邻补角；
③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；
④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键．
根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可．
【详解】解∶①对顶角相等，说法正确；
②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误；
③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确；
④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误；
故选∶B．
6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定关，熟练掌握平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是解题的关键．
根据平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，逐项判断即可．
【详解】解：∵a⊥AB,b⊥AB，
∴a∥b（平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
故选：B ．
7．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）如图，直线AE与CD相交于点B，∠ABC=60°,∠FBE=95°，则
∠CBF的度数是（ ）
A．35° B．85° C．145° D．155°
【答案】C
【分析】本题考查邻补角，掌握邻补角的定义是正确解答的前提．
根据邻补角的定义求出∠ABF=85°，进而求解即可．
【详解】∵∠FBE+∠ABF=180°,∠FBE=95°，
∴∠ABF=85°，
∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=145°．
故选：C．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点E在AB的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是
（ ）A．∠3=∠4 B．∠C=∠CBE
C．∠C+∠ABC=180° D．∠1=∠2
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐
一进行判定即可．
【详解】解：A、∵ ∠3=∠4，
∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不能判断AB∥CD，符合题意；
B、∵ ∠C=∠CBE，
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行），能判断AB∥CD，不符合题意；
C、∵ ∠C+∠ABC=180°，
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），能判断AB∥CD，不符合题意；
D、∵ ∠1=∠2，
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行），能判断AB∥CD，不符合题意；
故选：A．
9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图，AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系为（ ）
A．∠α+∠β+∠γ=180° B．∠α-∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=180° D．∠α+∠β+∠γ=360°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是
解题的关键．
作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠≝¿，然后由∠β=∠AEF+∠≝¿整
理后可得答案．
【详解】解：如图，作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠≝¿，
又∵∠β=∠AEF+∠≝¿，
∴∠α+∠β=180°+∠γ，
即∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
10．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知直线AB∥CD，点P在直线AB，CD之间，连接
AP，CP．
下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若∠APC=α，∠PAB=β，则∠PCD=360°-α-β；
②如图2，点Q在AB，CD之间，∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，则
∠APC+3∠AQC=360°；
③如图3，∠PAB的角平分线交CD于点M，且AM∥PC，点N在直线AB，CD之间，连接CN，MN，
1 ∠N n+1
∠PCN=n∠NCD，∠AMN= ∠NMD，n>1，则∠P和∠N的关系为 = （用含n的式子
n ∠P n-1
表示，题中的角均指大于0°且小于180°的角）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的
性质即可求解；②过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，
结合∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，即可得到结论；③过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，
1
可得∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD)，过点N作NF∥AM，可得 BAP=180°-∠AMF，即
2
1
BAP=360°-2∠AMF，结合∠PCN=n∠NCD，∠AMN= ∠NMD，n>1，可得
n
n-1
∠MNC= ∠AMF，进而可得结论．
n+1
【详解】解：①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，∵∠PAB=β，
∴∠APQ=180°-β，
∵∠APC=α，
∴∠CPQ=α-180°+β，
∴∠PCD=180°-∠CPQ=180°-α+180°-β=360°-α-β；①正确；
②过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APM=180°，∠PCD+∠CPM=180°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，即∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD)，
同理：∠AQC=∠BAQ+∠DCQ，
∵∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，
1 1
∴∠BAQ= ∠PAB，∠DCQ= ∠PCD，
3 3
∴∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD)=360°-3(∠BAQ+∠DCQ)=360°-3∠AQC,
∴∠APC=360°-3∠AQC，即∠APC+3∠AQC=360°，②正确；
③过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，
∵PE∥AB，
∴∠APE+∠PAB=180°，即∠APE=180°-∠PAB，
∵PE∥CD，
∴∠CPE=180°-∠PCD，
∴∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD)
过点N作NF∥AM，
∵AM∥PC，
∴NF∥PC，
∴∠CNF=∠PCN，
∵NF∥AM，
∴∠FNM=∠AMN，∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMC，
∵AM平分∠BAP，
1
∴∠BAM= BAP，
2
∵∠AMC=180°-∠AMF，
1
∴ BAP=180°-∠AMF，
2
1
∵∠AMN= ∠NMD，∠AMN+∠NMD=∠AMF
n
1
∴∠AMN= ∠AMF，
n+1
1
∴∠FNM=∠AMN= ∠AMF，
n+1
∵∠PCN=n∠NCD，∠PCN+∠NCD=∠PCD，
n
∴∠PCN= ∠PCD，
n+1
n
∴∠CNF=∠PCN= ∠PCD，
n+1
∴∠MNC=∠CNF-∠FNM，
n 1
∴∠MNC=∠CNF-∠FNM= ∠PCD- ∠AMF，
n+1 n+1
1
∵ BAP=180°-∠AMF，
2
∴BAP=360°-2∠AMF，
∴∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD)=360°-(360°-2∠AMF+∠PCD)
=2∠AMF-∠PCD，
∵AM∥PC，
∴∠PCD=∠AMF，
∴∠APC=2∠AMF-∠AMF=∠AMF，
n 1 n 1 n-1
∴∠MNC= ∠PCD- ∠AMF= ∠AMF- ∠AMF= ∠AMF，
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
n-1
∠AMF
∴∠MNC n+1 n-1，③说法错误．
= =
∠APC ∠AMF n+1
综上，正确的有2个，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）将命题“对顶角相等”用“如果…那么…”的形式可以改写为．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题考查命题的扩充改写，先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进
行适当扩充即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两
个角相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
12．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，将△ABC沿BC方向平移4cm得到△≝¿，若BF=7CE，则BC的
长为 cm．
【答案】3
【分析】 本题主要考查了平移的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：平
移中连接各组对应点的线段平行且相等．
根据平移的性质可得BE=CF=AD=4cm，然后利用线段的和差关系即可得出答案，
【详解】 解：由平移的性质可得，BE=CF=AD=4cm，
∵BF=BE+EF=4+(CF-CE)=4+4-CE=7CE，
∴CE=1cm，
∴BC=BE-CE=4-1=3cm，
故答案为：3．
13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，
理由是 ．
【答案】 PM/MP 垂线段最短
【分析】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握直线外一点到直线的距离最短的是垂线段的长度是解题的
关键．根据直线外的点P到直线EN的距离最短的是垂线段的长度即可得到答案．
【详解】解：∵PM⊥EN于M，
∴搭建方式最短的是PM，理由是垂线段最短，
故答案为：PM；垂线段最短．
14．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线l ，l ，l ，⋯l ，若
1 2 3 12
l ⊥l ， l ∥l ，l ⊥l ，l ∥l ，…，依此类推，则l 与l 的位置关系是 ．（填“平行”或“垂
1 2 2 3 3 4 4 5 1 12
直”）【答案】平行
【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决
此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一
平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知l 与l 的位置关系是平行．
1 12
【详解】解：∵l ⊥l ， l ∥l ，l ⊥l ，l ∥l …
1 2 2 3 3 4 4 5
∴l ⊥l ，l ⊥l ，l ⊥l …，
2 4 4 6 6 8
∴l ⊥l ，
2 12
∵l ⊥l ，
1 2
∴l ∥l ，
1 12
故答案为∶平行．
15．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把
∠AOC分成两个角，且∠AOE=∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转角α(0°<α<360°)到OF，若
∠AOF=120°时，α的度数是 °．
【答案】82.5或202.5
【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当OF在∠BOC之间时，当OF
在∠BOD之间时，先求解∠AOC=∠BOD=75°，∠AOE=∠EOC=37.5°，再分别进一步求解即可．
【详解】解：①当OF在∠BOC之间时，如图．
∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD=75°，
∴∠AOC=∠BOD=75°．
∵∠AOE=∠EOC，
∴∠EOC=37.5°．
∵∠AOF=120°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=82.5°，即α=82.5；
②当OF在∠BOD之间时，如图．∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD=75°，
∴∠AOC=∠BOD=75°．
∵∠AOE=∠EOC，
∴∠AOE=37.5°．
∵∠AOF=120°，
∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=157.5°，
∴α=360°-∠EOF=202.5°．
故答案为：82.5或202.5
16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD，垂足为F，
CE⊥DE，CE平分∠AEG，且∠CGE=α，则下列结论：
1
①∠EDG= α；
2
②∠CEB=2α；
α
③∠CEF=90°- ；
2
④∠FED+∠DCE+∠FGE=180°；其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】 /
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到
①④ ④①
∠CGE=∠GEB=α，∠EDG=∠DEB，∠AE=180°-∠CGE=180°-α，再由角平分线的定义得到
1 1
∠AEC=∠CEG=90°- α，则由平角的定义可得∠CEB=90°+ α，据此可判断②；由垂线的定义得
2 2
1 1
到∠AEC+∠DEB=90°，则∠DEB= α，再由平行线的性质得到∠EDG=∠BED= α，据此可判
2 2
1
断①；先证明∠AEF=90°，得到∠AEC+∠CEF=90°，则∠CEF= α，据此可判断③；分别求出
2
1 1
∠FED=90°- α，∠BEC=90°- α，∠FGE=α，据此可判断④．
2 2
【详解】解：∵∠CGE=α，AB∥CD，∴∠CGE=∠GEB=α，∠EDG=∠DEB，∠AE=180°-∠CGE=180°-α，
∵CE平分∠AEG，
1 1
∴∠AEC=∠CEG= ∠AEG=90°- α，
2 2
1
∴∠CEB=180°-∠AEC=90°+ α，故②错误；
2
∵CE⊥DE，即∠CED=90°，
∴∠AEC+∠DEB=90°，
1
∴∠DEB= α，
2
∵AB∥CD，
1
∴∠EDG=∠BED= α，故①正确
2
∵EF⊥CD，AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC+∠CEF=90°，
1
∴∠CEF= α，故③错误；
2
1
∵∠GED=∠GEB-∠DEB= α，
2
∴∠CEF=∠GED，
1 1
∵∠FED=90°-∠BED=90°- α，∠BEC=180°-∠AEC=90°- α，∠FGE=α
2 2
∴∠FED+∠DCE+∠FGE=180°，故④正确；
综上所述，正确的有①④，
故答案为：①④．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图AF与BD相交于点C，∠B=∠ACB，且CD平分∠ECF．求
证：AB∥CE．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD=____________（____________）．∵∠ACB=∠FCD（____________）
∴∠ECD=∠ACB（____________）
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠____________（等量代换）．
∴AB∥CE（____________）．
【答案】∠DCF；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；ECD；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角性质．首先根据角平分线定义，对顶角相等证
明∠ECD=∠ACB，再证明∠B=∠ECD，然后根据同位角相等，两直线平行推出AB∥CE．
【详解】∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD=∠DCF（角平分线定义），
∵∠ACB=∠FCD（对顶角相等），
∴∠ECD=∠ACB（等量代换），
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ECD（等量代换），
∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠DCF；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；ECD；等量代换；同位角相等，两直线平
行．
18．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，∠1与∠D，∠1与∠B，∠3与∠4，∠B与∠BCD，∠2
与∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们分别是具有什么位置关系的角？
【答案】见解析
【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角的判断，根据组成角的线及位置逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∠1与∠D是直线BA和直线CD被直线AD所截得到的内错角；
∠1与∠B是直线AD和直线BC被直线AB所截得到的同位角；
∠3与∠4是直线AB和直线CD被直线AC所截得到的内错角；
∠B与∠BCD是直线AB和直线CD被直线BC所截得到的同旁内角；
∠2与∠4是直线AD和直线CD被直线AC所截得到的同旁内角．
19．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，已知直线AB、CD相交于O，EO⊥OF，OD平分∠EOB.(1)图中∠AOC的对顶角为________，∠EOD的邻补角为________；
(2)若∠BOF=20∘，求∠COE的度数.
【答案】(1)∠BOD，∠COE
(2)145°
【分析】此题考查几何图形中求角的度数，对顶角及邻补角定义，角平分线定义，
（1）根据对顶角定义及邻补角定义解答即可；
（2）先根据垂直定义及角平分线定义求出∠EOD的度数，再利用邻补角求出∠COE的度数．
【详解】（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，
∵∠EOD+∠EOC=180°，
∴∠EOD的邻补角是∠EOC，
故答案为：∠BOD；∠EOC；
（2）解：∵EO⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠EOF-∠BOF=90°-20°=70°，
∵OD平分∠EOB，
∴∠EOD=35°，
∴∠COE=180°-∠EOD=180°-35°=145°．
20．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF=180°，
EF∥AB．
(1)求证：CE∥DF；
(2)∠DFE的角平分线FG交AB于点G，若∠BGF=36°，求∠CDF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)108°
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，是解题
的关键．（1）根据∠ACE+∠BDF=180°，∠ACE+∠BCE=180°，得∠BCE=∠BDF，即得CE∥DF；
（2）根据EF∥AB，得∠EFG=36°，根据角平分线性质得， ∠EFD=72°，即得 ∠CDF=108°．
【详解】（1）∵ ∠ACE+∠BDF=180°，且∠ACE+∠BCE=180°，
∴ ∠BCE=∠BDF，
∴ CE∥DF；
（2）∵ EF∥AB，∠BGF=36°，
∴ ∠EFG=∠BGF=36°，
又FG为∠DFE的角平分线，
∴ ∠EFD=2∠EFG=72°，
∵ EF∥AB，
∴ ∠CDF=180°-∠EFD=108°（方法不唯一）．
21．（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2=180°．
(1)试说明∠FAB=∠BDC；
(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD=80°，求∠BCD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)50°
【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质；
（1）先证明∠1+∠FAC=180°，结合∠1+∠2=180°，可得∠FAC=∠2，可得FA∥CD，从而可得
结论；
1
（2）先证明∠FAC=∠CAD，∠FAD=2∠FAC，结合∠FAC=∠2，可得∠2= ×80°=40°，证明
2
∠ACB=90°，从而可得结论；
【详解】（1）解： ∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC=180°，
又∵∠1+∠2=180°，∴∠FAC=∠2，
∴FA∥CD，
∴∠FAB=∠BDC．
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC=∠CAD，∠FAD=2∠FAC．
由（1）知∠FAC=∠2，
∴∠FAD=2∠2，
1
∴∠2= ∠FAD．
2
∵∠FAD=80°，
1
∴∠2= ×80°=40°．
2
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-∠2=50°．
22．（21-22七年级下·河南安阳·期末）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位
长度，宽均为5个单位长度）
在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A'B'，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线A'B'C'，
得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．
问题解决：
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭
图形，并用斜线画出阴影部分：
(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S 、S ，则S = 平方单位；并比较大小：S S
1 2 1 1 2
（填“＞”“＝”或“＜”）；
(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），
长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表
示）
【答案】(1)见解析过程；
(2)40，=；
(3)（ab-a）
【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB；
（2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单
位的长方形，进而得出其面积；
（3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单
位的长方形，进而得出其面积．
【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求；
（2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S、S，
1 2
则S=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
1
S=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
2
∴S=S，
1 2
故答案为：40，=；
（3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度，
∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位．
故答案为：（ab-a）．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关
键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积．
23．（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】
（1）如图1，已知直线MN∥PQ，点A在MN上，点C在PQ上，点E在两平行线之间，则∠AEC=∠
+∠ ；
【应用】如图2，已知直线l ∥l ，点A、 B在l 上，点C、D在l 上，连接AD，BC，其中AE，CE分别
1 2 1 2
是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α=70°，∠β=34°．
（2）求∠AEC的度数：
（3）将线段AD沿CD方向平移，如图3所示，其他条件不变，求∠AEC的度数．
【答案】（1）NAE，ECQ；（2）52°；（3）142°
【分析】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质
得出各角之间关系是解题关键．
（1）如图1中，作EH∥MN，利用平行线的性质求解即可．（2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出∠ECD以及∠AEF的度数即可得出答案；
（3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出∠BAE以及∠AEH的度数即可得出答案．
【详解】解∶（1）如图1中，作EH∥MN，
∵MN∥PQ，EH∥MN，
∴MN∥EH∥PQ，
∴∠NAE=∠AEH,∠ECQ=∠CEH，
∴∠AEC=∠AEH+∠CEH=∠EAN+∠ECQ．
故答案为∶NAE，ECQ；
（2）如下图2，过点E作EF∥l ．
1
∵l ∥l ，
1 2
∴EF∥l ．
2
∵l ∥l ，
1 2
∴∠BCD=∠α=70°，∠BAD= ∠β=34°．
∵CE是∠BCD的平分线，AE是∠BAD的平分线，
1 1
∴∠ECD= ×70°=35°，∠BAE= ×34°=17°．
2 2
∵EF∥l ，EF∥l ，
2 1
∴∠FEC=∠ECD=35°，∠AEF=∠BAE=17°，
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=52°；
（3）如下图3，过点E作EH∥l ，
1∵l ∥l ，
1 2
∴EH∥l ．
2
∵l ∥l ，
1 2
∴∠BCD=∠α=70°，∠BAD=180°-∠β=146°．
∵CE是∠BCD的平分线，AE是∠BAD的平分线，
1 1
∴∠ECD= ×70°=35°，∠BAE= ×146°=73°．
2 2
∵EH∥l ，EH∥l ，
2 1
∴∠HEC=∠ECD=35°，∠AEH=180°-∠BAE=107°，
∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=142°．
