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开学收心考试模拟卷02
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下列表示医疗或救援的标识中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一
点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对
称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对撑图形的概念，解题的关键是掌握相应的概
念，即把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．(本题3分)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ，
D． ， ，
【答案】B
【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一
分析各项即可．
【详解】A． ， 不能构成三角形，故A选项错误；
B． ， 能构成三角形，
C． ， 不能构成三角形，故C选项错误；
D． ， 不能构成三角形，故C选项错误；
故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握和运用三角形三边的关系是解决本
题的关键．
3．(本题3分)一个多边形的内角和是它外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（
）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】设多边形有n条边，根据“多边形的内角和是它外角和的3倍”列出方程，
即可求解．
【详解】解：设多边形有n条边，由题意得：
，
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角和与
外角和定理是解题的关键．
4．(本题3分)如图所示，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在
边 上， ，若 ，则 的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】首先过点P作 于点D，利用直角三角形中 所对边等于斜边的一
半得出 的长，再利用等腰三角形的性质求出 的长．
【详解】解：过点P作 于点D，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形中 所对边等于斜边的一半及等腰三角形的性质，
根据此性质得出 的长是解题关键．
5．(本题3分)下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用负指数幂的性质以及幂的混合运算，积的乘方、完全平方公式分别
化简得出答案．
【详解】解：A.2a-2= ，故此选项错误；
B.a6÷a2+a4=2a4，正确；
C.（a-b）2=a2-2ab+b2，故此选项错误；
D.（-2a3）2=4a6，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及幂的混合运算，积的乘方、完全平方公
式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．(本题3分)若把多项式 分解因式后含有因式 ，则 的值为（ ）．
A．2 B． C．4 D．【答案】D
【分析】设 ，右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项
式相等的条件求出 的值即可．
【详解】解：设 ，
可得 ， ，
解得： ， ，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解 十字相乘法，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式
分解．
7．(本题3分)下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解决本题首先对每个分式进行通分，然后进行加减运算，找出正确选项．
【详解】解：A． ，错误；
B． ，错误；
C． ，正确；
D． ，错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加
减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结
果要化为最简分式或者整式．
8．(本题3分)将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形、
中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用两种方法正确的表示出中间正方形的面积，再根据图形中间正方形面积的
关系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．
【详解】解：方法一：中间正方形的面积为： ，
方法二：中间正方形的面积为： ，
所以可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是用两种方法正确的
表示出阴影部分的面积．
9．(本题3分)如图，在△ABC中， ， ，分别以点A和点C为圆心，
大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接
AD，则∠BAD的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理求得 ，根据线段垂直平分线的性质可得
，再根据等腰三角形的性质可得 ，然后根据角的和差即可
得．【详解】解：在 中，∵ ， ，
∴ ，
由作图可知， 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握
线段垂直平分线的作图和性质是解题的关键．
10．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，B(0，1)，C(0，－1)，D为x轴正半轴上
一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，DM⊥AC于M．下列说法正确的
是（ ）
①∠ABD＝∠ACD；②AD平分∠CAE；③AD＝ND；④
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【分析】①根据点B和点C的坐标可得OB=OC，从而可知OD是BC的垂直平分线，
可得BD=CD，再利用等腰三角形的三线合一性质证明∠BDC=2∠BDO，易得
∠BAC=∠BDC，最后利用三角形内角和证明∠ABD= ∠ACD；②要证明AD平分
∠CAE，想到利用角平分线性质定理的逆定理，所以过D作DF⊥BE于F，只要证明
DM=DF即可，易证△BDF≌△CDM，根据全等三角形的性质得到DM = DF；③要使
AD＝ND，就要使∠DAN＝∠AND,由②得∠DAE＝∠DAN,而∠DAE = ∠ABD +
∠ADB,∠AND=∠ABD＋∠BAC,由①得∠BAC＝∠BDC，所以只要判断∠BDC与∠ADB
是否相等即可；④根据全等三角形的性质得到BF=CM，易证△AMD≌△AFD,得到
AF=AM,由于BF= AF ＋ AB = AM ＋ AB，CM=AC-AM，于是得到AM+AB=AC-
AM，求得AC-AB=2AM，于是得到结论.【详解】解：∵B(0,1), C(0,-1),
∴BO=CO=1
∵OD⊥BC,
∴OD是BC的垂直平分线，
∴DB = DC,
∴∠BDC =2∠BDO,
∵∠BAC = 2∠BDO
∴∠BAC = ∠BDC,
∵∠ANB = ∠CND,
∴∠ABD = ∠ACD,
故①正确，
过D作DF⊥BE于F，如图：
∵BD = CD,∠ABD = ∠ACD,∠CMD = ∠BFD = 90°
∴△BDF≌△CDM (AAS),
∴DM = DF,
∴AD是∠CAE的角平分线，
故②正确，
③∵∠AND = ∠ABD ＋ ∠BAC,∠BAC =∠BDC,
∴∠AND = ∠ABD ＋ ∠BDC,
∵∠DAE = ∠ABD + ∠ADB,∠DAE = ∠DAN,
∴∠DAN = ∠ABD ＋ ∠ADB,
∵∠ADB ≠ ∠BDC,
∴∠AND≠∠DAN,
∴AD≠ND,
故③不正确；
∵ DM = DF AD = AD,
∴Rt△AMD≌Rt△AFD(HL),∴AM = AF,
∵△BDF≌△CDM ,
∴BF = CM,
∵BF = AF ＋ AB = AM ＋ AB,
∴CM = AC – AM,
∴ AM + AB = AC – AM,
∴AC – AB = 2AM,
∴
故④正确，
故选：B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质，
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共18分)
11．(本题3分)已知一张纸的厚度大约为 ，这个数用科学记数法表示为
______ ．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较
大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0的个数所决定，据此作答即可．
【详解】 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中
，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟练掌
握知识点是解题的关键．
12．(本题3分)若分式 的值为0，则 的值是______．
【答案】2【分析】根据分式值为0的条件解答即可．
【详解】∵分式 的值为0，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查分式值为0的条件，解一元二次方程．掌握分式值为0的条件：分
子为0，分母不为0是解题关键．
13．(本题3分)在实数范围内分解因式： ________．
【答案】
【分析】首先提取公因式 ，再利用平方差公式分解即可求得答案．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握因式分解的步骤：一提二套是解题的
关键．
14．(本题3分)计算： ____．
【答案】
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案；
【详解】解：故答案为：
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问
题的关键．
15．(本题3分)如图，在 中， ，AD平分 ，交 于点D，
，垂足为E．若 ， ，则DE的长为______．
【答案】2
【分析】直接根据角平分线的性质求解．
【详解】解：∵AD平分 交 于点D， ， ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．(本题3分)如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CB＝CD．有下列结论：
①∠ABC＋∠ADC＝180°；②AB＋AD＝2AE；③∠CDB＝∠CAB；④若∠BAD＝30°，
AC＝6，M是射线AD上一点，N是射线AB上一点，则△CMN周长的最小值大于6，
其中正确结论的序号是_____．
【答案】①②③【分析】过点C作CF⊥AB交于点F，证明Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），可得
∠ABC+∠ADC=180°；证明Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），则AE=AF，所以
AB+AD=2AB+2BF=2AF=2AE；由∠BDC=∠CBD，结合三角形外角
∠DBF=∠ADB+2∠CAB，可得∠ADB+2∠CAB=∠DBC+∠DBC+∠ADB，即可证明
∠CAB=∠DBC；作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交
AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AG、AH，当G、M、N、H四点共线时，
△CMN周长最小，可证△AGH是等边三角形，GH=AC=6，则△CMN周长的最小值为
6．
【详解】解：如图所示：过点C作CF⊥AB交于点F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，
∴CF=CE，
∵CB=CD，
∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，
∵∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°；
故①正确；
∵CD=CF，∠AEC=∠AFC=90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE=AF，
∴AB+AD
=AB+AE+ED
=AB+AF+BF
=AB+AB+BF+BF
=2AB+2BF
=2AF=2AE；
故②正确；
∵CD=BC，
∴∠BDC=∠CBD，
∵∠DBF=∠ADB+2∠CAB，
∠CBF=∠CDE=∠BDC+∠ADB，
∴∠ADB+2∠CAB=∠DBC+∠DBC+∠ADB，
∴∠CAB=∠DBC；
故③正确；
作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交
AB于点N，连接CM、CN、AG、AH，
∵CM=GM，CN=HN，
∴CM+CN+MN=GM+CH+MN≥GH，
∴当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小，
∵∠BAD=30°，
∴∠GAH=60°，
∵AG=AC=AH，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH=AC，
∵AC=6，
∴GH=6，
∴△CMN周长的最小值为6；
故④不正确；
故答案为：①②③．
【点睛】考查了角平分线的性质、轴对称求最短距离和三角形全等的判断与性质，解
题关键是熟练掌握三角形全等的判断与性质和轴对称求最短距离的方法．
三、解答题(共72分)
17．(本题6分)解方程 ．
【答案】无解
【分析】应用解分式方程的方法进行计算即可得出答案．
【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得 ，
去括号，得 ，
解方程，得 ，
检验：当 时， ，
∴ 不是原方程的解，原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法进行求解是解决本
题的关键．
18．(本题6分)先化简再求值 ，其中 为 ，0，1，2，3中的一个
数．
【答案】 ，
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从 ，0，1，2，3中选
取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
；
∵ 为 ，0，2，3时，原分式无意义，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．(本题6分)如图， 、 相交于点O， ， 于点E，
于点F，且 ．求证： ．【答案】证明见解析
【分析】由垂直可得 ，利用 可证明 ，得到
，由“内错角相等，两直线平行”可得 ．
【详解】证明：∵ 于点E， 于点F，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据 证明
全等．
20．(本题6分)先化简，再求值： ，其中x为不等式组
的整数．
【答案】 ，
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从不等式组
的解集中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答
本题．【详解】解：
，
去分母得： ，整理得： ，
，整理得： ，
则 ，
因为x为整数，则 或0或1或2，
当 、0、1时分式无意义舍去，
故答案为当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件，
解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，舍去分式无意义的解．
21．(本题8分)如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点
A，B，C均是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表
示）．
(1)在图（1）中，画一个以AB为腰的等腰△ABD；
(2)①在图（2）中，画一个以AB为腰，以A为直角顶点的等腰Rt△ABE；
②在图（2）中，画AB延长线上的点F，使得∠CFA＝45°；
(3)在图（3）中，画AB的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）①根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
②取格点T，连接CT交AB的延长线于点F，∠AFC即为所求；
（3）取格点M，N，构成正方形ABMN，取正方形ABMN对角线的交点P，取AB与网
格线的交点即AB的中点Q，作直线PQ即可．
（1）
解：如图1中，△ABD即为所求；
（2）
解：①如图2中，△ABE即为所求；
②如图2中，∠AFC即为所求；
（3）
解：如图3，直线PQ即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判
定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决
问题．
22．(本题8分)如图，在 中， ， ，边 的垂直平分线 交
于点 ．
(1)尺规作图：作 的平分线交 于点 ；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图作出 的平分线 ；
（2）根据垂直平分线的性质得到 ，继而可得 ，利用三角形内
角和定理求出 ，再利用角平分线的性质即可求解．
【详解】（1）如图所示： 即为所求；
（2）∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知
识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．(本题10分)2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提
出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能
源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，
若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
(1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
(2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆
A型汽车？
【答案】(1)A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
(2)60辆
【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆 万元，则A型汽车的进价为每辆 万元，
根据“用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆”列
出方程，即可求解；
（2）设购买 辆A型汽车，则购买 辆B型汽车，根据“用不多于3600万元
购进A型和B型汽车共150辆”列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆 万元，则A型汽车的进价为每辆 万
元，
依题意得：
解得：
经检验， 是方程的解
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
（2）解：设购买 辆A型汽车，则购买 辆B型汽车，依题意得：
解得：
答：最多可以购买60辆A型汽车．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确
列出方程和不等式是解题的关键．
24．(本题10分)如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，
∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的
长度．
【答案】(1)见解析
(2)MC=1.5
【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，
∠DBF=∠ECF-39°，再根据CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，则
∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，从而证明结论；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，利用HL证明
Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再证明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，则
BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，从而得出答案．
(1)
证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；(2)
解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，
∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分
线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．(本题12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)、B(b，0)且a、b满足
．
(1)求证：∠OAB＝∠OBA；(2)若BC⊥AC，求∠ACO的度数；
(3)如图2，若D是AO的中点，DE BO，F在线段AB的延长线上，∠EOF＝45°，连
接EF，试探究OE和EF的关系．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACO＝45°
(3)EF＝OE，且EF⊥OE，见解析
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，求出a、b，进而根据等边对等角
即可解决问题；
（2）如图1中，过点O作OD⊥OC交AC于点D，证明△ADO≌△BCO（ASA），即可
得到结论．
（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE
交HG于I，利用已知条件证明△HFG≌△BFO（SAS），得到GH＝OB＝OA，再证明
△EIG≌△EDO（AAS）得到EG＝EO，进而FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
（1）
解：
①-②得
解得
将代入①得
解得
A（0，2），B（－2，0）
∠OAB＝∠OBA；
（2）
如图，O作OD⊥OC交AC于点D，BC⊥AC，
又
即
在△ADO与△BCO中，
△ADO≌△BCO（ASA），
是等腰直角三角形，
；
（3）
证明：过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE
交HG于I，
∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°，∴△OFG、△HFB为等腰直角三角形，
∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°，
∴∠HFG＝∠BFO，
∵FG＝FO．FH＝FB，
∴△HFG≌△BFO（SAS），
∴GH＝OB＝OA，
又∵∠GHF＝∠OBF＝135°，
∴∠GHO＝90°，
∴HI＝OD＝IG，
∴△EIG≌△EDO（AAS），
∴EG＝EO，
∴FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
【点睛】此题考查了加减消元法解二元一次方程组，全等三角形的判定及性质，等腰
直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
