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必考点 07 轴对称、轴对称图形、垂直平分线的性质及判定
●题型一 轴对称图形的识别
【例题1】（2022秋•玄武区校级月考）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． 中国移动 B． 中国电信
C． 中国网通 D． 中国联通
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【例题2】（2022秋•临平区月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【例题3】（2022春•南岗区校级期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B． 等腰三角形 C． 矩形 D． 菱形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，所以是轴对称图形． 选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解题技巧提炼】
1.轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫
做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称
轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
3.常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
●题型二 轴对称图形性质的应用
★★★1、解决求面积问题
【例题4】（2022春•大东区期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若
BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．1
【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S ＝S ，根据图中阴影部分的面积是 S
△BEF △CEF 2 △ABC
求出即可．
【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S ＝S ，
△BEF △CEF
1 1
∵△ABC的面积是： ×BC×AD= ×6×5＝15，
2 2
1 15
∴图中阴影部分的面积是 S = ．
2 △ABC 2
15
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一
半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形 BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是解决本
题的关键．
★★★2、解决求线段长问题
【例题5】如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰
好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，
MN＝4cm，则线段QR的长为多少．【分析】根据轴对称的性质得到 OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得
QM＝PM＝2.5cm，RN＝PN＝3cm，然后计算QN，再计算QN+RN即可．
【解答】解：QR＝4.5cm，理由如下：
∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM＝MQ，PN＝NR．
∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，
∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5（cm）．
∴QR＝RN+NQ＝3+1.5＝4.5（cm）．
【点评】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连
线段的垂直平分线．
★★★3、解决求角度问题
【例题6】（2022秋•平城区校级月考）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边
BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝80°．则∠MGE的度数为（ ）
A．50° B．90° C．40° D．80°
【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为 180°，可求出
∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．
【解答】解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不
变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB+∠EGC的度数．
【解题技巧提炼】
1.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．2.求不规则图形阴影部分的面积时，一般先通过观察找到阴影部分与非阴影部分面积之间的关系，利用
轴对称图形的性质将不规则图形转化规则的图形或便于求解的图形，从而求出阴影部分的面积.
●题型三 轴对称及轴对称的性质
【例题7】如图，每组中的两个图形成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【例题8】（2022秋•宝应县月考）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则
∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形
内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′，
∵∠C′＝30°，
∴∠C＝30°，
∵∠A＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
【例题9】（2022春•礼泉县期末）如图，已知△ABC与△ABD关于AB所在的直线对称，延长AD交CB
的延长线于点E，若AC+BC＝AE，且∠C＝40°，则∠E的度数为 ．
【分析】先根据轴对称的性质得：AC＝AD，BC＝BD，∠ADB＝∠C＝40°，由已知可得BD＝DE，最后
由等腰三角形的性质和外角的性质可得结论．
【解答】解：∵△ABC与△ABD关于AB所在的直线对称，
∴AC＝AD，BC＝BD，∠ADB＝∠C＝40°，
∵AC+BC＝AE，
∴AD+BD＝AD+DE，
∴BD＝DE，
∴∠DBE＝∠E，
∵∠ADB＝∠DBE+∠E，
∴∠E＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．
【例题10】（2022春•六盘水期末）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在
直线MN上．
（1）图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．【分析】根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，
利用轴对称的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
故答案为：E，∠D．
（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝3．
故答案为：3．
（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，
再根据对称性，
∴∠EAF＝∠CAF，
1
∴∠EAF= ∠CAE=39°．
2
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【解题技巧提炼】
1.轴对称的定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对
称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
◎◎注意：
①轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图
形一定全等．
②若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．
2.轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到
这两个图形的对称轴．
●题型四 线段的垂直平分线的性质的应用
【例题11】 （2022春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别
交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
1
∴EA＝EB，AD＝BD= AB．
2
∵△BCE的周长是14cm，
∴BC+BE+EC＝14cm，即AC+BC＝14cm．
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+AC+BC＝22cm，
∴AB＝22﹣14＝8（cm），
1 1
∴BD= AB= ×8＝4（cm）．
2 2
故选：B．
【点评】本题主要考查了段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
离相等是解题的关键．
【例题12】（2022春•永丰县期中）如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：（1）∵DE为AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14（cm）；
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝2x，
∵∠C＝90°，
∴x+2x+2x＝90°，
解得：x＝18°，
则∠B＝2x＝36°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．
【例题13】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、
F．
（1）若△AEF的周长为10cm，求BC的长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠EAF的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算，求出
BC；
（2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，计
算即可．
【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，∵△AEF的周长为10cm，
∴AE+EF+AF＝10cm，
∴EB+EF+FC＝10cm，即BC＝10cm；
（2）∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠EAF＝110°﹣70°＝40o．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段
的两个端点的距离相等．
【解题技巧提炼】
1.线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平
分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
3.运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转
化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法.
●题型五 线段的垂直平分线的判定
【例题14】（2022春•兰州期末）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A+∠ACB，
求证：点E在BC的垂直平分线上．
【分析】根据三角形的外角性质得出∠EBC＝∠A+∠ACB，求出∠BCE＝∠EBC，根据等腰三角形的性质
求出CE＝BE，再得出答案即可．
【解答】证明：∵∠EBC＝∠A+∠ACB，
又∵∠BCE＝∠A+∠ACB，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴CE＝BE，∴点E在BC的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形外角性质等知识点，能熟记到
线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解此题的关键．
【例题15】（2021秋•偃师市期末）如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分
别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到EC＝ED，根据等腰三角形的性质证明；
（2）证明Rt△DOE≌Rt△COE，得到OD＝OC，证明结论．
【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC；
（2）在Rt△DOE和Rt△COE中，
{DE=CE
，
OE=OE
∴Rt△DOE≌Rt△COE，
∴OD＝OC，又EC＝ED，
∴OE是CD的垂直平分线．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的
距离相等是解题的关键．
【解题技巧提炼】
垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，通常要找到这样的
两个点，根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线.
●题型六 利用线段的垂直平分线解决实际问题
【例题16】（2022秋•盐都区月考）某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公
司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出
口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC（ ）A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该安装在△ABC三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相
等．
【例题17】在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰
收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路 m旁建立公用移动通信
基
站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【分析】线段PQ的垂直平分线与公路m的交点就是基站的位置．
【解答】解：基站应该建立在B处，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线
段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【解题技巧提炼】三角形三边的垂直平分线相交于一点且该点到三角形三个顶点的距离相等，因此在找到三个顶点距离相
等
的点时，只要画出三角形任意两条边的垂直平分线，其交点即为所求.
●题型七 轴对称中的探究题
【例题18】（2021秋•西湖区校级月考）如图，在折纸活动中，小明制作了一张∠ABC纸片，点D，E分
别在边AB，AC上，将∠ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合．
（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝ ；
（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，再根
据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案；
（2）同（1）；
（3）根据（1）、（2）的规律即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．
故答案为：150°；
（2）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝n°，
∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣n°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣n°）＝2n°，
∴∠1+∠2＝2n°；
故答案为：2n°；
（3）由（1）、（2）可知，2∠A＝∠1+∠2．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【解题技巧提炼】
轴对称中的探究题主要是利用轴对称的性质解决问题，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对
应边和对应角相等．
◆◆题型一 轴对称图形的识别
1．（2022秋•雨花区校级月考）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．图案不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．图案是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．图案不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
D．图案不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2021秋•道里区校级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．等腰三角形
C．长方形 D．平行四边形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项D中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所
以不是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2021秋•宜兴市月考）下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；
⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有 个．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：①角；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形是轴对称图形，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全
重合．
◆◆题型二 轴对称图形性质的应用
4．（2022•东明县一模）如图，正方形ABCD的边长为6．则图中阴影部分的面积为 ．
1
【分析】根据正方形的对称性质得到图中的面积= 正方形的面积．
2
1 1
【解答】解：根据题意，得S阴影部分 =
2
S正方形ABCD =
2
×62＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
5．（2021秋•泰山区校级月考）如图，不考虑阴影，图形的对称轴是直线l，其中圆的面积为4π，则阴影
部分的面积是 ．【分析】利用轴对称的性质解决问题即可，
【解答】解：观察图象，由轴对称的性质可知，阴影部分的面积等于圆面积的一半，
1
∴阴影部分的面积= ×4π＝2π．
2
故答案为：2π
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是学会把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，属于
中考常考题型．
6．（2020秋•徽县校级期中）如图，在△ABC中，直线l交AB于点M，交BC于点N，点B关于直线l的
对称点D在线段BC上，且AD⊥MD，∠B＝28°，求∠DAB的度数．
【分析】利用轴对称图形的性质得出MD＝MB，进而得出∠AMD的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵点B关于直线l的对称点是点D，
∴直线l是线段DB的垂直平分线，
∴MD＝MB，
∴∠MDB＝∠B＝28°，
∴∠AMD＝∠MDB+∠B＝56°，
在Rt△ADM中
∠DAB＝90°﹣56°＝34°．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出MD＝MB是解题关键．
◆◆题型四 轴对称及轴对称的性质
7．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据成轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误；
B、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误；
C、左右两个图形成轴对称，故本选项正确；
D、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8．（2022秋•安丘市校级月考）如图，已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD
＝46°，则∠BCD的度数为（ ）
A．120° B．116° C．106° D．96°
【分析】连接BD，求出∠CDB+∠CBD可得结论．
【解答】解：如图，连接BD．
∵△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°，
∵∠BAD＝46°，
∴∠ABD+∠ADB＝134°，
∴∠CDB+∠CBD＝134°﹣30°﹣30°＝74°，
∴∠BCD＝180°﹣74°＝106°，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
9．（2021秋•海珠区校级期中）如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，
那么∠BCD等于（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先依据轴对称图形的性质可求得∠E、∠D的度数，再用五边形的内角和减去∠A、∠B、
∠E、∠D的度数即可．
【解答】解：∵直线m是多边形ABCDE的对称轴，∠A＝130°，∠B＝110°，
∴∠A＝∠E＝130°，∠B＝∠D＝110°，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E＝（5﹣2）180°＝540°，
∴∠BCD＝540°﹣（∠A+∠B+∠D+∠E）＝540°﹣130°×2﹣110°×2＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、多边形的内角和公式的应用，根据轴对称的性质求出∠D和
∠E的度数是解题的关键．
10．（2022春•绿园区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对
称点是点D，连结CD交OA于点M，交OB于点N．
（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．
②若∠AOB＝n°，则∠COD＝ °（用含n的代数式表示）．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长．
【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD
＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD
＝2（∠AOP+∠BOP）
＝2∠AOB
＝2×60°
＝120°；
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COP
＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD
＝2（∠AOP+∠BOP）
＝2∠AOB
＝2n°，
故答案为：2n；
（2）∵点C和点P关于OA对称，
∴CM＝PM，
∵点P关于OB对称点是D，
∴DN＝PN，
∵CD＝4，
∴CM+MN+DN＝4，
∴PM+MN+PN＝4，
即△PMN的周长为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的
线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
◆◆题型五 线段的垂直平分线的性质的应用
11．（2022秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交
AC于点E，垂足为D，则AB＝（ ）A．6 B．5 C．4 D．无法确定
【分析】根据线段垂直平分线求出AE＝BE，根据周长求出BE+CE＝5，求出AC＝5，即可得出答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为9，BC＝4，
∴4+BE+CE＝9，
∵AE＝BE，
∴AE+CE＝9﹣4＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线
段两个端点的距离相等．
12．（2021秋•大丰区期中）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点
E，△BCE的周长等于22cm．
（1）证明：BE+EC＝AC；
（2）求AC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，即可得到结论；
（2）根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵AC＝AE+CE，
∴BE+CE＝AC；
（2）解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长等于22cm，
∴BC+CE+BE＝22（cm），
∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm），
∵BC＝10cm，
∴AC＝12（cm）．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
离相等是解题的关键．
13．（2021秋•蓝山县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D
为线段CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB＝70°．求证：BE＝AC．
【分析】连接AE，根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，
AE＝BE，等量代换证明结论．
【解答】证明：连接AE，
∵∠ACB＝70°，∠DAC＝20°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣70°＝90°，
∴AD⊥EC，
∵DE＝DC，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴AE＝AC，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．
◆◆题型六 线段的垂直平分线的判定
14．（2022•丰顺县校级开学）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点
D，求证：点D在BC的垂直平分线上．
【分析】由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易得∠DBC＝∠C，即可得DB＝DC，继而证得
结论．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∵在△ABC中，∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝∠DBC，
∴DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数
形结合思想的应用．
15．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上．
【分析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可．
【解答】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
∴点P必在AC的垂直平分线上．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到线
段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．
16．（2022春•兰州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，
且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEG＝∠DEG，根据平
行线的性质得到∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，等量代换得到∠EAF＝∠AFE，根据得到结论．
【解答】解：∵EG垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵∠ACB＝90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的
关键．
◆◆题型七 利用线段的垂直平分线解决实际问题
17．（2022春•胶州市期中）某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现
要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（）
A．△ABC三边高线的交点处
B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、旋转木马
三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．
【解答】解：∵售票中心到出口A、B的距离相等，
∴售票中心到在线段AB的垂直平分线上，
同理可得，售票中心应该在三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．
18．（2021秋•两江新区期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个
水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距
离相等的方案是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可求解．
【解答】解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线
段两端的距离相等”．
◆◆题型八 轴对称中的探究题
19．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
（1）画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系；
（3）你能否将△ABC经过一次变换得到△A″B″C″？如果能，请说说你是如何变换的？如果不能，请说明
理由．
【分析】（1）作B′B″的垂直平分线即可得到EF；
（2）利用轴对称性质得到∠BOM＝∠B′OM，∠B′OE＝∠B″OE，则∠BOB″＝2∠B′OM+2∠B′OE＝
2∠MOE；
（3）利用旋转变换求解．
【解答】解：（1）如图，
（2）∠BOB″是直线MN、EF所夹锐角α的2倍．理由如下：
∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，
∴BO与B′O关于MN对称，
∴∠BOM＝∠B′OM，同理可得∠B′OE＝∠B″OE，
∴∠BOB″＝2∠B′OM+2∠B′OE＝2∠MOE＝2α；
（3）把△ABC绕点O顺时针旋转2α可得到△A″B″C″．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称
点开始的，一般的方法是：先由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；再直线的另一侧，以垂足
为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；然
后连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
1．（2022秋•天心区校级月考）下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.（2021秋•石家庄期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，则下列结论
正确的有（ ）
①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：因为直线PO与AB交于点O，且PA＝PB，
所以P在线段AB的垂直平分线上，
故选：A．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段的垂直平分线的性质解答．
3．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，若△ABC与△ABC 关于直线MN对称，BB 交MN于点O，则
1 1 1 1
下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝AC B．BO＝BO C．CC ⊥MN D．AB∥BC
1 1 1 1 1 1
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC与△ABC 关于直线MN对称，
1 1 1
∴AC＝AC ，BO＝BO，CC ⊥MN，
1 1 1 1
故选项A、B、C正确，不符合题意；
AB∥BC 不一定成立，
1 1
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的
线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
4．（2022春•张家川县期末）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE
上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 ．
【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．【解答】解：∵△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，
∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称的两个图形全等．
5．（2022春•隆回县期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，∠BAD＝40°，
三角形ADB与三角形ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是B′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，得∠B'AD＝∠BAD＝40°，即得
∠CAB'＝∠BAC﹣∠B'AD﹣∠BAD＝10°．
【解答】解：∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，
∴∠B'AD＝∠BAD＝40°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAB'＝∠BAC﹣∠B'AD﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣40°＝10°，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．
6．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所
处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三
个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．
【解答】解：如图，①连接AB，AC，
②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，
则P即为售票中心．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．
7．（2021秋•吴江区校级月考）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，将纸片沿着
CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠A'DB的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由三角形内角和和折叠性质求出∠A'DC＝180°﹣45°﹣40°＝95°，∠CDB＝180°﹣45°﹣50°＝
85°，即可求出∠A'DB＝∠A'DC﹣∠CDB＝95°﹣85°＝10°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ACD＝∠A'CD＝45°，，∠A'＝40°，∠CBA＝50°，
∴∠A'DC＝180°﹣45°﹣40°＝95°，∠CDB＝180°﹣45°﹣50°＝85°，
∴∠A'DB＝∠A'DC﹣∠CDB＝95°﹣85°＝10°，故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练运用三角形内角和定理和折叠的性质是解题的关键．
8．（2022春•港北区期末）如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，
则∠PAQ的大小是（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，
进而可得∠PAQ的大小．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，
又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂直平分线的性质，能够求解一些简单的计算
问题．
9．（2022秋•东台市校级月考）如图，P在∠AOB内，点C、D分别是点P关于AO、BO的对称点．如
果△PMN的周长为12，则CD的长为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．18
【分析】根据轴对称的性质可知MP＝MC，PF＝FN，结合△PMN的周长为12，利用等量代换可知CD＝PM+MN+PN＝12．
【解答】解：∵点C是点P关于AO的对称点，
∴AO垂直平分CP，
∴CM＝PM．
同理PN＝ND．
∵CD＝CM+MN+ND，
∴CD＝PM+MN+PN，
∵△PMN的周长为12，
∴CD＝PM+MN+PN＝12．
故选：B．
【点评】此题考查轴对称的基本性质．注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．
10．（2021秋•临沂期末）如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.7．若点P关于
直线l，m的对称点分别是点P ，P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2
A．0 B．5 C．6 D．7
【分析】由轴对称的性质得OP ＝OP＝2.7，OP＝OP ＝2.7，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即
1 2
可得出结果．
【解答】解：连接OP ，OP ，P P ，
1 2 1 2
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P ，P ，
1 2
∴OP ＝OP＝2.7，OP＝OP ＝2.7，
1 2
∵OP +OP ＞P P ，
1 2 1 2
∴0＜P P ＜5.4，
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握轴对称性和三角
形三边的关系．11．（2022秋•南岗区校级月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，做点D关于直线AB的对称点E，
连接AE，做点D关于直线AC的对称点F，连接AF．∠B＝61°，∠C＝54°，则∠EAF的度数为
（ ）
A．130° B．122° C．115° D．108°
【分析】由点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，得∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，再根
据∠B＝61°，∠C＝54°，所以∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣61°﹣54°＝65°，即可求出答案．
【解答】解：∵点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝61°，∠C＝54°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣61°﹣54°＝65°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝130°，
故选：A．
【点评】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
1
12．（2022秋•铁西区月考）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于 AC
2
的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则
△ABC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据线段中点的定义可得AC＝4，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得EA＝EC，
然后根据△ABE的周长为12，可得AB+BC＝12，从而求出△ABC的周长，即可解答．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AC＝2AD＝4，由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE的周长为12，
∴AB+BE+AE＝12，
∴AB+BE+EC＝12，
∴AB+BC＝12，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+4＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．（2022春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接
CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数．
【分析】根据线段垂直平分线上的性质得到EB＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB，根据
三角形内角和定理、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝EC，BE＝AC，
∴AC＝EC，
1
∴∠AEC＝∠EAC= ×（180°﹣12°）＝84°，
2
1
∴∠EBC＝∠ECB= ∠AEC＝42°，
2
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠CBF＝21°，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角
性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（2021 秋•惠东县月考）如图，△ABC 中，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，
AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝CE；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，则DC的长为 cm．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝14cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+BC+AC＝14（cm），
∵AC＝6cm，
∴AB+BC＝8（cm），
∵AB＝EC，BD＝DE，
1
∴DC＝DE+EC= （AB+BC）＝4（cm）．
2
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距
离相等是解题的关键．
15．（2021秋•襄州区期中）如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AB+BD＝DE，求证：点C在AE的垂直平分
线上．
【分析】由等腰三角形的性质可得BD＝DC，再根据AB+BD＝DE可证明出AC＝CE，再根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上可得结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AB+BD＝DE，
∴AB+BD＝DC+CE，
∴AC＝CE，
∴点C在AE的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握到线段两端点的距离相等
的点在线段的垂直平分线上．
16．（2022春•市南区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB
的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
【分析】证明Rt△BDE≌Rt△BCE，根据全等三角形的性质得到ED＝EC，根据线段垂直平分线的判定定理
证明．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
{BD=BC
，
BE=BE
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平
分线上是解题的关键．
17．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与边BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试
猜想线段AB，AE，CF之间的数量关系，并证明．【分析】根据中垂线、角平分线的性质求出DE＝DF，BD＝DC，证明△DEB≌△DFC（SAS），推出BE＝
CF即可．
【解答】答：AB＝AE+CF，
证明：连接DB，
∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC；
在Rt△DCF与Rt△DBE中，
{DE=DF
，
DB=DC
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF＝BE（全等三角形的对应边相等），
∴AB＝AE+BE＝AE+CF．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质的应用，解此题的
关键是求出Rt△DCF≌Rt△DBE．
18．（2022秋•东台市校级月考）在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于D，AC边的垂直平分线l
1 2
交BC于E，l 与l 相交于点O，△ADE的周长为8cm．
1 2
（1）求BC的长；
（2）若∠BAC＝124°，则∠DAE的度数是 °；（3）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
【分析】（1）由在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于D，AC边的垂直平分线l 交BC于E，l 与
1 2 1
l 相交于点O，可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得BC＝△ADE的周长；
2
（2）由∠BAC＝110°，可求得∠BVAD+∠CAE＝∠ABC+∠ACB，继而求得答案；
（3）由在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于D，AC边的垂直平分线l 交BC于E，l 与l 相交于
1 2 1 2
点O，可得OA＝OB＝OC，继而求得答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于D，AC边的垂直平分线l 交BC于E，l
1 2 1
与l 相交于点O，
2
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AD+DE+AE＝8cm，
∴BC＝BD+DE+CE＝AD+DE+AE＝8cm；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝124°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣124°＝56°，
∴∠BAD+∠EAC＝56°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝68°，
故答案为：68；
（3）如图，连接OA、OB、OC，
在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于D，AC边的垂直平分线l 交BC于E，l 与l 相交于点O，
1 2 1 2
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∵△OBC的周长为18cm，∴OB+OC+BC＝18cm，
∵BC＝8cm，
∴OB＝OC＝5cm，
∴OA＝5cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合
思想的应用．
19．（2021秋•镇海区期末）【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称．
【理解题意】
（1）如图1，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，则∠AOM＝ 度；
【应用实际】
（2）如图2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，OP，OP 关于OB对称，OP，OP 关于OA对称，求
1 2
∠P OP 的度数；
1 2
（3）如图3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP 关于OB对称，OP，
1
OP 关于OA对称，求∠P OP 的度数；
2 1 2
【拓展提升】
（4）如图4，若∠AOB＝45°，OP，OP
1
关于∠AOB的OB边对称，∠AOP
1
＝4∠BOP
1
，求∠AOP（直接
写出答案）．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；
（2）根据OP和OP
1
关于OB对称，得到∠POP
1
＝2∠BOP，根据OP和OP
2
关于OA对称，得到∠POP
2
＝2∠AOP，根据角的和差即可得到结论；
（3）根据OP和OP
1
关于OB对称，得到∠POP
1
＝2∠BOP，根据OP和OP
2
关于OA对称，求得∠POP
2
＝2∠AOP，根据角的和差即可得到结论；
（4）①OP在∠AOB内部，如图4，②当OP在∠AOB外部，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，1 1
∴∠AOM= ∠AOB= ×45°＝22.5°，
2 2
故答案为：22.5；
（2）∵OP和OP 关于OB对称，
1
∴∠POP
1
＝2∠BOP，
又∵OP和OP 关于OA对称，
2
∴∠POP
2
＝2∠AOP，
∵∠P
1
OP
2
＝∠POP
1
+∠POP
2
，
∴∠P
1
OP
2
＝2∠BOP+2∠AOP
＝2∠AOB＝90°；
（3）∵OP和OP 关于OB对称，
1
∴∠POP
1
＝2∠BOP，
又∵OP和OP 关于OA对称，
2
∴∠POP
2
＝2∠AOP，
∵∠P OP ＝∠POP ﹣∠POP ，
1 2 1 2
∴∠P
1
OP
2
＝2∠BOP﹣2∠AOP
＝2∠AOB＝90°；
（4）①OP在∠AOB内部，如图4，
∵OP，OP 关于OB对称，
1
∴∠BOP＝∠BOP
1
，
∵∠AOP
1
＝4∠BOP
1
，
∴∠AOB＝3∠BOP
1
＝45°，
∴∠BOP
1
＝15°，
∴∠BOP
1
＝∠BOP＝15°，
∴∠AOP＝30°，
②当OP在∠AOB外部，
∵∠AOP
1
＝4∠BOP
1
，
∴射线OP在射线OB的上面，如图5，
∵OP，OP 关于∠AOB的OB边对称，
1
∴∠BOP＝∠BOP
1
，
∵∠AOP
1
＝4∠BOP
1
，
∴∠AOB＝∠BOP
1
+∠AOP
1
＝5∠BOP
1
＝45°，
∴∠BOP
1
＝9°，∴∠BOP
1
＝∠BOP＝9°，
∴∠AOP＝45°+9°＝54°
综上所述，∠AOP＝30°或54°．
【点评】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
