文档内容
重难点 02 五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与
练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·广西柳州·三模（理））若曲线 在点 处的切线方程为 ，则
的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知实数 ， 函数 ， 满足
， 则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列
函数的图象中存在完美点的是（ ）
A．y=﹣2x B．y=x﹣6 C．y= D．y=x2﹣3x+4
三、双空题
4．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，某城市公园内有一矩形空地 ， ，
，现规划在边 上分别取点E，F，G，且满足 ，在△ 内建造
喷泉瀑布，在△ 内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道 作为观光路线（不考虑宽度），则
当 ______时，栈道 最短，此时 _______．四、解答题
5．（2021·全国·模拟预测） ．
（Ⅰ）若函数 在定义域内有两个极值点，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 有三个不相同的零点，求证： ．
6．（2021·河南平顶山·高三阶段练习（理））已知函数 在 处的切线与直线
平行
（1）求实数 的值，并求 的极值；
（2）若方程 有两个不相等的实根 ， ，求证： .
7．（2022·全国·高三专题练习）某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为
了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，
两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为 万元，假设桥墩等距离分
布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据： ，
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知直线 与曲线 相切于两点，函数
，则对函数 描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
2．（2021·河南·西南大学附中高三期中（文））已知函数 ，若存在实数
当 时，满足 则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，函数 的图象 上任取一点 ，过点 作其切线 ，交 于点 ，过点 作其切线 ，交 于点 ，过点 作其切线 ，交 于点 ，则 的取值
（ ）
A．与 有关，且存在最大值 B．与 有关，且存在最小值
C．与 有关，但无最值 D．与 无关，为定值
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 是周期函数 B．函数 有唯一零点
C．函数 有无数个极值点 D．函数 在 上不是单调函数
三、双空题
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 ，则方程 的根为________．
若函数 有三个零点，则实数a的取值范围是________．
6．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数 则函数 的最小值为
________；若关于 的方程 有四个不同的实根，则实数 的取值范围是________．
四、填空题7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 ， ，若关于x的方程
在区间 上恰有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是______.
题型三：分类与整合思想
一、多选题
1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数 ，其中常数 ， ，则下列说法正
确的有（ ）
A．函数 的定义域为
B．当 ， 时，函数 有两个极值点
C．不存在实数 和m，使得函数 恰好只有一个极值点
D．若 ，则“ ”是“函数 是增函数”的充分不必要条件
二、解答题
2．（2022·四川南充·三模（理））已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，若 ，求证：对于任意 ，函数 有唯一零
点．3．（2022·云南·二模（文））已知e是自然对数的底数， ，常数a是实数.
(1)设 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2) ，都有 ，求a的取值范围.
4．（2022·湖南师大附中二模）已知函数 .
(1)若 ，比较 与 的大小；
(2)讨论函数 的零点个数.
5．（2022·河北唐山·二模）已知函数 ， ，曲线 和 在原点处有相
同的切线l．
(1)求b的值以及l的方程；
(2)判断函数 在 上零点的个数，并说明理由．6．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
(2)讨论函数 在区间 上的零点个数．
【答案】(1)
(2)当 或 时， 在 上无零点；
当 或时， 在 上有1个零点；
当 时， 在 上有2个零点．
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·广西南宁·二模（理））设大于1的两个实数a，b满足 ，则正整数n的最大值为
（ ）．
A．7 B．9 C．11 D．122．（2022·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知不等式 恰有2个整数解，求实数k的
取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式 对任意 ， 恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022·广东广州·二模）我们常用的数是十进制数，如 ，表示十进
制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码
0和1，如四位二进制的数 ，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大
数记为 ，其中m， ， 为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·江苏·高三阶段练习）若正整数 只有1为公约数，则称 互质.对于正整数 ， 是小于
或等于 的正整数中与 互质的数的个数，函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：
， ， ，则（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 单调递增C． D．数列 的前 项和为 ，则 .
三、填空题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 __________．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的不等式 在 上恒成立，
则实数 的取值集合是_________．
四、解答题
8．（2022·山西晋中·模拟预测（理））已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 为函数 的极大值点，求实数 的取值范围.
9．（2022·江西·临川一中高三期中（文））设m为实数，函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若方程 有两个实数根 ，证明： .（注：
是自然对数的底数）10．（2022·广东·高三阶段练习）若 ，且直线 与曲线 相切.
(1)求 的值；
(2)证明：当 ，不等式 对于 恒成立.
题型五：特殊与一般思想
一、单选题
1．（2020·全国·高三专题练习（文））若曲线 在 处的切线也是 的切线，则
（ ）
A．-1 B．-2
C．2 D．
2．（2020·全国·高三专题练习）已知 ，则下列结论中错误的是
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
3．（2020·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，其导函数记为 ，则
的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．−2
二、填空题4．（2020·全国·高三专题练习）有如下结论：若无穷等比数列 的公比 满足 ，则它的各项和
．已知函数 ，则 的图象与 轴围成的所有图形
的面积之和为__．
