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二十一章 一元二次方程（单元测试）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市南洋模范中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A． 的根为 B． 是 的根
C．方程 的根为 D． 没有实数根
【详解】解：A、 的根为 ；选项错误，不符合题意；
B、 是 的根；选项正确，符合题意；
C、方程 无实数根；选项错误，不符合题意；
D、当 时， 有实数根；选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．下列方程①x2﹣5x＝2022，② ，③ ，④ ，一定是关于x的
一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；
② ，当a=0时不是一元二次方程；
③ ，是一元二次方程；
④ ，整理后不含二次项，不是一元二次方程，
所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，
故选：B
3．把方程 化成一般式 ，则正确的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【详解】将 去括号得 ；移项得
∴ ，
故选C．
4．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）若关于x的方程 有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B． C．9 D．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根
∴
解得
故选：C．
5．（2022秋·河南洛阳·九年级校考期中）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：A． ，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B． ，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C． ，方程没有实数根，符合题意；
D． ，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
6．若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或9 C．3或 D． 或6
【详解】解：∵ ，
∴ ，
,则两根为：3或-1，
当 时， ，
当 时， ，
故选：A．
7．若实数k、b是一元二次方程 的两个根，且 ，则一次函数 的图象不经过
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【详解】∵实数k、b是一元二次方程 的两个根，且 ，
∴ ,
∴一次函数表达式为 ，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
8．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯
二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这
批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的
价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
9．（2022秋·山西朔州·九年级校联考期末）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现
将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．
设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为 英寸，宽为 英寸，
由题意得 ，
故选D．
10．（2022秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55
次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x=11，x=-10（舍去），
1 2
故答案为C.
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2022春·四川成都·九年级专题练习）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程
的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【详解】解： 一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，
由公式法解一元二次方程 可得 ，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 ，
故答案为： ．
12．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）＋5＝______．
【详解】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
13．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若
方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两
个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是
__________．
【详解】解：若方程两根为-1和2，则 =-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；
由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误；
若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正
确．
若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），
而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2
=4a[-（bm+c）]+4abm+b2
=4abm-4abm-4ac+b2
=b2-4ac．故④正确；
故答案为：①③④．
14．（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）一元二次方程 的两根为 ，则
________________
【详解】∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
= ，= ．
故答案为 ．
15．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽
度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．
【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，
依题意得：（22-x）（14-x）=240，
整理得：x2-36x+68=0，
解得：x=2，x=34（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：2．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．关于x的一元二次方程 的常数项为0，求m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的常数项为0，
∴
解得：
17．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【详解】（1）解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，
则m﹣1＝0且m﹣2≠0，
解得m＝1．
∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0
解得x＝﹣1．
（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，
一次项系数为m﹣2，
常数项为﹣2m+1．
18．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框：
小霞：
小敏：
移项，得 ，
两边同除以 ，得
提取公因式，得 ．
，
则 或 ，
则 ．
解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【详解】解：
小霞：
小敏：
移项，得 ，
两边同除以 ，得
提取公因式，得 ．
，
则 或 ，
则 ．
解得 ， ．
（×）
（×）
正确解答：
移项，得 ，
提取公因式，得 ，
去括号，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x=0，x=﹣1．
1 2
20．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．
(1)求m的取值范围；
(2)当 时，求m的值．
【详解】（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ ，且m≠0，
整理，得： ，
解得： ，且m≠0，
即m的取值范围为 ，且m≠0；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，即 ，
设 ，则有： ，
利用因式分解法，解得： ， ，
根据 ，得 ，
可得m为4或者-1，
又∵ ，且m≠0，
∴m的值为4．
21．（2022秋·内蒙古包头·九年级统考期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出
32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台．
(1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率；
(2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每
降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？
【详解】（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%．
（2）设每台降价y元，则四月份可售出 台，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元．
22．距台风中心 的区域（包括边界）为受台风影响区．如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影
响区吗？【详解】解：轮船会受到台风影响．如图，
∵ ，
∴ ．
设当轮船接到报警后经过t小时后，轮船到达点D，台风到达点E，
由勾股定理得：
，
整理得 ，
，
方程有两个不相等的实数解，
∴如果轮船不改变航向，会进入台风影响区．
23．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩
大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 ．5月份每吨再生纸的利润比
上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求 的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比
上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 ．求6月份每吨再生纸的利润是多少
元？
【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ 的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
