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期中押题培优 02 卷
（考试范围 21.1-24.2）
一、单选题(共16分)
1．(本题2分)把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为 从而可得答
案．
【详解】解：∵ ，
∴
∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：
”是解本题的关键．
2．(本题2分)抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【分析】根据二次函数 的顶点坐标为 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数 的顶
点坐标为 是解题的关键．3．(本题2分)在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2）
【答案】D
【分析】关于原点对称的点的横坐标坐标都互为相反数，据此解答即可．
【详解】解：点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，-2），
故选：D．
【点睛】此题考查了对称点问题，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴
对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数．
4．(本题2分)用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x= ，
配方得：x2-x+ = ，即（x- ）2= ．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．(本题2分)如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为
（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【分析】连接AO，根据垂径定理得到AD长，再用勾股定理求出圆的半径，DC用半径减去OD得
到．【详解】解：如图，连接AO，
∵半径 与点D，
∴ ，
∵ ，
∴根据勾股定理， ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的内容，并能够结合勾股定
理进行计算求解．
6．(本题2分)如图，在以AB为直径的半圆O中， ， ，BD交AC于点E，则
∠AED的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【分析】连接OC、OD，然后由圆周角定理求出 ，得到 ，从而得到
，再由三角形的外角定义，即可得到答案
【详解】解：连接OC、OD，如图：
∵ ，AB是直径，
∴ ，
.∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，弦、弧、圆心角的关系，解题的关键是掌
握所学的知识，正确的求出角的度数
7．(本题2分)如图，点P(1，4)绕着原点顺时针方向旋转90度后得到像点Q，则点Q的坐标是（
）
A．（1，-4） B．（-1，4） C．（4，-1） D．（-4，1）
【答案】C
【分析】根据旋转的方法，作图即可确定旋转以后点的坐标．
【详解】解：P点的坐标为（1，4），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得Q点坐标为（4，-1）．
故选：C．
【点睛】本题涉及图形变换，旋转，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通
过画图求解．
8．(本题2分)二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象过A(﹣4，y)，B(﹣3，y)，C(0，y)，D(3，
1 2 3
y)四个点，下列说法一定正确的是（ ）
4
A．若y y＜0，则y y＞0 B．若y y＜0，则y y＜0
1 2 3 4 1 3 2 4
C．若y y＞0，则y y＞0 D．若y y＞0，则y y＞0
2 4 1 3 3 4 1 2
【答案】D
【分析】观察图象可知，y＞y＞y＞y，再结合题目一一判断即可．
3 2 1 4
【详解】解：如图，由题意对称轴为直线x＝﹣1，
观察图象可知，y＞y＞y＞y，
3 2 1 4
若y y＜0，则y y＜0，选项A不符合题意，
1 2 3 4
若y y＜0，则y y＞0或y y＜0，选项B不符合题意，
1 3 2 4 2 4
若y y＞0，则y y＜0或y y＞0，选项C不符合题意，
2 4 1 3 1 3
若y y＞0，则y y＞0，选项D符合题意，
3 4 1 2
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图
象法解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题(共16分)
9．(本题2分) ，m，n为该方程两根.则 的值为_______.
【答案】36【分析】m，n为 的两根，可得 ，代入可
得 ，再根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵m，n为 的两根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵m，n为 的两根，
∴ ，
∴ = ．
故答案为：36．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，解题的关键是理解一元二次方程根的
概念，掌握一元二次方程根与系数的关系．
10．(本题2分)若函数 的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____．
【答案】-2或-1或0或1
【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次
函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的
交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可．
【详解】解：∵函数 的图象与坐标轴有两个不同的交点，
①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1，
此时y=-2x- ，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：
当抛物线经过原点时，y= =0，即m=0，
此时 =x(x-2)，则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；
当抛物线不经过原点时， =（-2）2-4×(m+1)× m=0，
△
解得：m=-2或1．
综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-2或-1或0或1．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，
若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点
来解题．
11．(本题2分)科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当前居民接种疫苗迎来高峰期，
导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时补进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器.开工第一
天生产200万个，第三天生产288万个.如果前三天生产量的日平均增长率为 ，则根据题意，可
列方程为___________________________.
【答案】
【分析】根据“开工第一天生产200万个，第三天生产288万个”列出方程即可.
【详解】解：依题意得： ；
故答案为： .
【点睛】此题考查了一元二次方程与实际问题，根据题干的数量关系列出方程是解题的关键.
12．(本题2分)将二次函数 的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，所得新
函数的图象与直线 的图象恰有2个公共点时，则b的取值范围为___________．
【答案】-3＜b＜1或b＞
【分析】求出翻折后的函数解析式，画出新图象示意图，根据示意图分类讨论即可；
分三段：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有一个公共点；当直线y＝
x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点；当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣（x﹣
1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为y＝x2-2x-3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1，x＝3，
1 2
则抛物线y＝x2-2x-3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），把抛物线y＝x2-2x-3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y＝-x2+2x+3（﹣1≤x≤3），
如图，
当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有一个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴﹣1+b＝0，解得b＝1；
∴当﹣3＜b＜1时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，
当直线y＝x+b与物线y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个
公共点，
即﹣（x﹣1）2+4＝x+b有两个相等的实数解，整理得x2﹣x+b﹣3＝0，
∴Δ＝12﹣4（b﹣3）＝0，解得b＝ ，
当b＞ 时，抛所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，
故答案为：-3＜b＜1或b＞ ．
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛
物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
13．(本题2分)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且
∠EDF=45°，将 DAE绕点D逆时针旋转90°，得到 DCM．若AE=1，则FM的长为__．【答案】2.5
【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到
∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形
MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为
3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-
EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即
为FM的长．
【详解】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt EBF中，由勾股定理得 ，
△
，解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此
题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
14．(本题2分)如图，在3×3的正方形网格中，图中的两条弦AB＝CD，则∠ABD＝______．
【答案】 ##45度
【分析】根据方格特点可知 ，利用同一个圆中同弧或等弧所对的圆周角相等可知
， ，进而得出 ．
【详解】解：如图，
连接AD，BC，设CD与AB交于点E，
由网格特点知， ．
∵AB＝CD，
∴ ．
根据同弧所对的圆周角相等，可知 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”是解题的关键．15．(本题2分)抛物线 （a，b，c是常数）的顶点坐标是（-1，n），n＜0，且a＋b
＋c＝0．下列四个结论：①ac＞0；②a＋c＜0；③点 在抛物线上，当
时，则 ；④ （m是一个常数）．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】②③④
【分析】由图象顶点坐标是 ， ，且过点 即可判断 ，由对称轴对称 ，即
可求得 ，可判断①；由 从而判断②；根据图象上点的坐标特征可判断③；
由抛物线 的最值可判断④．
【详解】解： 抛物线顶点坐标是 ， ，且 ，
时， 为函数最小值，即 ，抛物线开口向上，
，
，
，故①错误；
，故②正确；
， ，
抛物线为 ，
，
，
，
，即 ，
，解得 ，
，故③正确；
当 时，函数为最小值，
是一个常数），，
， ，
，
是一个常数），故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数
与方程及不等式的关系．
16．(本题2分)如图，过点A折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在 ，连接D ，点F为D
的中点，则CF的最小值为 _____．
【答案】 -1##-1+
【分析】连接AF，证明∠AFD＝90°，则有F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG
交圆于点F，则CF为最小值，采用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在 ，
∴A ＝AB，∴A ＝AD，
∵F为D 的中点，
∴AF⊥D ，
∴∠AFD＝90°，
∴F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，
∵DG＝ AD＝1，CD＝2，
∴ ，
∴ ．
故答案为： -1．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、折叠的性质以及圆的相关知识，根据∠AFD＝
90°，判断点F在以AD为直径的圆上，是解答本题的关键．
三、解答题(共98分)
17．(本题6分)按要求解下列方程：
(1)[配方法] ；
(2)[因式分解法] ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原方程运用配方法求解即可；（2）原方程运用因式分解法求解即可
（1）
∴
∴
（2）
∴
∴
【点睛】本题主要考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，正确掌握解方程的方法和步骤
是解答本题的关键．
18．(本题6分)如图，在 的方格纸中，A，B，C均为格点，按要求画图：①仅用无刻度直尺，
且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．
(1)找出过A，B，C三点的圆的圆心O，连结AO，BO．
(2)在⊙O上找到一点P，画出∠BCP，使得 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用垂径定理确定圆心，然后连接AO，BO即可；
（2）利用圆周角定理，即可作出图形．
（1）
解：如图：取线段AD和AC的垂直平分线，交点是点O；连接OA、OB；
（2）
解：如（1）图，由圆周角定理得 ，
取格点P，使得 ，
则有 ；
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，网格问题，解题的关键是掌握所学的知识，正确的
作出图形．
19．(本题6分)如图，在等边三角形ABC中，点P为 ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段
AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 △．
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）①60°；②PM＝ ，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到 ，可证得 ，即可求解 ；
（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，
从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由 ，可得
，即可求解；
②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，
∠PCM＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得 ，可证得 ，从而
得到 ．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．
【详解】解：（1） ．理由如下：
在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转可知：
∴
即
在 和 ACP中
△
∴ ．
∴ ．
（2）①∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∵ ．
∴ ，
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ；
②PM＝ ．理由如下：
如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在 PCM和 NBM中
△ △
∴△PCM≌△NBM（SAS）．
∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．
∴ ．
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∴∠PBC＋∠NBM＝60°．
即∠NBP＝60°．
∵∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ．
∴ ．
在 PNB和 中
△
∴ （SAS）．
∴ ．
∵
∴ 为等边三角形，∴ ．
∴ ，
∴PM＝ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练
掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关
键．
20．(本题6分)已知关于x的一元二次方程 的实数根是 ．
(1)求k的取值范围；
(2)若 且k为整数，求k的值．
，
【答案】(1)k 0
(2)k的值为-2或-1或0
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
（1）
解：∵关于x的一元二次方程 的实数根是 ，即方程有两个实数根，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：由题意得： ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵方程要有两个实数根，
∴ ，
∵k为整数，
∴k的值为-2或-1或0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次
不等式等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
21．(本题8分)如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上， ，垂足为D，AE=AB，BE分别
交AD、AC于点F、G．
(1)∠BAD=∠C吗？为什么？
(2) FAB是等腰三角形吗？请说明理由．
【答△案】(1)∠BAD=∠C，见解析
(2) FAB是等腰三角形，见解析
△
【分析】（1）∠BAD=∠C，根据BC是⊙O的直径， ，得到∠BAC=∠ADC=90°，推出
∠BAD+∠DAC=∠C+∠DAC，即可得到结论；
（2）△FAB是等腰三角形，由AE=AB得到∠E=∠ABE，根据圆周角定理得到∠E=∠C，证得
∠BAD=∠ABE，进而判定 FAB是等腰三角形．
（1） △
解：∠BAD=∠C，理由如下：
∵BC是⊙O的直径， ，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠C+∠DAC，
∴∠BAD=∠C；
（2）
解：△FAB是等腰三角形，理由如下：
∵AE=AB，
∴∠E=∠ABE，
∵∠C=∠BAD，∠E=∠C，
∴∠BAD=∠ABE=∠C，
∴FA=FB，∴△FAB是等腰三角形．
【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，注意直径所
对的圆周角是直角．
22．(本题8分)已知二次函数 ．
(1)用配方法将 化成 的形式；
(2)在平面直角坐标系 xOy 中画出该函数的图像；
(3)当 时，y 的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)见解析；
(3)−1≤y＜3．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）结合抛物线的顶点及其与坐标轴的交点作图即可；
（3）从函数图像上可以确定y的取值范围．
（1）
；
（2）
该函数过点（0，3），（1，0），（2，−1），（3，0），（4，3）五个点，
用五点作图画出图像如图所示：（3）
当0＜x＜3，由图像可得y的范围是−1≤y＜3．
故答案为：−1≤y＜3．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，顶点式，最值等问题，解题的关键是掌握配方法求
抛物线的顶点式、抛物线与坐标轴交点坐标的求法等知识点．
23．(本题8分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点四边形ABCD
（顶点是网格线的交点）和格点O．
（1）将四边形ABCD先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到四边形
AB C D，画出平移后的四边形AB C D，（点A，B，C，D的对应点分别为点A，B ，C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
D）；
1
（2）将四边形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到四边形AB C D，画出旋转后的四边形
2 2 2 2
AB C D（点A、B，C，D的对应点分别为点A，B ，C ，D）；
2 2 2 2 2 2 2 2
（3）填空：点C 到AD 的距离为_______．
2 1 1
【答案】（1）如图，四边形AB C D 即为所求．见解析；（2）如图，四边形AB C D 即为所求．
1 1 1 1 2 2 2 2
见解析；（3） ．【分析】（1）根据网络结构找出点A、B、C、D平移后的对应点A、B 、C 、D 的位置，然后
1 1 1 1
顺次连接即可.
（2）根据网络结构找出点A、B、C、D绕点O逆时针旋转90°的对应点A、B 、C 、D 的位置，
2 2 2 2
然后顺次连接即可.
（3）延长D A，过C 点作延长线的垂线，垂线段的长度即为点C 到AD 的距离.
1 1 2 2 1 1
【详解】（1）如图，四边形AB C D 即为所求．
1 1 1 1
（2）如图，四边形AB C D 即为所求．
2 2 2 2
（3）设点C 到AD 的距离为h.
2 1 1
h=
【点睛】此题主要考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网络结构，准确找出
对应点的位置是解题的关键.
24．(本题8分)某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x
（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
160
周销售利润w（元） 1000 1600
0
注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．
【答案】(1)y=-2x+200
(2)当售价是70元时，最大利润是1800元【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b，再运用待定系数法解答即可；
（2）先确定进价，然后再利用销售利润＝销售量×（售价﹣进价）确定二次函数解析式，然后再
确定函数解析式即可．
(1)
解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
(2)
解：进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式和二次函数的应用，解题的关键在于对待定系数法和二次函
数求最值的应用．
25．(本题10分)已知如图，在 中，AB为直径， ， ， ．
(1)求 的度数．
(2)求CD的长．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用圆周角定理求解 ，再利用 ，结合三角形的内角和定理可
得答案；
（2）先证明 ，再利用勾股定理求解 ，再利用垂径定理可得答案.
（1）
解： ，
（2）
解：
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，熟练的
运用垂径定理进行求值是解本题的关键．
26．(本题10分)我们定义【a，b，c】为函数 的“特征数”，如：函数
的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数
y=-2x的“特征数”是【0，-2，0】．
(1)若一个函数的特征数是【1，-4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______．
(2)将“特征数”是【0，- ，-1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数
的解析式是______．
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与y轴交于A、B两点，与直线x=- 分别交于D、C
两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形的形状，
且说明理由；
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，-2b， 】的函数图象有交点，求满足条件的实数
b的取值范围．
【答案】(1)【1，0，-2】
(2)y=- x+1
(3)作图见解析；以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形；理由见解析
(4)
【分析】（1）由已知可知 ，平移后的函数为 ，则可求“特征数”；
（2）由已知可知函数为 ，平移后函数为 ；
（3）令x＝0，求出A（0，−1），B（0，1），令 ，求出 ， ，则AB＝
CD＝AD＝2，又由 ，可判断四边形ABCD是菱形；
（4）由已知可得 ，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，
将B（0，1）代入函数，得 ，将 代入函数得 ，则
．（1）
解：解：∵函数的特征数是【1，−4，1】，
∴函数为 ，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到 ，
∴函数 的“特征数”是【1，0，−2】．
故答案为：【1，0，−2】．
（2）
解：∵函数的“特征数”是【0，- ，-1】，
∴ ，
∵函数图象向上平移2个单位，
∴平移后函数为 ．
故答案为： ．
（3）
解：令x＝0，则A（0，−1），B（0，1），
∴AB＝2，
令 ，则 ， ，
∴CD＝2，
∵ ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝2，
∴四边形ABCD是菱形．（4）
解：∵函数的“特征数”是【1，-2b， 】，
∴ ，
∴函数与AD边无交点，
∴函数与BC边有交点，
将B（0，1）代入函数 得： ，
将 代入函数 得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识
结合是解题的关键．
27．(本题10分)如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，
，连接 ， ， ．点 在线段 上，连接 交 于点 ．（1）①比较 与 的大小，并证明；
②若 ，求证： ；
（2）将图1中的 绕点 逆时针旋转 ，如图2．若 是 的中点，判断
是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（1）①∠CAE=∠CBD，理由见解析；②证明见解析；（2）AE=2CF仍然成立，理由见
解析
【分析】（1）①只需要证明△CAE≌△CBD即可得到∠CAE=∠CBD；
②先证明∠CAH=∠BCF，然后推出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得到CF=DF，
CF=BF，则BD=2CF，再由△CAE≌△CBD，即可得到AE=2BD=2CF；
（2）如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，只需要证明△ACE≌△BCG得到AE=BG，
再由CF是△BDG的中位线，得到BG=2CF，即可证明AE=2CF．
【详解】解：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下：
在△CAE和△ CBD中，
，
∴△CAE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD；
②∵CF⊥AE，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，
∴∠CAH=∠BCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，
∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，
∴CF=DF，CF=BF，∴BD=2CF，
又∵△CAE≌△CBD，
∴AE=2BD=2CF；
（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：
如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，
由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，
又∵CE=CD=CG，AC=BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE=BG，
∵F是BD的中点，CD=CG，
∴CF是△BDG的中位线，
∴BG=2CF，
∴AE=2CF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三
角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
28．(本题12分)小朋在学习过程中遇到一个函数 ．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最
小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当 时，y与x的几组对应值如下表：x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 1 0 2 …
结合上表，画出当 时，函数 的图象；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程 有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保
留小数点后一位）．
【答案】(1)最小；0
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式 ，即可求解；
（2）根据描点法画函数图象；
（3）根据图像法求解即可，作经过点 的直线，与 的另一个交点的横坐
标即为方程的解
（1）
解：∵ ，
∴y有最小值，这个值是0；故答案为：最小；0
（2）
根据列表，描点连线，如图，
（3）
依题意， 有一个实数根为2，
则过点
的解即为 与 的交点的横坐标，
且 过点
如图，作过点 的直线，与 交于点根据函数图象的交点可知点 的横坐标约为
则该方程其它的实数根约为
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图象，根据函数图象的交
点求方程的解，数形结合是解题的关键．
