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期中难点特训（一）旋转综合压轴题
1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，
将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面
积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说
明理由．
【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．
【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．
②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题．
（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明
△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAD=90°﹣30°=60°．
∵CA=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴旋转角为60°．
故答案为：60°．
②如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，
∴∠ACH=∠DCH．
∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠ACH=∠B，
∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，
∴旋转角为2α．
故答案为：2α．
（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC=∠EMC=90°．
∵△ACB≌△DCE，
∴BC=EC，
在△CBN和△CEM中，
∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，
∴△CBN≌△CEM(AAS)，
∴BN=EM．∵S BDC •CD•BN，S ACE •AC•EM．
△ △
∵CD=AC，
∴S BDC=S ACE．
△ △
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形
的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把 ABO绕点B逆时针旋转，得
，点A，O旋转后的对应点为 ， ，记旋转角为α．
(1)如图①，若α＝90°，求 的长；
(2)如图②，若α＝120°，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为 ，当 P+B 取得最小值时，求点
的坐标（直接写出结果即可）
【答案】(1)5
(2)( ， )
(3)( ， )
【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得BA＝BA′，∠ABA′＝
90°，则可判定 ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；
（2）作O′H⊥y△轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，则∠HBO′＝
60°，再在Rt BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐
标的表示方法△写出O′点的坐标；
（3）由旋转的性质得BP＝BP′，则O′P+BP′＝O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP＝O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，
接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y＝ x﹣3，从而得到P（ ，0），则O′P′＝
OP＝ ，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′＝30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可
计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．
(1)
如图①，
∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得 A′BO′，
∴BA＝BA′，∠ABA′＝90°， △
∴△ABA′为等腰直角三角形，
∴AA′＝ BA＝5 ；
(2)
作O′H⊥y轴于H，如图②，
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得 A′BO′，
∴BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°， △
∴∠HBO′＝60°，
在Rt BHO′中，∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°，
△
∴BH＝ BO′＝ ，O′H＝ BH＝ ，
∴OH＝OB+BH＝3+ ＝ ，
∴O′点的坐标为( ， )；
(3)∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得 A′BO′，点P的对应点为P′，
∴BP＝BP′， △
∴O′P+BP′＝O′P+BP，
作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，
则O′P+BP＝O′P+PC＝O′C，此时O′P+BP的值最小，
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（0，﹣3），
设直线O′C的解析式为y＝kx+b，
把O′（ ， ），C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，
∴直线O′C的解析式为y＝ x﹣3，
当y＝0时， x﹣3＝0，解得x＝ ，则P（ ，0），
∴OP＝ ，
∴O′P′＝OP＝ ，
作P′D⊥O′H于D，
∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°，∠BO′H＝30°，
∴∠DP′O′＝30°，
∴O′D＝ O′P′＝ ，P′D＝ O′D＝ ，
∴DH＝O′H﹣O′D＝ ﹣ ＝ ，
∴P′点的坐标为( ， )．【点睛】本题考查了几何变换综合题，解题的关键是，熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性
质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．
3．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转
一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．
(1)求∠ODC的度数；
(2)试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；
(3)若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．
【答案】(1)60°
(2) ，见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；
（2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，可知∠ADC=∠BOC=150°，即
得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，故AD⊥OD；
（3）在Rt AOD中，由勾股定理即可求得AO的长．
（1） △
由旋转的性质得： ， ．
∴ ，即 ．
∵ 为等边三角形，∴ ．
∴ ．∴ 为等边三角形， ．（2）
．
由旋转的性质得， ．
∵ ，∴ ．
即 ．
（3）
由旋转的性质得，AD=OB=2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=3，
在Rt AOD中，由勾股定理得：
△
AO=
=
=
【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关
键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．
4．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝5，点D是射线OM上的
动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，
(1)如图1，①点C到射线OM的距离为 ．
②求证：△CDE是等边三角形．
(2)设OD＝t，
①如图2，当5＜t＜9时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，
请说明理由．
②当△BDE是直角三角形时，求t的值．（直接写出结果）
【答案】(1)①2 ；②证明见解析(2)① 存在；2 +4；②t＝1或13
【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AH＝BH＝2，∠ACH＝30°，可得AH＝ ，即可求解；
②由旋转的性质可得∠DCE＝60°，DC＝EC，可证△CDE是等边三角形；
（2）①由旋转的性质可得BE＝AD，可得C DBE＝CD+4，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
△
即可求解；②分四种情况讨论，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．
(1)
解：①解：如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，
∴AH＝BH＝2，∠ACH＝30°，
∴CH＝ AH＝ ，
∴点C到射线OM的距离为 ，
故答案为： ；
②证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
(2)
解：①存在，当5＜t＜9时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，
△
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C DBE＝CD+4，
△
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝ ；
②存在，
当t＝9时，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
当0≤t＜5时，由旋转可知， 而
∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED＝90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA﹣DA＝5﹣4＝1，
∴t＝1；
当5＜t＜9时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
如图，当t＞9时，由旋转的性质可知，
∠DBE＝60°，
又由（1）知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝13，
∴t＝13，
综上所述：当t＝1或13时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的
计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4 ，0）．
（Ⅰ）正方形AOBC的边长为 ，点A的坐标是 ．
（Ⅱ）将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°，点A，B，C旋转后的对应点为A′，B′，C′，求点
A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（Ⅲ）动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q
从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时
同时停止运动，当△OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）4， ；（2）旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为 ；
（3） .
【分析】（1）连接AB，根据 OCA为等腰三角形可得AD=OD的长，从而得出点A的坐标，则
得出正方形AOBC的面积； △
（2）根据旋转的性质可得OA′的长，从而得出A′C，A′E，再求出面积即可；
（3）根据P、Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种列式①当点P、Q分别在OA、OB时，②当点P在OA上，点Q在BC上时，③当点P、Q在AC上时，可方程得出t．
【详解】解：（1）连接AB，与OC交于点D，
四边形 是正方形，
∴ OCA为等腰Rt ，
△ △
∴AD=OD= OC=2 ，
∴点A的坐标为 .
4， .
（2）如图
∵ 四边形 是正方形，
∴ ， .
∵ 将正方形 绕点 顺时针旋转 ，
∴ 点 落在 轴上.
∴ .
∴ 点 的坐标为 .
∵ ，
∴ .
∵ 四边形 ， 是正方形，
∴ ， .
∴ ， .∴ .
∴ .
∵ ，
，
∴ .
∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为 .
（3）设t秒后两点相遇，3t=16，∴t=
①当点P、Q分别在OA、OB时，
∵ ,OP=t，OQ=2t
∴ 不能为等腰三角形
②当点P在OA上，点Q在BC上时如图2，
当OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，
OP=2OM=2BQ，OP=t，BQ=2t-4，
t=2（2t-4），
解得：t= ．
③当点P、Q在AC上时，
不能为等腰三角形
综上所述，当 时 是等腰三角形
【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知 AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在一
象限，点P（t，0）是x轴上的一个动点△，连接AP，并把 AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使
边AO与AB重合，连接OD，PD，得 OPD． △
△
（1）当t＝ 时，求DP的长
（2）在点P运动过程中，依照条件所形成的 OPD面积为S
①当t＞0时，求S与t之间的函数关系式 △
②当t≤0时，要使s＝ ，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
【答案】（1）DP= ；（2）① ；② .
【分析】（1）先判断出 ADP是等边三角形，进而得出DP=AP，即可得出结论；
（2）①先求出GH= 2，进△而求出DG，再得出DH，即可得出结论；
②分两种情况，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A（0，4），
∴OA=4，
∵P（t，0），
∴OP=t，
∵△ABD是由 AOP旋转得到，
∴△ABD≌△A△OP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，∴DP=AP，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①当t＞0时，如图1，BD=OP=t，
过点B，D分别作x轴的垂线，垂足于F，H，过点B作x轴的平行线，分别交y轴于点E，交DH
于点G，
∵△OAB为等边三角形，BE⊥y轴，
∴∠ABP=30°，AP=OP=2，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBG=60°，
∴DG=BD•sin60°= ，
∵GH=OE=2，
∴ ，
∴ ；
②当t≤0时，分两种情况：
∵点D在x轴上时，如图2在Rt ABD中， ，
△
(1)当 时，如图3，BD=OP=-t， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
（2）当 时，如图4，BD=OP=-t， ，
∴ ，
∴
∴ 或 （舍）
∴ ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的
面积公式以及解直角三角形，正确作出辅助线是解决本题的关键．
7．在 中， ， ．
（1）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
连接EC．
求证：① ；
② ．
（2）如图，D为 外一点，且 ，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连
接EC，ED，BD．
① 的结论是否仍然成立？并请你说明理由；②若 ， ，求AD的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①成立，理由见解析；②8
【分析】（1）①由旋转的性质可得 ，AE=AD，则可得到 ，然
后利用SAS证明两个三角形全等即可；
②由①知 ，得到 ，则 ；
（2）①由旋转的性质得， ，AE=AD，则 ，然后利用SAS证
明 即可；
②由（2）①知 ，得到 ．然后求出 ，得到
，利用勾股定理求出 ，再由 进行求解即
可．
【详解】（1）①证明：由旋转的性质得， ，AE=AD，
∴ ，即 ．
在 和 中，
∴ ；
②由①知 ，
∴ ，
∴ ．
（2）①结论仍然成立．
理由：由旋转的性质得， ，AE=AD，∴ ，即 ，
在 与 中，
∴ ．
②由（2）①知 ，
∴ ．
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ．
∵在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，
解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
8．如图，在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 ，且 ，把 绕点 逆时
针旋转 ，得 ，点 ， 旋转后的对应点为 ， .
（1）点 的坐标为______.
（2）解答下列问题：①设 的面积为 ，用含 的式子表示 ，并写出 的取值范围.
②当 时，求点 的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（1） ;（2）① ， ，或 ， .②
， 或 .
【分析】（1）由旋转的性质得出AC=AO=8，∠OAC=90°，得出C（8，8）即可；（2）①由旋转
的性质得出DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，得出∠ACE=90°，证出四边形OACE
是矩形，得出DE⊥x主，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，得出
BE=OB-OE=m-8，由三角形的面积公式得出S= m2-4m（m＞8）即可； b、当点B在线段OE上
（点B不与O，E重合）时，BE=OE-OB=8-m，由三角形的面积公式得出S=- m2+4m（0＜m＜
8）即可；c、当点B与E重合时，即m=8， BCD不存在；
△
②当S=6，m＞8时，得出 m2-4m=6，解方程求出m即可；当S=6，0＜m＜8时，得出-
m2+4m=6，解方程求出m即可．
【详解】解：（1）∵点A（0，8），
∴AO=8，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得 ACD，
∴AC=AO=8，∠OAC=90°， △
∴C（8，8），
故答案为（8，8）；
（2）①延长DC交x轴于点E，
∵点B（m，0），
∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得 ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°△，∠OAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是矩形，
∴DE⊥x主，OE=AC=8，
分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：
则BE=OB-OE=m-8，
∴S= DC•BE= m（m-8），
即S= m2-4m（m＞8）；
b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：
则BE=OE-OB=8-m，
∴S= DC•BE= m（8-m），
即S=- m2+4m（0＜m＜8）；
c、当点B与E重合时，即m=8， BCD不存在；
△
综上所述，S= m2-4m（m＞8），或S=- m2+4m（0＜m＜8）；
②当S=6，m＞8时， m2-4m=6，
解得：m=4±2 （负值舍去），
∴m=4+2 ；
当S=6，0＜m＜8时，- m2+4m=6，解得：m=2或m=6，
∴点B的坐标为（4+2 ，0）或（2，0）或（6，0）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元
二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．
9．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，
如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）．
（Ⅰ）当DE⊥AC时，旋转角α＝ 度，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系
是 ；
（Ⅱ）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（Ⅲ）当旋转角α＝ 时，△ABD的面积最大．
【答案】（Ⅰ） ；垂直；平行；（Ⅱ） ；（Ⅲ） 或
【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质和 即可求出旋转角 的度
数，再利用角度之间的关系求出 ，即可得到 与 的位置关系，再根据平行线的
判定即可求出 与 的位置关系；
（Ⅱ）利用全等三角形的判定得出 ≌ ，从而得出 ，再根据角之间的
关系得出 ，从而得出 的度数；
（Ⅲ）由题意可知，点 在以点 为圆心， 长为半径的圆周上运动，在 中，当以 为
底边，点 到 的距离最大时， 的面积最大，即 时 的面积最大，从而求
出旋转角的度数．
【详解】解：（Ⅰ）如图所示，
∵ 为等腰直角三角形∴
∵
∴
∴
∵ 为等腰直角三角形
∴ ，
∴
∴旋转角
∵ ，
∴
∴
∴ 与 的位置关系是垂直
∵ ,
∴
∴
∴ ∥
（Ⅱ）如图所示
∵ ，
∴
∵ 与 为等腰直角三角形
∴
在 与 中
∴ ≌
∴
∵∴
∴
（Ⅲ）如图3、图4所示
∵ 绕点 按逆时针方向旋转
∴点 在以点 为圆心， 长为半径的圆周上运动
∴当以 为底边，点 到 的距离最大时， 的面积最大
∴当 时 的面积最大
∴旋转角 或 时 的面积最大
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角的判定与性质，熟练掌
握旋转的性质以及全等的判定，根据题意画出相应图形是解答此题的关键．
10．如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一
点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
（3）当 的最小值为 时，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小，理由见解析；（3）
【分析】（1）由题意得 ， ，所以 ，容易证出 ；
（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当 点落在 的中点时， 的值最小；②根据“两点之间线段最短”，当 点位于 与 的交点处时， 的值最小，即
等于 的长（如图）；
（3）作辅助线，过 点作 交 的延长线于 ，由题意求出 ，设正方形的边
长为 ，在 中，根据勾股定理求得正方形的边长为 ．
【详解】解：（1）证明： 是等边三角形，
， ．
，
．
即 ．
又 ，
．
（2）解：①当 点落在 的中点时， 、 、 三点共线， 的值最小．②如图，连
接 ，当 点位于 与 的交点处时，
的值最小，
理由如下：连接 ，由（1）知， ，
，
， ，
是等边三角形．
．
．
根据“两点之间线段最短”可知，若 、 、 、 在同一条直线上时， 取得最
小值，最小值为 ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
若连接 ，则 ，
， ，、 可以同时在直线 上．
当 点位于 与 的交点处时， 的值最小，即等于 的长．
（3）解：过 点作 交 的延长线于 ，
．
设正方形的边长为 ，则 ， ．
在 中，
，
．
解得 ， （舍去负值）．
正方形的边长为 ．
【点睛】本题考查轴对称的性质和正方形的性质，三角形全等的判定、等腰三角形的性质、勾股
定理，解题的关键是掌握以上知识点，添加适当辅助线，灵活运用．
11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B
的对应点为E，连接BE．
（Ⅰ）求证：∠A＝∠EBC；
（Ⅱ）若已知旋转角为50°，∠ACE＝130°，求∠CED和∠BDE的度数．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）∠BDE=50°, ∠CED =35°
【分析】（Ⅰ）由旋转的性质可得AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，由等腰三角形的性质可
求解．
（Ⅱ）由旋转的性质可得AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，由
三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求解．
【详解】证明：（Ⅰ）∵将 ABC绕点C顺时针旋转得到 DEC，
∴AC＝CD，CB＝CE，∠A△CD＝∠BCE， △
∴∠A＝ ，∠CBE＝ ，
∴∠A＝∠EBC；
（Ⅱ）∵将 ABC绕点C顺时针旋转得到 DEC，
∴AC＝CD，△∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠△BCE＝50°，∠EDC＝∠A，∠ACB=∠DCE
∴∠A＝∠ADC＝65°，
∵∠ACE＝130°，∠ACD＝∠BCE＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE =80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝35°，
∵∠EDC＝∠A＝65°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝50°．∠CED=180°﹣∠DCE﹣∠CDE=35°
【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离
相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
12．在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 ．以点 为中
心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ．
（Ⅰ）如图①，当点 落在 边上时，求点 的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点 落在线段 上时， 与 交于点 ．
①求证 ≌ ；②求出 面积．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）①见解析；② ．
【分析】（Ⅰ）根据旋转可得AD=OA=10，又因为AC=6，利用勾股定理即可求出CD的长度，从
而知道BD的长度，即可求出点D的坐标；
（Ⅱ）①根据AD=BC，AB=BA，即可得到 ；
②设 ，则 ，在 中，根据 ，可以求出m的
值，再根据三角形面积公式即可求出三角形 面积．
【详解】解：（Ⅰ） ， ，
， ，
四边形 是矩形，
， ， ．
矩形 是由矩形 旋转得到，
．
在 中， ，
，
．
（Ⅱ）由四边形 是矩形，得到 ，
点 在线段 上，
．
由（Ⅰ）可知， ， ，
在Rt ADB和Rt BCA 中，
△ △
．
②如图②中，由 ，，
．
设 ，则 ，
在 中， ，
，解得
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转以及三角形全等，熟练旋转的性质以及全等三角形的判定是解决本
题的关键．
